A1从欧氏几何到解析几何(第一次课)

2.笛卡尔的两个基本观念
（1）坐标观念： 其作用是把欧氏平面上的点与一对有 序的实数对应起来。
2.笛卡尔的两个基本观念
（2）将带两个未知数的方程和平面上的曲线 相对比的观念： 例如二元方程
x y
2
2
2 ，这种通常有 a
无穷多组解的所谓“不定方程”对代数学家来 说是索然无趣的，但笛卡尔注意到当x连续地
二、解析几何
到了文艺复兴时期，代数学从阿拉伯传到 欧洲以后，数学家笛卡尔和费尔玛受代数 学的启发，有了用代数的方法来研究几何 的思想，从而产生了连接代数和几何的桥 梁，将“数”和“形”紧密联系在 一起的 科学，解析几何学，又名坐标几何学。
二、解析几何
法国数学家笛卡尔（R.Descartes15961650）于1637年发表长篇著作《更好地指 导推理和寻求科学真理的方法论》，该书 三个附录之一《几何学》阐述了他的坐标 几何的思想，标志着解析几何的诞生。
笛卡儿的创见，为微积分的创立奠定了基础， 从而开拓了变量数学的广阔领域。最为可贵 的是，笛卡儿用运动的观点，把曲线看成点 的运动的轨迹，不仅建立了点与实数的对应 关系，而且把形（包括点、线、面）和“数” 两个对立的对象统一起来，建立了曲线和方 程的对应关系。这种对应关系的建立，不仅 标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入 了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的 转折--由常量数学进入变量数学的时期。
(一)海船测距
这个问题是泰勒斯（Thales）提出的，他还 提出勒金字塔的测高问题，对于生活在2600 余年（公元前约600年）前的泰勒斯，至今 人们所知甚少，只知道是希腊哲学的奠基人 之一，并被希腊人和罗马人尊为“希腊七贤” 之一。
那时没有任何平面几何，当然更没有全等三 角形的概念，时间是公元前600年。在那个时 代，他能够想到利用这种方法进行测量已经使 很伟大的了！
现代公理法：
以五组公理为基础，陆续定义了一些新
的概念和证明一些新的结论（定理），这
样建立起了一个依照逻辑关系，排列顺序
井然的体系，称为现代公理法。
3.公理系统的三个问题
（1）无矛盾性：即所有的公理彼此不产生矛盾， 也称相容性； （2）独立性：即每一条公理都不能由其它公理推 出，也就是公理组有最少个数，不能有多余的； （3）完备性：即已有的公理已足够了，不能再增 加与公理组都相容的新公理。
3.空间解析几何
1731年，法国人克雷洛（Clairant 1713-1765）出版了《关于双重曲率的曲 线的研究》一书。这是一个最早的空间 解析几何著作，同时也研究了微分几何 学。
3.空间解析几何
在空间建立坐标系，可以把点与有序三实数组
建立对应。从而，可用方程 F ( x, y, z ) 0 表示曲 面，用方程组： F1 ( x, y , z ) 0 F2 ( x, y , z ) 0 表示空间的曲线。
几何，英文为“Geometry”，是由希腊文演变而 来的，其原意为“土地测量”。我国明代徐光启 翻译《几何原本》时，将“Geometry”一词译为 “几何学”，就是从其音译而来。 欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家，同时 还是一位有“温和仁慈的蔼然长者 ”之称的教 育家。在著书育人过程中，他始终牢记着柏拉图 学派自古承袭的严谨、求实的传统学风。他对待 学生既和蔼又严格，自己却从来不宣扬有什么贡 献。对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总 是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功 近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气 地予以批评。
笛卡儿在《几何学》里，创立了直角坐标系。 他用平面上的一点到两条固定直线的距离来 确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。 他进而又创立了解析几何学，表明了几何问 题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通 过代数变换来实现发现几何性质，证明几何 性质。解析几何的出现，改变了自古希腊以 来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的 “数”与“形”统一了起来，使几何曲线与 代数方程相结合。

五条公设：
（1）从每个点到每个别的点必定可引直线； （2）直线可以无限延长；
（3）以任一点为中心，任意长为半径可以作圆；
（4）所有直角都相等；
（5）若一直线与两条直线相交，且同侧内角和小于
两直角，则此两直线必在该侧相交。
五条公理：
（1）等于同量的量相等； （2）等量加等量，和相等； （3）等量减等量，差相等；

恩格斯评价：“数学中的转折点是笛 卡尔的变数，有了变数，运动进入了数 学，有了变数，辩证法进入了数学，有 了数学，微分和积分也立刻成为必要的 了”（《自然辩证法》）。
