2021届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版)

2021届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期开学考试
数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合2{|20}M x x x =->，{|3}N x x =>，则集合M 与N 的关系是( ) A ．M N ⋂=∅ B ．M N R = C ．M N N ⋃= D ．M
N N =
【答案】D
【解析】化简集合A ，根据交集定义，即可求解. 【详解】
由2{|20}{|0M x x x x x =->=<或2}x >，{|3}N x x =>， 得{|3}M N x x N ⋂=>=，{|0M N x x ⋃=<或2}x M >=， 故选:D . 【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
2．已知i 为虚数单位，若复数22i z i ⋅=-，则z =（ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D 【答案】D
【解析】先根据复数代数形式的四则运算求出复数z ，再根据复数的几何意义求出复数的模． 【详解】
解：∵22i z i ⋅=-， ∴()2222
i i
i z
i --=
=
-12i =--，
∴2z ==， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模，属于基础题．
3．如图，网格纸的正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6
B ．18
C ．12
D ．36
【答案】A
【解析】根据三视图可得几何体的直观图（如图所示），从而可求其体积． 【详解】
作一个长，宽，高分别为4,3,3的长方体，根据三视图得该几何体为三棱锥A BCD -（如图），因为三棱锥A BCD -的四个顶点，都在同一个长方体中，所以三棱锥A BCD -体积为11
433632
A BCD V -=
⨯⨯⨯⨯=,故选A .
【点睛】
本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系． 三棱锥体积的计算应该选择合适的底面（以顶点到该底面的距离的计算容易求为宜）. 4．已知等差数列的前15项和1530S =，则2139a a a ++=（ ） A ．7 B ．15
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】【详解】
设等差数列的等差为{},n d a 前15项的和1530S =，
()
11515302
a a +∴
=，可得172a d +=，
则()()()2913111812a a a a d a d a d ++=+++++()1376a d =+=.
故选：C.
5．已知函数()42
x x
a
f x +=是奇函数，则()f a 的值为（ ） A ．52
-
B ．
52
C ．32
-
D ．
32
【答案】C
【解析】由()()f x f x -=-求出1a =-，然后可算出答案. 【详解】
因为函数()42x x
a
f x +=是奇函数，
所以()()f x f x -=-，即4422x x x x a a
--++=-，即14422x
x
x x
a a +⋅+=-，所以1a =- 所以()41
2
x x
f x -=，所以()()11413122f a f ---=-==- 故选：C 【点睛】
本题考查的是函数的奇偶性的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题. 6．在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，2DA ED DF -=，则DF =（ ） A ．
13
24
AB AD - B ．12
23
AB AD - C ．13
34
AB AD -
D ．
132
3
AB AD - 【答案】A
【解析】利用基底向量,AB AD 表达2DA ED DF -=再根据向量的线性运算化简即可. 【详解】
由题, 13
22
DA ED AD DC CE A AB D AD AD AB -=-++=-+-=-. 即313
2224
DF AD D AB F A AB D =-
⇒=-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算以及基底向量的用法,需要根据题意确定基底向量,再化简运算即可.属于基础题.
