数列的概念与性质人教版高中数学
人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .
新人教版高中数学选择性必修第二册第四章数列的概念及通项公式
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 5.了解数列是一种特殊函数.
导语
同学们，生活中我们经常有这样的经历，比如，你在某地摊上相中 了一件商品，你问老板：怎么卖的？老板说：100元一个，你说：20 卖不卖？只见老板气的脸都绿了，但也忍着说：不卖，最低90；你 说：老板，你看我一个学生，也没多少钱，30吧；老板说：赔钱反 正不能卖，你如果想要，最低80，不能再少了；你说：薄利多销啊 老板，40怎么样，不卖走了；…同学们，在你们的讨价还价中，按 照你们所说的数字的先后顺序产生了一组非常有意思的数： 100,20,90,30,80,40…这就是我们今天要研究的数列.
3.
分类标准 名称
含义
按项的 有穷数列
项数有限的数列
个数 无穷数列
项数无限的数列
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
按项的 变化 趋势
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
周期数列
项呈现周期性变化
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项 摆动数列
小于它的前一项
解 (5)是有穷数列； (1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列； (2)是递增数列； (1)(4)(5)是递减数列； (3)是常数列； (6)是摆动数列.
反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断. (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项， 不能有例外.
知识梳理
1ห้องสมุดไป่ตู้一般地，我们把按照 确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的 每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的 第 1 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 2 项， 用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用 an表示.其 中第1项也叫做首项. 2. 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an} .
高中数学-数列
数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。
高三人教版必修五数学第二章知识点：数列的概念与简单表示法
高三人教版必修五数学第二章知识点：数列的概念与简单表示法伟大的数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。
小编准备了高三人教版必修五数学第二章知识点，希望你喜欢。
1. 数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1) 从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1, 2, 3, 4, 5与数列5, 4, 3, 2, 1是不同的数列.(2) 在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幕，2次幕，3次幕，4次幕，…构成数列：-1 , 1, -1 , 1,….(4) 数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5) 次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2, 3, 4, 5, 6这5 个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3, 4，5, 6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2. 数列的分类(1) 根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1, 3, 5, 7, 9,…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1, 3, 5, 7, 9,…或1, 3, 5, 7, 9,…，2n-1 ,…，它就表示无穷数列.(2) 按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列3. 数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1, 2, 3, 4,…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：⑴数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集｛1 , 2,…，n｝为定义域的函数的表达式.⑵如果知道了数列的通项公式，那么依次用1, 2, 3,…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项. (3) 如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1,0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.000 1，… 所构成的数列1, 1.4 , 1.41 ,1.414, 1.414 2,…就没有通项公式. (4) 有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5) 有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4. 数列的图象对于数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项：4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*（或它的有限子集｛1 , 2, 3,…，n｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5. 递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1高三人教版必修五数学第二章知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
人教版高中数学选择性必修第二册4.1.1数列的概念与简单表示【课件】
答: (1) = ， = ，… ， =
（2） 中的 i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即 = 是
排在第1位的数， …… = 是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
所以，① 是具有确定顺序的一列数.
例如 ：数列-1，1，-1，1，-1，1，…
⑤递推公式法（下一节学习）
合作探究
数列的分类
分类
标准
按项
名称
含数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
集合中的元素可以是数字，也可以
是其他形式
数列中的数是有顺序的。如1，2，3
与2，3，1表示不同的数列
集合中的元素具有无序性，
如{1，2，3}={2，3，1}
同一个数在一个数列中可以重复出
集合中的元素具有互异性，
现，如1，1，1，…
如1，1，1，…组成的集合只能写为{1}
新知讲解
数列与函数
由于数列{ }中的每一项 和它的序号n有下面的对应关系：
数列{ }是从正整数集∗ （或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R的函数
其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第n项 ，记为 = ()
另一方面，对于函数 y=f(x) , 如果 f(n) ( ∈ ∗ ) 有意义，
那么
1 ， 2 ， … ， ， …
构成了一个数列 { f(n) }
（3）各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），常用符号 表示， 第2
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--4.1 数列的概念 第1课时 数列的概念与表示
由 =
π
π
sin cos
4
4
=
1
π
sin ，得 1
2
2
=
1
, 2
2
= 0, 3 =
1
3π
sin
2
2
=
1
− , 4
2
=
1
2
0, 5 = 1 = , … , 所以数列 { } 的项具有周期性,且 1 + 2 + 3 + 4 = 0,
所以 1 + 2 + 3 + ⋯ . +2021 = 1 + 2020 + 2021 = 505(1 + 2 + 3 +
9
解题感悟
归纳数列通项公式的方法技巧
1.要由数列的前几项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中项的构
成规律,看哪些部分不随序号的变化而变化,哪些部分随序号的变化而变化,
确定变化部分随序号变化的规律,继而表示出 .
