高中数学双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线及其性质-高考数学复习课件
且2 a ＝2，解得 a ＝1，又 c ＝3，
则 b 2＝ c 2－ a 2＝8，
2
所以动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2－ ＝1( x ≤－1).
8
2
2
(2)设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为 F 1， F 2， P 为双曲线右支
4
3
上一点， 1 ＝3 2 ，则∠ F 1 PF 2的大小为( C )
2. 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合 ||PF1 | −
|PF2 || = 2a，运用平方的方法，建立与 ｜PF1 ｜·｜PF2 ｜ 的联系.
跟踪训练
1. 已知平面内有两个定点 F 1(－5，0)和 F 2(5，0)，动点 P 满足｜ PF 1｜
－｜ PF 2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是(
双曲线及其性质
[学习要求] 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，
以及它的简单几何性质.
内容索引
必备知识
自主梳理
关键能力
重点探究
课时作业
巩固提升
必备知识 自主梳理
[知识梳理]
知识点一 双曲线的定义
满足以下两个条件的点的轨迹是双曲线：
= 2，
又൞ ＝ 2，
解得 a ＝ 2 ， c ＝2， b ＝ 2 ，
2 ＝ 2 − 2 ，
2
2
∴所求方程为 － ＝1.
2
2
考点三
双曲线的几何性质
◉角度(一) 渐近线
例3
2
2
(1)(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质
对称轴:x 轴,y 轴 对称中心:原点
对称轴:x 轴,y 轴 对称中心:原点
顶点坐标
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
y=±������������ x
y=±������ x
������
e=������,e∈(1,+∞),其中 c= ������2 + ������2
求双曲线的方程.
分析:应先根据渐近线方程设出双曲线的方程,再代入点的坐标 求解.
解渐近线方程为 y=± 3x 的双曲线方程可设为
(y+ 3x)·(y- 3x)=m(m≠0),即 y2-3x2=m(m≠0). 将点 M 的坐标(1, 15)代入上式,得 m=12, 所以双曲线的方程为 y2-3x2=12,即1������22 − ���4���2=1.
渐近线方程为 y=±������������x=±23x.
作出草图如下:
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求双曲线的几何性质必须把方程化为标准形式.作几何图形 时,应画出两条渐近线和两个顶点.
题型一
题型二
题型三
题型四
已知双曲线的几何性质求双曲线的方程
【例 2】 已知双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,且过点 M(1, 15),
解将
9y2-4x2=-36
变形为������2
9
−
���4���2=1,即3������22
−
���2���22=1,
所以 a=3,b=2,所以 c= 13.
因此顶点坐标分别为(-3,0),(3,0),
焦点坐标分别为(- 13,0),( 13,0), 实轴长是 2a=6,虚轴长是 2b=4,
高中数学双曲线讲义及练习
双曲线的定义与性质要求层次重难点双曲线的定义及标准方程 A由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质双曲线的简单几何性质A（一） 知识内容1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程：①22221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为(0)c -，，(0)c ，，222c a b =+； ②22221(00)y x a b a b-=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，，2(0)F c ，，222c a b =+； 3．双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)x y a b a b-=>>，来研究）： ⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． ⑷实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴．在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴． ⑸渐近线：直线by x a =±；⑹离心率：ce a=叫做双曲线的离心率，1e >．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．例题精讲高考要求知识框架双曲线<教师备案>1．渐近线的理解：过双曲线上的一点()M x y ，（考虑对称性，不妨设M是第一象限内的点）作平行于y 轴的直线，设它与直线by x a =相交于点P ，（见上页图）则||b PM x a =(b xa ==当x a >时，x 随着x 的增大而增大，从而||PM 越来越接近于0．这说明，当点M 以双曲线C 的顶点2A 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A 时，点M 和直线b y x a =就越来越接近，而且bx a的下方，且与直线越来越接近，不会相交． 其它象限内的情况与此类似． 2．双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值b a ==e 越大，ba也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．3．画双曲线的草图时，一般都是先画出以2,2a b 为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图．4．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线22221y x a b-=，它的渐近线方程即为22220y x a b -=，即直线ay x b=±．