7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：
安全出口编号甲，乙乙，丙丙，丁丁，戊甲，戊
疏散乘客时间（s）120220160140200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）
A．甲B．乙C．丁D．戊
【答案】C
【解析】先阅读题意，再结合简单的合情推理计算可得解．
【详解】
设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a、b、c、d、e，
则a+b＝120，b+c＝220，c+d＝160，d+e＝140，a+e＝200，
解得：a＝60，b＝60，c＝160，d＝0，e＝140，
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，
故选C．
【点睛】
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．
8．已知α，β，γ为平面，l是直线，若α∩β＝l，则“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直，面面垂直的关系进行判断即可． 【详解】
由α⊥γ，β⊥γ，在γ内任取一点P ，过P 作a 垂直于α，γ的交线，则a⊥α，又l ⊂α，则a⊥l ，
同理，在γ内过P 作b 垂直于β，γ的交线，则b⊥l ， 可推出l ⊥γ，反过来，
若l ⊥γ，α∩β＝l ，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ， 故“α⊥γ，β⊥γ”是“l ⊥γ”的充要条件， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间线面垂直关系是解决本题的关键． 9．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．7
5
-
B ．77125
-
C ．
77125
D ．75
【答案】B
【解析】由正弦定理得，
653
cos sin sin sin 2sin 5
AC AB C B C C C =⇒=⇒=,由余弦定理得，22211
cos 25
BC AC AB C BC AC BC +-=⇒=
⋅,则77cos 125BC θ=- ，故选B. 10．已知点(,)M x y 是抛物线24y x =上的动点，则
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】A （3，1）和
F （1，0）与在抛物线24y x =上的动点P 的距离之和，利用抛物线的定义将到F 的距离转到到准线的距离即可求解. 【详解】
A （3，1）
和F （1，0）与在抛物线24y x =上的动点P 的距离之和，又F （1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点P 到F （1，0）的距离等于到x=-1的距离，∴只需要过A 作x=-1的垂线交抛物线于P ，交准线于M ，则AM=4即为所求. 故选B. 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题．
11．若双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y ++=所截得
的弦长为3，则E 的离心率为（ ）
A B C ．2 D ．
3
【答案】C
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=，则可求出圆心到该渐近线的距离d ，代入弦长公式，可得,a c 关系，即可得答案. 【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为0bx ay +=， 则圆心(3,0)-到该直线的距离
3b d c
=
=
，
由题意得，3=2234b c =，
所以22222314c a a c c -=-=，
所以221
4
a c =，即2c e a ==．
故选：C 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率的求法，考查直线与圆相交的弦长问题，解题关键是求出圆心到渐近线的距离，进而表示出弦长.考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 12． 已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()0''g x f x g x f x g x ≠>，，
且()()(0x
f x a
g x a =>且1)a ≠，
()()
()()
115
112f f g g -+
=
-，对于有穷数列
()()
(1,2,f n n g n = ,10)，任取正整数()110k k ≤≤，则前k 项和大于
15
16
的概率是（ ） A ．
3
10
B ．
25
C ．1
2 D ．35
【答案】D 【解析】【详解】
由()()()()()()()2
''0f x f x g x g x f x g x g x '⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦
， ()
()
f x
g x ∴
单调递减，又
()()x f x a g x =，故01a <<， 所以由
()()
()()
115112f f g g -+=
-，得12
a = ()()f n g n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬⎪⎪⎩⎭是首项为
()()1112f g =，公比为12的等比数列， 其前n 项和1151216
n
n S ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭5n ⇒≥， 所以，63105
P ==. 故选：D.
二、填空题 13．若二项式（x
）n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数为__． 【答案】1120
【解析】由题意可得：n =8.
∴通项公式388218
8((2)r r r
r r r
r T C x C x --+==-，
令3
82
r -
=2，解得r =4. ∴展开式中含x 2项的系数为44
8(2)C -.
故答案为1120.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 14．已知函数()3
2153
f x x x ax =-+-在区间[]1,2-上不单调，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】()3,1-
【解析】求导函数，先考虑其反面函数单调时a 的范围，再求结论的补集即可得到结论. 【详解】
()()2
2211f x x x a x a '=-+=-+-，
若函数()3
2153
f x x x ax =
-+-在区间[]1,2-上单调， 则()0f x '≥或()0f x '≤在[]1,2-上恒成立， 即10a -≥或()130f a '-=+≤， ∴1a ≥或3a ≤-，
于是满足条件的实数a 的范围为()3,1-， 故答案为：()3,1-. 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.
15．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 【答案】2
2
(3)4x y -+=
【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】
22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，
则有: 212122
211
2y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，
所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为2
2
(3)4x y -+=.