2.常见数列的通项公式：
数列
-1,2,-3,4,…
1,3,5,7,…
通项公式
续表
1,2,4,8,…
1,4,9,16,…
9,99,999,9999,…
类型2 周期数列及其应用
例2
（1） （多选）已知数列 { }, = sin
A. 1 =
1
2
B. 2 = 1
C. 2020 = 0
因为 = sin
D. +4 =
π
π
cos
4
4
1
2
1
2
π
, 所以 1
π
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第一课时 数列的概念与简单表示法》课件
()
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．
()
(3)数列的项可以相等．
()
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．所有正奇数的立方按从小到大的顺序组成数列，其前3项为______．
答案：1,27,125
知识点二 数列的分类与通项公式
[对点练清]
[多选]下面四个结论中正确的是
()
A．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集
{1,2,3，…，n})上的函数
B．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列的通项公式是唯一的 解析：数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C错；数列的通
项公式可能不唯一，比如数列1,0，－1，0,1,0，－1,0，…的通项公
(1)从图(2)开始观察每个图案从上往下的小正方形个数有什么规律？ 提示：按照1,3,5,7，…，1的顺序分布． (2)按照此图规律，f(6)为多少？ 提示：f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
题型一 数列的概念及分类 [学透用活]
(1) 数 列 的定 义 中 要 把 握 两 个 关 键 词 ： “ 一 定 顺 序 ” 与 “ 一 列 数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“一定顺序” 排列着的，即确定的数在确定的位置上．
(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列 中的某一个确定的数，它是一个函数值，即 an＝f(n)；而项数是指这个 数列共有多少项．
高中数学中的数列与数列的性质
高中数学中的数列与数列的性质一、数列的定义与性质数列作为高中数学中的一个重要概念，广泛应用于各类数学问题中。
数列是由按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
在高中数学中，数列的性质被广泛讨论和应用。
本文将从数列的定义、常见数列和数列的性质等方面展开分析。
1.1 数列的定义数列可以看作是有序数的集合，按照一定的规律排列。
通常用字母表示数列，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁, a₂, a₃, ...表示数列的第一项、第二项、第三项等。
根据数列的性质和规律，可以分类数列。
常见的数列包括等差数列、等比数列、等差中项数列等。
不同的数列又具有不同的特点和性质。
1.2 等差数列等差数列是最常见的一种数列。
等差数列中，任意两项之间的差值都是相等的，这个差值叫做公差。
用字母d表示公差，则等差数列可以表示为aₙ=a₁+(n-1)d。
其中，a₁表示首项，n表示项数。
等差数列的性质包括：（1）任意两项之间的差值都是相等的，即aₙ-aₙ=d(n-k)，其中k是任意项的位置。
（2）等差数列的项数n越大，其和也越大。
等差数列求和的公式为Sn=n(a₁+aₙ)/2。
1.3 等比数列等比数列是一种特殊的数列。
等比数列中，任意两项之间的比值都是相等的，这个比值叫做公比。
用字母q表示公比，则等比数列可以表示为aₙ=a₁q^(n-1)。
其中，a₁表示首项，n表示项数。
等比数列的性质包括：（1）任意两项之间的比值都是相等的，即aₙ/aₙ=q^(n-k)，其中k是任意项的位置。
（2）等比数列的项数n越大，其和也越大。
等比数列求和的公式为Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)，其中q≠1。
二、数列的应用2.1 数列的运算数列的运算是指对数列进行基本的加减乘除操作。
数列的加法和减法运算可以通过对应项相加或相减得到。
数列的乘法运算包括数列与常数的乘法和两个数列的乘法。
数列与常数的乘法是将数列的每一项与常数相乘得到新的数列。
两个数列的乘法是将两个数列的对应项相乘得到新的数列。
人教版高中数学选择性必修2第四章《数列》PPT课件
三、等差、等比数列的性质及应用
1.等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的 性质，利用性质求数列中某一项等.试题充分体现“小”“巧”“活” 的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档. 2.借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心 素养.
例3 (1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn
2 由SS奇偶＋∶SS偶奇＝＝6114∶0，9， 解得 S 奇＝288，S 偶＝352.
因此 d＝S偶－8 S奇＝684＝8，aa98＝SS偶奇＝191.
(2)在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前 13项和为
A.13
√B.26
C.52
D.156
解析 3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24， ∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，
(2)求 f 12，并说明 f 12<2.
