2020年洛阳市伊滨区中考数学三模试卷 (含答案解析)

2020年洛阳市伊滨区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−18的相反数是()A. 18B. −18C. 118D. −1182.截至2014度，我国人口已超过13亿人．数据“13亿”用科学记数可表示为()A. 1.3×108B. 13×108C. 13×109D. 1.3×1093.下面几何体的主视图是()A.B.C.D.4.独山县各学校开展了第二课堂的活动，在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中，若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加，则小斌和小宇选到同一活动的概率是()A. 12B. 13C. 16D. 195.不等式组{2(x+5)≥6,5−2x>1+2x的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.6. 如图，在⊙O 中，∠BOC =50°，则∠CAB 的度数为( )A. 25°B. 50°C. 60°D. 30°7. 直线y =x −1的图象经过象限是( )A. 一、二、三B. 一、二、四C. 二、三、四D. 一、三、四8. 市政府决定对一块面积为2400m 2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm 2，则根据意可列方程为( )A. 2400x +5=2400(1+20%)x B. 2400x =2400(1−20%)x −5 C.2400x−5=2400(1+20%)xD.2400x=2400(1−20%)x+59. 在▱ABCD 中，∠ACB =25°，现将▱ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A重合，点D 落在G 处，则∠GFE 的度数为( )A. 135°B. 120°C. 115°D. 100°10. 我们称顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”.如图，现有一等腰△ABC ，其中AB =AC ，且∠ACB =2∠A ，∠ABC ，∠ACB 的平分线BD ，CE 交于点O ，则图中的“黄金三角形”共有( )A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分） 11. 计算：sin30°−(−3)0=______． 12. 方程组{x −y =13x +y =7的解为______．13.如图，在△ABC中，DE//BC，AD=3，BD=2，则S△ADE：S四边形DBCE=______ ．14.如图，AC是半圆O的弦，点D是AC⏜的中点，将AC⏜沿弦AC所在直线折叠，点D恰好落在点O处．已知⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为________．15.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=√2+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）16.先化简再求值：a2+aa2+2a+1÷(aa−1−3a−1a2−1)，其中a=√3+1．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）17.某校在民族团结宣传活动中，采用了四种宣传形式：A唱歌，B舞蹈，C朗诵，D器乐．全校的每名学生都选择了一种宣传形式参与了活动，小明对同学们选用的宣传形式，进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了如图两种不完整的统计图表：选项方式百分比A唱歌35%B舞蹈aC朗诵25%D器乐30%请结合统计图表，回答下列问题：(1)本次调查的学生共_____人，a=_____，并将条形统计图补充完整；(2)如果该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有多少人？(3)学校采用调查方式让每班在A、B、C、D四种宣传形式中，随机抽取两种进行展示，请用树状图或列表法，求某班抽到的两种形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率．18.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0，求证：方程总有两个实数根．19.如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.7m(参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)．(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为______m(计算结果精确到0.1m)；(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)(x>0)相交于点P(1,3).已知点A(3,0)，B(0,2)，连接20.如图，直线y=k1x(x≥0)与双曲线y=k2xAB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到ΔA′PB′.过点A′作A′C//y轴交双曲线于点C．(1)求k1与k2的值；(2)求直线PC的解析式；(3)直接写出线段AB扫过的面积．21.某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．(1)如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．(2)如图2，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=45°，AC=√6，请直接写出BQ的长．23.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(−2,0)、B(4,0)，交y轴于点C(0,−3)．