故答案为：22(3)4x y -+= 【点睛】
此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 16．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b 满足
(2)(2)
()()(),(2)2,(*),(*)2n n n n n
f f f a b af b bf a f a n N b n N n ⋅=+==∈=∈，
有以下结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①③④
【解析】逐项排除，对于①②特殊值排除，对③④构造等差数列求通项. 【详解】
已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b 满足，有以下结论： 对于①，令0a
b ，则(0)0f =，令1a b ==，则(1)2(1)f f =，(1)0f =，正确；
对于②，若()f x 为偶函数，则(1)(1)0f f -==，
(12)(2)2(1)(2)2(2)f f f f f -⨯=-+-=-=-≠，错误；
对于③，令12,2n a b -==，得111(2)2(2)2(2)2(2)2n n n n n f f f f ---=+=+，
所以1(2)(2)122n n n n
f f -=+，由(2)n n f a n =，(*)n N ∈ ，得11(1)122n n n n na n a ---=+， 1(2)2a f ==，2n n na ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
是等差数列，所以 2n n a =，正确；
对于④，由③知(2)n n f a n
=，2n
n a =，所以(2)(*)22n n n n
n na f b n n N ===∈，正确. 故答案为：①③④. 【点睛】
本题考查函数与数列的结合，构造数列求通项公式.
三、解答题
17．已知等差数列{}n a ，记n S 为其前n 项和(*n N ∈)，且33a =-，315S =-. （1）求该等差数列{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足14b =-，34b S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）29n a n =-，*n N ∈；（2）答案见解析. 【解析】（1）由条件建立方程组求解即可； （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，由条件可求出2q 或2-，然后分两种情况讨论即
可. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=，()112
n n n S na d -=+
，
由题意，得1123,
32
3152a d a d +=-⎧⎪
⎨⨯+=-⎪⎩，解得172a d =-⎧⎨=⎩， ∴{}n a 的通项公式72(1)29n a n n =-+-=-，*n N ∈.
（2）设等比数列{}n b 的公比为q ， 由（1）得()443
742162
S ⨯=-⨯+
⨯=-， ∴3416b S ==，∴2
311644
b q b -=
==-，∴2q 或2-，
当2q
时，()()12141242112
n n n n b q T q
+--⨯-=
=
=---，
当2q =-时，241(2)(2)41(2)
33
n n n T +⎡⎤-⨯---⎣⎦
==---.
【点睛】
本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 18．2019年10月17日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部50人，B 镇有基层干部80人，C 镇有基层干部70人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从A ，B ，C 三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成5组：[)5,15，[)15,25，[)25,35，[)35,45，[)45,55，绘制成如下频率分布直方图．
（1）求这40人中有多少人来自B 镇，并估算这40人平均走访多少贫困户？ （2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取4人，记这4人中工作出色的人数为X ，求X 的数学期望． 【答案】（1）16人，5700户（2）
12
5
【解析】（1）由分层抽样按比例分配原则求得B 镇比例，再从40人中按比例抽取即可；按照平均数等于各组中间数值乘以对应频率之和计算即可 （2）由频率分布直方图，计算出工作出色的概率为
3
5
，易知工作出色的人数符合二项分布，结合概率公式计算，列出分布列，即可求出数学期望 【详解】
（1）A ，B ，C 三镇分别有基层干部50人，80人，70人，共200人，利用分层抽的方法选40人，则B 镇应选取80
4016200
⨯
=（人） 40名基层干部走访贫困户的平均数量x 为
100.15200.25300.3400.2500.128.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为28.52005700⨯=（户） （2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选1人， 其工作出色的概率为
3
5
易知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，且3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4
38145625
P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，
()133423216355625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22
2423216255625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3
1
42396155625P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4
21605625
P x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为 X
4
3
2
1
P 81625 216
625 216
625 96625 16
625
()312
455
E x =⨯=
【点睛】
本题考查分层抽样中某层抽样数的计算，频率分布直方图中平均数的计算，离散型随机变量期望的求解，属于中档题
19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1A C 与平面11A ADD 及平面ABCD 所成角分别为030，045，,M N 分别为1A C 与1A D 的中点，且1MN =.
