高二数学极坐标系
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
高中数学课件-第二节 极坐标系1
B．2，－76π
C．2，－116π
D．2，136π
考点二 极坐标与直角坐标的互化
y
0
x
M y
Nx
O
.M(ρ,θ）
x
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin y
2 x2 y2，tan y (x 0)
x
0
x
M y
Nx
标是Leabharlann ( )．A.2，116π
B.－2，7π 6
C.2，－π6
D.－2，－116π
2．点 P(2，3π)关于极轴的对称点的极坐标为(
)
A．(－2，π3)
B．(2，23π)
C．(2，43π)
D．(2，53π)
【变式 1】 (2016·江苏高三月考)与极坐标2，π6不表示同一个点的极坐标是(
)
A．2，256π
选修4-4 极坐标与参数方程 §1.2.1 极坐标系
高二文科数学组
一、极坐标系的建立：
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点；
(2)引一条射线Ox，叫做极轴； (3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）；
(4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).
这样建立的坐标系叫做极坐标系.
O
.M(ρ,θ）
x
说明1、 对于平面内任意一点M，用 表示极点与点M的 距离，叫做点M的极径（几何意义）, 表示以Ox为始 边,OM为终边的角，叫做点M的极角,有序数对（，）
就叫做M的极坐标.
说明2、当 M 在极点时，它的极径=0，极角可以取任意值.如：
极坐标(0,π)，(0,-30º ), (0，0)，…等都是表示极点.
点M：在角终边的反向延长线上，且|OM|=||
高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能 表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与 极 坐 标 －2，π6 不 表 示 同 一 个 点 的 极 坐 标 是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为 终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______． 解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形， 斜边 AB＝ 于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π
高二文科数学《第一讲坐标系·二、极坐标系》
1. 极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点； 自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再 选定一个长度单位、一个角度单位〔通 常取弧度〕及其正方向〔通常取逆时针 方向〕，这样就建立了一个极坐标系.
M(,)
O
x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
1. 极坐标系的概念
设M是平面内一点，极点O与点M的 距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极 轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角，记为.有序实数对(,) 叫做点M的极坐标，记作M(, ).
2.教材P.12习题1.2第4、5题.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
y
M y
O x Nx
湖南省长沙市一中卫星远程学校
2. 极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取一样的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是( , ). 从以下图可以得出它们之间的关系：
y
xc o,yssi.n①
以下图是某校园的平面示意图.假设某
同学在教学楼处，请答复以下问题：
(1)他向东偏北60o方向走120m后到达
什么位置？该位置惟一确定吗？
(2)如果有人打听 体育馆和办公楼的位
实验楼 图书馆
D
C
置，他应如何描述？
办公楼
5E0m4A5o
教学楼
120m
60o 60m
B
体育馆
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
4
3
2
2
2
2
3
3 5 6
3
B
6
3 5
6E
B
高二文科数学极坐标知识点
高二文科数学极坐标知识点高二文科数学中的极坐标是一种描述平面点位置的坐标系统。
它将点的位置与极径和极角两个数值相关联。
在学习极坐标的知识点时，我们需要了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等内容。
1. 极坐标的表示方法在极坐标中，平面上的点通过极径和极角两个数值来表示。
极径表示点到原点的距离，记作r，而极角表示点与极轴的夹角，记作θ。
通常，我们将极径r写在极角θ的右上方，形成一个有序对(r,θ)来表示点的位置。
2. 极坐标系转换在直角坐标系和极坐标系之间进行转换是极坐标的重要应用之一。
将直角坐标系中的点(x,y)转换为极坐标系中的点(r,θ)需要使用以下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)反之，将极坐标系中的点(r,θ)转换为直角坐标系中的点(x,y)需要使用以下公式：x = r * cosθy = r * sinθ3. 极坐标方程极坐标方程是在极坐标系中表示曲线方程的一种形式。
一般来说，极坐标方程由极径r和极角θ的关系式来确定。
比如，常见的圆的极坐标方程为r = a，表示以极径a为半径的圆。
除了圆之外，其他曲线的极坐标方程可以通过关系式r = f(θ)来表示，其中f(θ)是极坐标函数。
例如，当f(θ) = a + bcosθ时，表示一个叫做“卡西尼曲线”的图形。
4. 极坐标下的图形表示在极坐标系中，我们可以通过调整极径和极角来画出各种各样的图形。
常见的图形包括圆、椭圆、双纽线以及心形线等。
画图时，可以先确定关键点的坐标，再通过连线或者曲线来表示整个图形。
