内蒙古数学高考一轮复习第三十九讲基本不等式

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基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)

2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)一、单选题(共13题；共65分)1．（5分）若a >0，b >0，则“a +b =1”是“1a +1b≥4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）已知直线ax +by −1=0(ab >0)过圆(x −1)2+(y −2)2=2022的圆心，则1a +1b的最小值为（） A ．3+2√2B ．3−2√2C ．6D ．93．（5分）已知正实数a 、b 满足a +b =2，则4b +1a的最小值是（）A ．72B ．92C ．5D ．94．（5分）已知m >0，n >0，命题p ：2m +n =mn ，命题q ：m +n ≥3+2√2，则p 是q 的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为 a ，从乙地到甲地的平均速度为 b(a >b >0) ，他往返甲乙两地的平均速度为 v ，则（） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab6．（5分）设 a >0 ， b >0 ，则“ a +b ≤4 ”是“ 1a +1b≥1 ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．（5分）已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x +1y的最小值为（） A ．4B ．6C ．8D ．98．（5分）已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞)，则1c +4a的最小值为（） A ．-4B ．4C ．8D ．-89．（5分）已知直线ax+by+c−1=0(b，c>0)经过圆x2+(y−1)2=6的圆心，则4b+1c的最小值是（）A．2B．8C．4D．910．（5分）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C.若sin2C=2sin2A−3sin2B，则tanB的最大值为（）A．√53B．√52C．11√520D．3√5511．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA=−√3，△ABC的面积为√3a，则bc的最小值为（）A．16B．16√3C．48D．24√312．（5分）若a>0，b>0，且ln(2a)+lnb≥a2+b2−1，则a+b=（）A．√2B．√3C．3√22D．5√3213．（5分）已知正实数a，b满足a2+2ab+4b2=6，则a+2b的最大值为（）A．2√5B．2√2C．√5D．2二、多选题(共5题；共25分)14．（5分）已知a，b∈R，a>0，b>0，且a+b=2，则下列说法正确的为（）A．ab的最小值为1B．log2a+log2b≤0C．2a+2b≥4D．1a+2b≥2+√215．（5分）已知a，b∈R，则使“ a+b>1”成立的一个必要不充分条件是（）A．a2+b2>1B．|a|+|b|>1C．2a+2b>1D．4a+b+1b>1016．（5分）若−1<a<b<0，则（）A．1a>1bB．a2+b2>2ab C．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b17．（5分）已知2a=3b=6，则a，b满足（）A．a<b B．1a+1b<1C．ab>4D．a+b>418．（5分）已知正数a，b满足a2+b2=1，则（）A．a+b的最大值是√2B．ab的最大值是12C．a-b的最小值是−1D．ab−2的最小值为−√3 3三、填空题(共5题；共30分)19．（10分）如图，在 △ABC 中， ∠BAC =π3 ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，点P 在线段CD 上（P 不与C ，D 点重合），若 △ABC 的面积为 4√3 ， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m ＝， |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为．20．（5分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a +c =4 ，且 sinA ，sinB ， sinC 成等差数列，则 △ABC 的面积的最大值为．21．（5分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，若 AD =√2 ， CD =2 ， ∠D =34π ， cosB =34，则 △ABC 的面积的最大值为．22．（5分）已知a ，b 为正实数，且 a +b =6+1a +9b，则 a +b 的最小值为． 23．（5分）△ABC 中，∠BAC =120°，AO 为BC 边上的中线，AO =√3，则AB −2AC 的取值范围是．四、解答题(共3题；共30分)24．（10分）ΔABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若已知 asinA+C2=bsinA ．（1）（5分）求角B 的大小；（2）（5分）若 b =2√3 ，求 ΔABC 的面积的最大值．25．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(tanA −sinC)(tanB −sinC)=sin 2C ．（1）（5分）求证：c 2=ab ；（2）（5分）若a +b =3，求CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．26．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AC的中点，若2bcosC=2a+ c．（1）（5分）求∠B；（2）（5分）若a+c=6，求BD的最小值．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：当a+b=1时，1 a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+b a+a b≥2+2√b a⋅a b=4，当且仅当ba=ab，即a=b=12时，取等号，所以1a+1b≥4，当a=b=13时，1a+1b=6≥4，此时a+b=23≠1，所以“a+b=1”是“1a+1b≥4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由a>0，b>0，a+b=1可得1a+1b=2+b a+a b，根据基本不等式得1a+1b≥4，反之代入特殊值即可得到答案.2．【答案】A【解析】【解答】由圆的方程知：圆心(1，2)；∵直线ax+by−1=0(ab>0)过圆的圆心，∴a+2b=1(ab>0)；∴1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+ab+2ba≥3+2√ab⋅2ba=3+2√2（当且仅当ab=2b a，即a=√2b时取等号），∴1a+1b的最小值为3+2√2.故答案为：A.【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得∴a+2b=1(ab>0)，由∴1a +1b=(a+2b)(1a+1b)，利用基本不等式可求得结果.3．【答案】B【解析】【解答】4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)≥12(4+5)=92，当且仅当4a b=b a时等号成立.故答案为：B.【分析】根据题意可得4b+1a=12(4b+1a)(a+b)=12(4a b+b a+5)，再利用基本不等式求出4b+1a的最小值。

高三数学一轮复习公开课课件基本不等式多维探究共14张PPT.ppt

xy x y
xy
即a2 26a 25 ，0 解得
，1 当a且仅25当等号成立y 6x
经检验：当x
5
，y 1时5 ，
当a； 25,
2
x 1时y， 3 10 5
a 1
函数f (x, y) 4x y的最大值为25，最小值为1.
【评注】本题我们是通过构造“两个整体”，即将所求函数作为一个整体，结合题设条件再得一个整体,通过把两个整体相乘和换元，由基本不等式生成得到一个关于新元的不等式从而求解，体现了整体处理的思想与构造的方法.
函数
是题设条件等式左边中某两项和，可
以运用整体处理的思想即通过换元来处理.
解答：设 4x
a(26 a)
y 则a
(4x y)(
1
1 x9 )
9 y
， 26 a 13 y
x
36x
0, y
13
0
2
,所以 y 36x 25
xy
xy
xy
a(26 a) (4x y)(1 9) 13 y 36x 13 2 y 36x 25
3、椭圆中的最值：
4
2
3
1
四、小结与课后思考
（当且仅当a b时等号成立）
1、本节课主要内容
2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值. （2）两个正数和为定值，积有最大值.
3、基本不等式的适用条件：一正二定三相等
思考题:若直线 ax by 1 0 平分圆 C：
x2 y2 2x 4y 1 0 的周长且
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD.