（二）典例分析【例1】 ⑴动点P 与点1(05)F -，、2(05)F ，满足216PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -+=C ．221(3)169x y y -+=≥D ．221(3)169x y y -+=-≤⑵P 是双曲线2216436x y -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且117PF =，求2PF 的值．【变式】 在ABC △中，BC 固定，顶点A 移动．设||2BC =，当三个角A B C ，，满足条件1|sin sin |sin 2C B A -=时，求顶点的轨迹方程．【例2】 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与左支交于A B ，两点，若5AB =且实轴长为8，则2ABF △的周长为 ．xyOA BF 1F 2【例3】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．⑴6c =(52)-，，焦点在x 轴上．⑵与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点(322)．【例4】 已知下列双曲线方程，求它们的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，以及焦距、实轴和虚轴长，并在同一坐标系中分别画出这两个双曲线的图象． ⑴223412x y -= ⑵224312y x -=【例5】 求顶点间的距离为6，渐近线方程为32y x =±的双曲线的标准方程．【例6】 双曲线221916x y -=的两焦点为12F F ，，若双曲线上一点P 满足12PF PF ⊥，则点P 到x 轴的距离为 ．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为0)和(0)，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为_________．【变式】 ⑴椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率为_______．⑵设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．【变式】 已知双曲线22221x y a b-=(00)a b >>，的实轴长为8，点P 3)是双曲线上的一点， ⑴求此双曲线的方程；⑵写出双曲线的离心率、渐近线方程；⑶与此双曲线有共同的焦点，且离心率为2的椭圆的标准方程．【变式】 中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点1F 、2F ，且12F F =椭圆的长轴长与双曲线的实轴长之差为8，离心率之比为3:7，求这两条曲线的方程．【例7】 ⑴双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为_______；⑵求与双曲线221169x y -=共渐近线且过点3)A -的双曲线方程．【变式】 设12F F ，为双曲线22221(00)sin 2x y b b θθ-=<>π≤，的两个焦点，过1F 的直线交双曲线的同支于A B ，两点，如果||AB m =，则2AF B ∆的周长的最大值是（ ）． A ．4m - B ．4 C ．4m + D ．42m +【变式】 椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，则a = ．【例8】 双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(3,0)-C ．(12,0)-D ．(60,12)--【变式】 设1F 、2F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积是（ ）Ａ．1 2 Ｃ．2【变式】 （2009海淀一模）已知实数x y ，满足()2222100x y a b a b-=>>，，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．b y x a <B ．2b y x a >-C ．b y x a >-D ．2by x a<【变式】 （2009湖南13）过双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A ，B ．若120AOB ∠=︒（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为 ．【例9】 （2009辽宁16）已知F 是双曲线221412-=x y 的左焦点，()14A ，，P 是双曲线右支上的动点，则+PF PA 的最小值为 ．【例10】 (2002年北京卷文)已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x y =B ．y =C ．x y =D ．y x =【变式】 （2007年浙江省宁波二中高二期中联考数学选修2-1测试）P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆1C ：22(5)4x y ++=和2C ：22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为 ．【例11】 已知双曲线C ：22221x y a b-=(00)a b >>，C 的两个焦点为12F F ，，直线l 过2F ，且l 与线段12F F 的垂直平分线交点为P ，线段2PF 与双曲线交点为Q ，12tan F F Q ∠=，2:2:1PQ QF =，求双曲线的方程．【变式】 （2008重庆8）已知双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的一条渐近线为y kx =()>0k ，离心率e =，则双曲线方程为（ ） A ．222214x y a a-=B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b -=D ．222215x y b b-=【变式】 （2008四川延7）若点(20)P ，到双曲线22221x y a b-= ）AB C ． D ．