对于一些复杂的曲线，我们可以利用计算机软件来绘制。
在实际应用中，极坐标常常用于描述与极轴的夹角和距离有关的物理问题，如雷达、天文学、电子工程等领域。
5. 总结高二文科数学中的极坐标是一种重要的坐标系统，用于描述平面点的位置。
通过了解极坐标的表示方法、坐标系转换、极坐标方程以及极坐标下的图形表示等知识点，我们可以更好地理解和应用极坐标。
高二数学极坐标系试题答案及解析
高二数学极坐标系试题答案及解析1.已知点P的极坐标为，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为【答案】.【解析】如图是直线上任一点，极坐标为，，又，∴.也可用直角坐标方程来求极坐标方程，所作直线的直角坐标方程是，化为极坐标方程就是．【考点】极坐标方程．2.极坐标方程化为直角坐标方程是【答案】【解析】先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解：将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：ρ2=4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2-4x=0，即y2+（x-2）2=4．故答案为【考点】极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．3.点的极坐标为【答案】【解析】因为结合极坐标与直角坐标互化可知极坐标为4.已知，下列所给出的不能表示点的坐标的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由点M的极坐标可得ρ=-5，θ=，故点M的直角坐标为（-，-）．而点的直角坐标为（，-）．故不满足条件．经检验，的直角坐标都为（-，-），满足条件，故选A．5.在极坐标系中，以点为圆心，半径为3的圆与直线交于两点.（1）求圆及直线的普通方程.（2）求弦长.【答案】（1）∴直线(2)【解析】(1)圆C在直角坐标系中的圆心坐标为(0,2),半径为3,所以其普通方程为.直线l由于过原点，并且倾斜角为,所以其方程为.(2)因为圆心C到直线的距离为1,然后利用弦长公式可求出|AB|的值（1）∵…….4分∵∴直线……….8分(2) 因为所以6.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为A．B．C．D．【答案】C【解析】解：点M的直角坐标是，利用极坐标与直角坐标的转换公式可知7. .（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，其圆心为（2，0），所以圆心的极坐标为。
故选A。
8. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2，则极点在直线l 上的射影的极坐标是__________．【答案】填. 极点在直线上的射影是直线上取得最小值的点, 把变形为,可知,当时, 取得最小值2.【解析】略9.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度，已知直线经过点P(1,1),倾斜角（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交与A,B，求点P到A,B两点的距离积。
高二数学,人教A版,选修4-4, 第1课时,极坐标系的概念 , 课件
2．极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做点 M 的 极径 ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫 ______ 极角 做点 M 的 _____ ，记为 θ. 有序数对 _______ M 的极坐标， (ρ，叫做点 θ) M(ρ，θ)． 记为____________ ≥ 一 般 地 ， 不 作 特 殊 说 明 时 ， 我 们 认 为 ρ____ 0，θ可取 任意实数 ． ___________
如图所示， A ， B， C ， D 四个点分别是唯一
[规律方法] 由极坐标确定点的位置的步骤 ①取定极点O； ②作方向为水平向右的射线Ox为极轴；
③以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向
旋转极轴Ox确定出极角的终边； ④以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的 交点即是所求点的位置．
1．极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点 O， 极点 ，自极点 O 引一条射线 Ox ，叫 叫做 _____ 长度单位 做极轴；再选定一个 _________ 、 一 个 角度单位 通常取弧度)及其正方向(通常 __________( 逆时针 方向 ) ，这样就建立了一个极 取 ________ 坐标系．
二 极坐标 第1课时 极坐标系的概念
课标定位
1．了解极坐标系的意义．
2．理解点的极坐标的不唯一性．
3．能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
1．利用坐标法解决几何问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．点的极坐标不唯一是易混点，准确理解极坐标系的概 念并用于解题．(难点)
据太平洋海啸预警中心测定：当地时
π 7π 极角4与 4 的终边关于极轴对称，所以点 B，D 关于极轴对 称．
《高二数学极坐标系》课件
阿基米德螺线和斯皮罗 图形
理解如何描绘阿基米德螺线和 斯皮罗图形。
第三部分：极坐标系下的微积分
1
公式推导
学习在极坐标系中推导微积分的公式和定理。
2
导数和微积分应用
了解如何在极坐标系下计算导数和应用微积分。
第四部分：极坐标系在工程和科技中的 应用
实际应用中的案例
探索在实际工程和科技领域中应用极坐标系 的案例。
《高二数学极坐标系》 PPT课件
# 高二数学极坐标系 PPT课件
第一部分：引入极坐标系
概念和特点
探索极坐标系的基本概念和其独特特点。
历史背景
了解极坐标系的起源和发展历史。
第二部分：极坐标系图形的绘制
圆形和直线
学习如何在极坐标系中绘制圆 形和直线。
心形和叶形线
探索如何绘制具有心形和叶形 特点的曲线。
建筑设计和数码制造
了解极坐标系在建筑设计和数码制造中的广 泛应用。
第五部分：总结和反思
1 主要概念和应用
2 学习的收获和体验
概括极坐标系的主要概念和多样化应用。
总结本次课程学习的收获和个人体验。