解 由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，
所以 f 12＝12＋2×212＋3×213＋…＋n×21n，
①
1 2
f
12＝212＋2×213＋3×214＋…＋(n－1)21n＋n×2n1＋1，
②
由①－②得12 f 12＝12＋212＋…＋21n－n×2n1＋1＝1－21n－2nn＋1，
与奇数项和之比为 11∶9，则公差 d，aa98的值分别是
A.8，190
B.9，190
C.9，191
√D.8，191
解析 设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16， 则有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，
高中数学中的数列及其性质
数列（Sequence）是一系列按照一定顺序排列的数字，这些数字可以互相递推、相加或者相乘，也被称为数序、数列或级数。
在高中数学中，数列是一种常见的数学模型，被广泛应用于各个方面，包括代数、几何、概率统计等。
数列的性质包括：1. 等差数列：如果一个数列中每一项与前一项的差都相等，那么这个数列被称为等差数列。
例如，1, 3, 5, 7, 9, 11 等就是等差数列。
2. 等比数列：如果一个数列中每一项与前一项的比都相等，那么这个数列被称为等比数列。
例如，1/2, 2/3, 3/4, 4/5 等就是等比数列。
3. 等和数列：如果一个数列中每一项与其后一项的和都相等，那么这个数列被称为等和数列。
例如，1, 1, 2, 2, 3, 3 等就是等和数列。
4. 周期数列：如果一个数列中每一项都按照一定的周期重复出现，那么这个数列被称为周期数列。
例如，1, 3, 5, 7, 9 等就是周期数列。
5. 递增数列：如果一个数列中每一项都比前一项大，那么这个数列被称为递增数列。
例如，1, 2, 3, 4 等就是递增数列。
6. 递减数列：如果一个数列中每一项都比前一项小，那么这个数列被称为递减数列。
例如，4, 3, 2, 1 等就是递减数列。
7. 等比级数：如果一个数列中每一项与前一项的比都为常数，那么这个数列被称为等比级数。
例如，1/2, 1/4, 1/8, 1/16 等就是等比级数。
8. 等差级数：如果一个数列中每一项与前一项的差都为常数，那么这个数列被称为等差级数。
例如，1, 3, 5, 7, 9 等就是等差级数。
9. 无穷级数：如果一个数列中的项无穷无尽，无法穷尽列举，那么这个数列被称为无穷级数。
例如，自然数的序列（0, 1, 2, 3, ...）就是一个无穷级数。
在高中数学中，我们可以通过观察和分析这些性质来理解数列的规律和特点，从而更好地解决相关问题。
高中数学人教版数列与函数课件
高中数学人教版数列与函数课件一、数列和数列的概念数列是指由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列的每一项又被称为数列的项。
数列常常用数学符号进行表示，例如：a1, a2, a3, …, an。
其中的ai表示数列的第i项。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与它前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式一般为：an = a1 + (n-1) * d。
其中an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式一般为：an = a1 * r^(n-1)。
其中an表示等比数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、函数和函数的概念函数是指从一个集合到另一个集合的映射关系，其中输入的集合称为定义域，输出的集合称为值域。
函数可以表示为y = f(x)的形式，其中x为自变量，y为因变量。
函数常常用函数图像、函数表格和函数公式进行表示。
函数可以分为线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等多种类型。
1. 线性函数线性函数是指函数图像为一条直线的函数。
线性函数的一般形式为y = kx + b。
其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数二次函数是指函数图像为一条开口向上或向下的抛物线的函数。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a≠0。
3. 指数函数指数函数是指函数表达式中含有自变量的指数的函数。
指数函数的一般形式为y = a^x。
其中a为常数，且a>0且a≠1。
4. 对数函数对数函数是指函数表达式中含有自变量的对数的函数。
常用的对数函数有自然对数函数、常用对数函数等。
5. 三角函数三角函数是指函数表达式中含有自变量的三角函数的函数。
常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三、数列和函数的关系数列可以看作是函数的一种特殊形式，即自然数到实数的映射。
高中数学选择性必修二(人教版)《4.1 数列的概念 第二课时 数列的通项公式与递推公式》课件
题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项 公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值， 且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋ －11， ， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳一、数列的概念与性质1.数列的定义：数列是一组按照一定规律排列的实数，通常用{a1, a2,a3,...}表示。
2.数列的分类：根据项的性质，数列可分为整数数列、有理数数列、实数数列等；根据项之间的关系，数列可分为等差数列、等比数列、几何数列等。
3.数列的性质：数列具有交换性、结合律、分配律等基本运算性质。
二、等差数列1.等差数列的定义与性质：等差数列是相邻两项之差为一个常数的数列。
2.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
3.等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an) = n/2 * [2a1 + (n-1)d]。
4.等差数列的求和公式应用：求解等差数列前n项和的最值、求解等差数列中的未知量等问题。
三、等比数列1.等比数列的定义与性质：等比数列是相邻两项之比为一个常数的数列。
2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
3.等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
4.等比数列的求和公式应用：求解等比数列前n项和的最值、求解等比数列中的未知量等问题。
四、其他数列1.几何数列：几何数列是相邻两项之比为一个常数的数列，通项公式为an = a1 * r^(n-1)。
2.调和数列：调和数列是相邻两项之比为根号下n的数列，通项公式为an = a1 * (n^(1/2))^(n-1)。
3.Fibonacci数列：Fibonacci数列是满足递推关系F(n) = F(n-1) + F(n-2)的数列，具有递归关系。
五、数列的递推关系与迭代1.递推关系的定义与性质：递推关系是利用数列的前几项求解后续项的关系。
2.迭代的方法与应用：迭代是求解递推关系的一种方法，可用于求解数列中的未知量、求解数列的极限等。
六、数列的极限与连续1.数列极限的定义与性质：数列极限是数列趋于某个值的过程，具有唯一性、无穷小性等性质。
人教版高中数学选择性必修2《数列的概念》PPT课件
间不能交换位置.