(1)求抛物线的解析式；(2)动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求点D坐标，并求△BCD面积的最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC=45°，如果存在，直接写出点Q坐标，不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：解：−18的相反数是：18．故选：A．直接利用相反数的定义得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：D解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数⩾10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．13亿=1300000000=1.3×109．故选D．3.答案：A解析：解：由题意可得：几何体的主视图是：．故选：A．直接利用几何体的主视图画法得出得出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握主视图画法是解题关键．4.答案：B解析：解：画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A 、B 、C 表示分别用A 、B 、C 表示)共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3， 所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=39=13． 故选：B ．先画树状图(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A 、B 、C 表示)展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．5.答案：C解析：本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解：令{2(x +5)≥6①5−2x >1+2x②, 解不等式①得：x ≥−2， 解不等式②得：x <1，则不等式组的解集为：−2≤x <1， 在数轴上表示为C 选项， 故选C ．6.答案：A解析：此题主要考查了圆周角定理的知识点，解题关键是掌握圆周角定理．根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．解：∵∠BOC=50°，∴∠CAB=1∠COB=25°．2故选A．7.答案：D解析：本题考查了一次函数的图象和性质．关键是根据图象与y轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．由y=x−1可知直线与y轴交于(0,−1)点，且y随x的增大而增大，可判断直线所经过的象限．解：直线y=x−1与y轴交于(0,−1)点，且k=1>0，y随x的增大而增大，∴直线y=x−1的图象经过第一、三、四象限．故选D．8.答案：C解析：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设计划每天绿化xm2，根据“结果提前5天完成任务”列出方程．解：设计划每天绿化xm2，则实际每天绿化的面积为(1+20%)xm2，则根据意可列方程：2400x −5=2400(1+20%)x ．故选C ． 9.答案：C解析：本题主要考查平行四边形的性质，以及折叠变换.关键是找准折叠后哪些角是对应相等的.首先根据折叠找到对应相等的角∠EAC =∠ECA =25°，∠FEC =∠AEF ，∠DFE =∠GFE ，然后根据三角形内角和可算出∠AEC ，进而可得∠FEC 的度数，再根据平行四边形的性质可得∠DFE =115°，进而可得答案．解：由折叠可得：∠EAC =∠ECA =25°，∠FEC =∠AEF ，∠DFE =∠GFE ，∵∠EAC +∠ECA +∠AEC =180°，∴∠AEC =130°，∴∠FEC =65°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，∴∠DFE +∠FEC =180°，∴∠DFE =115°，∴∠GFE =115°．故选C ．10.答案：C解析：此题考查了学生读题做题的能力以及等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，正确理解“黄金三角形”的定义是解题的关键.由在△ABC 中，AB =AC ，∠ACB =2∠A ，角平分线BD 与CE 相交于点O ，利用等边对等角与角平分线的定义，易求得图中各角的度数，然后利用“黄金三角形”的定义，即可判定△ABC ，△BDC ，△BCE ，△OBE ，△OCD 都是“黄金三角形”．解：∵在△ABC 中，AB =AC ，∠ACB =2∠A ，∴∠ABC =∠ACB =72°，∠A =36°，∵△ABC 的角平分线BD 与CE 相交于点O ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =36°，∠ACE =∠BCE =12∠ACB =36°， ∴∠BEC =∠BDC =180°−36°−72°=72°，∴∠A =∠EBO =∠DBC =∠DCO =36°，∠ABC =∠ACB =∠BEC =∠BDC =72°，∴∠EOB =∠DOC =180°−72°−36°=72°，∴BE =OB =OC =CD ，CE =BC =BD ，∴“黄金三角形”有：△ABC ，△BDC ，△BCE ，△OBE ，△OCD 共5个．故选C ．11.答案：−12解析：解：原式=12−1=−12． 故答案为：−12．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 12.答案：{x =2y =1解析：解：{x −y =1 ①3x +y =7 ②， ①+②得：4x =8，解得：x =2，把x =2代入①得：y =1，则方程组的解为{x =2y =1． 故答案为：{x =2y =1． 