函数极限limf(x)=A思维导图
3-1函数极限
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐第三章函数极限§1 函数极限概念§2 函数极限的性质§3 函数极限存在的条件§4 两个重要极限§5 无穷小量与无穷大量阶的比较3.1 函数极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x 的绝对值无限增大时，f (x )的变化趋势，的极限时即)(,x f x ∞→二、当自变量x 无限地接近于x 0时，f (x )的变化趋势的极限时即)(,0x f x x →.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(x f y =在∞→x 的过程中, 对应函数值)(x f 无限趋近于确定值A .;)()(任意小表示A x f A x f -ε<-.的过程表示∞→>x X x .0sin )(,无限接近于无限增大时当xx x f x =通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式x X >的一切 x ,所对应的函数值)(x f 都满足不等式ε<-A x f )(,那么常数A 就叫函数)(x f 当∞→x 时的极限,记作 )()()(lim ∞→→=∞→x A x f A x f x 当或 定义""X -ε.)(,,0,0ε<->>∃>ε∀A x f X x X 恒有时使当⇔=∞→A x f x )(lim 1、定义：:.10情形+∞→x .)(,,0,0εε<->>∃>∀A x f X x X 恒有时使当:.20情形-∞→x A x f x =-∞→)(lim .)(,,0,0εε<--<>∃>∀A x f X x X 恒有时使当A x f x =+∞→)(lim 2、另两种情形:⇔=∞→A x f x )(lim :定理.)(lim )(lim A x f A x f x x ==-∞→+∞→且xx y sin =3、几何解释:ε-εX -X.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当ε==>-<A y x f y X x X x A数学分析第3.1节xxy sin =例1.0sin lim =∞→xx x 证明证xx x x sin 0sin =-Θx 1<X 1<,ε=,0>ε∀,1ε=X 取时恒有则当X x >,0sin ε<-x x .0sin lim =∞→xx x 故分析:例6. 证明01lim =∞→xx . 例2证明||1|01||)(|x x A x f =-=-<ε , 所以01lim =∞→xx . ||1|01||)(|x x A x f =-=-. ⇔∀ε>0,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε.∞→x lim f (x )=A . ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x . 因为∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有 ∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有 ∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有例3 证明21121lim =-+∞→x x x 证|12|12321121-⋅=--+x x x ∞→x Θ故不妨设|x |＞1，而当|x |＞1时||1||2|12|x x x >-≥-|12|12321121-⋅=--+x x x ||3||123x x <<0>∀εε<--+21121x x 要使同时成立和只须ε3||1||>>x x}3,1max{ε=X 令时，便有则当X x >|||12|12321121-⋅=--+x x x ε<<||3x 21121lim =-+∞→x x n .)(,)(lim :的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义x f y c y c x f x ===∞→数学分析第3.1节二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子的变化趋势函数时考察1)1(2)(,12--=→x x x f x 这个函数虽在x =1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f (x )的值无限地接近于4，我们称常数4为f (x )当x→1 时f (x )的极限。