（1）求证：MN ⊥平面11A ADD ；
（2）求二面角1A A C D --的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析;（26
. 【解析】（1）根据中位线定理可得MN∥CD，由长方体的性质可得CD⊥平面11A ADD ，从而可得结果；（2）以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面1A CD 与平面1A AC 的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式及同角三角函数之间的关系，可得结果. 【详解】
（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，
因为11M N AC A D ，分别为，的中点，
所以MN为1ACD
△的中位线，所以MN∥CD，
又因为CD⊥平面11
A ADD，所以MN⊥平面
11
A ADD．
（2）解：在长方体1111
ABCD A B C D
-中，因为CD⊥平面
11
A ADD，
所以
1
CA D
∠为
1
A C与平面
11
A ADD所成的角，
即
1
CA D
∠=30，
又因为1A A⊥平面ABCD，
所以
1
ACA
∠为
1
A C与平面ABCD所成的角，
即
1
45
ACA
∠=︒，
所以1
MN=，2
CD=，
1
4
AC=，
1
A A=22，22
AC=，
如图2，分别以AB，AD，1
AA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A xyz
-，∴A(0，0，0)，D(0，2，0)，(12222
C，
(10022
A，C(2，2，0)，B(2，0，0)，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
∴BD是平面1A AC的法向量，()
220
BD=-，，.
设平面1A CD的法向量为()
n x y z
=，，，
由()
200
DC=，，，()
1
0222
DA=-
，，，
所以有
20
2220
x
y z
=
⎧⎪
⎨
-+=
⎪⎩
，
，
∴0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，，取z=1，
得平面1A CD 的一个法向量为()
021n =，，
. 设二面角1A A C D --的大小为α，
则cos 3α=
=
，∴sin 3
α=． 二面角1A A C D --
. 【点晴】
本题主要考查线面垂直的判定、利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：26x y =与直线l ：3y kx =+交于M ，N 两点. （1）若MON ∆的面积为18，求k ；
（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？若存在，求以线段OP 为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1
）k =2）存在，方程为2
2
3
9()2
4
x y ++=
（或22
30x y y ++=） 【解析】（1）联立直线与抛物线方程，设出M ，N 两点坐标，结合韦达定理，由弦长公式求出MN ，由点到直线距离公式求出O 到l 的距离，再由1
182
S d MN =⋅=即可求出结果；
（2）OPM OPN ∠=∠等价于直线PM ，PN 倾斜角互补，所以只需求出使直线PM ，
PN 斜率之和为0的P 点坐标即可，进而可求出结果.
【详解】
解：（1）将3y kx =+代入2
6x y =，得26180x kx --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则126x x k +=，1218x x =-， 从而
MN ==
因为O 到l
的距离为d =
所以MON ∆
的面积1
182
S d MN =⋅== ，
解得k =（2）存在符合题意的点，证明如下：
设()0,P b 为符合题意的点，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k . 从而121212
y b y b
k k x x --+=
+ ()()
121212
23kx x b x x x x +-+=
()
12
3663k k b x x -+-=
.
当3b =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,3P -符合题意.
故以线段OP 为直径的圆的方程为2
23924x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭（或22
30x y y ++=）
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的综合应用，以及圆的方程，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式和韦达定理等，即可求解；求圆的方程时，只需求出圆心和半径即可求出结果，属于常考题型.