方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 13.答案：9：16解析：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据DE//BC ，得到△ADE∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到S △ADE S △ABC =(AD AB )2=925，即可得到结论． 解：∵AD =3，BD =2，∴AB =5，∵DE//BC ，∴△ADE∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC =(AD AB )2=925， ∴S △ADE ：S 四边形DBCE =9：16．故答案为9：16．14.答案：解析： 本题考查了圆中的折叠问题，运用轴对称的性质以及扇形的面积公式即可计算，做出适当的辅助线是解题的关键．由折叠的性质知阴影面积与扇形OBC 面积相等，求出∠COB =60°可得答案．解：连接DO ，CO ．由折叠可知：DM =OM =12OD ，DO ⊥AC ，弓形AO 面积与弓形CO 面积相等，∴阴影面积与扇形OBC面积相等，∵AO=DO，∴OM=12OA，∴∠OAC=30 ∘，∴∠BOC=60 ∘，．故答案为．15.答案：12√2+12或1解析：本题考查了翻折变换−折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=√2MB′，列方程即可得到结论．解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM=12BC=12√2+12；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=√2MB′，∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，∴BM=B′M，∴CM=√2BM，∵BC=√2+1，∴CM+BM=√2BM+BM=√2+1，∴BM=1，综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为12√2+12或1，故答案为：12√2+12或1．16.答案：解：原式=a(a+1)(a+1)2÷[a2+a(a+1)(a−1)−3a−1(a+1)(a−1)]=aa+1÷(a−1)2(a+1)(a−1)=aa+1⋅a+1a−1=aa−1，当a=√3+1时，原式=√3+1√3=3+√33．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．17.答案：解：(1)300；10%；B的人数：300×10%=30(人)，补全条形图如图：(2)2000×35%=700(人)，答：估计该校喜欢“唱歌”这种宣传形式的学生约有700人；(3)列表如下：由表格可知，在A、B、C、D四种宣传形式中，随机抽取两种进行展示共有12种等可能结果，其中恰好是“唱歌”和“舞蹈”的有2种，∴某班抽到的两种形式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率为212=16．解析：本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体和条形统计图．(1)根据“唱歌”的人数及其百分比可得总人数，根据各项目的百分比之和为1可得a的值即可解答；(2)用样本中“唱歌”的百分比乘以总人数可得答案；(3)通过列表或画树状图列出所有可能结果，再找到使该事件发生的结果数，根据概率公式计算即可．解：(1)∵A类人数105，占35%，∴本次调查的学生共：105÷35%=300(人)；a=1−35%−25%−30%=10%；故答案为(1)300；10%；条形统计图见答案；(2)、(3)见答案．18.答案：证明：∵Δ=[−(k+3)]2−4(2k+2)=k2−2k+1=(k−1)2≥0，∴方程总有两个实数根．解析：本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”.根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ=(k−1)2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；19.答案：解：(1)11.4；(2)过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，在Rt△ADE中，∵AD=20m，∠DAE=64°，EH=1.7m，∴DE=sin64°×AD≈20×0.9≈18(m)，即DH=DE+EH=18+1.7=19.7(m)，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.7m．解析：解：(1)在Rt△ABC中，∵∠BAC=64°，AC=5m，≈5÷0.44≈11.4(m)；∴AB=ACcos64∘故答案为：11.4；(2)见答案．(1)根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；(2)过点D 作DH ⊥地面于H ，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．20.答案：解：(1)将点P(1,3)代入直线y =k 1x 得，k 1=3，将P(1,3)代入双曲线y =k 2x 得，k 2=1×3=3； (2)∵A(3,0)，B(0,2)，∴AO =3，BO =2，由平移知，A′(4,3)，B′(1,5)，∵A′C//y 轴交双曲线于点C ，∴C 点的横坐标为1+3=4，当x =4时，y =34，∴C(4,34)，设直线PC 的解析式为y =kx +b ，把点P(1,3)，C(4,34)代入得，{k +b =34k +b =34， ∴{k =−34b =154； ∴求直线PC 的解析式为y =−34x +154(3)如图，延长A′C 交x 轴于D ，过点B′作B′E ⊥y 轴于E ，∴A′D =3，B′E =1，由平移得，△AOB≌△A′PB′，∴线段AB 扫过的面积为S ▱POBB ′+S ▱AOPA ′=BO ×B′E +AO ×A′D =2×1+3×3=11．