高考数学一轮专项复习ppt课件-基本不等式的综合应用(北师大版)

2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面
积的最大值为
A.4π
√B.8π
C.12π
D.16π
设底面圆半径为 r，则圆柱的高为 2 4－r2，圆柱侧面积为 S＝2πr·2 4－r2＝4πr 4－r2≤4π·r2＋24－r2＝8π，当且仅当 r＝ 4－r2，即 r＝ 2时等号成立.
并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时，不等式 ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋5x有解，等价于当 x>25 时，a≥15x0＋6x＋15有解， ∵15x0＋6x≥2 15x0·6x＝10(当且仅当 x＝30 时，等号成立)， ∴a≥10.2.
∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的
所以a2＋b e＝a2＋3aac＝
a＋ 3
23a≥2
a3·
2 ＝2 3a
3 6，当且仅当
a＝ 3
2， 3a
即 a＝ 2时等号成立.
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一、单项选择题 1.已知F1，F2是椭圆C：x92＋y42 ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|
的最大值为
A.13
B.12
√C.9
√A.(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9,1]
因为 x>0，y>0，且2x＋1y＝1，所以 2x＋y＝(2x＋y)2x＋1y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝9，当且仅当2yx＝2xy，且2x＋1y＝1，即 x＝y＝3 时取等号，此时 2x＋y 取得最小值 9，若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).

高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)基本不等式理北师大版

第三节基本不等式【考纲下载】1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2P (简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是P 24(简记：和定积最大)．1．有人说：(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2；(2)f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值是4； (3)当a >0时，a 3＋1a2的最小值是2a .你认为这三种说法正确吗？为什么？提示：不正确．(1)中忽视了条件x >0；(2)中cos x ∈(0,1)，利用基本不等式求最值时，“＝”不能成立；(3)2a 不是定值．2．x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充要条件吗？提示：不是．当x >0且y >0时，x y ＋y x ≥2；但x y ＋y x≥2时，x ，y 同号即可．1．下列不等式中正确的是( )A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2 C ．若a ，b >0，则2lga ＋b2≥lg a ＋lg b D ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lga ＋b2≥2lg ab ＝lg ab ＝lg a ＋lg b .2．若x >0，y >0，且x ＋y ＝13，则xy 的最大值为( )A.233 B ．2 3 C.19 D.136解析：选D ∵x >0，y >0，∴13＝x ＋y ≥2xy ，即xy ≤16，∴xy ≤136.3．已知x >0，y >0，z >0，x －y ＋2z ＝0，则xzy2的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8C ．最小值为18D ．最大值为18解析：选Dxz y 2＝xz x ＋2z2＝xz x 2＋4xz ＋4z 2＝1x z ＋4z x＋4≤18.当且仅当x z ＝4zx，即x ＝2z 时取等号．4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填写所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：令a ＝b ＝1，可排除命题②④；由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，故命题①正确；a2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，故命题③正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab≥2，故命题⑤正确．答案：①③⑤5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80(x >0)时，等号成立．故每批应生产产品80件，可使f (x )最小．答案：80[例1] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[自主解答] 1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.【互动探究】保持例题条件不变，证明： a ＋12＋ b ＋12≤2.证明：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1， ∴a ＋12＋b ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12×1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12×1≤a ＋12＋12＋b ＋12＋12＝a ＋b ＋32＝42＝2.当且仅当a ＋12＝1，b ＋12＝1，即a ＝b ＝12时等号成立．【方法规律】利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件．对待证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．设a、b均为正实数，求证：1a2＋1b2＋ab≥2 2.证明：由于a、b均为正实数，所以1a2＋1b2≥21a2·1b2＝2ab，当且仅当1a2＝1b2，即a＝b时等号成立，又因为2ab＋ab≥22ab·ab＝22，当且仅当2ab＝ab时等号成立，所以1a2＋1b2＋ab≥2ab＋ab≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a2＝1b2，2ab＝ab，即a＝b＝42时取等号.1．利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题．2．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几个命题角度：(1)知和求积的最值；(2)知积求和的最值； (3)构造不等式求最值．[例2] (1)(2013·福建高考)若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2](2)(2013·山东高考)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3(3)(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________． [自主解答] (1)因为2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥22x·2y＝22x ＋y，故2x ＋y ≤12，即2x ＋y≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2.(2)由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3.又x 、y 、z 为正实数，∴x y ＋4y x≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，此时z ＝2y 2. ∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1，当1y＝1，即y ＝1时，上式有最大值1.(3)∵a ＋b ＝2，b >0，∴b ＝2－a >0，得a <2.令t ＝12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ，①当0<a <2时，t ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋b 4a ＋a b ≥14＋2 14＝54，当且仅当b 4a ＝a b ，即b ＝2a ，a ＝23∈(0,2)时，t 取得最小值为54.②当a <0时，t ＝－a ＋b 4a －a b ＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ≥－14＋2 14＝34，当且仅当－b 4a ＝－a b ，即b ＝－2a ，a ＝－2时，t 取得最小值为34.∵54>34，∴12|a |＋|a |b的最小值为34.[答案] (1)D (2)B (3)34利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略(1)知和求积的最值．求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值．明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值．在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x－2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x －2≤－2－x ·1－x －2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立． 2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b 的最小值为________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．答案：93．(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解析：∵x >0，a >0，∴f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x时等号成立，此时a ＝4x 2，由已知x ＝3时函数取得最小值，所以a ＝4×9＝36.答案：36[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t (t ≥0)万元满足x ＝4－k2t ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？[自主解答] (1)由题意有1＝4－k 1，得k ＝3，故x ＝4－32t ＋1.故y ＝1.5×6＋12x x ×x －(6＋12x )－t ＝3＋6x －t ＝3＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32t ＋1－t ＝27－182t ＋1－t (t ≥0)．(2)由(1)知：y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12.基本不等式9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≥2×9t ＋12·⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＝6，当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时等号成立．故y ＝27－182t ＋1－t ＝27.5－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤9t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12≤27.5－6＝21.5. 当且仅当9t ＋12＝t ＋12，即t ＝2.5时，等号成立，y 有最大值21.5.所以2014年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5万元．【方法规律】解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求．(4)有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值．某单位建造一间地面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，房顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？解：由题意可得，造价y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫2x ×150＋12x×400＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800(0<x ≤5)，则y ＝900⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等．2个变形——基本不等式的变形 (1)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；(2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．3个注意点——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．易误警示(九)忽视基本不等式成立的条件致误[典例] (2014·徐州模拟)已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．[解题指导] a b 2＋1＝a 2b 2＋1＝22×2a 2b 2＋1.[解析] a b 2＋1＝22×2a b 2＋1≤22×12(2a 2＋b 2＋1)＝24×(3＋1)＝ 2.当且仅当2a ＝b 2＋1，且2a 2＋b 2＝3，即a 2＝1，b 2＝1时，等号成立．所以a b 2＋1的最大值为 2.[答案] 2[名师点评] 1.本题易错解为：因为a b 2＋1≤12(a 2＋b 2＋1)2，等号成立的条件是a ＝b 2＋1，即a 2＝43，b 2＝13，所以a b 2＋1的最大值为43.错误的原因是：12(a 2＋b 2＋1)不是定值，不符合利用基本不等式的前提．2．利用基本不等式求积的最大值时，要保证和为定值；求和的最小值时，要保证积为定值．定值是利用基本不等式的前提．已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x 的最小值为________．解析：依题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x ＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2 y 2x ×x 2y ＝4，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x 的最小值为4. 答案：4[全盘巩固]1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )解析：选C 对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1. 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b>2abC.b a ＋a b≥2 D ．a 2＋b 2>2ab解析：选C 因为ab >0，所以b a >0，a b >0，即b a ＋a b ≥2 b a ·ab＝2(当且仅当a ＝b 时等号成立)．3．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 解析：选A ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1＝x －12＋2x －1＋3x －1＝x－1＋3x －1＋2≥2 x －1·3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号．所以函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为23＋2.4．(2014·汉中模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析：选 B 依题意得x ＋1>1,2y ＋1>1，易知(x ＋1)·(2y ＋1)＝9，则(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝29＝6，当且仅当x ＋1＝2y ＋1＝3，即x ＝2，y ＝1时取等号，因此有x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值是4.5．(2014·宁波模拟)若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析：选C 由x >0，y >0，知4x 2＋9y 2＋3xy ≥2×(2x )×(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，所以12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2.6．已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，b a的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析：选B 数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m.同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m ，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m＝2m－282m ＋11282m ＋1－12m＝2m－282m ＋12m－282m ＋12m·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2.7．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2；又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：28．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24y x ·xy＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1y＝1，此时x ＝4，y ＝2，∴(x ＋2y )min＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.故实数m 的取值范围是(－4,2)．答案：(－4,2)9．(2014·日照模拟)规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．答案：1 310．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0. 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，即xy ≥8xy ，∴xy ≥8，即xy ≥64.当且仅当2x ＝8y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．∴xy 的最小值为64.(2)∵x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，∴2x ＋8y ＝xy ，即2y ＋8x ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18，当且仅当2x y ＝8yx，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值为18.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)1x ＋1y的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5yx ＝2x y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12．某种商品原来每件定价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若每件商品的价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高每价商品的价格到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设该商品每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[冲击名校]1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2解析：选C 由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0，得k ≥－a ＋b 2ab ，而a ＋b 2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b 2ab ≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.2．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2ab .∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0. 3a＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b 时取等号．∴3a ＋9b的最小值为18.答案：18 [高频滚动]1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A ．1 B.12 C.13 D.34解析：选A 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m －n 的最小值为1. 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x >0，x 2＋bx ＋c x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b2＝－2，则b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1，得－3≤x ≤－1；当x >0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．。