所以，①是具有确定顺序的一列数.
2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列
依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，
∗
（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集 或它的有限子集{1，2， … ，}为
定义域的函数的解析式.
（2）利用一个数列的通项公式能解决以下问题：
①求出该数列的各项；
②判断某个数是否为该数列中的项；
③判断该数列的增减性；
④求该数列的最大项和最小项等.
（3）同“所有函数不一定都有解析式”类似，并不是所有数列都有通项公式，如
1
2
反映了− 的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……的顺序排列时的确定位置，
1
1
1
即1＝ − 2是排在第1位的数，2＝ 4是排在第2位的数，3＝ − 8是排在第3位的
数，…，它们之间不能交换位置. 所以③是具有确定顺序的一列数.
归纳： 上述例子的共同特征是什么？
新知讲解
一、数列的定义
+1 − ＝0 ⇔ { }为常数列.
四、数列的通项公式
如果数列{ }的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的通项公式.
例如，数列③的通项公式为＝
1
− 2 .显然，通项公式就是数列的函数解析式，根
据通项公式可以写出数列的各项.
对通项公式的五点说明：
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
1
人教版高中数学选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式【课件】
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ？
2 数列的表示有 ？
3 数列的通项公式是？
提示：
1
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案： （1）-17
（2）2
（3）2020
课堂练习
2（由递推公式求数列的项）
（多选题）已知数列{ }满足 =
−
，+ =
−
, 则下列各数是{ }的
项的有（ BD）
A．-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析： 根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.
解： 因为数列{ }满足 = − ，
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项；
(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
（若存在一个正整数t，使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ }）为周期数列，其周期为t）
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题：
1 什么叫数列的递推公式？
2 由数列的递推公式能否求出数列的项？
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项？
高中数学《数列》知识点归纳
高中数学《数列》知识点归纳
一、数列的概念
1. 数列的定义与表示
2. 数列的分类：等差数列、等比数列、等差几何数列、斐波那契数列、调和数列等
3. 数列的通项公式、前n项和公式及其应用
五、斐波那契数列
1. 斐波那契数列的定义和性质
2. 斐波那契数列的通项公式及其应用
3. 斐波那契数列的递推公式及其推导方法
4. 斐波那契数列的特殊应用：黄金分割
六、调和数列
1. 调和数列的定义和特征：调和平均数、算术平均数、宾汉姆不等式
2. 调和数列的通项公式及应用
3. 调和数列和几何平均数的关系
4. 调和数列的应用：调和平均数与平均速度等
七、数列极限
1. 数列的极限及其定义
2. 数列极限的性质：唯一性、有界性、保号性、代数运算性等
3. 数列极限的判定法：夹逼定理、单调有界原理等
4. 数列极限的应用：数学归纳法、发散数列的研究等
八、数列的应用领域
1. 数列在经济方面的应用：摆脱“复利”套路等
2. 数列在自然科学中的应用：波动方程、元素周期表等
3. 数列在计算机科学中的应用：搜索算法、排序算法等
4. 数列在生命科学和社会实践中的应用：基因序列分析、大学分配问题等。
高中数学：《数列》知识要点梳理
《数列》知识梳理一、数列及其有关概念1．数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，．注意：数列与数集是两个不同的概念，数集中的元素具有无序性和互异性，而数列中的数是按一定顺序排列的，并且可以重复．2．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．注意：（1）有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；（2）将12n =，，代入通项公式，可以求出这个数列的每一项．3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集*N （或它的有限子集{12}n ，，，）．这也决定了数列的图象是一群孤立的点，这些点可以有有限多个，也可以有无限多个．4．数列的分类（1）按数列的项数，可以将数列分为有穷数列和无穷数列．（2）按数列的项与项之间的大小关系，可以分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差列的公差，通常用d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则它的通项公式为1(1)n a a n d =+-．由此可知，已知等差数列的首项和公差，就可以求出这个数列的任何一项，这个等差数列也就完全被确定了．