第六章抽样分布

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第6章抽样与抽样分布

随机变量的分布的可加性设相互独立的随机变量X ,Y均
服从某种分布，若它们的和X Y也服从同一种分布(参数有所不同),我们就称该分布具有可加性.
1.设X ,Y独立,且X ~ B(m, p),Y ~ B(n, p),
则X Y ~ B(m n, p)
2.设X ,Y独立,且X ~ P(1),Y ~ P(2 )，
定义2 从总体中抽出的一部分个体叫样本（子样）.样本中所含个体的数目叫做样本容量.样本所取的值叫做样本值.
由于抽样具有随机性，所以样本是一组随机变量 (或随机向量).
一个容量为n的样本记为
X1, X2,, Xn
样本值记为
（x1，x2， xn）
抽样方法满足的条件:
(1) 随机性
(2) 独立性
(2)显然P( X x2 ) 0.01
由对称性得 : P( X x2 ) 0.005
查表得: x2 t0.005 (10) 3.1693
t分布的性质
(1)其密度函数f(x)为偶函数; (2)当n较大时,其分布很接近正态分布.
(3)t1 (n) t (n) 在n 45时,t (n) u
常用统计量样本均值
样本方差
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
样本标准差
S
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
样本k阶原点矩样本k阶中心矩样本离差平方和
Ak
1 n
n i 1
X
k i
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
n
(Xi X )2

6教育统计学第六章

S
n
（3）总体非正态分布条件下平均数的显著性检验
① 当 n≥30 时，尽管总体分布非正态，对于平均数的显著性检验仍可用Z 检验。
Z
X
0（σ
已知）或
Z
X 0（ σ 未知）
S
n
n
② 当 n＜30 时，若总体分布非正态，对于平均数的显著性检验不符合近似 Z 检验的条件，严格讲此时也不符合t 检验的条件。
计算其置信区间：
X t SX （其X 中 t SX
2
2
）
SX
S n
小样本的情况
例如，从某小学二年级随机抽取12名学生，其阅读能力得分为28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、 29、26.试估计该校二年级阅读能力总体平均数95%和 99%的置信区间。
X 29.917 , S 4.100 , X 3.926
三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态
从正态总体中随机抽取样本容量为n的一切可能样本平均数以总体平均数为中心呈正态分布。
当总体标准差已知时：
Z
X
X
X
n
当总体标准差未知时：
N (0,1)
总体标准差的无偏估计量为
S (X X )2 n 1
S S X
X 2 ( X )2 / n
抽样分布是统计推断的理论依据。实际中只能抽取一个随机样本根据一定的概率来推断总体的参数。即使是抽取一切可能样本，计算出的某种统计量与总体相应参数的真值，大多也是不相同的，这是由于抽样误差的缘故。抽样误差用抽样分布的标准差来表示。因此，某种统计量在抽样分布上的标准差称为该种统计量的标准误。
标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大，所以标准误是统计推断可靠性的指标。

统计学第6章统计量及其抽样分布

整理ppt
16
2. T统计量
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～ (μ,σ2 )
n
的一个样本，
X
1 n
n i 1
Xi
(Xi X )2 s 2 i1
n 1
则 T(X) ~t(n1)
S/ n
称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。
整理ppt
17
F分布
定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：
整理ppt
8
中心极限定理
设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。
当样本容量足够大时
(n≥30)，样本均值的抽样
分布逐渐趋于正态分布
整理ppt
9
标准误差
标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异
1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度
因此，估计这100名患者治愈成功的比例在85%至95%的概率为90.5%
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22
6.5 两个样本平均值之差的分布
设
X
1
是独立地抽自总体
X1 ~N(1,12)
的一个容量
为n1的样本的均值。 X 2 是独立地抽自总体
X2 ~N(2,22)的一个容量为n2的样本的均值，则有
E (X 1X 2)E (X 1) E (X 2)12
2. 样本均值的标准误差小于总体标准差
3. 计算公式为
x
n
整理ppt
10
【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：