新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件

ab.其中所有正确结论的序号是(
+

>2;③lg

a2>lg
)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
(2)(多选)(202X山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式
中正确的是(
)
A.log2(ab)>log2b2

C. <1<

B.ac2>bc2
1 a 1 b
D.( ) >( )
所示,则下列式子中正确的是(
A.b-a<c+a
B.c2<ab

C.
D.|b|c<|a|c
>

)
(2)(2020 山西太原三模,理 3)已知 a>b>1,c<0,则(

A.
<

C.ac<bc
B.ca<cb
D.loga(b-c)>logb(a-c)
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,
<
1
2
2
<0.代入验证①(-1)
<(-2)
成立,代入②

5
>2 成立,代入③lg(-1)2=0<lg
2
2 错误,由此排除 B,C,D 三个选项,故选
(2)由 a>b>0,得 ab>b2,
所以 log2(ab)>log2b2,故 A 正确;

高三数学第一轮复习 04：基本不等式

高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。

考点04基本不等式(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版)

考点04基本不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．【知识点】1≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时，等号成立．(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥(a，b同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值.(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．【核心题型】题型一　利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．命题点1　配凑法【例题1】（2024·辽宁·一模）已知20m n >>，则 2m mm n n+-的最小值为（）A ．3+B ．3-C ．2+D ．2【变式1】故选：D （2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是 .【变式2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函()3102f x x x =++-的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若a ，b 为正数，且a b m +=.【变式3】（2024·黑龙江·二模）已知实数a ，b 且0ab >，则222229aba b a b +++取得最大值时，a b +的值为（）A B ．C ．-D ．-命题点2　常数代换法【例题2】（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B ．C ．32+D ．3【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．45B ．23C ．1D ．2【变式2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知0,0a b >>，则下列选项中，能使4a b +取得最小值25的为（）A ．36ab =B ．9ab a b=+C ．221a b +=D ．2216625a b +=【变式3】（2024·全国·模拟预测）设正实数a ，b 满足2a b +=，则1112+++a b 的最小值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56命题点3　消元法【例题3】（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >且1x y +=，则222211x y x y +++的最小值为（）A ．15B ．25C ．35D ．45【变式1】（2023·重庆·模拟预测）已知0x >，0y >，且26xy x y ++=，则2x y +的最小值为（）．A ．4B ．6C ．8D ．12【变式2】(2023·烟台模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【变式3】（2024·浙江·模拟预测）已知,0,1a b ab >=，求11112S a b=+++的最小值．题型二　基本不等式的常见变形应用基本不等式的常见变形(1)ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤a 2＋b 22.(2)21a ＋1b≤≤a ＋b2≤a >0，b >0)．【例题4】（2023·全国·三模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式不正确的是（）A ．14ab £B ．2212a b +³C ．1121a b +>+D1£【变式1】（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC V 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A．)0,02a ba b +³>>B．)20,0aba b a b£>>+C．)0,02a b a b +£>>D．)220,0a b a b +³>>【变式2】（2023·陕西宝鸡·二模）设a ，R b Î，则“2a b +³”是“222a b +³”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，()211n S n +=+，则下列说法正确的是（）A．11a =B ．{}n a 是递减数列C ．9911(1)8nn na =-=åD ．1152n nn a a +++<题型三　基本不等式的实际应用　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．【例题5】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，某人沿围墙CD 修建一个直角梯形花坛ABCD ，设直角边AD x =米，2BC x =米，若12AD AB BC ++=米，问当x = 米时，直角梯形花坛ABCD的面积最大．【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m 元和n 元()m n ¹，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为12,a a ，则（）A ．12a a =B ．12a a <C ．12a a >D ．12,a a 的大小无法确定【变式2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（）A ．1.73B ．1.41C ．2.24D ．2.45【变式3】（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W （单位：平方米）的计算公式是()()44W =+´+长宽，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）A ．10000B ．10480C ．10816D ．10818【课后强化】基础保分练一、单选题1.（2024·河南南阳·一模）已知正实数,x y 满足111x y+=，则43xy x -的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．112．（2023·河南开封·三模）已知0a >，0b >，且1a b +=，a b ¹，则下列不等式成立的是（）A 1122a b<<+B 1122a b<+<C ．1122a b +<<D ．1122a b+<3．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（）A ．甲更合算B ．乙更合算C ．甲乙同样合算D ．无法判断谁更合算4．（2024·陕西西安·一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则260n S n+的最小值为（）A ．60B ．61C ．75D ．765．（2023·河南信阳·模拟预测）若51x -<<-，则函数()22222x x f x x ++=+有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值1-D ．最大值1-6．（2024·四川凉山·二模）已知正数,a b 满足e112a b dx x +=ò，则2aba b+的最大值为（）A B ．C D ．1二、多选题7．（2024·江苏·一模）已知,x y ÎR ，且123x =，124y =，则( )A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <8．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b +³B ．112a b +³C ．22log log 1a b +£D ．222a b +³三、填空题9.（2024·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱111ABC A B C -中，111π,3A AB A AC BM BB ÐÐl ===uuuur uuur ，1CN CC m =uuu r uuuu r ，若存在()()0,1,0,1l m ÎÎ，使0AM BN ×=uuuu r uuu r 成立，则l m +的最小值为.10．（2024·江西九江·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ，B ，C 成等差数列，224a c +=，则ABC V 面积的最大值是，()24sin sin 3A C b +=.四、解答题11．（2024·四川广安·二模）已知a ，b ，c 均为正数，且3a b c ++=.(1)是否存在a ，b ，c ，使得()190,5a b c +Î+，说明理由；(2)6.12．（2024·四川成都·二模）已知函数()()23,32f x x g x x =-=--(1)求不等式()()f x g x £的解集N ；(2)设N 的最小数为n ，正数,a b 满足32n a b +=，求223b a a b++的最小值.综合提升练一、单选题1．