【变式】 （2008山东10）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=【例12】 ⑴（2008四川11）已知双曲线C ：221916x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆ 的面积等于（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96 ⑵（2009东城一模11）如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以C ，F 为焦点的双曲线恰好经过A ，B ，D ，E 四点，则该双曲线的离心率为______．F ED CBA【变式】 （2008福建11）双曲线22221x y a b-=()00a b >>，的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．()13，B ．(]13，C ．()3+∞，D ．[)3+∞，【变式】 如图，OA 是双曲线的实半轴，OB 是虚半轴，F 为焦点，且30BAO ∠=︒，ABF S ∆=1(62-，则设双曲线方程是 ．【例13】 （2009华师大附中高三测试8）已知点1F 、2F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,C ．(1,2)D ．(1,1+【变式】 （2009丰台二模12）已知点(2,3)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是 ．【例14】 （2008海南宁夏14）双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则AFB ∆的面积为________．【变式】 （2008陕西9）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）AB C D【例15】 ⑴（2009四川理）已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的左右焦点分别为1F ，2F ，其一条渐近线方程为y x =，点)0Py 在该双曲线上，则12PF PF ⋅=（ ）A ．12-B ．2-C ．0D ．4⑵P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为 ．【变式】 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左，右焦点分别为12F F ，，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．【例16】 （2009山东理）设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C D【变式】 （2009浙江理）过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【变式】 （2009辽宁理）已知F 是双曲线221412-=x y 的左焦点，()14A ，，P 是双曲线右支上的动点，则+PF PA 的最小值为 ．【例17】 （2008重庆理21）如图，()20M -，和()20N ，是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += ⑴求点P 的轨迹方程；⑵若2·1cos PM PN MPN=-∠，求点P 的坐标．【例18】 （2009重庆20）已知双曲线22214x y a -=(0)a >的离心率e⑴求该双曲线的方程；⑵如图，点A的坐标为()0，B是圆22(1x y +-=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标．【例19】 已知点P 在双曲线222x y a -=（0a >）的右支上（P 与2A 不重合），12A A ，分别为双曲线的左、右顶点，且21122A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠=（ ） A ．30︒ B ．27.5︒ C ．25︒ D ．22.5︒【变式】 已知点A，(B ，点P满足PA PB -=，求点P 满足的轨迹方程．【例20】 （2009上海理）已知双曲线22:12x Cy -=，设过点()0A -的直线l 的方向向量()1e k =， ．⑴当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离； ⑵证明：当k时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l．【例21】 （2009陕西理）已知双曲线C 的方程为()2222100y x a b a b-=>>，，离心率e ，． ⑴求双曲线C 的方程；⑵如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP PB λ=，123λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求AOB ∆面积的取值范围．【例22】 到两定点1(30)F -，．2(30)F ，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线【例23】 （2009安徽6）的是（ ） A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -=【例24】 已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的范围为（ ）A ．11k -<<B ．0k >C ．0k ≥D ．1k >或1k <-【例25】 双曲线22149y x -=的渐近线方程是（ ）A ． 32y x =±B ． 23y x =±C ． 94y x =±D ． 49y x =±【例26】 已知双曲线221y x m-=的离心率2e =，则m = ．【例27】 若双曲线的实轴长为2，焦距为6，则该双曲线的离心率为 ( )A ．13B ． 23C ． 32 D ． 3【例28】 若R k ∈，则“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件.B ．必要不充分条件.C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例29】 离2244x y -=有公共焦点的椭圆的标准方程为________．【例30】 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为12F F ，，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为_____．【例31】 一个焦点为(130)-，，且离心率为135的双曲线的标准方程为_________，顶点坐标为_________，虚轴长为_________，渐近线方程为__________．