1.笛卡尔的思想核心
笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归 结成代数形式的问题，用代数学的方法进行 计算、证明，从而达到最终解决几何问题的 目的。
1.《几何原本》介绍
《几何原本》共分十三卷，给出了467个 命题，几乎涵盖了前人所有的数学成果。 全书精心编排，把命题依照彼此的逻辑关 系，从简单到复杂，将内容按照顺序排列 起来是欧几里得最成功的创造。
1.《几何原本》介绍
第一卷是全书逻辑推理的基础，给出了什么 是点、线、面等23个定义，5条公设，5个公 理，由此讨论三角形全等、边角关系、垂线、 平行线、平行四边形、多边形、勾股定理等。
命题：如图,设C是线段AB的中点，那么
A
C D
2
B
2
AD BD CD BC
欧氏空间
后人把欧几里得建立的几何理论称为 “欧氏几何”；成立欧氏几何的平面称 为“欧氏平面”；成立欧氏几何的空间 称为“欧氏空间”。
公理法
欧几里得在《几何原本》使用的这种
建立理论体系的方法称为“公理法（原
构造一个公理体系并不容易，要求满足以下条件：
3.公理系统的三个问题
在数学及其它领域，利用公理法思想的地
方很多，但一般并未形成欧氏几何公理系
统这样严格的理论体系。一般地，任何一
个公理系统必须是相容的，但未必是独立
的，完备性更不是必需的。
3.公理系统的三个问题
除了欧氏几何，罗氏几何与射影几何
从欧氏几何到解析几何
湖南大学
数学与计量经济学院
前言
几何学的起源
几何学是从丈量土地,测量容积和制造器皿等生产 实践活动中产生和总结出来的. ----恩格斯
几何学的起源十分久远，它产生于早期人类的 社会实践，从人类对实物形状的认识开始。而 促进几何学产生的直接原因与土地测量及天文 活动有关。在古埃及，由于尼罗河每年泛滥一 次，每次泛滥，洪水会淹没两岸的土地，一旦 洪水退却，需要重新测量土地。因此便逐渐产 生了关于几何形体的概念、性质及其度量方面 的知识。
几何学在希腊人的手中成为数学的第一个分支并 趋于成熟. ----阿蒂亚
历史上，几何学在很长的一段时间里面是一 门高度理论化的学科, 在若干世纪里,欧几里 得几何控制着数学的舞台.
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一、欧氏几何和欧氏空间
欧几里得（Euclid,公元前330—公元前275） 是希腊亚历山大的数学教师。于十几岁的少年 时，进入“柏拉图学园”学习。著名的古希腊 学者阿基米德，是他“学生的学生”——卡农 是阿基米德的老师，而欧几里得是卡农的老师。 欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起 来的丰富成果，整理在严密的逻辑系统运算之 中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。 欧几里得最著名的著作《几何原本》是欧洲数 学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛 的认为是历史上最成功的教科书。
通过否定第Ⅴ公设的等价命题来引出矛盾。
但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不
到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个
不同的几何体系，后来被称为罗氏几何。
2.希尔伯特与《几何基础》
1899年德国数学家希尔伯特（Hilbert,18621943）发表了著作《几何基础》。希尔伯特在 这书中对欧几里得几何及有关几何的公理系统 进行了深入的研究。他不仅对欧几里得几何提 供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对 别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完 备的普遍原则。
（4）彼此重合的东西是相等的；
（5）整体大于部分。
下图是目前发现的最早的欧几里得《几何原本》中的一页
Book II: Proposition 5: If a straight line is cut into equal 1896-97 由两个探险家（B. P. Grenfell and A. S. Hunt） and unequal segments, then the rectangle contained by the 在俄克喜林库斯(Oxyrhynchus )发现的纸莎草纸（公元 unequal segments of the whole together with the square on 75年-125年，现存于宾夕法尼亚大学）. the line between the points of section equals the square on the half(from the classic translation of T. L. Heath).