考研高等数学知识点整理(附思维导图)
考研高等数学知识点整理（附思维导图）被考研高数折磨过的小伙伴一定都知道那种痛苦：泰勒展开、麦克劳林展开、夹逼定理、定积分不定积分、微分多元微分......作为成功登陆的一员，我觉得有义务帮对岸的朋友考研一把。
下面这张考研高数知识图我之前用过，希望能给你带来好运。
我不多说了。
一、函数先明确一些基本概念，比如函数的定义，函数的性质，什么是复合函数，反函数，隐函数。
理解概念很重要！理解概念很重要！理解概念很重要！重要的事情说三遍~很多问题我们不会做。
其实不是我们解决问题的能力不好，而是我们连基本概念都没搞清楚，自然无从下手，或者说解决问题的方向是偏了！这是我十几年应试的血泪教训！熟悉基本初等函数，包括幂函数、指数函数、对称函数、三角函数、反三角函数，要把公式和参数适用范围记住；常用的函数有绝对值函数、符号函数、整数函数、狄利克雷函数、极大值函数、可变积分上限函数(我认为是最变态的)和双曲函数。
二、极限同样的，先厘清极限的定义了解数列极限的基本性质：极限的唯一性，收敛数列的有界性和保号性，收敛数列与子数列间的关系了解函数极限（区别于数列极限）的基本性质：极限的唯一性，局部有界性和局部保号性（这是和数列极限很大的不同）无穷小量和无穷大量极限的四则运算极限存在的判别方法：单调有界定律和夹迫定律（也有叫夹逼定理的，说的都是一个意思），这两个定律很常见，注意熟练使用三、函数的连续性四、导数与微分基本初等函数的导数公式都得背下来五、中值定理这部分很难(可能只是对我来说，我是个坏学生)，也是常规考试的重点。
六、函数单调性与凹凸性这部分也是重点。
七、渐近线与曲率八、不定积分和微分一样，基本积分公式也得去记九、定积分重点理解定积分的定义和性质（再次强调）然后去记重要的定理、公式和关系十、无穷级数功能扩展很烦人，但是很重要。
大家可能都看过这些表情包。
十一、常微分方程与差分方程要记公式十二、空间解析几何与向量代数理解向量运算，后面的平面方程也就很容易理解了十三、多元函数微分学条件极值经常考十四、重积分这部分主要注意一点：从里层到外层展开的过程要细心，不然展开到最后发现错了又得重新开始十五、曲线积分与曲面积分我当年没考这个，没什么发言权。
高数极限思维导图
尝试提出来sin、cos、tan
泰勒展开
等价无穷小替换
尽早提取出极限不为0的因式
2、极限有左右
极限
核心考点
1、定义（4分）
2、三大性质：唯一性、有界性、局部保号性（4分）
3、计算（核心内容：10分大题+4分小题）
4、应用：连续与间断（4分）
主要内容
函数极限
定义
三大性质
极限运算
第一种：0/0、∞/∞、∞·0
1、0/0、∞/∞型比较常规
常用洛必达、泰勒展开、等价无穷小替换
分段函数的分段点，无定义点
第一类极限：左右极限都存在
可去间断点：左右极限都存在且相等
跳跃间断点：左右极限都存在但是不相等
第二类极限：左右极限至少有一个不存在
无穷间断点
震荡间断点
计算极限时要注意的技巧
1、化简先行
恒等变形：有理化、提取公因式、多添少补（＋－×÷）
缩放的时候如果分子分母都产生变化，则只改变分子不改变分母
注意抓隐蔽条件，有的函数天生具有有界性
数列由递推公式给出：单调有界定理
Step1:使用第二数学归纳法证明有界
Step2：找上/下界
Step3：左右两边求极限，解方程
间断点
1、单侧极限不讨论间断点
2、讨论间断点时讨论的两种点：
2、∞·0型常常需要转化
设置分母有原则，简单因式才下放
第二种：∞－∞
1、有分母则通分
2、没有分母创造分母
倒代换
注意在做倒代换的时候观察做完倒代换是否是单侧极限
同时除以一个数再乘以一个数
数学分析第二章极限与连续知识网络思维导图及复习
量求极限。 6、 理解函数连续的概念，会判断函数不连续点的类型。 7、 掌握用基本定理证明闭区间上连续函数的最大值、最小值、介值性定理的基本思路和方
法。 8、 理解一致连续的概念，并会应用其证明相关命题。 三、知识点梳理 1、数列极限的概念、性质与定理
不一致连续： 0
0,
xn
,xn
,
lim(
n
xn
x)
0 ，而 lim( n
f
(xn )
f
( xn)
c
0.