（·0>，2221a ab b ++=，则222a b + ）A B C ．34D 2．（2024·辽宁鞍山·二模）已知a ，b 均为锐角，()sin 3sin cos a b a b =+，则tan a 取得最大值时，()tan a b +的值为（）A B C ．1D ．23．（23-24高三上·浙江金华·期末）若()tan 23tan a a b =-，则()tan a b +的最大值为（）A B ．1C ．2D 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若221a b +=，则()()4141a b++的最小值为（）A ．254B ．916C ．94D ．25165．（2024·陕西西安·一模）已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP V 的面积的最小值为（）．A ．1B C ．2D ．46．（2023·山东泰安·模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（）A ．大于20克B ．小于20克C ．大于等于20克D ．小于等于20克7．（2024·云南楚雄·模拟预测）足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽68m AB =，球门宽7.32m EF =，且球门位于底线AB 的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线AC 上的M 点处起脚射门，当EMF Ð最大时，点M 离底线AB 的距离约为（）A ．26.32mB ．28.15mC ．33.80mD ．37.66m8．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --+--≤恒成立，则实数k 的最大值为（）A ．12B ．24C ．D ．二、多选题9．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知0a >，0b >，且111a b +=，则下列说法正确的有（）A ．8ab ³B ．4a b +³C ．228a b +³D ．49a b +³10．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b <+C ．()ln 2a b ab ++>D ．111ln 1ln a b<++11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足111a b c<<，则（）A ．c a c b ->-B ．b b ca a c->-C ．a c -³D 12³三、填空题12．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a ，b ，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则11a b+的最小值为．13．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m ，n ，不等式 312m n m n l+³+成立，则λ的最大值为14．（2024·四川泸州·二模）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22233c a b =-，则()tan A B -的最大值为．四、解答题15．（2024·四川成都·二模）已知函数()f x x a b =++，不等式()4f x <的解集为{06}x x <<∣.(1)求实数,a b 的值；(2)函数()f x 的最小值为t ，若正实数,,m n p 满足23m n p t ++=，求1122m p n p+++的最小值.16．（2023·陕西宝鸡·二模）已知函数()221f x x x =-++．(1)求()5f x ³的解集；(2)设()f x 的最小值为m ，若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求ab ac bc ++的最大值．17．（2024·青海·一模）已知正数,,a b c 满足2a b c ++=．求证：(1)22243a b c ++³；6£．18．（2024·广东·一模）海参中含有丰富的蛋白质、氨基酸、维生素、矿物质等营养元素，随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱．某品牌的海参按大小等级划分为5、4、3、2、1五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500)，[500,550]．从该品牌海参中随机抽取10000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．(1)质量指标值越高，海参越大、质量越好，若质量指标值低于400的为二级，质量指标值不低于400的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于400和低于400的样本中随机抽取10颗，再从抽取的10颗海参中随机抽取4颗，记其中一级的颗数为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由()*2,n n n ³ÎN 箱海参构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均为()215n +，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y ，抢到海参总箱数为Z ．①求Y 的分布列及数学期望；②当Z 的数学期望取最大值时，求正整数n 的值．19．（2023·四川达州·二模）在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+.(1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC V 面积S 的最小值.拓展冲刺练一、单选题1．（2024·辽宁·一模）已知,R a b Î．则“0a >且0b >”是“2ab b a+³”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·山东济宁·一模）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，cos (2)cos a B c b A =-，则ABC V 面积的最大值为（）A B C ．94D ．923．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥-P ABC 中，AB =1PC =，4PA PB +=，CA -，且PC AB ^，则二面角P AB C --A B ．34C ．12D 4．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为1p ，2p ，且满足1243p p +=，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若()16E X =，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（）A ．27B ．24C ．32D ．28二、多选题5．（2024·江苏·一模）已知函数()sin 2cos2xf x x=-，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于点()π,0对称C ．不等式()f x x >无解D ．()f x 6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知0a >，()e 1ln 1ab -=，则（）A ．1e b <<B ．ln a b >C ．e ln 1a b -<D ．1b a -<7．（2023·全国·模拟预测）实数a ，b 满足2242a b +=，则（）A ．12£abB ．a b +的最大值为C ．a b é-ÎêëD ．()()3328a b a b ++的最大值为92三、填空题8．（2024·四川成都·模拟预测）已知实数00，x y >>，若231x y +=，则21x y +的最小值为．9．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向AO 通过路口O 后转向西北方向OB ，围绕道路,OA OB 打造了一个半径为2km 的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道MN ，则MN 的最小值为km ．四、解答题10．（2023·四川资阳·模拟预测）已知0a >，0b >，且2a b +=．(1)求22a b +的最小值；(2)£．11．（22-23高一下·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，60ADC Ð=°，2AD =．(1)若45ACD Ð=°，求三角形手巾的面积；(2)当ACAB取最小值时，请帮设计师计算BD 的长．12．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y l l =+，其中l 为拉格朗日系数．分别对(,,)L x y l 中的,,x y λ部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：(,,)(,)(,)0(,,)(,)(,)0(,,)(,)0x x x y y y L x y f x y g x y L x y f x y g x y L x y g x y l l l l l l =+=ìï=+=íï==î，解此方程组，得出解(,)x y ，就是二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)g x y 的可能极值点．,x y 的值代入到(,)f x y 中即为极值．补充说明：【例】求函数22(,)f x y x xy y =++关于变量x 的导数．即：将变量y 当做常数，即：(,)2x f x y x y =+，下标加上x ，代表对自变量x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的,,x y L L L l 表示分别对,,x y λ进行求导．(1)求函数222(,)2f x y x y xy xy =++关于变量y 的导数并求当1x =处的导数值．(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数,x y 满足22(,)410g x y x y xy =++-=，求(,)2f x y x y =+的最大值．(3)①若,,x y z 为实数，且1x y z ++=，证明：22213x y z ++³．②设0a b c >>>，求221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值．。