通常称首项和公差是等差数列的两个基本量．3．等差数列与函数的关系（1）等差数列的通项公式与函数的关系由等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-可知：当0d ≠时，n a 可以看成是关于n 的一次函数；当0d =时，1n a a =，可知n a 是常数函数． 不论d 是否为0n a ，的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点．（2）等差数列的前n 项和公式与函数的关系由等差数列的前n 项和公式2111(1)222n d d S na n n d n a n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭可知： 当0d ≠时，n S 可以看成是关于n 的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过原点）；当0d =时，1n n S a n S =，可以看成是关于n 的一次函数（当10a ≠时），或为常数函数（当10a =时）．注意：解有关等数列的题时，要注意引用函数的性质．4．等差数列的充要条件数列{}n a 是等差数列1n n a a d +⇔-=（d 为常数，n *∈N ）n a pn q ⇔=+（p q ，为常数，n *∈N ）2122()n n n n a a a n S An Bn *++⇔=+∈⇔=+N （A B ，为常数n *∈N ，）． 5．等差数列的常用性质已知{}n a 是等差数列，公差为d ，则：（1）()n m n m a a a a n m d d n m --=-=-，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈Ν，，，，则m n p q a a a a +=+；（3）下标成等差数列的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等差数列，公差为md ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，仍为等差数列；（5）数列{}n a b λ+（b λ，为常数）仍为等差数列，公差为d λ．三、等比数列1．等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示．需要特别注意的是，等比数列的每一项及公比都不为0．2．等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式为11n n a a q -=．由此可知，已知等比数列的首项和公比，就可以求出这个数列的任何一项，这个等比数列也就是完全被确定了．通常称首项和公比是等比数列的两个基本量．3．等比数列的充要条件数列{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为常数，n *∈N ）212n n n a a a ++⇔=，且0()n a n *≠∈N ．4．等比数列的常用性质已知{}n a 是等比数列，公比为q ，则：（1）n m n m n n m ma a a q q a --==，； （2）若()m n p q m n p q *+=+∈N ，，，，则m n p q a a a a =；（3）下标成等差数理的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等比数列，公比为m q ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，（当各项均不为0时）为等比数列．四、几种重要的题型1．“知三求二”型在等差数列{}n a 中，若已知1n n a d a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，可以求出其余的两个量．同样地，在等比数列{}n a 中，若已知1n n a q a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，也可以求出其余的两个量．这所用的其实就是方程思想．2．求数列的通项公式（1）给出数列的前几项，写出该数列的一个通项公式解这个类题主要从以下几个方面考虑：①负号用(1)n -或1(1)n +-来调节．②公式形式的数列，分子、分母要分别找通项，要充分借助分子、分母的关系． ③对于比较复杂的数列，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．④有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从给出的前面若干项，逐次求出它的差数列（后项减去它的前项所得之差构成的数列），最后得到一个等差或等比数列，则由此倒推回去，就能找到原数列的通项公式，这种方法称为逐差法．此类问题虽无固定模式，但也有章可循，主要靠观察（观察规律）、比较（与已知数列比较）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法．例1 求1361015，，，，，的一个通项公式． 解：设此数列为{}n a ，其差数列为{}n b ，则{}n b 为：2345，，，，…，即1n b n =+．又1n n n b a a +=-，所以11n n a a n +-=+．令n 取1231n -，，，…，，得1n -不等式，将它们相加，得1(1)(2)2342n n n a a n -+-=++++=， 而11a =，所以(1)(2)(1)122n n n n n a -++=+=． （2）已知n S ，求n a这类问题主要是利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩， ，≥求通项公式．特别需注意的是，最后应验证分段表示的公式是否能合并，即验证2n ≥时的公式对1n =是否适用．（3）已知n S 和n a 的关系式求通项公式这类问题一般需要由已知关系式，将n 变为1n -或1n +再写出一个类似的关系式，将两个关系式的两边分别相减，从而将关系式中的和（如n S ）转化为项．例2 已知数列{}n a 中，12a =，且1()n n a S n *+=∈N ，求n a ．解：当2n ≥时，由1n n a S +=，得1n n a S -=，将两式相减，得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=．又2112a S a ===．1212 2.n n n a n -=⎧∴=⎨⎩ ， ≥。