21．已知函数()ln 21f x a x ax =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）对任意的1≥x ，不等式()1
0x f x e -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）1a ≤
【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）设()1
()x g x f x e -=+问题转化为求min ()0g x ≥，通过讨论a 的范围，求出()
g x 的最小值即可． 【详解】 （1）()()
12a x f x x
'-=
当0a >时，令()()1100,022
f x x f x x '>⇒<<
<⇒>'， 所以此时()f x 在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
递增，1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
递减； 当0a <时，令()()110,0022
f x x f x x ''>⇒>
<⇒<<， 所以此时()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
递减； （2）令()()1
1ln 21x x g x f x e
a x ax e --=+=-++，1≥x ，
()()112,2x x a a
g x a e g x a e x x
--∴=
-+∴=-+'， 令()()211
2
2,x x a x e a h x a e h x x x --'-=-+=，
令()21
x x x e
a ϕ-=-，显然()x ϕ在1≥x 时单调递增，
()()11x a ϕϕ∴≥=-；
当1a ≤时，()()()()10,0,x h x h x ϕϕ'≥≥≥在[)1,+∞上递增， 所以()()110h x h a ≥=-≥，则()0g x '≥，()g x ∴在[)1,+∞上递增，
()()1220g x g a ∴≥=-≥，此时符合题意；
当1a >时，()10ϕ<，此时在[)1,+∞上存在0x ，使()x ϕ在()01,x 上值为负， 此时()0h x '<，()h x 在()01,x 上递减，此时()()110h x h a <=-<，
()g x ∴在()01,x 上递减，()()1220g x g a ∴<=-<，此时不符合题意；
综上：1a ≤ 【点睛】
导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知点()1cos ,sin P αα+，[]0,απ∈，点Q 在曲线C
：
10
4ρπθ=
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭上.
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求PQ 的最小值.
【答案】（1）点P 的轨迹方程为()2
211x y -+=，曲线C 方程为100x y -+=；（2
）
12
-. 【解析】(1)利用题中所给的条件求解点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程即可； (2)求解直线与圆心距离的最小值，然后减去半径可得PQ
的最小值为12
-. 【详解】
（1）由题意可知点P 的轨迹方程为：
1cos (sin x y α
αα=+⎧⎨
=⎩
为参数，0)απ≤≤， 消去参数得点P 的轨迹方程为()2
211x y -+=，
由
1010
sin cos 4ρπθθθ=
=
-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭， 曲线C 方程为100x y -+=
（2
）
1PQ
=
=
min 1PQ ∴=
. 23．已知函数()1 1.f x x m x =++-
（Ⅰ）当2m =时，求不等式()4f x <的解集； （Ⅱ）若0m <时，()2f x m ≥恒成立，求m 的最小值．
【答案】（Ⅰ）51,3⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭x ；
（Ⅱ）1-. 【解析】（Ⅰ）作出函数的图象，结合函数图象可得不等式的解集为51,3⎛
⎫- ⎪⎝⎭
（Ⅱ）先化简式子可得
1
|1||1|2x x m
-
+≥--，然后画出|1|2y x =--及1
|1|y x m
=-
+的图象，可得m 的最小值为1-. 【详解】
（Ⅰ）法一：当2m =，即解不等式1214x x ++-<时，
13,1()3,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪->⎩
，
作出图象：
结合图象及()f x 的单调性，又5()(1)43
f f =-=
所以()4f x <的解集为5(1,)3
x ∈-． 法二：1214x x ++-<等价于
1134x x <-⎧⎨
-<⎩或1134x x -≤≤⎧⎨-<⎩或1
314x x >⎧⎨-<⎩
解得x φ∈或(1,1]x ∈-或5
(1,)3
x ∈，
即
5
(1,)
3
x∈-．
（Ⅱ）方法一：由()2
f x m
≥得|1|(2|1|)
x m x
+≥--
由0
m<，所以
1
|1||1|2
x x
m
-+≥--，
画出|1|2
y x
=--及
1
|1|
y x
m
=-+的图象
根据图象性质可得
1
1
m
-≥，综上10
m
-≤<．
故的m最小值为1
-．
方法二：
(1)1,1
()(1)1,11
(1)1,1
m x m x
f x m x m x
m x m x
--+-<-
⎧
⎪
=-+++-≤≤
⎨
⎪+-+>
⎩
，
要使得()2
f x m
≥恒成立，即
min
()2
f x m
≥．
则()
f x必有最小值．
因此()
f x在(,1)
-∞-必单调递减或为常函数，
在(1,)
+∞必单调递增或为常函数．
即10
m
--≤且10
m+≥即1
m≥-．
又0
m<，故()
f x在上[1,1]
-是增函数，
即min
()(1)2
f x f m
=-=．解(1)2
f m
-≥恒成立．综上10
m
-≤<．故m的最小值为1
-．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.。