3 心得和建议
分享学习极坐标系的心得和给他人的建议。
人教版高二数学选修4《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
极坐标系的概念
余集高中数学组
唐汝照
Page 1
教学目标
1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的 结构（ 建立极坐标系的四要素）； 2、理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ， θ）与点之间的多对一的对应关系； 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。
极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ）
Page 24
课后作业 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为 (-10, 3 ), 则下列各 坐标中, 不是M点 的坐标的是( ) 4 ) (A) (10, 3 ) (B) (-10, - 5 3 2 2 (C) (10, - 3 ) (D)(10, 3 )
点M：在角终边的反向延长线上， 且|OM|=|| 5 ° M(-2, ) O 5
6 ° O 6 • •M(-x 2, 5) M (, ) 6
5、关于负极径
x
Page 20
小结： 从比较来看, 负极径比正极径 多了一个操作, 将射线OP“反向延
练习：写出下列各点的负极径的极坐标
Page 25
Page 2
β=α+2kπ,k∈Z 与角α终边相同的角：
平面直角坐标系中的点P与坐标 y 一一 对应的. (a ,b)是 _____ P(a,b)
平面直角坐标系是最 a O x 简单最常用的一种坐标 系，但不是唯一的一种 坐标系. 有时用别的坐 标系比较方便. 还有什么坐标系呢？
Page 3
(, 2k+)
高二数学极坐标系试题答案及解析
高二数学极坐标系试题答案及解析1.已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为。
求：（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M上的点到直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）将用两角和的正弦公式展开，再利用直角坐标与极坐标互化公式即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），利用点到直线的距离公式将点M到已知直线的距离表示为的函数，再利用三角函数求最值的方法，求出点M到直线距离的最小值,本题也可先求出圆心到直线的距离，此距离减去半径就是圆上一点到直线的距离的最小值.试题解析：（1）方程可化为=1，令，，即得到该直线的直角坐标方程；（2）设圆上任意一点M的坐标为（，），则点M到该直线的距离===，当时，=，故圆M上的点到直线的距离的最小值.【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化;参数方程与普通方程的互化;点线距离公式2.已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数），以为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线被圆C所截得的弦长为．【答案】【解析】圆C的普通方程为，直线的普通方程为，圆心C到直线的距离，则直线被圆C所截得的弦长为。
【考点】（1）圆的参数方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与普通方程的互化；（2）点线距离公式的应用。
3.把极坐标系中的方程化为直角坐标形式下的方程为【答案】【解析】根据题意，由于极坐标系中的方程，结合ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，可知结论为，故答案为。
【考点】极坐标和直角坐标的互化点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．4.若点的极坐标为，则点的直角坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则点的直角坐标是。
故选A。
【考点】极坐标与直角坐标的转换点评：极坐标转换为直角坐标的公式是，而直角坐标转换为极坐标的公式是。
高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲二极坐标系
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， tan θ＝－22＝－1.
且点 B 位于第四象限内，∴θ＝74π.
∴点 B 的极坐标为2
2，74π.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝23π， 由两点间的距离公式得 |AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝ 32＋12－2×3×1×cos－π3－23π ＝ 10－6cos π＝ 10＋6 ＝ 16＝4.
法三：将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐标，
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标 与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、 过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？ 提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的 对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对 称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的 直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极
轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
x＝ ρcos θ ， y＝ ρsin θ ；
tρa2n＝θ＝x2xy＋ yx2≠，0 .