解析：此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，几何图形的面积的求法，求出点C 的坐标是解本题的关键．(1)利用待定系数法即可得出结论；(2)利用平移求出点C 坐标，最后利用待定系数法即可得出结论；(3)利用面积之和即可得出结论．21.答案：解：(1)设一根A 型跳绳售价是x 元，一根B 型跳绳的售价是y 元，根据题意，得：{2x +y =56x +2y =82， 解得：{x =10y =36， 答：一根A 型跳绳售价是10元，一根B 型跳绳的售价是36元；(2)设购进A 型跳绳m 根，总费用为W 元，根据题意，得：W =10m +36(50−m)=−26m +1800，∵−26<0，∴W 随m 的增大而减小，又∵m ≤3(50−m)，解得：m ≤37.5，而m 为正整数，∴当m =37时，W 最小=−26×37+1800=838，此时50−37=13，答：当购买A 型跳绳37只，B 型跳绳13只时，最省钱．解析：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．(1)设一根A 型跳绳售价是x 元，一根B 型跳绳的售价是y 元，根据：“2根A 型跳绳和1根B 型跳绳共需56元，1根A 型跳绳和2根B 型跳绳共需82元”列方程组求解即可；(2)首先根据“A 型跳绳的数量不多于B 型跳绳数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A 型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．22.答案：解：(1)CP =BQ ，理由：如图1，连接OQ ，由旋转知，PQ =OP ，∠OPQ =60°⊅∴△POQ 是等边三角形，∴OP =OQ ，∠POQ =60°，在Rt △ABC 中，O 是AB 中点，∴OC =OA =OB ，∴∠BOC =2∠A =60°=∠POQ ，∴∠COP =∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，{OC =OB∠COP =∠BOQ OP =OQ，∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP =BQ ，(2)CP =BQ ，理由：如图2，连接OQ ，由旋转知，PQ =OP ，∠OPQ =60°⊅∴△POQ 是等边三角形，∴OP =OQ ，∠POQ =60°，在Rt △ABC 中，O 是AB 中点，∴OC =OA =OB ，∴∠BOC =2∠A =60°=∠POQ ，∴∠COP =∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，{OC =OB∠COP =∠BOQ OP =OQ，∴△COP≌△BOQ(SAS)，∴CP =BQ ，(3)如图3，在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=√6，∴BC=AC⋅tan∠A=√2，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB=90°=∠BCA，∴OH//AB，∵O是AB中点，∴CH=12BC=√22，OH=12AC=√62，∵∠BPQ=45°，∠OHP=90°，∴∠BPQ=∠PQH，∴PH=OH=√62，∴CP=PH−CH=√62−√22=√6−√22，连接BQ，同(1)的方法得，BQ=CP=√6−√22．解析：(1)先判断出△POQ是等边三角形，进而判断出∠COP=∠BOQ，进而判断出△COP≌△BOQ，即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)先求出BC，进而利用三角形中位线求出CH，OH，再利用等腰直角三角形的性质得出PH，同(1)的方法得出BQ=CP，即可得出结论．此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．23.答案：解：(1)抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−4)=a(x2−2x−8)，故−8a=−3，解得：a=38，故抛物线的表达式为：y=38x2−34x−3；(2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y=34x−3，过点D 作y 轴的平行线交CB 于点H ，设点H(x,34x −3)，则点D(x,38x 2−34x −3)，S △BCD =12HD ×OB =12×4×(34x −3−38x 2+34x +3)=−34x 2+3x ， 当x =2时，S 最大值为3，此时，点D(2,−3)；(3)①当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，设对称轴交BC 于点G ，直线BC 的表达式为：y =34x −3，抛物线的对称轴为：x =1，故点G(1,−94)，则BG =154， 则tan∠OCB =43=tanα=tan∠QGB ，∠QBC =45°，设：QH =4x =BH ，GH =3x ，则QG =5x ，GB =GH +BH =3x +4x =154，解得：x =1528， GQ =5x =7528，QM =QG −MG =7528−94=37，故点Q(1,37)；②当点Q在x轴下方时，同理可得：点Q(1,−21)；综上Q的坐标为：(1,−21)或(1,37).解析：本题考查的是二次函数综合运用，涉及解直角三角形、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．(1)抛物线的表达式为：y=a(x+2)(x−4)=a(x2−2x−8)，故−8a=−3，即可求解；(2)△BCD面积S=12HD×OB=12×4×(34x−3−38x2+34x+3)=−34x2+3x，即可求解；(3)分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解即可．。