高考数学一轮复习规划1.5基本不等式课件

记为：和定积最大).
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
【常用结论】
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
1.5 基本不等式
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b≥0). 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
【教材梳理】
1. 基本不等式如果 a>0，b>0，那么 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 该式叫基本不等式，其中，a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
解：易知1a＋a2＋ab＝2aa＋b＋a2＋ab＝1＋a＋a b＋a2＋ab≥1＋2 2，当且仅当 a＋b＝ 2
a 且 2a＋b＝1，即 a＝ 2－1，b＝3－2 2时等号成立. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
命题角度 4 换元法求最值
(2020 届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数 x，y 满足 x2－xy＋y2＝1，则 x＋y
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点

高考数学一轮复习考点知识专题讲解47---基本不等式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解基本不等式考点要求1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.(×)教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是()A ．1B ．2C ．2 2 D．4答案D解析∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．2．函数y ＝4－x －1x (x <0)()A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案B解析y ＝4＋(－x )＋1(－x ) ≥4＋2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④2ab a ＋b ≤ab . 答案②③解析当b a为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为() A.94 B ．4 C.92D ．9 答案C解析y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有() A ．最大值0 B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3答案C解析∵x <23， ∴3x －2<0，f (x )＝3x －2＋93x －2＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－3x )＋92－3x ＋3 ≤－2(2－3x )·92－3x＋3＝－3. 当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”． (3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案－1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·(1－x )2＋11－x＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12·2(1－x )·11－x＝－1，当且仅当1－x ＝11－x，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1. 命题点2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b的最小值是() A ．1 B ．2 C.94 D.92答案C解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋12b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋52＝94，当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3消元法例3已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案2解析方法一(换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二(代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1 ＝x ＋1＋4x ＋1－2 ≥2(x ＋1)·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy 的最大值．解∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0，即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于()A ．16B ．6C ．18D ．12答案B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎨⎧ 2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则() A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案A解析f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________．答案52解析∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12≥21x －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12 ＝2＋12＝52，当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________．答案12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8， ∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )， OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt△OCF 中，由勾股定理可得， CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)． (2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是()A ．a ＋b <4ab a ＋b B.ab <2ab a ＋bC.2a 2＋2b 2<2ab D ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案D解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2ab a ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2(a 2＋b 2)>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是() A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2 答案D解析a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或ba 都是正数，根据基本不等式求最值， ab ＋b a≥2a b ×ba＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形 (1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22.(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)．跟踪训练2(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：a2＋b22>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，则p是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴a2＋b22>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，∴由p可推出q，当a<0，b<0时，命题q成立，如a＝－1，b＝－3时，a2＋b22＝5>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝4，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a＋bB.1a＋1bC.2abD.2a2＋b2答案B解析∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b>2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab ， 2a 2＋b 2<22ab＝1ab<2ab，∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)． 2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.一、利用柯西不等式求最值例1已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案6437解析(x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案3解析(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9， ∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”， ∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案6 3解析y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝log3x＋log x3(0<x<1) 答案C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．2．(2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．2 B.12C．4 D.14答案A解析4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，平方得ab≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立， ∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12取得最小值时x 的值为()A.15B.14C.24D.13 答案A解析f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x≥(2＋3)22x ＋1－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4 C ．7 D ．3＋17 答案C解析∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4， ∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3 ≥2(x －2)(y －1)＋3＝7，当且仅当⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3时等号成立．5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是()A ．f (x )有最大值114 B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案B 解析f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立． 6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则()A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13D ．f (x )有最大值13答案D 解析f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x－1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a，b为正实数，则“aba＋b≤2”是“ab≤16”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a，b为正实数，∴a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，若ab≤16，可得aba＋b≤ab2ab＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a＝2，b＝10，此时aba＋b≤2，但ab＝20>16，故充分性不成立，因此“aba＋b≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件．8．已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有() ①2a＋2b≥22；②a2＋b2<1；③1a＋1b<4；④a＋1a>2.A．①② B．①③C．①②④ D．②③④答案C解析∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝22，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；∵a2＋b2<a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ×ab＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误； ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴0<a <1， ∵a ＋1a≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确．9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案2 解析∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 2(4－x 2)≤x 2＋4－x 22＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________．答案27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x ＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4yx ＝27，当且仅当⎩⎨⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________．答案2 2解析∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋ab 2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 答案A解析∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ，则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233.14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号) ①a ＋b ＋1ab ≥22；②2aba ＋b >ab ；③a 2＋b 2ab ≥a ＋b ；④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.答案①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确；因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________．答案174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号，令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t ＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14，因为函数y ＝1t ＋t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________．答案3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得xx －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以xx －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。