空间解析几何主要研究二次曲面，如：椭球面、 双曲面、抛物面及二次柱面等
三、几何学在古代工程测量中的应用
(一) 海船测距
（二）金字塔测高
泰勒斯（Thales）的二个问题
泰勒斯（Thales，约公元前600年），是希腊 哲学的奠基人之一，并被希腊人和罗马人尊 为“希腊七贤”之一，是他最早将几何研究 引进希腊，人们称之为演绎推理之父。他既 是一位数学家，又是一名教师，一名哲学家， 一名天文学家，一个精明的商人，而且是第 一个采用一步步证实的办法来证明自己结论 的几何学家。
埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都 可以分割为几块较细小的三角形农田，例：
长方形农田
两块面积相等的三角形农田
梯形农田
三块三角形农田
埃及数学文献“莫斯科纸草书”与“兰德纸草书” 中计有110个数学问题，其中有26个属于几何问题， 主要是计算土地面积、谷物体积等公式。由此可见， 埃及人当时已掌握了圆周长、面积的近似公式，还 知道三角形、圆柱体的求积公式。这些知识也在其 它古老文明中出现，巴比伦人在公元前2000年—前 1600年，已熟悉计算长方形、直角三角形、等腰三 角形的面积，以及一些形体的体积，还掌握了勾股 定理的特殊情况。中国秦汉以前的几何学内容，没 有留下文字性材料，详细情况不得而知，但从西汉 成书的《九章算术》，以及农业社会的社会形态上 看，这些几何知识也相当发达。
2.希尔伯特与《几何基础》
三个基本对象：点、直线、平面
三种基本关系： “在……之上”、 “在……中间”、 “合同于”
五组公理共20条：
第一组关联公理，共8条；
第二组顺序公理，共4条；
第三组合同公理，共5条； 第四组连续公理，共2条； 第五组平行公理，共1条。
这五组公理满足了公理体系的三个基本要求，即相容性、 独立性和完备性。如果把这五组的公理稍作增减，便得出其 他不同的几何空间，例如把平行公理中的欧几里得平行公理 换为罗巴切夫斯基平行公理，那便把「欧几里得空间」换为 「罗巴切夫斯基空间」。
改变时，方程相应确定的y，于是两个变量x,y
可以看作是平面上运动着的点的坐标，于是这
样的点组成一条平面曲线。
2.笛卡尔的两个基本观念
以上两个观念概括来讲，就是用代数 方法去解决几何问题，这就是解析几何 的基本思想。具体地，借助坐标系，把 几何对象，几何结构代数化，从而用代 数的办法研究几何问题。
始公理法）”。
第Ⅴ（五）公设
第Ⅴ公设等价于：过直线外一点只可作
一直线平行于已知直线。在《几何原本》 问世的两千年中，不少人试图去修正，尤 其是第Ⅴ公设，被认为可由其余九条所证 出，或用更简单或更直观的公理来代替。
罗氏几何
俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，
1793-1856）也希望能证明第Ⅴ公设，他企图
的公理系统也具备以上三个条件。
任何一个公理体系都不可能在本系统内
证明它的无矛盾性，也就是说任何一个 理论系统最终还是要靠实践来检验它的 真伪与价值。
二、解析几何
自从欧几里得的《几何原本》问世以来，人们 一直把代数限定在研究数及其关系的范畴内， 把几何限定在研究位置和图形的范畴内。代数 和几何截然分家持续了几千年，犹如两座高山 被万丈深渊分割.