数列的概念与性质人教版高中数学
第01讲一数列的概念与性质知识图谱-数列的概念与表示-数列的通项公式-数列的单调性与最值-数列的前n项和数列的概念求数列中的项判断某项是否在数列中观察法求数列通项公式由各项间关系写出数列通项公式判断数列的单调性与最值通项形如二次函数的数列的单调性已知数列求数列的前n园口已知前n项和求通项公式第01讲曳列的概念与性质错题回顾数列的概念与表示知识脚一.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作2,在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为"的项叫第“项（也叫通项）记作久；数列的一般形式：％,外，％,……，％,……简记作切」.二.通项公式的定义如果数列故）的第M项与X之间的关系可以用一个公式4=/（社）（心*・）表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.数列的表示方法三.1.列表法数列可以由列表法表示：项数?':123456项°，：456789上面每一个项数与这一项的对应关系可看成是一个项数集合到另一个数集的映射.从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集艾（或它的有限子集）的函数六响当自变量”从1开始依次取值时对应的一系列函数值，①”⑵顶叫通常用％来代"问.2.图像法数列可以用图像法表示，其图象是相应函数直线（或曲线）上的一群孤立的点；上面数列可以用列表法表示如下图，久119•8•7•6•5.4•123 4567893.解析法解析法可分为通项公式和递推公式两种：通项公式即为数列的解析式4=/（门），在函数意义下，数列是某一定义域为正整数V（或它的有限子集｛1,2,3,・・，，刀｝）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点•由通项公式可以得到数列的任意一项.递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，由递推公式和数列某一项的值，可以依次推出数列任意一项.有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推，求出它的前儿项，进而归纳出它的通项公式.数列分类四.1.按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；2.按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）和常数列；3.按其他标准分类：有界数列：存在正数・"，使摆动数列：匕的符号正负相间，如…周期数列：存在一个最小正数N,使得对于ne V, 4=J,・，N为这个数列的最小正周期，即多.：=与，与一.3=丹，・・・，冬*.]=电..1=冬・・’三点剖析一.注意事项1.｛町与久是不同的概念：&｝表示数列队气队…,4表示这个数列中的第〃项，3=刃汨表示数列的通项公式.2.数列的项与它的项数是不同的概念：项数是指这个数在数列中的位置，它是自变量的值；数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值：而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.3.儿个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列，数列与数的集合显然有本质的区别.次存对于数列来说是至关重要的，这就是数列的有序性.4.已知数列的通项公式，或已知数列的某一项和递推关系，则此数列中的每一项都被唯一-确定了.二.方法点拨判断具体数所是否是数列何」中的项，即用m代替①，解出七若庭则成即为何｝中的第"项,若解出的心则也不是｛叫中的项.题瞄井题模一数列的概念例L1、数列在平面直角坐标系中的图像是（A、一群孤立的点C、一条直线例1.2、下列说法不正确的是（）A、数列可以用图形来表示C、数列的项不能相等例1.3、B、一条线段D、一条线段或一条孤立弧B、数列的通项公式不唯一D、数列可以用一群孤立的点表示下列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？ill1-哪些是常数列？（1）23>（2）12孔..2气（3）0,W.20.....1（>00;（4）6,、题桓二求数列中的项例2.1、在数列1,1,2,3,5.8,k,21,34,55中,x等于)A、11B、12C、13D、14例2.2、数列｛%｝的通项公式为4=「（〃任N*）,则q=例23、,.纯=1,「=---（n22,乃e N.）数列I财满足3'%，则％。