【例32】 经过定点(32)，，实轴长为2，且焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为 ，焦点坐标为__________，渐近线方程为_________．【例33】 双曲线的焦点在y 轴上，虚轴长为12，离心率为54，则双曲线的方程为_____________．【例34】 已知双曲线22221x y a b-=的离心率e =，过点(0)(0)A a B b -，，，，那么ab = ．【例35】 讨论221259x y k k+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．【例36】 已知双曲线与椭圆221925x y +=共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．【例37】 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ______.【例38】 （2008海南宁夏2）双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．【例39】 若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）A ．2BC ．32D ．1【例40】 两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4．若a b >，则双曲线221x y a b-=的离心率e 等于 ．【例41】 双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，b 等于（ ）A ．1 BC ．2D ．【例42】 双曲线的虚轴长为4，离心率e ，1F 、2F 是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 的等差中项，则AB =________【例43】 设12F F ，分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=°且12||3||AF AF =，则双曲线的离心率等于（ ）A B C D【例44】 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 .【例45】 设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF =( ) A ．1或5B ． 6C ．7D ．9【例46】 （2009安徽理））A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -=【例47】 双曲线C 的左、右焦点12F F ，与椭圆2214924x y +=的焦点相同，且离心率互为倒数，则双曲线C的方程是______________；它的渐近线的方程是__________．【例48】 （2009海南宁夏理）双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．B ．2CD ．1【例49】 （2008全国II9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)2B ．C ．()25，D ．(2【例50】 （2009四川8）已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其一条渐近线方程为y x =，点)0Py 在该双曲线上，则12PF PF ⋅=（ ）A ．12-B ．2-C ．0D ．4【例51】 （2008全国II11）设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=︒，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A B C ．1+ D ．1【例52】 （2009湖南卷理）已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60︒，则双曲线C 的离心率为_________．【例53】 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为且其实轴比椭圆的长轴小8，两曲线的离心率之比为37∶，求此椭圆、双曲线的方程．【例54】 已知圆1M ：22(4)25x y ++=，圆2M ：22(4)1x y -+=，一动圆与这两个圆都外切．求动圆圆心P 的轨迹方程；【例55】 已知(70)(70)(212)A B C --，，，，，，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹．【例56】 以双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成一个正六边形，则该双曲线的离心率为 ．【例57】 已知动点P 与双曲线221x y -=的焦点12F F ，的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．。
高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
e=
=
从而
−
2
5
,
3
5
b=4,c=3a,代入 c2=a2+b2,得 a2=9,
2
故双曲线的标准方程为
9
2
− =1.
16
2 =1(a>0,b>0),由题意知
2b=8,
(2)由题意知,所求双曲线的焦点在 x 轴上,
2
2
故可设其方程为64 − 16=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得
且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲
线的渐近线方程.
2
2
2
2.与双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 −
2
2 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程 ± =0 或 y=±x,则双曲线方程可设为
2
k2x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线为 ax±by=0 的双曲线
a2x2-b2y2=λ(λ≠0)
变式训练2
求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为
5
8,离心率为3;
2
2
(2)过点(2,0),与双曲线64 − 16=1
的离心率相等.