抽样分布课件

第5章抽样和抽样分布
为了便于抽取样本单位，一般在明确抽样框的条件下，对总体的每个单位都要编号，然后用抽签式或利用《随机数字表》进行抽取。（p47)
例如：N=500 n=10
编码从1-500号
在随机数表中随意点二个数字，得到54-50=4行，34列。则选取的号码从这个被选中的数开始，由于500是个三位数，则小于500 的连续三位数即为中选号码。见表中所示。
第5章抽样和抽样分布
机字随数表
9745238942 1276465909 9874763642 2659305984 676587006 1676587006 0377797684 9877808423 2778006869 2133768790 8262130892 3286548900 8084634212 4332657790 7963645324 9087434329 . . . 3489962435 9866332890 8036522364 7065436387 1327690879 769087 1327690879 9535443208 9535443208 2148990085 7065 7065432549 0656433223 2437909854 2376987667 2137860769 8800523267 4379734343 3874856049 . . . 1287087765 2136217721 9878764346 4890832769 2164896589 6476793243 6476793243 4387005345 2164878454 2176590879 2167608965 3254776907 3243 3243700435 2187799990 1358787008 2125749768 . . . 7077434431 1422890012 0874321123 0437 0437575967 132577995 2132577995 4365789796 4365789796 4358650841 9343252534 4387670769 4637567488 2365879048 8765980234 1268803235 9323314766 2366897431 . . . 9424252386 4879903443 2177609554 2177609554 487975 2148797544 2148797544 7537697997 1254876987 1254876987 6743219845 3248906034 0765433245 8707867698 7694432767 9094232155 0232337932 0362212379 3478794235 . . .

第六章统计量及其抽样分布

样本均值的抽样分布
样本均值的抽样分布
1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布
2. 一种理论概率分布 3. 进行推断总体总体均值的理论基础
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方差及分布如下

第一
16个样本的均值（x）
个
第二个观察值
观察值1 2
3
4
11
1.
20.

52. 0.
5
21
2.
25.

03. 5.
0
23
2.
30.

53. 0.
5
24
3.
35.

04. 5.
0
.3 P (X ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
第六章统计量及其抽样分布
抽样理论依据： 1、大数定律（1）独立同分布大数定律：证明当N足够大时，平均数据有稳定性，为用样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。（2）贝努力大数定律：证明当n足够大时，频率具有稳定性，为用频率代替概率提供了理论依据 2、中心极限定律（1）独立同分布中心极限定律：设从均值为u、方差为s2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，但n充分大时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为u，方差为s2/n的正态分布。（2）德莫佛-拉普拉斯中心极限定律：证明属性总体的样本数和样本方差，在n足够大时，同样趋于正态分布。
(central limit theorem)

统计学第六章抽样和抽样分布

2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
4
一、总体与样本
▪ 把握两个问题： ▪ 1、总体和总体参数； ▪ 2、样本和样本统计量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
5
1、总体与总体参数
（1）总体：指根据研究目的确定的所要研究的同类事物的全体，是所要说明其数量特征的研究对象。按所研究标志性质不同，分为变量总体和属性总体，分别研究总体的数量特征和品质特征。构成总体的个别事物（基本单元）就是总体单位，也称个体。总体单位的总数称为总体容量，记作N。
缺点：受主观影响易产生倾向性误差；不能计算、控制误差，无法说明调查结果的可靠程度。
抽样一般都是指概率抽样。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
15
2、重复抽样和非重复抽样
（1）重复抽样：又称重置抽样，是指从总体中抽出一个样本单位，记录其标志值后，又将其放回总体中继续参加下一轮单位的抽取。特点是：第一，n个单位的样本是由n次试验的结果构成的。第二，每次试验是独立的，即其试验的结果与前次、后次的结果无关。第三，每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在多次试验中选中的机会(概率)是相同的。在重复试验中，样本可能的个数是 N n ，N为总体单位数，n为样本容量。
2021/3/4
统计学第六章抽样和抽样分布
16
2、重复抽样和非重复抽样
（2）非重复抽样：又称为不重置抽样，即每次从
总体抽取一个单位，登记后不放回原总体，不参加下
一轮抽样。下一次继续从总体中余下的单位抽取样本
。特点是：第一，n个单位的样本由 n 次试验结果构成
统计学第六章抽样和抽样分布
第六章抽样与抽样分布

第六章_抽样分布及总体平均数的推断

.
第四节总体平均数的显著性检验
总体平均数的显著性检验是指对样本平均数与总体平均数之间的差异进行的显著性检验。若检验的结果差异显著，可以认为该样本不是来自当前的总体，而来自另一个、与当前总体存在显著差异的总体。即，该样本与当前的总体不一致。
.
一、总体平均数显著性检验的原理
检验的思路是：假定研究样本是从平均数为μ的总体随机抽取的，而目标总体的平均数为μ0，检验μ与μ0之间是否存在差异。如果差异显著，可以认为研究样本的总体不是平均数为μ0的总体，也就是说，研究样本不是来自平均数为μ0的总体。
Xt11 0.01
S n 1
Xt11 0.01
S n 1
2
2
2.9 9 1 3 .1 7 0 3 .9 62 6 2.9 9 1 3 .1 7 0 3 .9 62
1 1 2
1 1 2
2.6 240 3.3 594 .
③总体正态，σ未知，大样本
平均数的抽样分布接近于正态分布，
用正态分布代替t分布近似处理：
XZ
2
SnXZ 2
S n
（9．3）
.
例题3：从某年高考中随机抽取102份作文试卷，算得平均分数为26，标准差为1.5，试估计全部考生作文成绩95 ％和99％的置信区间。
.
解：学生高考分数假定是从正态总体中抽出的随机样本，而总体的标准差σ未知，样本平均数与总体平均数离差统计量呈t分布。但是由于样本容量较大
从呈t分布。
于是需用t分布来估计该校三年级学生阅
读能力总体平均数95％和99％的置信区间。
.
由原始数据计算出样本统计量为
X 29.917
S3.926
当Ｐ＝0.95时， t11 2.201 0.0 5