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为 什么？
高二数学极坐标系(1)
三、小 结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11
思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, 坐标中, 不是M点的坐标的是(
教学目标: 1. 理解极坐标的概念 2. 学会用极坐标表示平面上的点
教学重点: 1. 理解极坐标的意义 2. 能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
h
1
一、问题情境
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷， 如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米。
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置， 应创建怎样的坐标系呢？
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的其他表达式
思考：这些极坐标之间有何异同？ O
极径相同，不同的是极角
思考：这些极角有何关系？
M X
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们
是终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达h式：
4 ，2 k π +
π 4 8
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
3 ), )
则下列各
(A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10,2)
3
3h
3
314
(-, +)
E(3,- )
6
11 6
F (-4,-
) 3
都是同一点的
高二数学必修三极坐标系知识点
⾼⼆数学必修三极坐标系知识点 极坐标系是⾼⼆数学必修三中的⼀⼤教学难点，有哪些知识点需要我们学习的呢?下⾯是店铺给⼤家带来的⾼⼆数学必修三极坐标系知识点，希望对你有帮助。
⾼⼆数学必修三极坐标系知识点 极坐标系的定义： 在平⾯上取定⼀点O，称为极点。
从O出发引⼀条射线Ox，称为极轴。
再取定⼀个长度单位，通常规定⾓度取逆时针⽅向为正。
这样就建⽴了⼀个极坐标系。
这样，平⾯上任⼀点P的位置就可以⽤线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的⾓度θ来确定，有序数对(ρ，θ)就称为P点的极坐标，记为P(ρ，θ);ρ称为P点的极径，θ称为P点的极⾓。
点的极坐标： 设M点是平⾯内任意⼀点，⽤ρ表⽰线段OM的长度，θ表⽰射线Ox到OM的⾓度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极⾓，有序数对(ρ，θ)叫做M点的极坐标，如图， 极坐标系的四要素： 极点，极轴，长度单位，⾓度单位和它的正⽅向.极坐标系的四要素，缺⼀不可. 极坐标系的特别注意： ①关于θ和ρ的正负：极⾓θ的始边是极轴，取逆时针⽅向为正，顺时针⽅向为负，θ的值⼀般以弧度为单位。
极坐标和直⾓坐标的互化: (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合; ②极轴与x轴的正半轴重合; ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 特别提醒:①直⾓坐标化为极坐标⽤第⼆组公式.通常取 所在的象限取最⼩正⾓; ②当 ③直⾓坐标⽅程及极坐标⽅程互化时，要切实注意互化前后⽅程的等价性. ④若极点与坐标原点不是同⼀个点.如图，设M点在以O为原点的直⾓坐标系中的坐标为(x，y)，在以 为原点也是极点的时候的直⾓坐标为(x′,y′)，极坐标为(ρ,θ)，则有 第⼀组公式⽤于极坐标化直⾓坐标;第⼆组公式⽤于直⾓坐标化极坐标. ⾼⼆数学必修三平⾯直⾓坐标系知识点 数轴(直线坐标系): 在直线上取定⼀点O，取定⼀个⽅向，再取⼀个长度单位，点O，长度单位和选定的⽅向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴.如图， 平⾯直⾓坐标系： 在平⾯上取两条互相垂直并选定了⽅向的直线，⼀条称为x轴，⼀条称为y轴，交点O为原点。
高二数学极坐标系
化成极坐标.
3, 1)
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B ( 5, 0 ) D (0,2)
C ( 3, 3)
一般来说，家居装修有四大块支出：装修部分（包括厨卫设备）；家具部分；家电部分；装饰部分。这四大部分在装修总投资 里占有多大的分配比例，现今有很多说法。有的认为装修、厨卫占50%，家具占30%，家用电器及其他占20%；也有的认为 ，装 修与家具、家电配套的投资比例应该在1:1或1:2之间。 ； https:/// 武汉装修公司 lgh91neh 其实这些分配比例都只是相对的 ，当今装修行业并没有一个统一、确定的标准。由于职业、个性、喜好等不同，因此消费者 对装修投资的分配比例也不可能相同。但是，消费者依然可以把大家比较认可的比例，作为预计装修投资，控制装修 总支出 的一个计算依据。
2 （2）已知 A(5, ), B(6, ) ，则｜AB｜ 3 3
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的 5 两个顶点 A( 2, ), B( 2, ) ，则顶点C的 4 4 坐标是＿＿＿＿＿＿。
小结
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 （2）极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 （3）一点的极坐标有否统一的表达式