2
解(1)设所求双曲线的标准方程为2
2
A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 2 · (1 + 2 ) -41 2 或
|AB|= 1 +
1
1
2
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
第6节 第1课时 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。
双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质主讲教师：刘杨【知识概述】一、双曲线的概念平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距. 二、标准方程与性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R对称轴：坐标轴A 1(－a,0)，A 2(a,0)y ＝±b axe ＝ca，e ∈(1，＋2叫做双曲线的实轴，它的长的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，c 2＝a 2＋b【学前诊断】1．[难度] 易双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.2．[难度] 中双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k ＝1，那么k 的取值范围是 ．3．[难度] 中若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为x3＋y ＝0，则此双曲线的离心率为________．【经典例题】例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(6,0)A -和(6,0)C ，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B- =______________.例2．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，A （1,4），P 是双曲线右支上的动点，则 P F P A +的最小值为________________.例3．根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；(2)与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)．例4． 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．例 5．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2，且过点P (4,. （1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）求12F MF ∆的面积.【本课总结】解题技巧1．双曲线中a ，b ，c 的关系双曲线中有一个重要的Rt △OAB (如右图)，它的三边长分别是a 、b 、c .易见c 2＝a 2＋b 2，若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1cos θ.2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a <|F 1F 2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a＝b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 4. 求双曲线的方程求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素(a 、b 、c 、e )之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ (λ≠0)．5．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b .6．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．所以与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．7．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线方程．易错防范1．区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．【活学活用】1．[难度] 易双曲线中心在原点，且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是 ( )A .x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y 22＝12. [难度] 中某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A (－2,23)，B ⎝⎛⎭⎫32，－5，则 ( ) A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线 B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆 D ．这样的曲线C 不存在 3. [难度] 中已知F 为双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．。
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程双曲线是解析几何中的一类二次曲线，具有许多特殊的几何和代数性质。
本文将详细介绍双曲线的标准方程及其性质。
1. 双曲线的定义双曲线是指一组点P和一个点F，满足从P到F到一个定点D的距离差的绝对值等于一个定值e，即PF - PD = e。
双曲线可以通过椭圆的定义进行推导。
如果从椭圆上的固定点F到点P的距离之和等于一个定值2a，那么从F到P的距离差将等于2a - 2PF，即PF - PD = e，其中e = 2a - 2c，c为椭圆的其中一个焦点到椭圆中心的距离。
因此，双曲线可以看作是一个椭圆的镜像，是的焦点位置沿着中心轴移动了一段距离，从而形成的一组点。
2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程通常写作：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)这里的a和b分别是椭圆的半轴。
对于双曲线的方程，可以进一步推导出其他形式。
例如，将x和y交换，在方程中加上常数c，可以得到：-y^2/a^2 + x^2/b^2 = c这种形式叫做横向双曲线；另一种形式是纵向双曲线：y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1这里的a和b是椭圆的半轴。
3. 双曲线的几何性质双曲线有一些有趣的几何性质，如下所示：(1) 双曲线具有两个分离的分支，这两个分支无穷远处相交于双曲线的渐近线。
(2) 双曲线的渐近线是其方程中不等于0的项所对应的直线。
(3) 双曲线对称于其两条渐近线。
(4) 双曲线移动或旋转后仍然是双曲线。
(5) 两个相交的双曲线组成了双曲线族。
(6) 双曲线上的点到两个焦点的距离之差等于常数e。
4. 双曲线的代数性质双曲线也有许多有趣的代数性质，例如：(1) 双曲线是一类二次曲线，它们的方程可以写成x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0的形式。
(2) 双曲线的法线与其渐近线的夹角相等。
(3) 双曲线的切线与两个焦点之间的连线垂直。
(4) 不同的双曲线是正交的。
双曲线的标准方程及其几何性质
2 2
x y
解析：由题意，设双曲线方程为2—2=
a a
例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
(1)过点P(3,-.2)，离心率e5
2
⑵F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，双曲线离心率为2且
F1PF260，SpRF212 3.
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下.
A.4
2
x
m212
1表示双曲线，则
k的取值范围是
B.
C.
D.
2
y
2
4 mB.2双Fra bibliotek线学a1的焦距是
C.
D.
m有关
2
_
k b2k
1与双曲线笃
a
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数
的符号，焦点在系数正的那条轴上•
3.双曲线的简单几何性质:
标准方程
2 2
xy‘
——1(a0,b0)ab
yx2
—2-21(a 0, b 0)
ab
图象
9
I
a, b,c关系
2 . 2 2a b c
范围
|x| a,y R
| y | a, x R
个数来确定。
(1)通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一
元二次方程的判别式，则有：0直线与双曲线相交于两个点；0直线与
双曲线相交于一个点；0直线与双曲线无交点.
(2)若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.
