CFD数值模拟原理2

函数Φ（x,t) 在网格某点(i+1,n)在 (i,n)点上展开：i—空间位置；
n—时间点；
Φ(x) Φ(x+ Δx)
(i 1,n) (i,n)
x
(i, n)x
2
x2
(i, n)
x2
2
•••
x X+Δx
x
(i, n)
(i
1,n) (i,n) x
2
x2
(i,
n)
x
2
•••
(i 1,n) (i,n) O(x) x
外节点；难。
采用不均匀网格，可以在复杂处加密，提高计算精度。
§2-2 方程的守恒特性分析
( ui
t
uj
ui x j
)
Fi
p xi
xi
(
uk xk
)
[( ui u j )]
x j x j xi
ui 0 xi
ui
xi
ui
xi
ui xi
ui
xi
以不可压 缩流体为 例。
§2-3 Taylar展开
Sdxdt
积分号内的近似处理方法：
（1）分段线性分布法
e
Φ
w
WP
E
（2）阶梯分布法
Φ
w
WP
E
w
1 2
(P
W )
e
1 2
(P
E )
x
w W e P
x
e
[( )tt ( )t ]dx [( )tPt ( )tP ]x
w
t t
[(u)e (u)w ]t [(u)te (u)tw ]t
t
( ) (u ) ( ) S
t
x x x
在控制容积上积分: w-e, t-Δt
[() (u)]dxdt [ ( ) S]dxdt
t,x t
x
t,x x x
e
t t
[()tt ()t ]dx [(u)e (u)w]dt
w
t
t t t
[(
x
)e
(
x
)w
]dt
t,x
2.控制容积平衡法 基本原理：是将守恒定理直接应用于所研究的控制
容积。 如：有源项的一维对流、扩散问题
1
() (u) S ( ) 1 w
t
x
x x
P
ee
Δx
对于P点的控制容积中变量Ф，守恒定律：Δt时间内:
△Ф =由对流及扩散作用流进-流出该控制容积Ф值 +源项所生之值
pn1
pn
x
uw
得差分方程：
;O(t) x X+Δx (i-1) (i)
x+2 Δx
(i+1)
n1 i
in
t
u
n i 1
n i 1
2x
n i 1
2in
x2
n i 1
Sni
（前差分） （中心差分）
FTCS格式
Forward Time and Central Space
§2-4 控制容积积分法及控制容积平衡法 1、控制容积积分法
（1）将守恒型方程在控制容积及时间间隔内，将方 程对空间和时间分别积分。
（2）选定未知函数在分界面（或时间间隔）上的分 布规律（分布曲线）或插值方法
（3）积分，并整理出关于节点上未知值的差分方程
控制容积
w
e
W
P
E 分界面
显式：上一时刻的值作为下一时刻的初值求解，
隐时：在同一时刻上求解。
采用守恒型方程：
x
X+Δx
Δx
用δΦ/ δx表示一阶差分。
P (I-1,n) (i,n) (i+1,n)
(i, n) (i 1, n) (i,n) ;O(x)
x
x
前差
同理，后差，中心差分—在工程数学已学。 Φ(x) Φ(x+ Δx) Φ(x+2 Δx)
(i, n) (i, n 1) (i, n)
t
t
第二章 对流—扩散方程的差分格式及分析
§2-1 空间区域的离散方法
将控制区（流体 流动区域）划分
1、流动空间划分成互不重叠的子区域 为离散区域 (网格)
控制体
流体入口
内节点
流体流动区域
出 口
网格 （I,J,K)
出 口
外节点 分界面
控制容积
（1）节点： 需要求解未知物理量的空间几何位置 （2）控制容积：空间实体的面积或体积 （3）界面：控制容积之间的分界面 （4）网格线：连接各节点之间的连线
t t [(
t
x
)e
(
x
)w
]dt
[(
x
)te
(
x
)
t w
]t
Sdxdt
S
t x
tx
P
t,x
t时刻：n; t+Δt时刻:n+1 下标 e: ½(P+E); w: ½(P+W)
w W
eE
i-1 i
i+1
非稳态项、对流项、源项采用阶梯法处理积分内的项： 扩散项采用线性法处理积分内的项：得：
in1 in t
从微分方程——导出差分方程 流体流动的特征——对流+扩散，如空间一维流动：
非守恒型
u ( ) S
t
x x x
守恒型
( ) (u ) ( ) S
t
x x x
Φ；代表任何物理量：速度，温度，浓度等
；扩散系数，（导热、传质等）
S； 源项，（辐射、反应热等）
用Taylar方法将上述方程转化为差分方程：
ue
t
x
e
x
w
t
ຫໍສະໝຸດ BaiduSxt
规定：
① 方程右端各项取 t 时刻的值；
② 分界面上未知函数取为相邻两点间的平均值（分 段线性）
③ 界面上的导数按分段线性计算
同理可得，FTCS格式：
n1 i
in
t
( u )ni1 ( u )ni1 2x
n i 1
2in x2
n i 1
Sni
n : t ; n 1: t t
( u )ni1 ( u )ni1 2x
n i 1
2in
x2
n i 1
S
n i
n : t ; n 1: t t i : x ; i 1: x x
FTCS格式
讨论：
在控制容积法中选取近似分布曲线，只是建立方程时有用， 一旦方程建立后，将失去意义。
同一物理量，对不同的坐标可以采用不同的近似方法。
不同的近似方法，可得到不同的差分格式。
i : x ; i 1: x x
注意： 在均匀的网格中，对一维方程，采用不同的离
散形式，可以得到相同的差分方程。但是，这不是 普遍现象。
一般情况下，有差别，计算结果的准确度也不 有差别。 Taloy：易于进行数学分析，缺点：物理概念不清,计 算的结果可能违背基本的物理定律。 积分法、平衡：符合守恒定律，数学分析困难。
2、节点表示与网格命名方法
n,s, w,e 分别表示上、下、左、右的分界面
控制容积 y
(i+1)
(i+1/2) (i) W (i-1/2)
(δx)w w
(δx)e
N 中间线
n (i,j) Pe s
(i-1)
S
(δy)n E (δx)s
(外节点） P
P
(J-1)
(j) Δx (j+1)
x
两种边界网格
３、内、外节点的差异
P
（１）均匀网格
控制 容积
两者的节点在区域内的分布趋于一致，仅在坐标轴方向
错位半个网格空间。
（２）不均匀网格
边界节点所代表的控制容积不同（如上页图）；
内节点，节点永远在控制容积中心；外节点不一定；
外节点，界面永远位于两相邻点的中间位置；内点不 一定；
采用内节点；处理特变物理现象容易