函数综合练习题及答案

函数综合练习题

一. 选择题：

二.填空题：

3、已知函数)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时,1

)(x

x f =则当

2-

________________。

4．已知)11(x x f -+=2

2

11x

x +-，则)(x f 的解析式可取为 5．已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1

(,)2

+∞）； 6.函数y=245x x --的单调增区间是_________.

三.简答题：

1、已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f

2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域(-3

21

22

+-+=

x x x y 的值域]2133,2133[+- （2）如 4

4y x x =+

+，

求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4）

4．已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：222()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-．

5.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有

1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，

（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则

221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅

-221111

()()()()x x

f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴

211x x >，∴21

()x

f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数． （3）

(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，

∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，

又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：22

x -

<<，

即不等式的解集为(22

-．

6．已知函数x

a

x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x 若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立,试求实数a

的取值范围。

[解析] 02)(2>++=

x

a

x x x f 在区间),1[+∞上恒成立；∴022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立；∴a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立； 函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3，∴3<-a 即3->a

7．已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。 [解析]

)(x f 是定义在)2,2(-上奇函数∴对任意x ∈)2,2(-有()()f x f x -=-

由条件0)12()1(>-+-m f m f 得(1)(21)f m f m ->--=(12)f m -

)(x f 是定义在)2,2(-上减函数∴21212m m ->->->，解得1223

m -<< ∴实数m 的取值范围是12

23m -

<<

8．设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a 2+a+1)

[解析]设0

∴f(－x 2)

.03

2

)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又

由f(2a 2+a+1)3a 2－2a+1.解之，得0

9．已知函数f(x)= - x 2+2ax+1-a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值。 解：f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10 a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f

20 0≤a≤1时)

(

2

5

1

2

1

)

(

)

(2

max

舍

得

±

=

=

+

-

=

=a

a

a

a

f

x

f

30 a>1时，2

2

)1(

)

(

max

=

∴

=

=

=a

a

f

x

f

综上所述：a= - 1或a=2

10．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0

(1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。

(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。

思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴

a

b

x

2

-

=与区间相对位置。

解

f(x)=x2+2mx+2m+1

(1)由题意画出示意图

2

1

6

5

5

6)1(

2

)1

(

1

2

)0(

-

<

<

-

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

>

+

>

=

-

<

+

=

⇔m

m

f

f

m

f

2

1

2

1

1

-

≤

<

-

⇒

⎪⎩<

-

<

m

m

（2）

11：方程k

x

x=

-

2

3

2在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。

宜采用函数思想，求)1

1

(

2

3

)

(2<

<

-

-

=x

x

x

x

f的值域。)

2

5

,

16

9

[-

∈

k

12．已知函数22

()(21)2

f x x a x a

=--+-与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围．解法一：由题知关于x的方程22

(21)20

x a x a

--+-=至少有一个非负实根，设根为

12

,x x

则

12

x x≤或

12

12

x x

x x

∆≥

⎧

⎪

>

⎨

⎪+>

⎩

，得

9

4

a

≤≤．