高中数学：双曲线的方程和性质
第10讲双曲线的方程和性质[玩前必备]1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a❶(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支.,当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支.❷若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.3．双曲线的几何性质[常用结论]1．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .[玩转典例]题型一 双曲线的定义例1 平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，若12PF PF -为大于零的常数，则动点P 的轨迹为（ ） A ．双曲线B ．射线C ．线段D ．双曲线的一支或射线例2 一动圆与两圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线例3 方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <-例4 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． [玩转跟踪]1．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 24－y 221＝1(x ＞2) B.y 24－x 221＝1(y ＞2) C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1 2．双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1B ．9C ．1或9D ．73.若曲线2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1m <B ．0m <C ．102m -<< D ．112m << 题型二 焦点三角形问题例5 （1）已知双曲线2217x y m -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于A 、B 两点，且AB 4=，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则m 的值为 （ ） A ．8B ．9C ．16D ．20(2)设12F F 、分别是双曲线2213y x -=的两个焦点，P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于A ．B ．C ．D ．例6 已知点P 是双曲线22184x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左､右焦点，若12F PF △的外接圆半径为4，且12F PF ∠为锐角，则12PF PF ⋅=（ ） A ．15 B ．16C ．18D ．20[玩转跟踪]1．已知12,F F 是双曲线22(0)x y m m -=>的两个焦点，点P 为该双曲线上一点，若12PF PF ⊥，且12PF PF +=m =（ ）A ．1BC D ．32．已知双曲线C :221916x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212||||PF F F =,则12PF F △的面积等于 A ．24B ．36C ．48D ．963.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 题型三 双曲线的标准方程例7 （1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 （2）(一题多解)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线标准方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1（3）经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．（4）焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．[玩转跟踪]1．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213218x y -=B ．2211832x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=3．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=题型四 椭圆的性质例8 已知1F 、2F 分别为双曲线2222:1x y E a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y = 例9 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ―→＝AB ―→，F 1B ―→·F 2B ―→＝0，则C 的离心率为________．例10 设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞[玩转跟踪]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，点A ，B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±33x C ．y ＝±2x D ．y ＝±12x2．已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C ．2D.53.的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．D ．)+∞[玩转练习]1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B ．2C. 3D.23．双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO的面积为( )A.324B.322C ．2 2D ．324．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A.2 B.3 C ．2 D.55．(多选)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( ) A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点 D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点6．(多选)已知点P 是双曲线E ：x 216－y 29＝1的右支上一点，F 1，F 2为双曲线E 的左、右焦点，△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的有( ) A ．点P 的横坐标为203B ．△PF 1F 2的周长为803C ．∠F 1PF 2小于π3D ．△PF 1F 2的内切圆半径为327．设F 1(－c,0)，F 2(c,0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是∠F 1PF 2的平分线，过点F 1作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则|OQ |( ) A ．为定值a B ．为定值b C ．为定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化8．(多选)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1―→ ·MF 2―→＝0.双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则正确的是( )A.e 2e 1＝2 B ．e 1·e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝19．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为________．11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为__________． 12．(一题两空)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)椭圆的方程为________________；(2)若P 为这两曲线的一个交点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．14．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．。
第6节 第1课时 双曲线的定义、方程与性质--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
= 50,
解得
= 100 2,
2
2
所以双曲线的方程是2 500 − 20 000=1.
题组三 连线高考
8.(2023·
北京,12)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为
2 ,则C的方
2
2
− =1
程为__________.
2
2
解析 令双曲线 C 的实半轴长、虚半轴长分别为 a,b,显然双曲线 C 的中心为
( C )
A.
3
2
B.
6
2
2 2
解析 双曲线 -x =1 的焦点在
3
2
2 3
所以离心率为 = =
.
3
3
2 3
C. 3
y 轴上,a= 3,b=1,c= 3 + 1=2,
6.(人教 A 版选择性必修第一册 3.2.1 节练习第 3
y2
=1
+1
解析
2 6
D. 3
2
题改编)已知方程 +2
−
(-∞,-2)∪(-1,+∞)
圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径r2=1.