2025版高考数学全程一轮复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式课件

∴a的最小值为4.
题后师说
(1)对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；
(2)利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围．
巩固训练4
(1)当x>a时， 2x＋x−8a的最小值为10，则a＝( )
A．1 B． 2 C．2 2 D．4
答案：A
解析：当x>a时，2x＋x−8a＝2(x－a)＋x−8a＋2a≥2 2 x − a × x−8a＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.
又－x
5，
∴y＝2＋x＋5x＝2－(－x－5x)≤2－2 5，当且仅当－x＝－5x，且x<0，即x＝－ 5时等号成立．
课堂互动探究案
1.掌握基本不等式 ab ≤ a+2b(a>0，b>0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
问题思考·夯实技能
关键能力·题型剖析
题型一利用基本不等式求最值
角度一配凑法求最值
例 1 (1)函数y＝3x＋x−11(x>1)的最小值是(
)
A．4 B．2 3－3
C．2 3 D．2 3＋3
答案：D
解析：因为x>1，所以y＝3(x－1)＋x−11＋3≥2
且仅当3(x－1)＝x−11，即x＝1＋
3时等号成立．
3
所以函数y＝3x＋x−11(x>1)的最小值是2 3＋3.
2．(教材改编)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A．13 C．34
B．12 D．23
答案：B
解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝3x(1－x)≤3[x+

内蒙古包头市数学高考一轮复习第三十九讲基本不等式

内蒙古包头市数学高考一轮复习第三十九讲基本不等式姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）函数的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-2=0上，其中mn>0，则的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2018高一下·佛山期中) 已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·潮州期末) 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围（）A .B .C .D .4. （2分）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意， a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意， a*0=a；（2）对任意， a*b=ab+(a*0)+(b*0).则函数的最小值为（）A . 2B . 3C . 6D . 85. （2分）(2018高三上·福建期中) 等比数列的各项均为正数，且，则A . 12B . 10C . 8D .6. （2分）已知x>0，由不等式……可以推出结论,则a= （）A .B .C . a=1D .7. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知的内角对的边分别为 , , , 且,则的最小值等于（）A .B .C .D .8. （2分）设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，且对任意，a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三边长，则M的最小值为（）A .B . 2C . 3D . 2二、多选题 (共1题；共3分)9. （3分） (2019高二上·菏泽期中) 设，则下列不等式一定成立的是（）A .B .C .D .三、填空题 (共9题；共9分)10. （1分）(2018·枣庄模拟) 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为________．11. （1分） (2017高三上·朝阳期中) 已知x＞1，且x﹣y=1，则的最小值是________．12. （1分）已知x＞﹣1，则的最小值为________．13. （1分）已知，则的最小值为________14. （1分） (2017高三上·静海开学考) 设a+b=2，b＞0，则当a=________时， + 取得最小值．15. （1分）(2018·河北模拟) 中，角的对边分别为，当最大时，________．16. （1分）已知x＜，则函数y=2x+ 的最大值是________．17. （1分） (2016高一下·岳池期末) 已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为________．18. （1分） (2017高二上·河南月考) 在中，角所对的边分别为，若，的面积等于，则的取值范围是 ________.四、解答题 (共6题；共65分)19. （10分） (2017高三上·汕头开学考) 若a＞0，b＞0，且．（I）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．20. （5分）(2018·佛山模拟) 设函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围.21. （10分）中，角所对的边分别为.已知,,求和的值.22. （15分） (2019高二上·榆林期中) 在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列．（1）求等比数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和Tn.23. （10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， asinB+bcosA=c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a=2 c，S△ABC=2 ，求b．24. （15分）解答（1）已知x＜0，求函数的最大值（2）设x＞﹣1，求函数的最小值．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共1题；共3分)9-1、三、填空题 (共9题；共9分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、四、解答题 (共6题；共65分)19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。

2025版高考数学一轮总复习1-4基本不等式

3.基本不等式求最值
2
（1）设,为正数，若积等于定值，那么当 = 时，和 + 有最小值_____
（简记为:积定和最小）.
（2）设,为正数，若和 + 等于定值,那么当 =
（简记为：和定积最大）.
1 2