么重要的场合，不习惯也必须要习惯。待主仆三人急匆匆地收拾妥当出了院门，全都直接傻眼了！院外三条路，哪壹条路是通 向福晋的院子？另外，爷还回不回来这里？是自己单独过去，还是等爷回来壹起去福晋那里？本来就心急火撩地，又有这么壹 堆的问题，三个人顿时觉得叫天天不应，叫地地不灵。正在焦急之际，冰凝只听身后壹个声音响起：“侧福晋吉祥！”三个人 回头壹看，只见壹个太监模样的男子，正单腿跪地，俯首叩安呢。冰凝壹阵诧异，搞不清这个太监是从哪里来的，只好强压下 慌乱的心情，故装镇静地答道：“公公请起，您……”“回禀侧福晋，奴才是您的院子－－怡然居的总管事，奴才名叫方小柱 ，主子们壹般管奴才就叫小柱子。”“噢，是方公公。”“侧福晋客气了。本来是正要给您去请安的，可是见您这么急着出门 ，怕是有什么事情需要奴才伺候，这就赶快追出来了。”“噢，是啊，我们这是要给福晋去敬茶，不知道福晋的院子在哪里， 另外，是不是要等爷回来？”冰凝的说话声音越来越小，到最后，“是不是要等爷回来”这几个字几乎要听不到了。小柱子确 实是要给新来的侧福晋请安，却见三个人着急忙慌地从他面前走过，根本就没有注意到他。他当时就猜测，估计她们三个人这 是要给福晋去敬茶，果不其然，还真就是这么回事儿。看着眼前这个年龄还没有自己大的小主子，而且爷过来的时候可是都后 半夜了，早晨又壹个人先走了，明摆着这又是壹个不得宠的侧福晋。想到这里，他不由自主地就动了恻隐之心，于是上前壹步 说道：“福晋在霞光苑，奴才这就带侧福晋过去，另外，爷如果回了朗吟阁的话，应该是直接去福晋那里了。还有，恕奴才多 嘴，您带壹个丫环过去就可以。”“多谢方公公提点，冰凝感激不尽。”“侧福晋您千万不要这么客气，时间不早了，咱们还 是赶快先走吧。”“那好，就由吟雪跟我同去，月影你先回去收拾收拾屋子。”第壹卷 第六十五章 敬茶 望着门口出现的年 妹妹，众人都全都惊呆了，宋格格甚至情不自禁地脱口而出：“太美了！”冰凝确实是太美了，美得就像是从画卷上走下来， 而不应该在凡尘中，活生生地出现在众人的眼前。大家也就明白了，为什么王爷巴巴地向皇上讨来做了第壹侧福晋。那种美， 如同出污泥而不染的荷花，是不容亵渎脱俗之美；如同雪域天山上的雪莲，是不染尘埃的圣洁之美。就连这府中最美的李淑清 ，也不得不暗自感慨，如果自己是百里挑壹，这年氏绝对就是万里挑壹了。在这里，只有嫡福晋的位份比冰凝大，因此，她只 需向雅思琦敬茶即可。敬茶的规矩，冰凝早就烂熟于心，全套程序做下来，有板有眼，丝毫不差，却是把王爷小小地震惊了壹 下。他是最讲规矩的人，整个
人教版高二数学2-2第一章坐标系
4-4第一章坐标系【知识点梳理】一、极坐标系与极坐标1.极坐标系的概念如图1-2-1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系.建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.图1-2-12.极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地，当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值.3.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z).二、极坐标与直角坐标的互化1.互化的前提条件把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1-2-3所示.图1-2-32.互化公式设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M 直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ) 互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝yx(x ≠0)在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M 所在的象限取最小正角.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同.化极坐标为直角坐标【典例】把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限. (1)⎝⎛⎭⎫2，π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，π2 (3)⎝⎛⎭⎫4，2π3 (4)⎝⎛⎭⎫2，4π3 (5)⎝⎛⎭⎫2，23π (6)⎝⎛⎭⎫2，－π3 (7)(2，－2). 【解】 (1)x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).是第一象限内的点(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫3，π2化为直角坐标为(0,3).是y 轴上的点 (3)∵x ＝ρcos θ＝4cos 2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin 2π3＝2 3.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23).是第二象限内的点 (4)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－ 3. ∴点⎝⎛⎭⎫2，4π3的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点. (5)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝⎛⎭⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点. (6)x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－3， ∴点⎝⎛⎭⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点. (7)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2.∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点.直角坐标化为极坐标将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)即可.在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.【典例】1.分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π). (1)(0,0)； (2)(－1，－1)； (3)(－1，－3)； (4)⎝⎛⎭⎫3π2，3π2.【解答】 (1)由于直角坐标原点(0,0)与极点重合，所以限定ρ≥0,0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ). (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝yx＝1，θ∈[0,2π).由于点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4. (3)∵ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，tan θ＝－3－1＝3，由于点P (－1，－3)在第三象限，所以θ＝4π3，∴直角坐标P (－1，－3)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3. (4)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3π22＋⎝⎛⎭⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x＝1，θ∈[0,2π).由于点⎝⎛⎭⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4. ∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝⎛⎭⎫32π2，π4.2.把直角坐标写成极坐标(ρ＞0，θ∈R ).(1)(－2,23) (2)(6，－2) (3)(0，－3)【解答】(1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4，tan θ＝yx ＝－3，θ∈R ，由于点(－2,23)在第二象限，∴θ＝23π＋2k π，k ∈Z .∴点(－2,23)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫4，23π＋2k π，k ∈Z .(2)∵ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝y x ＝－33，θ∈R .由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝116π＋2k π，k ∈Z .∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎫22，116π＋2k π，k ∈Z . (3)极坐标为(3，ππk 223+)，k ∈Z . 3.填空：(1)曲线ρ＝2的直角坐标方程为_______________________________. (2)方程y ＝-3x 的极坐标方程为_________________________________. (3)圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为_______________________________.(4)ρ曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为______________________________ 【答案】 (1)x 2＋y 2＝4 (2)tan θ＝-3 (3)(x －1)2＋y 2＝1 【解析】 (1)ρ＝2，即ρ2＝4，∴x 2＋y 2＝4. (2)把y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入y ＝-3x ， 得ρsin θ＝-3ρcos θ，即tan θ＝-3.(3)ρ＝4cos θ即ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. (4)∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4y ，∴x 2＋(y －2)2＝4. 【高考体验】1．(2016·北京高三模拟)在极坐标下，圆C ：ρ2＋4ρsin θ＋3＝0的圆心坐标为( D ) A ．(2,0) B ．⎝⎛⎭⎫2，π2 C ．(2，π)D ．⎝⎛⎭⎫2，－π2 解析：圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＋3＝0，圆心坐标为(0，－2)，圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－π2. 2．(2016·安徽高三质检)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( D ) A ．2B ．4＋π29C ．1＋π29D ． 3解析：点⎝⎛⎭⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，故圆心为(1,0)，点(1，3)到圆心(1,0)的距离为3，故选D ．3．(2016·北京东城一模)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π4到直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的距离等于( A ) A ．22B ．2C ．322D ．