计数原理及其应用

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题型3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用
例 3 现有 5 幅不同的国画、2 幅不同的油画、7 幅不同的水彩画． (1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？ (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？ (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
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►变式训练 2．已知 a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 可 表示不同的圆的个数为(D) A．9 个 B．12 个 C．8 个 D．24 个 解析：完成表示不同的圆这件事有三步：第一步，确定 a 有 3 种不同的选取方法；第二 步，确定 b 有 4 种不同的选取方法；wk.baidu.com三步，确定 r 有 2 种不同的方法．由分步乘法计数原 理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 可表示不同的圆共有 3×4×2＝24 个．故选 D.
1．1 计数原理及其应用
1．1.1
分类加法计数原理与分布乘法计数 原理
题型1 分类加法技术原理的应用
例 1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
分析：完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑 按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类． 解析：方法一：按十位数上的数字分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 的情况分为 8 类， 在每一类中满足题目条件的两位数分别是 8 个、7 个、6 个、5 个、4 个、3 个、2 个、1 个． 由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有 8＋7＋6＋5 ＋4＋3＋2＋1＝ 36(个)． 方法二：按个位数字是 2、3、4、5、6、7、8、9 分成 8 类，在每一类中满足条件的两 位数分别是 1 个、2 个、3 个、4 个、5 个、6 个、7 个、8 个，所以按分类加法计数原理共 有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
解析：(1)每个电子邮件都有 3 种不同的发送方法． 根据分步乘法计数原理，共有 35＝243(种)． (2)完成这件事分三步，每名同学取一本书，第 1，2，3 名同学分别有 8，7，6 种取法， 由分步乘法计数原理知，不同的分法共有 8×7×6＝336(种)． 答案：(1)C (2)336 规律方法：应用分步乘法计数原理解题时要注意以下三点： (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算完成了这件事． (2)完成这件事情需要分成 n 个步骤，每一步骤都不能完成这件事情，只有各个步骤都 完成了，这件事情才能完成． (3)选取的标准不同，分的“步”也不同，完成这件事的任何一种方法，都要分成若干 个步骤．
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►变式训练 3．某公园休息处东面有 8 个空闲的凳子，西面有 6 个空闲的凳子，小明与爸爸来这里 休息． (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？ (2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
解析：(1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类，选东面的空闲凳子，有 8 种选法； 第二类，选西面的空闲凳子，有 6 种选法． 根据分类加法计数原理，小明爸爸共有 8＋6＝14 种坐法． (2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成； 第一步，小明先就坐，从东西两面共 14 个凳子中选一个坐下，共有 14 种坐法(小明坐 下后，空闲凳子数变成 13)； 第二步，小明爸爸再就坐，从东西两面余下的 13 个空闲凳子中选一个坐下，共 13 种坐 法． 由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座共有 14×13＝182 种不同的坐法．
解析：(1)分为三类：从国画中选，有 5 种不同的选法；从油画中选，有 2 种不同的选 目 法；从水彩画中选，有 7 种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有 5＋2＋7＝14 种不同 链 接 的选法． (2)分为三步：国画、油画、水彩画各有 5 种、2 种、7 种不同的选法，根据分步乘法计 数原理，共有 5×2×7＝70 种不同的选法． (3)分为三类： 第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有 5×2＝10 种不同 的选法． 第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有 5×7＝35 种不同的选法． 第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有 2×7＝14 种不同的选法． 所以有 10＋35＋14＝59 种不同的选法．
►变式训练 1．(1)某班有男生 26 人，女生 24 人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种 数有( ) 栏 A．50 种 B．26 种 目 C．24 种 D．616 种 链 (2)一项工作可以用 A 或 B 这两种方法中的一种方法完成，有 4 人会用 A 方法完成，另 接 外 8 人会用 B 方法完成，从中选出 1 人来完成这项工作，不同选法的种数是( ) A．12 种 B．32 种 C．24 种 D．64 种
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规律方法：分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各 种方法都是相互独立的， 且每一类方案中的每一种方法都可以独立地完成这件事， 在应用该 原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任 何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．
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规律方法：(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．如果 完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其 中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各种情况，才能完成这件 事，则是分步． (2)注意：运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既有“分类”又有“分步” 的综合问题时，应“先分类，后分步”．
解析：(1)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有 26＋24＝50(种)．故选 A. (2)由分类加法计数原理知，不同选法的种数有 4＋8＝12(种)．故选 A. 答案：(1)A (2)A
题型2 分步乘法计数原理的应用
例 2 (1)某人有 3 个不同的电子邮箱， 他要发 5 个电子邮件， 发送的方法的种数为( ) A．8 种 B．15 种 C．243 种 D．125 种 (2)有 8 本不同的书，任选 3 本分给 3 名同学，每人一本，不同的分法有________种．