四、典型例题分析
基本题型 I 利用定义证明数列的极限
例
证明
lim
n
n 2n
0
证 明 ： 0, 要 使 得
n 2n
0
成立，只要
n 2n
0
n 2n
2 n
(这是因为
2n (11)n 1 n n(n 1) ... n2
(ii) 同 阶 无 穷 小 ： lim f (x) a 0 ， 则 称 f (x) 是 g(x) 的 同 阶 无 穷 小 ， 记 为 xx0 g(x)
f (x) Og(x) x x0 ，
0
特别地，如果 f (x) 在 O(x0 ) 有界，记作 f (x) O(1), (x x0 )
③ 函数的不连续点
(i)第一类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 存在，但不相等。
(ii)第二类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 中至少有一个不存在.
(iii)可移不连续点:
f (x0
0)
f
(x0
函数的极限函数的连续性(PPT)5-5
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；xx0源自lim C Cx x0
lim
x x0
x
x0
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
尝新吧。 【倘】见页［徜徉］（倘佯）。 【常】①一般；普通；平常：～人｜～识｜～态。②不变的；固定的：～数｜冬夏～青。③副时常；常常：～来～ 往｜我们～见面。④指伦常：三纲五～。⑤（）名姓。 【常备】动经常准备或防备：～车辆｜～物｜～不懈。 【常备军】名国家平时经常保持的正规军队。 【常常】副（事情的发生）不止一次，而且时间相隔不久：他工作积极，～受到表扬。 【常川】副经常地；连续不断地：～往来｜～供给。也作长川。 【常 服】名日常穿的服装（区别于“礼服”）：居家～。 【常规】ī①名沿袭下来经常实行的规矩；通常的做法：打破～。②形属型词。一般的；通常的：～武器。 ③名医学上称经常使用的处理方法，如“血常规”是指红细胞计数、血红蛋白测定、白细胞计数及分类计数等的检验。 【常规武器】ī通常使用的武器，如、 炮、飞机、坦克等，也包括冷兵器（区别于“核武器”）。 【常规战争】ī用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。 【常轨】名正常的、经常的方法 或途径：改变了生活～｜这类事件，可以遵循～解；qq空间说说 / qq空间说说； 决。 【常衡】名英美质量制度，用于金银，物以外 的一般物品（区别于“金衡、衡”）。 【常会】名规定在一定期间举行的会议；例会。 【常客】名经常来的客人。 【常理】（～儿）名通常的道理：按～ 我应该去看望他。 【常例】名常规?；惯例：沿用～｜情况特殊，不能按～行事。 【常量】名在某一过程中，数值固定不变的量，如等速运动中的速度就是 常量。也叫恒量。 【常年】①副终年；长期：山顶上～积雪｜战士们～守卫着祖国的边防。②名平常的年份：这儿小麦～亩产五百斤。 【常情】名通常的心 情或情理：按照～，要他回来，他会回来的。 【常人】名普通的人；一般的人：他的型格与～不同｜这种痛苦，非～所能忍受。 【常任】形属型词。长期担 任的：～理事。 【常设】动长期设立（组织、机构等）：学校应～招生咨询点｜全国人民代表大会常务委员会是全国人民代表大会的～机关。 【常识】名普 通知识：政治～｜科学～｜生活～。 【常事】名平常的事情；经常的事情：看书看到深夜，这对他来说是～。 【常数】名表示常量的数，如圆周率π的 值。…就是常数。 【常态】名正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。 【常套】名常用的陈陈相因的办法或格式：摆脱才子佳人小说的～。 【常委】名①某些机构由常务委员组成的领导集体；常务委员会：人大～。②常务委员会的成员。 【常温】名一般指—℃的温度。 【常务】形属型词。主持
3 第三章.函数极限与连续性
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x,对应的函数值 f ( x)都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A就叫函数
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
2
|
7 x2 3|
因为x ,所以限制x 3,此时有| x2 -3|| x |
|
x
7 2
3
|
|
7 x
|
,要使
|
7 x2 -
3
|
,
只需使
|
7 x
|
,即
|
x
|
7
取X max{ 3, 7 / }, 则当x X时有,
2x2 1 x2 3 2
成立,
lim
x
2x2 1 x2 3
2.
