向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其扩展应用详解

一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用

一、问题的提出及证明。

1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是：

.O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=。

那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证并给予证明。 结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下： 设 O A xOB yOC =+

且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点 设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线 则 存在两个不全为零的实数m 、n

1

OA mOB nOC =+ 且1m n += 则 OA mOB nOC λ=+

m

n

OA OB OC λ

λ

⇒=+

m

x λ

∴=

、n

y λ

=

1

m n

x y λ

λ

++=

=

（1）1λ> 则 1x y +< 则 111

OA OA OA λ

=

<

∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]）

（2）0λ<,则1

01x y λ

+=

<<，此时OA 与1OA 反向

A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]） B

C

A

1

O

A

A

1

B

C

图[1]

图[2]

（3）1o λ<<，则1x y +>

此时 111

OA OA OA λ

=>

∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]）

图[3]

2、如图[4]过O 作直线平行AB ，

延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区

域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是：

（Ⅰ）区：0001x y x y <⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅱ）区：0001x y x y >⎧⎪>⎨⎪<+<⎩ （Ⅲ）区：0001x y x y >⎧⎪

<⎨⎪<+<⎩

（Ⅳ）区：0011x y x y >⎧⎪<⎨⎪-<+<⎩ （Ⅴ）区：00x y <⎧⎨<⎩ （Ⅵ）区：0

010

x y x y <⎧⎪

>⎨⎪-<+<⎩

（证明略）

二、用扩展定理解高考题。

（1）[2006年湖南（文）10] 如图[5] OM AB ，点P 在由射线OM ,线段OB 及AB

的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP xOA yOB =+，则实数对（x 、y ）

可以是……（ ） A.（14，34） B.（23-，23） C.（14-，34） D.（15-，7

5）

解：根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则 0x <，且1O x y <+<，则选C

（2）[2006年湖南（理）15] 如图[5]OM AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB

O

A

A

B

C

A 1

1

O

A

B

O

Ⅲ Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅰ Ⅱ

图[4]

的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值

范围是 。当1

2

x =-时，y 的取值范围是 。

解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有：

0x <，且当12x =-，有：1O x y <+<，即113

1222O y y <-+<⇒<<

答案为：0x <，（12，3

2

）

二、向量共线定理的几个推论及其应用

人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使b =λa 。谓之“向量共线定理”。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。

一、定理的推论

推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。

推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。 注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b 可能含O 。

推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。 这实质是直线方程的向量形式。

推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123

,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0

证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；

② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使

得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则AB AC =，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：

()()s OB OA t OC OA O -+-=，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。显然s+t+[-(s+t)]=0

M

B

A

O P 图[5]