第6章抽样分布与参数估计

抽样分布反映了依据样本计算出来的统计量数值的概率分布，这是科学地进行统计推断的基础。例如，在大样本场合，由中心极限定理有样本均值趋于正态分布。
★ 讨论题为什么说抽样分布是抽样理论研究的对象，解释三种分布之间的联系。
/3:22
《统计学教程》
第6章抽样分布与参数估计
6.1 抽样分布
6.1.4 样本均值的抽样分布 1．大样本场合下的样本均值抽样分布
总体（Population）是指所研究的事物及其现象的全体，由该事物及其现象的全部个体组成。
个体（Item Unit）是指构成总体的元素。总体容量（Population Size）是指构成总体的全部个体的数量。
样本（Sample）是指从总体抽取的若干个体构成的集合。抽样（Sampling）是指按照具体的抽样方法和抽样设计，从总体中抽取若干个体的过程。样本容量（Sample size）是指构成样本的全部个体的数量。
ln i mPnnA
PA
1
（6.1）
贝努利定理表明事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率。从而以严格的数学形式表述了频率的稳定性特征，即n当很大时，事件发生的频率与概率之间出现较大的偏差的可能性很小。由此，在n充分大的场合，可以用事件发生的频率来替代事件的概率。
/3:22
《统计学教程》
第6章抽样分布与参数估计
在反复抽取容量相同的独立同分布样本条件下，所得到的样本均值的概率分布称为样本均值的抽样分布。在样本容量充分大的情况下，即大样本场合，样本均值依据中心极限定理趋于正态分布。
所谓独立同分布样本为从无限总体中随机抽取的等概样本，或从有限总体中以放回方式，随机抽取的等概样本。
所谓大样本是指能够满足中心极限定理要求，使样本均值趋于正态分布的样本容量。在统计实践中一般称样本容量大于30即为大样本这只是一个粗略的经验数值。

第6章_统计量及其抽样分布

【例】设X~N(0，1)，求以下概率： (1) P(X <1.5) ；(2) P(X >2)； (3) P(-1<X 3) ； (4) P(| X | 2)
解：(1) P(X <1.5) = (1.5)=0.9332
(2) P(X >2)=1- P(2 X)=1-0.9973=0.0227 (3) P(-1<X 3)= P(X 3)- P(X <-1)
标准正态分布函数
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布
Z X ~ N (0,1)
2. 标准正态分布的概率密度函数
(x)
1
x2
e2
,
x
2
3. 标准正态分布的分布函数
x
x
(x) (x)dt
1
t2 -
e 2 dt
均值和方差
总体分布
N
Xi
i1 2.5
N
N
(Xi )2
2 i1
6.1.2 常用统计量
• 样本矩： • 设x1,x2,…,xn是一个大小为n的样本,对自
然数 k，分别称
为k阶
样本原点矩和k阶样本中心矩, 统称为样本矩。许最常用的统计量，都可由样本矩构造。例如，样本均值（即α1）和样本方差
6.1.3 次序统计量
• 把样本X1,x2，…，xn由小到大排列，得
4. 结果来自容量相同的所有可能样本
6.2.2 渐进分布
• 由于寻找精确的抽样分布有困难，统计学者转而研究当样本大小 n→∞时统计量的渐近分布(即极限分布)，这种研究是数理统计大样本理论的基础性工作。
6.2.3 随机模拟获得的近似分布

抽样分布与参数估计总结

总体参数的估计区间，称为置信区间。
统计学原理
置信度
如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区
间中包含总体真值的次数所占的比例称为置信水平（Confidence Level）。
也称为置信度或置信系数 (Confidence Coefficient)。
统计学原理
置信度与置信区间的关系
统计学原理
两个总体参数—比例之差
比例之差：大样本下，服从正态分布。在估计时使用样本标准差替代。
统计学原理
两个总体的方差比
样本方差比的抽样分布为F分布其中第一自由度为n1-1，第二自由度为n2-1
2 s12 2 2 ~ F n1 1, n2 1 2 s2 1
统计学原理
例题：关于扑克牌的游戏
从一副扑克牌（52张）中，有放回地抽
出30张，其平均点数的分布规律如何？
如果以点数来赌胜负，什么区间的胜率
是95%？
统计学原理
统计学原理
第二节参数估计
主要讨论总体平均数的参数估计
统计学原理
参数估计的一般问题
参数估计：用样本统计量去估计总体的参
数。
统计学原理
计算结果
计算样本平均数：X=39.5 计算样本标准差：s=7.7736 令：总体标准差=样本标准差，计算抽样误差为
1.2956 95%置信度对应的T值为1.96 得总体平均数的置信区间为：
o 上限：39.5+1.96×1.2956=42.04 o 下限：39.5-1.96×1.2956=36.96
N=200时的抽样分布
Std. Dev = 2.23 Mean = 46.24 N = 200.00