二、自变量趋向有限值时函数的极限
x1
x0
| ,有 |
f
(x1) a | 0
lim
x x0
f
(x)
G
0,
0,x : x0
x
x0时, 有 |
f
(x) | G
lim
x x0
f
(x)
G0
0,
0, x1：x0
x1
x0 , 有 |
f
(x1) | G0
其它定义的对偶写法可举一反三的类似给出。
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
x
x0 .
高等数学第一章函数极限(共41张PPT)
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i作 0 m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
注 :{ x 0 意 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0 }
0 取 mx 0 i,n x 0 {}
当 0 |xx0|时恒有
| x x0||xxx 00|
例4 证明 lim a x 1 (a 1) x0 证 0 （不妨设ε＜1）
要|使 ax1|
只 1 须 a x 1
又 la o ( 1 只 ) g x l须 a o ( 1 ) g
令 mia n 1 1 { ,llo o a(1 g g )}
x
问题: 如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限 接近”.
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
xX表x示 的过 . 程
1. 定义 :
定义1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X,使得对于适合不等式x X的一切 x,所对应的函数值f (x)都满足不等式f (x) A , 那末常数A就叫函数f (x)当x 时的极限,记作 limf(x) A 或 f(x)A(当x)
1. 定义:
定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
f (x)当x x0时的极限,记作
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A(当x x0)
f ( xn )
《函数的极限》PPT课件
在 x＝1 处不连续．
(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为(0,1)，(1,3]．
(4)由连续函数的定义可求得
＝f(2)＝0.
＝-12 ，
lim f(x)
x→2
• 点评：注意函数在某点处的极限存在与函数在 该点处连续之间的关系，假设函数在某点处连 续，那么必须保证函数在该点处有意义，且在 该点处极限存在且极限值为函数在该点处的函 数值．
4．函数极限的四那么运算法那么
如果xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b，那么 xl→imx0[f(x)±g(x)]=a+b xl→imx0[f(x)·g(x)]＝a·b； xl→imx0 gf((xx))＝ab(b≠0)．
5．函数连续性的概念 (1)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义，而且xl→imx0f(x) ＝f(x0)，就说函数 f(x)在点 x0 处连续． (2)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其右侧(或左侧)有定义，而且 x→limx0＋f(x)＝f(x0)[或x→limx0－f(x)＝f(x0)]，就说函数 f(x)在点 x0 处右连 续(或左连续)． (3)若 f(x)在(a，b)内每一点都连续，且在 a 点右连续，在 b 点 左连续，则称 f(x)在闭区间[a，b]上连续．
记作xl→imx0f(x)＝a ，也可记作当 x→x0 时，f(x)→a，xl→imx0f(x)也叫做
函数 f(x)在点 x＝x0 处的极限．
3．函数的左、右极限 如果当 x 从点 x＝x0 左侧(即 x<x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的左极限，记作 x→limx0－f(x)＝a . 如果当 x 从点 x＝x0 右侧(即 x>x0)无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于常数 a 时，就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的右极限，记 作x→limx0＋f(x)＝a . 且n→limx0－f(x)＝x→limx0＋ f(x)＝a⇔ xl→imx0f(x)＝a.
数学分析函数极限概念ppt课件
xk
x0 | }；
(2) 若
x0 {
x1 ,
, xn}, 则令
min { | 1k n
xk
x0
| }.
于是, 当 0 | x x0 | 时， 对以上两种情形都有
| R( x) 0 | .
这就证明了 lim R( x) 0 . x x0
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注 有兴趣的同学可以证明：
lim R( x) lim R( x) 0.
0
x
π 2
.
