高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件
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2
[问题 2] 利用定积分的几何意义求0 (2x＋1)dx 的值．
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题3] [提示3] [问题4]
求F(2)－F(0)的值． F(2)－F(0)＝4＋2＝6. 你得出什么结论？
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第一章 导数及其应用
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1．6 微积分基本定理
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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自主学习 新知突破
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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第一章 导数及其应用
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(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
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4．已知
f(x)＝xco2，s x－1，
x≤0， x>0，
1
试求－1f(x)dx.
解析： － 1 1f(x)dx＝0－1x2dx＋01(cos x－1)dx ＝13x3| 0－1＋(sin x－x)| 10＝sin 1－23.
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第一章 导数及其应用
－π
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基
本定理求解．
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(1)∵x3＋12x2－x′＝3x2＋x－1，
∴20(3x2＋x－1)dx＝x3＋12x2－x|
2 0
＝23＋12·22－2－0＝8.
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第一章 导数及其应用
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(2)∵(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x，
2π
∴ π
(cos
x＋sin
x)dx＝(sin
x－cos
x)|
2π π
＝(sin 2π－cos 2π)－(sin π－cos π)
＝源自文库0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
f(x)dx＝
__S_上___．
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第一章 导数及其应用
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高效测评 知能提升
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如
图
③
，
则
b
a
f(x)dx
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
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第一章 导数及其应用
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微积分基本定理
内 如果f(x)是区间[a，b]上的__连__续___函数，并且
容 F′(x)＝__f_(_x_) __，那么baf(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__
符 号
abfxdx＝Fxba＝__F_(_b_)－__F__(a_)
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第一章 导数及其应用
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定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
a
＝
_S_上__－__S_下___
，
若
S
上＝S
b
下
，
则
a
f(x)dx
＝
___0_____.
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第一章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
对微积分基本定理的理解
b
(1)微积分基本定理表明，计算定积分
a
f(x)dx的关键是找
到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等
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第一章 导数及其应用
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求简单函数的定积分
求下列定积分：
2
(1) (3x2＋x－1)dx； 0
2π
(2)π (cos x＋sin x)dx；
0
(3)
(ex－cos x)dx.
函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(2)牛顿－莱布尼兹公式指出了求连续函数定积分的一般
方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原
函数)的问题，揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也
提供计算定积分的一种有效方法．
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第一章 导数及其应用
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2． (1＋cos x)dx 等于( )
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析：
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2. 答案： D
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1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．
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已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x， [问题1] f(x)和F(x)有何关系？ [提示1] F′(x)＝f(x)．
3．若a12x＋1xdx＝3＋ln 2，则a的值是________．
解析：
a12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|
a 1
＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.
a2－1＝3， ∴a>1，
a＝2，
∴a＝2.
答案： 2
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1．下列值等于 1 的是( )
1
A．0xdx
1
C．01dx
1
B.0(x＋1)dx D．1012dx
解析： 10xdx＝12x2| 10＝12；10(x＋1)dx＝12x2＋x| 10＝32；
1
01dx＝x|
10＝1；1012dx＝12x|
10＝12.
答案： C
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[问题 2] 利用定积分的几何意义求0 (2x＋1)dx 的值．
2
[提示2] 由定积分的几何意义得0 (2x＋1)dx＝6.
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第一章 导数及其应用
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[问题3] [提示3] [问题4]
求F(2)－F(0)的值． F(2)－F(0)＝4＋2＝6. 你得出什么结论？
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第一章 导数及其应用
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1．6 微积分基本定理
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第一章 导数及其应用
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(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
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4．已知
f(x)＝xco2，s x－1，
x≤0， x>0，
1
试求－1f(x)dx.
解析： － 1 1f(x)dx＝0－1x2dx＋01(cos x－1)dx ＝13x3| 0－1＋(sin x－x)| 10＝sin 1－23.
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第一章 导数及其应用
－π
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基
本定理求解．
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第一章 导数及其应用
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(1)∵x3＋12x2－x′＝3x2＋x－1，
∴20(3x2＋x－1)dx＝x3＋12x2－x|
2 0
＝23＋12·22－2－0＝8.
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(2)∵(sin x－cos x)′＝cos x＋sin x，
2π
∴ π
(cos
x＋sin
x)dx＝(sin
x－cos
x)|
2π π
＝(sin 2π－cos 2π)－(sin π－cos π)
＝源自文库0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
f(x)dx＝
__S_上___．
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b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则af(x)dx＝ ____－__S_下___．
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如
图
③
，
则
b
a
f(x)dx
2
[提示4] 0f(x)dx＝F(2)－F(0)，且F′(x)＝f(x)．
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微积分基本定理
内 如果f(x)是区间[a，b]上的__连__续___函数，并且
容 F′(x)＝__f_(_x_) __，那么baf(x)dx＝_F__(b_)_－__F_(_a_)__
符 号
abfxdx＝Fxba＝__F_(_b_)－__F__(a_)
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第一章 导数及其应用
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定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S
则 下．
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则
a
＝
_S_上__－__S_下___
，
若
S
上＝S
b
下
，
则
a
f(x)dx
＝
___0_____.
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对微积分基本定理的理解
b
(1)微积分基本定理表明，计算定积分
a
f(x)dx的关键是找
到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等
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求简单函数的定积分
求下列定积分：
2
(1) (3x2＋x－1)dx； 0
2π
(2)π (cos x＋sin x)dx；
0
(3)
(ex－cos x)dx.
函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(2)牛顿－莱布尼兹公式指出了求连续函数定积分的一般
方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原
函数)的问题，揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也
提供计算定积分的一种有效方法．
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第一章 导数及其应用
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2． (1＋cos x)dx 等于( )
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析：
＝π2＋sin2π－－π2＋sin－π2＝π＋2. 答案： D
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1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．
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已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x， [问题1] f(x)和F(x)有何关系？ [提示1] F′(x)＝f(x)．
3．若a12x＋1xdx＝3＋ln 2，则a的值是________．
解析：
a12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|
a 1
＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln 2.
a2－1＝3， ∴a>1，
a＝2，
∴a＝2.
答案： 2
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1．下列值等于 1 的是( )
1
A．0xdx
1
C．01dx
1
B.0(x＋1)dx D．1012dx
解析： 10xdx＝12x2| 10＝12；10(x＋1)dx＝12x2＋x| 10＝32；
1
01dx＝x|
10＝1；1012dx＝12x|
10＝12.
答案： C
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