概率论第六章样本及抽样分布

2 1 2 2
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12

2 1

2 (n2 1) S2

2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2

2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y

(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)

2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1

应用统计学第6章抽样分布与参数估计

μx
6. 3抽样分布
多大是足够的大？
6. 3抽样分布
例子
假设总体的平均数μ = 8 且标准差σ = 3. 假设选中容量n = 36随机样本。
样本平均数介于7.8和8.2之间的概率是多少?
第6章 6. 3抽样分布
例子
(续)
结论:
即使总体非正态分布, 中心极限定理可以应用 (n > 30)
6.2 抽样误差
样本统计量和对应的总体参数之间的差异，称之为抽样误差。
抽样误差的产生是由于抽样的非全面性和随机性所引起的，是偶然性误差。
非抽样误差
抽样框误差系统性误差测量误差登记误差
6. 3抽样分布
6. 3抽样分布
6.3.1 样本均值的抽样分布
6. 3抽样分布
1.样本均值的均值
样)
6. 3抽样分布
p的抽样分布
近乎正态分布分布，如果:
n 5
P( ps)
抽样分布
.3
且
.2
.1
n(1 ) 5
0 0 . 2 .4 .6
p
81
μ 其中 p
π
且
π(1 π)
σp
n
(其中 π = 总体比例)
6. 3抽样分布
比例的Z值
使用公式将p标准化为Z值:
p
Z
σp
p (1 )
n
在判断样本中，我们得到预先选好的专家就主题发表的意见。
6.1 抽样理由和抽样方法
样本类型:概率样本
在概率样本中, 样本中条目的选择基于已知的概率。
概率样本
简单随机样本
系统样本
分层样本群样本
6.1 抽样理由和抽样方法

第6章抽样分布

* * Xm 的分布已知，故可求出 X 函数的分布，设 m
所以 n! 1 m 1 nm hm ( y ) f ( x)[1 F ( x)] [ F ( x)] (n m)!(m 1)! f ( x) n! y m 1 (1 y ) n m , (n m)!(m 1)! 0 y 1, m 1 ~ n
所以
X 的特征函数为
2 2 t / n iat / n x t exp 2
n
t 2 2 exp iat 2 n
可见 X ~ N ( a,
2
n
) 分布。
（二）样本均值的极限分布定理：设 X1, X2，…，Xn来自一般总体X,且E(X)=a,
若总体X为连续型随机变量，其密度函数为f (x),则(X1,X2,…，Xn) 的联合密度函数为
§6－2 样本分布
一、频率直方图
二、样本分布函数
如果我们从随机变量X的总体中抽取了一个样本，把样本的n个值
* * * x1，x2，…， xn加以排队 x1 ，并把它看成是某个离散 x2 xn 随
1 n 2 S (Xi X ) n i 1 2 2
_

1 n S* (Xi X ) n 1 i 1
2
2 2 2、设X ~ N ( a1 , 1 ), Y ~ N ( a2 , 2 ), X 1 , X 2 ,..., X n1 及Y1 , Y2 ,..., Yn 2 分别为
—
t 1 式中 ( ) 是 X 的特征函数。 n nn n 1 证： X X i 1 X i ，且 1 X , 1 X ,, 1 X 相互独立 1 2 n n i 1 i 1 n

第六章样本及抽样分布

P
2 2 (n)
2 (n)
f
(
y)dy
的点2 (n)为2(n)分布的上分位点，
如图所示.
2
(n)可通过查表求，例
02.1(25) 34.382.
2
(
n)
2、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2(n) , 且X与Y相互
独立，则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
即学生年龄的取值有一定的分布.
总体分布为
年龄 15 16 17 18 19 20 比率 9 21 132 1207 588 43
2000 2000 2000 2000 2000 2000
由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量X ，因此随机变量X的分布就是该数量指标在总体中的分布.
Xi
它反映了总体均值的信息
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
n
1
n
1
(
i 1
X
i
X
)2
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
k=1,2,…
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶矩的信息
它反映了总体k 阶中心矩的信息
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.