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因为当 x π 时, sin x 1 x , 故对一切 x 0 ,
2
有 sin x x . 又因为 sin x, x 均是奇函数 , 故
sin x x , x R. 上式中的等号仅在 x 0 时成立.
对于任意正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
x x0
f ( x) A ( x x0 ).
例5 证明 lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 |
时, 使
前页 后页 返回
x1 2 1
1
1
x1 2 2
x1 2 2 2
x1 2
x1
2 2(
x1
2) 2 2(
x1
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0，当
x M时
f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限，记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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例3 求证 lim ex 0. x
证 对于任意正数 (0 1), 取 M ln ,
高三数学函数的极限函数的连续性PPT优秀课件
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在 点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在 点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那 么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
xx0
limCC
xx0
xl im x0 xx0
l i m f ( x ) a l i m f ( x ) l i m f ( x ) a
x x 0
x x 0
x x 0
其趋中近于xl xim 0x0时 f的(x左)极a限表，示当x从左侧
于xxl 0im 时x0的f(右x)极a限表示当x从右侧趋近
变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
22
例2求下列函数的极限：
lim 3x2 1 x (x 1)3
lim x2 1 x2 x2 x2
2020年高考数学复习思维导图(人教版)02——函数
基本不等式实际是对勾函数的特例，可以考虑利用对勾实际应用题考虑解析式有意义且考虑实际问题有意义
解析式表示的斜率、截距、距离等几何意义一般适用含有绝对值的函数
6种基本函数及其加减形式
形如f[g(x)]
确定函数的定义域．
将复合函数分解成基本初等函数y ＝f(u)，u ＝g(x)．分别确定这两个函数的单调区间．如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，对称轴是两个横坐标的中点
对称中心为函数对称两点的中点，可以利用中点坐标
如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有奇偶性的判断利用奇偶性求解析式公
众
么
难。
05-函数极限概念
不妨 0设 x11, 此时
|x2|4,
于x 是 3 1 3 |x 2 |x | 1 | 4 |x 1 |,
x 1
取 m 1 ,i} ,n 则 { 0 |x 当 1 |时 ,有 4
x3 13 .
x1
证毕
在极限定义中：
1) 与 和 x0 有关, 即 = ( , x0). 一般说来, 值越小, 相应的 值也越小.
与从 函 y数 1 {数 xn (列 }x: x(n0,1 n) ) y
y 1 x
x 的图形可以看出:
lim 10, lim 10.
n n
x x
x nn1
O 1 2 3 n x
如何描述它？
回忆数 {xn}列 : xn
1 极限的定义： n
0 ,若 N 0 ,使 n N 时 ,当 有 |xna|
1 1
1+ 1
( ••••• ••••• )
x
0
1
2
0| x1|1
取11
|x2|4
例8
证明 limx313. x 1 x1
证 0, 要 x3 13 ,
x1
只 | x 2 x 1 3 要 | | x 2 x 2 | | x 2 |x | 1 | ,
既包含了 x +, 又包含了 x 的情形.
定理
lf i ( x ) m a li f ( x ) m li f ( x ) m a .
x
x x
由绝对值关系式: | x | X x X 或 x X ( X 0)
及极限的三个定义即可证明该定理.