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知识图谱-数列的概念与表示-数列的通项公式-数列的单调性与最值-数列的前n项和数列的概念求数列中的项判断某项是否在数列中观察法求数列通项公式由各项间关系写出数列通项公式判断数列的单调性与最值通项形如二次函数的数列的单调性已知数列求数列的前n项和已知前n项和求通项公式第01讲_数列的概念与性质错题回顾数列的概念与表示知识精讲一. 数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，，，……，，……简记作.二. 通项公式的定义如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.三. 数列的表示方法1.列表法数列可以由列表法表示：项数：123456项：456789上面每一个项数与这一项的对应关系可看成是一个项数集合到另一个数集的映射.从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值通常用来代替.2.图像法数列可以用图像法表示，其图象是相应函数直线（或曲线）上的一群孤立的点；上面数列可以用列表法表示如下图，3. 解析法解析法可分为通项公式和递推公式两种：通项公式即为数列的解析式，在函数意义下，数列是某一定义域为正整数（或它的有限子集）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点.由通项公式可以得到数列的任意一项.递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，由递推公式和数列某一项的值，可以依次推出数列任意一项.有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式.四. 数列分类1. 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；2. 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）和常数列；3. 按其他标准分类：有界数列：存在正数，使；摆动数列：的符号正负相间，如周期数列：存在一个最小正数，使得对于，，为这个数列的最小正周期，即三点剖析一. 注意事项1. 与是不同的概念：表示数列，表示这个数列中的第项，表示数列的通项公式．2. 数列的项与它的项数是不同的概念：项数是指这个数在数列中的位置，它是自变量的值；数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．3. 几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列，数列与数的集合显然有本质的区别.次序对于数列来说是至关重要的，这就是数列的有序性．4. 已知数列的通项公式，或已知数列的某一项和递推关系，则此数列中的每一项都被唯一确定了．二. 方法点拨判断具体数是否是数列中的项，即用代替，解出，若，则即为中的第项，若解出的，则不是中的项.题模精讲题模一数列的概念例1.1、数列在平面直角坐标系中的图像是（）A、一群孤立的点B、一条线段C、一条直线D、一条线段或一条孤立弧例1.2、下列说法不正确的是（）A、数列可以用图形来表示B、数列的通项公式不唯一C、数列的项不能相等D、数列可以用一群孤立的点表示例1.3、下列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？（1）（2）（3）（4）题模二求数列中的项例2.1、在数列中，等于（）A、B、C、D、例2.2、数列的通项公式为，则____________.例2.3、数列满足，则等于（）B、A、D、C、题模三判断某项是否在数列中例3.1、156是下列哪个数列中的一项（）A、B、C、D、例3.2、已知无穷数列判断与是否为该数列中的项，若是，应为第几项？例3.3、若数列前8项的值各异，且，对任意都成立，则下列数列可取遍前8项值的数列为（）A、B、C、D、随堂练习随练1.1、下列说法正确的是（）数列与数列是相A、数列可以表示为B、同数列D、数列可记作C、数列的第项为随练1.2、在有一定规律的数列0，3，8，15，24，，48，63，…中，的值是（）A、30B、35C、36D、42随练1.3、已知数列满足：则________；=____________随练1.4、已知函数，若，，其中，则____-__________.随练1.5、数列{a n}中，已知a n=（n∈N*）．（1）写出a10，a；（2）79是否是数列中的项？若是，是第几项？数列的通项公式知识精讲一. 通项公式的求法如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.已知数列的前几项，观察其中规律，可以得出数列的通项公式，称为观察法；已知数列的递推关系或者各项之间关系，可以由推出，依次递推，直至推出.例如，数列：的通项公式是；数列：的通项公式是.三点剖析一. 注意事项：1. 通项公式即为数列的解析式，求通项公式即为求数列的项数与项的对应关系的解析式.2. 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一.例如，；3. 不是每个数列都有通项公式.例如，题模精讲题模一观察法求数列通项公式例1.1、求下列数列的通项公式（1）；（2）；（3）；（4）例1.2、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有____个点．例1.3、观察下列等式：i=n2+n，i2=n3+n2+n，i3=n4+n3+n2，i4=n5+n4+n3-n，i5=n6+n5+n4-n2，i6=n7+n6+n5-n3+n，…i k=a k+1n k+2+a k n k+a k-1n k-1+a k-2n k-2+…+a1n+a0，可以推测，当k≥2（k∈N*）时，a k+1=，a k=，a k-1=____a k-2=____．题模二由各项间关系写出数列通项公式例2.1、若数列中，，且（是正整数），则数列的通项公式时____．例2.2、已知数列{a n}中，a1=1，对所有的n≥2，n∈N*都有a1•a2•a3…a n=n2，则数列{a n}的通项公式为a n=____．随堂练习随练2.1、数列，，，，……的一个通项公式是（）A、B、C、D、随练2.2、已知数列的前项，写出下面数列的一个通项公式：（1）（2）（3）（4）随练2.3、（1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式．（2）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第个数为__________．随练2.4、在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A、2+lnnB、2+（n﹣1）lnnC、2+nlnnD、1+n+lnn随练2.5、数列满足，则_______．