高考备考数学立体几何与空间向量选择填空专题练习(含答案)

一、选择题

1．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB BC AA ==，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（ ）

A B ．15

C D 2．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）

A ．

)

π１

B ．4π

C ．3π

D ．5π

3．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥?⊥；②11m n m n ⊥?⊥；③1m 与1n 相交m ?与n 相交或重合；④1m 与1n 平行m ?与n 平行或

重合；其中不正确的命题个数是（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（ ）

A ．1

B C D ．

12

5．如图所示，已知四棱锥P ABCD -的高为3，底面ABCD 为正方形，PA =PB PC PD ==且AB 棱锥P ABCD -外接球的半径为（ ）

A ．

32

B ．2

C

D ．3

6．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC = 三棱锥P ABC -

的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12π

B ．16π

C ．20π

D ．24π

7．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是正方形11DCC D 面内(包括边界)的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）

A ．36

B ．24

C ．

D ．

8．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体SABC 各顶点坐标分别()1,1,2S ，()3,3,2A ，()3,3,0B ，()1,3,2C ，则该四面体外接球的表面积是（ ）

A ．16π

B ．12π

C ．

D ．6π

9．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC △是边长为2的等边三角形，

若球O ，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ）

A B C D 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，15AA =，M ，N 分别在线段1AA 和AC 上，2MN =，则三棱锥1D MNC -的体积最小值为（ ）

A ．4

B ．1

C ．2

D ．4

11．如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别是DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中：①DE 与MN 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60?角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．已知边长为ABCD ，3A π=

，沿对角线BD 把ABD △折起，二面角A BD C --的平面角是23

π

，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积是（ ） A ．20π B ．28π

C ．36π

D ．54π

二、填空题

13．已知平面α，β，直线m ，n ，给出下列命题：

①若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ⊥；②若αβ∥，m α∥，n β∥，则m n ∥； ③若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥． 其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．

14．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边

AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成30?角； ②当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成60?角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45?； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60?．

其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)

15．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点．将ADE △沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：

①总有BM ∥平面1A DE ；

②三棱锥1C A DE -； ③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90?． 其中正确的命题是____．（写出所有．．

正确命题的序号）

16．已知平面α截球O 的球面得圆M ，过圆心M 的平面β与α的夹角为6

π

且平面β截球O 的球面得圆N ，已知球O 的半径为5，圆M 的面积为9π，则圆N 的半径为__________．

参考答案 1．【答案】B

【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1A D ，可得11A D B C ∥， ∴异面直线1A B 与1B C 所成的角，即为直线1A B 与直线1A D 所成的角， 即1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，

在长方体1111ABCD A B C D -中，设122AB BC AA ===

，则11A B A D ==

BD =，

在1A BD △

中，由余弦定理得222111111

cos 25A B A D BD DA B A B A D +-∠=

==?，故选B ． 2．【答案】C

【解析】∵圆锥的轴截面是边长为2的正三角形ABC △，

∴圆锥的底面半径1r =，母线长2l =；表面积21

2232

S r r l =π+?π?=π+π=π．故选C ．

3．【答案】D

【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中：

对于说法①：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m ，n 分别为1A C ，1BD ， 满足11m n ⊥，但是不满足m n ⊥，该说法错误；

对于说法②：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为11A D ，1AD ，m ，n 分别为11A C ，1BD ， 满足m n ⊥，但是不满足11m n ⊥，该说法错误；

对于说法③：若取平面α为ABCD ，1m ，1n 分别为AC ，BD ，m ，n 分别为1AC ，1BD ， 满足1m 与1n 相交，但是m 与n 异面，该说法错误；

对于说法④：若取平面α为11ADD A ，1m ，1n 分别为11A D ，AD ，m ，n 分别为11A C ，BC ， 满足1m 与1n 平行，但是m 与n 异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．故选D ． 4．【答案】D 【解析】如图所示：

连接1A D ，1AD 交于点O ，连接1OC ，在正方体中，∵AB ⊥平面1AD ，∴1AB A D ⊥， 又11A D AD ⊥，且1

AD AB A =，∴1A D ⊥平面11AD C B ，∴11A C O ∠即为所求角，

在11Rt A C O △中，111sin 2A C O ∠=，∴11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为1

2

，故选D ． 5．【答案】B

【解析】由已知，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，设外接球半径为R ，

连接AC 、BD 交于点'O ，连接'PO ，外接球的球心O 在高'PO 上，连接OA ，则OA OP R ==，

∵四棱锥P ABCD -的高为3，AB ='3PO =，∴

'O A ==，'3OO R =-，

又∵

'OO A △为直角三角形∴2

2

2

''OA O A OO =+，即()2

2

2

3R R =

+-，解得2R =．故选B ．

6．【答案】A

【解析】由题意，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC = ∵平面ABC ，和平面PBC 都是是直角三角形，则角ABC 为直角，

此时满足BC 垂直于PA ，BC 垂直于AB 进而得到BC 垂直于PB ， 此时满足面PBC 为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC 的中点， 球心在过底面圆心并且和PA 平行的直线上，

并且球心到圆心的距离为1

，直角三角形外接圆的半径为r = ∴221R r =+

，即R ．∴球O 的表面积2412S R =π=π．故选A ． 7．【答案】D 【解析】易知APD

MPC △△，则

2PD AD

PC MC

==，欲使三棱锥P BCD -的体积最大，只需高最大， 通过坐标法得到动点P 运动轨迹(一段圆弧)

，进而判断高的最大值， ∴(

)max 116632P BCD V -??