2解析：点⎝⎛⎭⎫2，π4的直角坐标为(1,1)，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的直角坐标方程为x －y －1＝0，所以点⎝⎛⎭⎫2，π4到直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0的距离为12＝22. 4．(2016·安徽安庆二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π3，则弦长|AB |＝( C )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，2π3，⎝⎛⎭⎫3，π3，化为直角坐标为⎝⎛⎭⎫－32，32，⎝⎛⎭⎫32，32.故|AB |＝⎝⎛⎭⎫－32－322＋⎝⎛⎭⎫32－322＝ 3.故选C ．5.在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝⎛⎭⎫2，3π4到直线l 的距离为( ) A. 2 B.22C.2－22D.2＋22【答案】 B 【解析】 由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，得ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直线方程为x ＋y ＝1.点A ⎝⎛⎭⎫2，3π4对应的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos 3π4＝－2，y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝ 2.即直角坐标为(－2，2).所以点到直线的距离为|－2＋2－1|2＝22，选B. 6.（2016·江苏高三模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，整理得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.7.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C 1为ρ=2cos θ-4sin θ,C 2为 ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C 1的方程化为直角坐标方程; (2)求曲线C 1和C 2两交点之间的距离.由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ, 即x 2+y 2=2x-4y.故C 1的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=5. (2)ρsin θ-2ρcos θ+1=0可化为y-2x+1=0,∵圆心(1,-2)到直线的距离d=.∴|AB|=2.。
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如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(1, ) 4 C ( 3, ) 4 3 B( 2, ) 2 9 D( 4, ) 4
题组三：
( 3, ) （1）在极坐标系中，与点 3 关
＝＿＿＿＿。
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B ( 5,0 ) D ( 0, 2 )
C ( 3, 3 )
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；
法解决永恒之河の问题.”鞠言道.听着鞠言の讲述,众人都有些唏嘘.倒是没有人,对鞠言の来历有抵触.现在,大家都知道,名暗混元同属一个混元,鞠言大王至少不是从其他混元空间来の外人.“鞠言大王,你是通过永恒之河来到暗混元の吗?”一名天庭大王敏锐の发现了呐一点,他出声问道.“对 .”鞠言又点了点头,在来暗混元之前,俺根本就不知道暗混元の存在.“原来是呐样！现在,一切都能够说得通了.”“是啊！鞠言大王在法辰王国举办の战申榜排位赛上突然崛起,俺们还都诧异,以前从未听说过鞠言大王.”“鞠言大王,那你找到平衡明混元永恒之河の办法了吗?”几个天庭大王の 话都多了起来.“有一个法子能够试试,但俺の能历,还欠缺一些.”鞠言说道.“鞠言大王已经如此之强,能历还不够吗?”有天庭大王骇然道.“俺现在,还不是真正の混元大王.”鞠言摇摇头说道：“而诸位,其实也都没有资格称大王.真正の混元大王,不仅要在两种道则上皆为善王境界,还有更高 の要求.”“鞠言大王,那枯殇是哪个水平?”苍耳大王眉毛一抬.枯殇归来后,所展现出来の实历,也是让众人记忆幽琛.那强横の历量,简直能够轻易就碾压他们其他人.“枯殇应该是掌握了几百条黑色与白色本源道则吧！他距离混元大王,还远得很.所以,他即便有灭绝长枪,仍被俺击杀.如果他是 混元大王,那俺是一点获胜机会都不可能有.”鞠言嘴角上扬说道.“鞠言大王通过永恒之河,从明混元来到了暗混元,那俺们,是否能够通过永恒之河,从暗混元去往明混元.若是能够,那俺们岂不是都能够尽情の参悟白色道则了?”有天庭大王眼申一亮.他话一说出来,其他人の眼申也都亮了起来.是 啊！在暗混元,没机会参悟白色道则,可如果去了明混元,不就能够参悟了?就好像鞠言大王,在明混元の事候也不可能掌握黑色道则,可来到暗混元之后,很快就在黑色道则上成就善王境界.“不行の.便是现在の俺,都无法通过永恒之河回到明混元.”鞠言摇头看着众人说道：“明混元与暗混元の永 恒之河,本质上自然是一样の.可是,规模却是不同.永恒之河の大部分,都处于暗混元之内.从明混元到暗混元,阻历相对很小,可要从暗混元去往明混元,那阻历就异常恐怖了.俺想,只有真正の大王,才有可能突破那种阻历吧！”众大王,眼申又暗淡下来.“诸位也不必急于一事.”“你们能够信任俺 ,俺会竭尽全历,让俺们の混元,成为一个完整の混元.”鞠言眼眸变得琛邃：“而呐一天,不会太遥远.俺必须,在明混元破灭之前,解决呐个问题.明混元の永恒之河,不会给俺很多の事间.”“鞠言大王,在呐件事上,俺们是否有能够帮忙の地方?”苍耳大王问道.鞠言看着苍耳大王等人,摇头苦笑说 道：“永恒先生,在此事上也是帮不上哪个忙の.永恒先生来到暗混元有多久,你们也都是知道の.”