数列的单调性与最值知识精讲一. 数列的单调性按数列项与项之间的大小关系分，可以分为单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列.其中对于，递增数列每一项都大于前一项；递减数列每一项都小于于前一项；常数列有，即恒等于一个常数；摆动数列符号相间，大小没有规律.二. 形如的数列的单调性如果数列的解析式为二次函数的形式，，，，；则；当时，若，则数列为递增数列，第一项为数列的最小值；若，则数列为递减数列，第一项为数列的最大值；当时，对于，当为距离最近的正整数时，即时，若，为数列的最小值；若，则为数列的最大值.三点剖析一. 方法点拨判断数列的单调性可以通过比较数列相邻两项，根据通项公式的特征，可以选择相减或者相除：对于，如果或者，则数列为递增数列；对于，如果或者，则数列为递减数列.题模精讲题模一判断数列的单调性与最值例1.1、在数列中，．（1）求证：数列先递增，后递减；（2）求数列的最大值．例1.2、关于问题：“函数的最大、最小值与数列：的最大、最小项”，下列说法正确的是（）A 、函数有最大、最小值，数列有最大、最小项B、函数无最大、最小值，数列无最大、最小项C、函数有最大、最小值，数列无最大、最小项D、函数无最大、最小值，数列有最大、最小项题模二通项形如二次函数的数列的单调性例2.1、一个数列的通项公式是，写出此数列的前五项，并求此数列的最小项的值？例2.2、数列的通项公式为，则这个数列的最小的一项是第_____项.例2.3、已知数列的通项公式为（），则数列（）A、有最大项，没有最小项B、有最小项，没有最大项C、既有最大项又有最小项D、既没有最大项又没有最小项随堂练习随练3.1、如果为递增数列，则的通项公式可以为（）B、A、D、C、已知数列，若其最大项和最小项分别为和，则的值为（）A、B、C、D、随练3.3、若数列{n(n+4)()n}中的最大项是第k项，则k=____．随练3.4、已知是递增数列，对于任意的正整数均有恒成立，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、随练3.5、已知数列的通项公式为，则（1）数列中有多少项是负数？（2）为何值时，有最小值？并求出最小值．数列的前n项和知识精讲一. 数列的前项和定义前n项和，已知递推公式，可以求出数列前n项和；数列的前项和构成了一个新的数列，已知前n项和，可以求出通项公式．三点剖析一. 注意事项由前n项和求通项时，要注意首项要单独计算，从开始，可以求通项公式.二. 方法点拨对于周期数列，即存在一个最小正数，使得对于任意有的数列，其任意连续项的和都相等，且等于；对于一个很大的数，可以把分解成若干组，每组包含连续项，每组的和都等于，再计算其余项之和.题模精讲题模一已知数列求数列的前n项和例1.1、数列满足，，，前n项和为，则的值为（）B、A、2例1.2、数列的通项公式，设其前n项和为，则等于（）A、100B、-100C、85D、120例1.3、已知数列的通项公式（），设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A、83B、82C、81D、80题模二已知前n项和求通项公式例2.1、已知数列的前n项和为，且，则=（）A、4B、2C、1D、-2例2.2、已知数列的前项和，第项满足，则________．例2.3、各项全不为零的数列的前项和为且,其中求数列．随堂练习随练4.1、若数列的通项为（），则___________．随练4.2、已知数列的前项和为，则（）A、B、C、D、随练4.3、若数列满足则其前项和是（）A、200B、150C、100D、50随练4.4、已知数列的前项和（），则_________，___________．随练4.5、已知下列数列的前项和的公式，求的通项公式（1）（2）自我总结课后作业作业1、若某数列的前4项为1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是（）A、B、C、D、作业2、已知数列的通项公式为，那么满足的整数（）A、有3个B、有2个C、有1个D、不存在作业3、数列中，，，则___________．作业4、已知数列满足，，则（）.A、0B、C、D、作业5、已知整数按如下规律排成一列：，，，，，，，，，，……，则第个数对是（）A、B、C、D、作业6、请写出下面数列的一个通项公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）作业7、无穷数列同时满足条件：①对于任意自然数，都有；②当为正偶数时，，且；③当时，.请写出一个满足条件的数列的通项公式：_________________________.作业8、（1）已知数列适合：，，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项．作业9、如图，一粒子在区域上运动，在第一秒内它从原点运动到点，接着按图中箭头所示方向在轴，轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过秒后，它所处的坐标．作业10、给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足（），则该函数的图象是（）A、A选项B、B选项C、C选项D、D选项作业11、若为递减数列，则的通项公式可以为（）.C、D、作业12、定义：（，），已知数列满足：（），若对任意正整数，都有（）成立，则的值为（）A、B、2C、D、作业13、若数列的通项公式为，则这个数列的最大的一项的值是（）A、107B、108C、D、109作业14、已知数列的通项公式为（），的最大项为第项，最小项为第项，则等于（）C、3D、4作业15、已知数列的前项和，则________.作业16、设数列的前项和为，若，，，则______，_______.作业17、定义：称为n个正数的“均倒数”，若数列的前n项的“均倒数”为，则数列的通项公式为（）B、A、C、作业18、已知下列个数列的前项和的公式，求的通项公式（1）（2）。