时，积有最大值_____
4
常用结论
1.常用推论
（1） +
≥ 2 + 2 2,
命题角度3 换元法求最值
例3 【多选题】（2022年新课标Ⅱ卷）若，满足 2 + 2 − = 1，则(
A. + ≤ 1
B. + ≥ −2
√
C. 2 + 2 ≤ 2
√
D. 2 + 2 ≥ 1
)
解：由 2 + 2 − = 1，得 +
2
+

等式，其中，____叫做正数，的算术平均数，_____叫做正数,的几何平均数.基
2
不小于
本不等式表明:两个正数的算术平均数________它们的几何平均数.
2.几个重要不等式
重要不等式
2
2
−2

2 +2
2
使用前提
等号成立条件
> 0
_______
= −
________
−
≤ −2
− ⋅
当 = −1时等号成立，故B正确.
对于D，显然存在 = 4，使得 +
1

5
2
= < 2 2,故D错误.故选B.
1
−
= −2，当且仅
2.（2020年上海卷）下列不等式恒成立的是 (

专题05基本不等式(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)

解：显然， a2 1 0 ，
则， a2 2 a2 1 1 2 a2 1 1 2 ，
a2 1
a2 1
a2 1
当且仅当
a2 1
1
a2 1 ，即 a 0 时，等号成立.
所以， a2 2 的最小值是 2，此时 a 0 .
a2 1
例 14 ．（ 2022 秋 ·云南楚雄 ·高三云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数
A．有最大值 4 B．有最小值 4 C．有最大值 4 D．有最小值 4 解： x 0，x 0，
y
x
4 x
(x)
4 x
2
(
x)
4 x
4
，当且仅当
x
2
时等号成立，
故选：A
考点二拼凑法求最值
例 6．（2023·陕西榆林·统考三模）若 a 1，则 a 9 的最小值为________． a 1
a
2
b
2
a
b2
4a
b
4
0
a
b
2
2
2，
当且仅当 a b 时成立，A 正确；
对于 B， ab 1 a b 2 ab ，即
故答案为：3
例 20．（2023 春·湖南·高一校联考期中）已知正实数 a，b 满足 a 2b 4 ，则 1 1 的最 a b1
小值是（）
A．1 B． 33 C． 3 2 2 D．1 3
28
6
3
解：由已知可得，
a
2b
1
6
，所以
1 6
a
2
b
1
1.
又 a,b 0 ，
所

高考数学一轮专项复习ppt课件-基本不等式(北师大版)

由已知，得 12＝4x＋3y≥2 4x·3y，即 12≥2 4x·3y，解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号).
命题点2 配凑法例 3 (1)(2023·许昌模拟)已知 a，b 为正数，4a2＋b2＝7，则 a 1＋b2的最
大值为
A. 7
B. 3
C.2 2
√D.2
因为 4a2＋b2＝7，则 a
2.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于
A.1＋ 2
B.1＋ 3
√C.3
D.4
自主诊断
当 x>2 时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋x－1 2＋2≥2 x－2·x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时，取等号，即当 f(x)取得最小值时 x＝3，即 a＝3.
常用结论
几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)ba＋ab≥2(a，b 同号). (3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R). (4)a2＋2 b2≥a＋2 b2 (a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴8b＋4a＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b)8b＋4a ＝6b4a＋4ab＋40≥2 64ba·4ab＋40＝72，当且仅当6b4a＝4ab，即 a＝6，b＝24 时取等号.
(2)已知正数 a，b 满足 a＋2b＝3 恒成立，则a＋1 1＋2b的最小值为
A.32
成立，故 A 选项错误；
B
选项，当
a ＋ b>0
时
，

2020届高三数学一轮复习基础导航 9.3基本不等式

9.3基本不等式【考纲要求】1、了解基本不等式的证明过程.2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 【基础知识】1、基本不等式(1)222(,,a b ab a b R a b +≥∈=当且仅当时，等号成立），(2)a+b(,,2a b R a b +≥∈=当且仅当时，等号成立）变形公式：2()(,,2a b ab a b R a b +≤∈=当且仅当时，等号成立）基本不等式(2)常用来求最小值，其变形公式常用来求最大值；求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

2、使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件。

3、使用基本不等式求最值，如果等号成立的条件不成立，就说明不能取到该最值，必须寻找另外的方法（如：函数的单调性和数形结合等）求最值。

【例题精讲】例1 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋3. ∵a >0，b >0，c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋3≥9.例2 某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？解：由题意知f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72.＝－2n 2＋40n －72(1)由f (n )>0，即－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18. 由n ∈N *知，从经三年开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时等号成立．故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n ＝6. 方案②：f (n )＝－2(n －10)2＋128. 当n ＝10，f (n )max ＝128.故方案②共获利128＋16＝144(万元)比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．9.3基本不等式强化训练【基础精练】1.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为 ( )A ．4B ．4 3C ．9D ．162．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1 D.143．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 4．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝ax ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤36．设a 、b 是正实数，以下不等式 ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab>2恒成立的序号为 ( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.8.某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．169．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．10.若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab |a |＋|b |的最大值为 ( )A. 2 B ．1 C.24 D.2211．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为( )A ．1 B.15 C ．2 D.1312．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．13．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【拓展提高】1．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？2.为了提高产品的年产量，某企业拟在2020年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2020年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【基础精练参考答案】1.D 【解析】：由32＋x ＋32＋y＝1可得xy ＝8＋x ＋y . ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.2.B 【解析】：∵3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a ·3b. 即3＝3a ＋b，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．3.C 【解析】：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y x＋a≥a ＋1＋2a ·x y ·yx ＝a ＋2 a ＋1，当且仅当a ·x y ＝y x等号成立，所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 4. f (x )＝(22－2)x ＋1＋1【解析】：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1.5.C 【解析】：法一：由a ＋b2≥ab 得ab ≤(a ＋b2)2＝1，又a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a＋b )2⇒a 2＋b 2≥2.法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＝b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1，可排除A.6.D 【解析】：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2ab a ＋b.当且仅当a ＝b 时取等号，∴①；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝(a －2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2ab≥2ab ·2ab＝2 2>2恒成立．7.证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．8.A 【解析】：平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18.当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.9.5【解析】：设仓库建在离车站d 千米处，由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d5＝8，当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．10.B 【解析】：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项， ∴a 2＝2－b 2⇒a 2＋b 2＝2.根据基本不等式知2ab |a |＋|b |≤2|a |·|b ||a |＋|b |≤a 2＋b 22＝1.即2ab |a |＋|b |的最大值为1. 11.B 【解析】：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y 得，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x 时取等号，即当x ＝15时f (x )取得最小值25. 12.32【解析】：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a ＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32. 13.【解析】：(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x≤16，∴1018≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，由函数性质易知g (x )在上是增函数， ∴当x ＝1018时(此时162x＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值1 296×(1018＋80081)＋12 960＝38 882(元)．∴当长为16米，宽为1018米时，总造价最低，为38 882元．【拓展提高参考答案】1．【解析】：设画面的高为x cm ，宽为λx cm ，则λx 2＝4840，设纸张面积为S ，则有S ＝ (x ＋16)(λx ＋10)＝λx 2＋(16λ＋10)x ＋160＝5000＋4410⎝⎛⎭⎪⎫8λ＋5λ≥6760，当且仅当8λ＝5λ时，即λ＝58时，S 取最小值，此时，高x ＝4840λ＝88 cm ，宽λx ＝58×88＝55 cm. 如果λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，则上述等号不能成立．现证函数S (λ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34上单调递增．设23≤λ1<λ2≤34，则S (λ1)－S (λ2)＝4410⎝⎛⎭⎪⎫8λ1＋5λ1－8λ2－5λ2＝4410()λ1－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－5λ1λ2，因为λ1λ2≥23>58⇒8－5λ1λ2>0，又λ1－λ2<0，所以S (λ1)－S (λ2)<0，故S (λ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34上单调递增，因此对λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，当λ＝23时，S (λ)取得最小值．。