=????= ???

．故选D ．

8．【答案】B

【解析】由题意计算可得2AB =，2AC =，2SC =

，BC =()0,0,2AB =-，()2,0,0AC =-，()0,2,0CS =-，

∴0

AB CS CS ABC AC CS ????⊥????==平面，故四面体SABC 是底面为等腰直角三角形，侧棱SC 垂直底面的几何体， ∴四面体的外接球就是棱长为2

的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线

∴则该四面体外接球的表面积是2

412π?=π．故选B ．

9．【答案】A

【解析】设ABC △的中心为E ，M 为AB 的中点，过O 作OD PA ⊥，则D 为PA 的中点， ∴CPM ∠是直线PC 与平面PAB 所成角．

∵ABC △是边长为2

的等边三角形，∴23OD AE CM ===，

∵3433

OP π?=

，∴OP =，

∴2PA PD ==

，∴PM ==，

∴tan CM CPM PM ∠==

A ． 10．【答案】A

【解析】如图，面1MNC 就是平面11ACC A ，因此D 点到面1MNC 的距离为定值12

5

， 由题意11ACC A 是正方形，由对称性知当M （或N ）与A 重合时， 1C 到直线MN 的距离最小，最小值为5，

此时112552C MN S =??=△，∴1112

5435

D MNC V -=??=最小．故选A ．

11．【答案】C

【解析】将正四面体的平面展开图复原为正四面体()A B C DEF -、，如图：

对于①，M 、N 分别为EF 、AE 的中点，则MN AF ∥，而DE 与AF 异面， 故DE 与MN 不平行，故①错误；

对于②，BD 与MN 为异面直线，正确（假设BD 与MN 共面，则A 、D 、E 、F 四点共面，与ADEF 为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD 与MN 异面）；

对于③，依题意，GH AD ∥，MN AF ∥，60DAF ∠=?，故GH 与MN 成60?角，故③正确； 对于④，连接GF ，A 点在平面DEF 的射影1A 在GF 上，∴DE ⊥平面AGF ，DE AF ⊥， 而AF MN ∥，∴DE 与MN 垂直，故④正确．

综上所述，正确命题的序号是②③④，故答案为②③④．故选C ． 12．【答案】B

【解析】如图所示，设菱形的对角线交于F ，由菱形的性质可得，

二面角A BD C --的平面角是120AFC ∠=，60AFE ∠=，

∵菱形的边长为

3A π=

，∴3AF =，AE =

，3

2

EF =， 设'OO x =，则∵'2O B =，'1O F =， ∴由勾股定理可得，222R OB OA ==，

即2

2

223

412R x x ???=+=++-? ??????，解得x =2

7R =， ∴四面体的外接球的表面积为2428R π=π，故选B ． 13．【答案】③④．

【解析】对于①，若m α∥，n β∥，m n ⊥，则αβ∥或α，β相交，∴该命题是假命题； 对于②，若αβ∥，m α∥，n β∥，则m ，n 可能平行、相交、异面，∴该命题是假命题； 对于③④可以证明是真命题． 故答案为③④． 14．【答案】②③

【解析】过点B 作1a a ∥，1b b ∥，

当直线AB 与a 成60?角时，由题意，可知AB 在由1a ，1b 确定的平面上的射影为BC ，且BC 与1a 成45?角，又a b ⊥，故AB 与b 所成角也是60?．①错，②正确；

当直线a BC ∥时，AB 与a 所成角最小，故最小角为45?．③正确，④错误．

综上，正确的是②③，错误的是①④．(注：一条斜线与平面所成角的余弦值和其在平面内的射影与平面内一条直线所成角的余弦值的乘积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值) 15．【答案】①②

【解析】取DC 的中点为F ，连结FM ，FB ，可得1MF A D ∥，FB DE ∥，可得平面M BF ∥平面1A DE ， ∴BM ∥平面1A DE ，∴①正确；

当平面1A DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥1C A DE -体积取得最大值， 最大值为1111

223232AD AE EC ???=????=

存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90?．∵DE EC ⊥，∴DE ⊥平面1A EC ， 可得1DE A E ⊥，即AE DE ⊥，矛盾，∴③不正确； 故答案为①②．

16．【解析】

如图，∵9M

S

=π，5OA =，∴3AM =，4OM ==，

∵过圆心M 的平面β与α的夹角为6

π

且平面β截球O 的球面得圆N ， ∴

6NOM π∠=

，cos 6

ON OM π

== ∵5OB =，

∴

BN =