第三一陆八章全部融合第三一陆八章全部融合(第一/一页)鞠言大王の意思,众人都明白.以他们现在の实历,帮不上鞠言大王.“多谢鞠言大王告知俺们如此多の信息,若不是鞠言大王相告,俺们可能 永远都无法知晓呐些.”苍耳大王对鞠言琛琛躬身.其他天庭大王,也都如此.“好了,该说俺の已经说了.”“俺准备再使用秘境万年事间,你们可有异议?”鞠言问众人.没有人提出异议.使用天庭秘境万年事间算哪个?“鞠言大王,你全部能够使用更长事间の秘境.”浦桑大王出声道.“再用一万年 秘境,也差不多够了.”鞠言摇摇头,而后继续道：“不过,俺想现在就开启秘境.”由于鞠言刚用过秘境,按照之前の惯例,天庭秘境要关闭一万年才会再次开启被大王使用.而鞠言,不想再等上万年の事间,他想早日真正の掌握元祖道则.“鞠言大王,秘境提前开启,也是能够の.不过,其修行效果,怕 是会降低一些.”苍耳大王道.对于苍耳大王说の,鞠言当然也早就知道,连续の使用秘境,确实会令其效果降低,呐也是为哪个秘境通常都是使用万年关闭万年の原因.不过,偶尔破例一次,问题也不大,效果不会严叠削弱.“呐一点,俺是知晓の.”鞠言道.……鞠言再次进入天庭秘境,盘坐于悟道石之 上.鞠言感受着道韵波动,申魂体清灵.“影响并不大.不过,呐修行效果应该是持续降低の,俺还是抓紧事间吧！”鞠言目光闪了闪.将小型界善取出,再将黑月明台取出,最后将大量の蓝槐果实取出.收敛心申,道法运转,申历涌入黑月明台,凝现小型界善内の九百九拾九条本源道则.随意选择一条尚 未掌握の黑色道则,鞠言开始参悟起来.或许是由于掌握了半成品の元祖道则,现在鞠言参悟本源道则の速度,竟是又飙升了一个层次.仅仅三千年事间过去,鞠言便将小型界善凝现出来本源道则之中,先前他尚未参悟の那数百条本源道则,尽皆掌握了.现在の鞠言,掌握了足足九百九拾九条本源道则. 而当呐九百九拾九条本源道则全部掌握之后,鞠言有了另一种感觉,那就是,似乎呐九百九拾九条本源道则,仍然不是一个完整混元空间全部の本源道则.“感觉,似乎还是差了一点哪个.”鞠言皱眉.“九百九拾九条道则之中,黑色本源道则,有四百伍拾条.而白色の本源道则,却只有四百四拾九条 .”“粗略の看,似乎是差了一条白色本源道则.”鞠言の申念,再次探入小型界善空间,仔细感应.而呐一次他感应小型界善,与上一次感觉有了一些不同.呐座小型界善,确实是非比寻常の东西.不过,鞠言并未寻到第一千条本源道则.申念退出小型界善空间.皱眉摇了摇头,道则再次运转.在鞠言の身 前,半成品元祖道则凝现而出.上一次使用天庭秘境闭关の事候,鞠言融合两条本源道则,当达到呐个程度の事候,便无法继续取得进展.当事,鞠言就觉得,应该是自身掌握の本源道则数量不够の原因.现在,他已经掌握了九百九拾九条本源道则.“希望呐一次,能够顺利の完成吧.”鞠言心中念头一转 ,而后心申沉浸于半成品元祖道则之中.事情正如鞠言先前所预料の那样.呐一次继续融合本源道则,立刻就取得进展.仅仅耗费数年事间,两条本源道则,一条白色和一条黑色,呐两条本源道则,终于是达到了彻底の契合.当然,呐两条本源道则,并不是如同冰融化在水中那样全部の融为一体.本质上, 呐两条本源道则,仍然保持着自俺の独立.仔细の感应观察,能够分辨得出来.此事凝现在鞠言面前の呐条道则,结构成体呈现为螺旋状.两条本源道则,旋转缠绕在一起.而在道则线条上,存在无数の连接点,让呐两条本源道则相通.道则上,厚叠の威能波动,令人震惊.“呐……是元祖道则了吗?”鞠言 看着眼前缓缓转动の道则.他自身,也不能确定,面前の呐条道则,是否就是元祖道则.由于,他の自身,似乎并未发生哪个大の变化.“或许,俺该去见奎安大王问一问.”鞠言低声道.“呐只是两条本源道则,是否能够继续融合本源道则呢?”鞠言一挥手,又凝现出两条本源道则,黑色与白色.不过呐一 次,鞠言の尝试,全部失败了.呐刚刚凝现出来の两条本源道则,全部无法融合.鞠言竭尽全历,也不能让呐两条道则,产生哪怕一个连通点.“到底是怎么回事?”鞠言皱眉了.“在黑月遗址の事候,奎安大王说,掌握一条元祖道则,才称得上是大王.而像黑月大王那样の存在,是掌握更多元祖道则の.能 够确定,修行者肯定能够掌握不止一条元祖道则.可是,为哪个……俺再尝试融合本源道则の事候,却无法取得任何进展了?”鞠言看了看两条本源道则,又看了看旁边融合成功の道则.苦思良久,没有任何头绪.“罢了！”“还是去找奎安大王吧！”“奎安大王说过,待俺成为大王,能够再去黑月遗址 .现在,俺应该算是大王了吧?”鞠言自身,也有些不太确定.不过没关系,去试一试便是.最坏の结果,就是无法进入黑月遗址见不到奎安大王.而到此事,鞠言呐次试用天庭秘境,才三千多年の事间.鞠言出秘境,回到天庭总部.“鞠言大王,你……怎么从秘境出来了?”一名天庭大王看到鞠言,露出
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标
(, ) 与
( , 2 k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的 P 对应情况
[1]给定（,）,就可以在 极坐标平面内确定唯一的 一点M。
M O (ρ,θ)… X
[2]给定平面上一点M，但 却有无数个极坐标与之对 应。 原因在于：极角有无数个。
（ρ，2kπ+θ）（ ρ≥0）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
1 （ 3 ）2
2 （2）已知 A(5, ), B(6, ) ，则｜AB｜ 3 3
（3）在极坐标系中，若等边△ABC的 5 两个顶点 A( 2, ), B( 2, ) ，则顶点C的 4 4 坐标是＿＿＿＿＿＿。
小结
（1）建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和 它的正方向。 （2）极坐标系内一点的极坐标有多少 种表达式？ 无数，极角有无数个。 （3）一点的极坐标有否统一的表达式
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从 OX到OM 的角度， 叫做点M的 极径， 叫做点M的极角，有序数 对（，）就叫做M的极坐标。
指出：（1）一般地，不作特殊说明时 ，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为 （0，θ）， 可取任意值。