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内蒙古数学高考一轮复习第三十九讲基本不等式
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共8题；共16分)
1. （2分）(2017·枣庄模拟) 若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）
A . 24
B . 28
C . 25
D . 26
2. （2分） (2018高二上·莆田月考) 下列说法正确的是（）
A . 没有最小值
B . 当时，恒成立
C . 已知，则当时，的值最大
D . 当时，的最小值为2
3. （2分）已知双曲线与轴交于两点，点，则△ 面积的最大值为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2020高一上·娄底期中) 已知函数，，若，，则的最大值为（）
A .
B . 2
C . 1
D . 4
5. （2分） (2017高一下·芜湖期末) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S10：S5=1：2，则
=（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）若且满足，则的最小值是（）
A .
B .
C . 6
D . 7
7. （2分） (2019高一下·柳江期末) 设，，若是与的等比中项，则的最小值为（）
A . 2
B .
C . 3
D .
8. （2分）学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张竖向张贴的海报，
要求版心面积为128 dm2 ，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm，张贴的长与宽尺
寸为（）才能使四周空白面积最小（）
A . 20dm，10dm
B . 12dm，9dm
C . 10dm，8dm
D . 8dm，5dm
二、多选题 (共1题；共3分)
9. （3分） (2020高二上·怀化月考) 已知，，分别为内角，，的对边，
，且，则下列结论中正确的是（）
A .
B .
C . 面积的最大值为
D . 面积的最大值为
三、填空题 (共9题；共9分)
10. （1分） (2015高三上·舟山期中) 已知x＞0，y＞0且2x+y=2，则的最小值为________．
11. （1分）若△ABC的三个内角A，B，C所对的边a，b，c满足a+c=2b，则称该三角形为“中庸”三角形．已知△ABC为“中庸”三角形，给出下列结论：
① ∈（，2）；
② + ≥ ；
③B≥ ；
④若 = • + • + • ，则sinB= ．
其中正确结论的序号是________．（写出所有正确结论的序号）
12. （1分） (2017高二上·阜宁月考) 函数的最大值为________.
13. （1分） (2020高一上·沧县月考) 已知，则的最小值为________ ；
14. （1分） (2016高二上·嘉兴期中) 已知0＜x＜，则x（5﹣4x）的最大值是________．
15. （1分） (2019高二上·佛山期中) 已知a，b均为正数，且，则的最小值为________．
16. （1分） (2019高一下·广东期中) 已知，，且，则的最小值为________.
17. （1分） (2019高一下·鹤岗月考) 若正数，满足，则的最小值为________．
18. （1分）已知甲、乙两地的公路线长400千米，用10辆汽车从甲地向乙地运送一批物资，假设汽车以v 千米/小时的速度直达乙地，为了某种需要，两汽车间距不得小于千米（汽车车身长度不计），则这批物资全部到达乙地的最短时间是________小时．
四、解答题 (共6题；共65分)
19. （10分） (2019高三上·广州月考) 已知 .
（1）求；
（2）已知、，求证： .
20. （5分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|, a>0.
（1）当a=1时求不等式f(x)>1的解集；
（2）若f(x)图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
21. （10分）(2020·吉林模拟) 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且
．
（1）若，求边的大小；
（2）若且，求的面积．
22. （15分） (2019高三上·苏州月考) 已知函数，（x＞0）．
（1）当0＜a＜b ，且f（a）＝f（b）时，求证：ab＞1；
（2）是否存在实数a ， b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域、值域都是[a ， b]，若存在，则求出a ，b的值，若不存在，请说明理由．
（3）若存在实数a ， b（a＜b），使得函数y＝f（x）的定义域为[a ， b]时，值域为[ma ， mb]（m≠0），求m的取值范围．
23. （10分） (2017高三下·成都期中) 在△ABC中，已知A= ，cosB= ．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=2 ，D为AB的中点，求CD的长．
24. （15分） (2019高二下·镇海期末) 已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝2．
（Ⅰ）若∠BAC的平分线与边BC交于点D，求；
（Ⅱ）若点E为BC的中点，当取最小值时，求△ABC的面积．
参考答案一、单选题 (共8题；共16分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、考点：
解析：
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
考点：
解析：
答案：8-1、
考点：
解析：
二、多选题 (共1题；共3分)
考点：
解析：
三、填空题 (共9题；共9分)答案：10-1、
考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
四、解答题 (共6题；共65分)
答案：19-1、
答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、
答案：22-3、考点：
解析：
答案：23-1、
考点：解析：
答案：24-1、考点：
解析：。