电路原理(邱关源)习题答案相量法

第八章 相量法

求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。

所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。

8－1 将下列复数化为极坐标形式：

（1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=； （4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。 解：（1）a j F =--=551θ∠

25)5()5(2

2=-+-=a )

13555

arctan -=--=θ(因1F 在第三象限) 故1F 的极坐标形式为

135251-∠=F

（2）

13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二

象限）

（3）

43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F （4） 9010104∠==j F （5） 180335∠=-=F

（6） 19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F

注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即

θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：

2

2

21a a a +=

12arctan

a a =θ

和 θcos 1a a = θsin 2a a = \

需要指出的，在转换过程中要注意F 在复平面上所在的象限，它关系到θ的取值及实部1a 和虚部2a 的正负。

8－2 将下列复数化为代数形式：

（1） 73101-∠=F ；（2）

6.112152∠=F ；（3） 1522.13∠=F ；

（4） 90104-∠=F ；（5） 18051-∠=F ；（6）

135101-∠=F 。 解：（1）56.992.2)73sin(10)73cos(1073101j j F -=-⨯+-⨯=-∠= （2）85.1376.56.112sin 156.112cos 156.112152j F +-=+=∠=

（3）

56.006.1152sin 2.1152cos 2.11522.13j F +-=+=∠=

（4）

1090104j F -=-∠= （5）518051-=-∠=

F

~

（6）

07.707.7)135sin(10)135cos(10135101j F --=-+-=-∠=

8－3 若

ϕ∠=∠+∠175600100 A 。求A 和ϕ。 解：原式=ϕϕsin 175cos 17560sin 60cos 100j ja A +=++

根据复数相等的

定义，应有实部和实部相等，即

ϕcos 17510060cos =+ A

虚部和虚部相等

ϕsin 17560sin =

A 把以上两式相加，得等式

020*******=-+A A

解得

⎩⎨

⎧-=⨯+±-=069.20207.10222062541001002A 所以

505

.0175

23

07.102175

60sin sin =⨯

==

A ϕ

？

34.30=ϕ

8－4 求8－1题中的62F F •和62F F 。

解：

19.7361.913.1435)20.978.2()34(62∠⨯∠=+⨯+-=⨯j j F F

68.14305.4832.21605.48-∠=∠=

94

.6952.019.7361.913.143520.978.23462∠=∠∠=++-=j j F F

8－5 求8－2题中的51F F +和51F F 。

解：

1805731051-∠+-∠=+F F 5)73sin(10)73cos(10--+-=

j $

27.10278.956.908.2-∠=--=j

10721807321805731051∠=+-∠=-∠-∠=F F

8－6若已知。,)60314sin(10,)60314cos(521A t i A t i

+=+-=

A t i )60314cos(43

+= （1） 写出上述电流的相量，并绘出它们的相量图； （2） 1i 与2i 和1i 与3i 的相位差； （3） 绘出1i 的波形图；

（4） 若将1i 表达式中的负号去掉将意味着什么 （5） 求1i 的周期T 和频率f 。

…

解：（1）)120314cos(5)18060314cos(5)60314cos(51

-=-+=+-=t t t i )30314cos(10)60314sin(102 -=+=t t i

故1i ，2i 和3i 的相量表达式为

A I A I A I 6024,30210,120253

21∠=-∠=-∠=

其相量图如题解图（a ）所示。

题解8－6图

（2）

90)30(1202112-=---=-=ϕϕϕ

180601203113-=--=-=ϕϕϕ

（3）1i （t ）的波形图见题解图（b ）所示。 …

（4）若将1i （t ）中的负号去掉，意味着1i 的初相位超前了180

。即1i 的参考方向反向。

（5）1i （t ）的周期和频率分别为

ms s T 2002.031422===

=

π

ω

π

Hz T f 5002.0121====

πω

注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差，因此在比较相位差时，两个正弦量必须满足（1）同频率；（2）同函数，即都是正弦或都是余弦；（3）同符合，即都为正号或都为负号，才能进行比较。