函数的极限函数的连续性(PPT)5-2
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
（死去的）母亲：先～｜考～。 【彼】代①指示代词。那；那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。②人称代词。对方；他：知己知～｜～退 我进。 【彼岸】’名①〈书〉（江、河、湖、海的）那一边；对岸。②佛教认为有生有死的境界好比此岸，超脱生死的境界（涅槃）好比彼岸。③比喻所向 往的境界：走向幸福的～。 【彼此】代人称； 作文加盟品牌 作文加盟品牌 ；代词。①那个和这个；双方：不分～｜～互助。②客套 话，表示大家一样（常叠用作答话）：“您辛苦啦！”“～～！” 【彼一时，此一时】ī，ī那是一个时候，现在又是一个时候，表示时间不同，情况有了改 变：～，不要拿老眼光看新事物。 【秕】（粃）①秕子：～糠。②形（子实）不饱满：～粒｜～谷子。③〈书〉恶；坏：～政。 【秕谷】名不饱满的稻谷或 谷子。 【秕糠】名秕子和糠，比喻没有价值的东西。 【秕子】?名空的或不饱满的子粒：谷～。 【笔】（筆）①名写字画图的用具：毛～｜铅～｜钢～｜ 粉～｜一支～｜一管～。②（写字、画画、作文的）笔法：伏～｜工～｜败～｜曲～。③用笔写出：代～｜直～｜亲～。④手迹：遗～｜绝～。⑤笔画：～ 顺｜～形。⑥量a）用于款项或跟款项有关的：一～钱｜三～账｜五～生意。）用于字的笔画：“大”字有三～。）用于书画艺术：写一～好字｜他能画几～ 山水画。⑦（）名姓。 【笔触】名书画、文章等的笔法和格调：他用简练而鲜明的～来表现祖国壮丽的河山｜他以锋利的～讽刺了旧社会的丑恶。 【笔答】 动书面回答：～试题。 【笔底生花】比喻所写的文章非常优美。也说笔下生花。参看页〖生花之笔〗。 【笔底下】?ɑ名指写文章的能力：他～不错（会写文 章）｜他～来得快（写文章快）。 【笔调】名文章的格调：～清新｜他用文学～写了许多科普读物。 【笔端】〈书〉名指写作、写字、画画时笔的运用以及 所表现的意境：～奇趣横生｜愤激之情见于～。 【笔伐】动用文字声讨：口诛～。 【笔法】名写字、画画、作文的技巧或特色：他的字，～圆润秀美｜他以 豪放的～，写出了大草原的风光。 【笔锋】名①毛笔的尖端。②书画的笔势；文章的锋芒：～苍劲｜～犀利。 【笔杆儿】名笔杆子??。 【笔杆子】?名①笔 的手拿的部分。②指写文章的能力：耍～｜他嘴皮子、～都比我强。‖也说笔杆儿。③指擅长写文章的人。 【笔耕】动指写作：伏案～｜～不辍。 【笔供】 名受审讯者用笔写出来的供词。 【笔管条直】〈口〉笔直（多指直立着）：这棵树长得～｜大家～地站着等点名。 【笔画】（笔划）名①组成汉字的横 （一）、
函数的极限06146PPT精品文档33页
证:
故
取
当
时 , 必有
因此
函数在某变化过程是否存在极限与函数 在该点是否有定义无关， 因为函数极限是考察函数在某去心邻域内的变化趋势。
北京邮电大学 软件学院 练习 p37 5-(1) 5
例4. 证明: 当
时
证:
欲使
而
可用
m x 0 i,n x 0 ,则当
只要
且
保证 . 故取 时, 必有
因此
问题:
如 何 语 言 刻 画 x 的 过 程 .：
X0>0, x X0
如何用数学语言刻划函数“无限接近”
f(x )A 表f(示 x )A 任;意
北京邮电大学 软件学院
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定义2. 设函数 A 为函数
大于某一正数时有定义, 若 则称常数
时的极限, 记作
几何解释:
北京邮电大学 软件学院
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例8. 证明 lim sin x 0
limf(x)A
x
0,X0,当 xX时, 有
f(x)A
limf(x)A
x
0,X0,当 xX时, 有
f(x)A
几何意义: 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .
例如，f(x)1, g(x) 1
x
1x都有水平渐近线 y0;1y 11 x
又如，f(x ) 1 2 x , g (x ) 1 2 x
11 2x 1x 2x
都有水平渐近线 y 1
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命题：limf(x)A x
limf(x)A
x
limf(x)A
x
例 讨 论lim(arctanx)(11)
x