由于动圆E与圆C1,C2都外切,
设动圆E的半径为r,则|EC1|=r+3,|EC2|=r+1,
所以|EC1|-|EC2|=3-1=2<|C1C2|,
所以点E的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支.
2
设双曲线的方程为 2
−
所以 E 的轨迹方程为
平面内与两个定点F1,F2的____________________等于非零常数(小于
高二数学 双曲线和抛物线的标准方程及几何性质
双曲线和抛物线的标准方程及几何性质【考点一：双曲线的定义与标准方程】1. 双曲线定义平面内与两个定点21F F 、的距离之差的绝对值为常数)2(221F F a a <的动点P 的轨迹叫双曲线，其中两个定点21F F 、叫双曲线的焦点.当21212F F a PF PF <=-时， P 的轨迹为双曲线 ； 当21212F F a PF PF >=-时， P 的轨迹不存在；当21212F F a PF PF ==-时， P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 当没有绝对值时，表示双曲线的一支或一条射线. 2. 双曲线的标准方程i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)00(12222>>=-b a b y a x ，.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)00(12222>>=-b a bx a y ，.3.求双曲线的标准方程的方法有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤同椭圆的求法是相同的（1）作判断（2）设方程：（3）找关系（4）解方程 4.焦点位置的判断由x 2，y 2分母的符号决定，焦点在分母为正的坐标轴上.例如双曲线)0(122<=-mn ny m x ， 当00<>n m ，时表示焦点在x 轴上的双曲线；当00<>m n ，时表示焦点在y 轴上的双曲线. 【例1】已知()15,0F -，()25,0F ,一曲线上的动点P 到1F 、2F 距离之差为6，则双曲线的方程为 ______.【解析】10621<=-PF PF ，P ∴的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 【课堂练习】1.设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.【解析】设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y =±2x （x ≠0）. ①因此点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM |－|PN ||<|MN |=2. ∵||PM |－|PN ||=2|m |>0，∴0<|m |<1.因此点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上.故22m x －221m y -=1. ②将①代入②，并解得x 2=22251)1(mm m --， ∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0.解得0<|m |<55， 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）.【例2】根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.【解析】（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，由题意，得()(22224331b a ab ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩， 解得a 2=49，b 2=4， 所以双曲线的方程为492x －42y =1.（2）设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8，故所求双曲线的方程为122x －82y =1.【课堂练习】2.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由821=-PF PF ，即892=-PF ，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________. 【解析】易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17.【考点二：双曲线的几何性质】1. 双曲线的方程与几何性质：2.与双曲线)00(12222>>=-b a b y a x ，共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-m m by a x与双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，共轭的双曲线为12222=-a x b y实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±=，离心率为2=e .【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 （ ）（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -= （C ）22110836x y -= （D ）221279x y -=【答案】B【解析】依题意知2222269,27ba c abc a b +⎧=⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩，所以双曲线的方程为221927x y -= 【课堂练习】3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.【解析】由双曲线的几何性质，知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4. 故圆心坐标为（4，±374）.易求它到双曲线中心的距离为316. 【例4】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线的右支上，且214PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为__________.【解析】ac a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221双曲线上存在一点P 使214PF PF =，等价于2514,13a e c a +≥∴<≤- 【课堂练习】4.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）AB【答案】D【解析】不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为b a ，直线FB 的斜率为：bc-()1b ba c ∴⋅-=-，2b ac ∴=，即220c a ac --=，解得c e a ==.5.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支上的一点，21F F 、分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ）A .a -B .b -C.c -D.c b a -+【解析】设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，21000|||()|2PF PF c x x c a x a +=----=⇒=-【考点三：焦点三角形】1. 焦点三角形：椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形，使之出现21PF PF +或21PF PF -的结构，这样就可以应用椭圆或双曲线的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，①a r r 221=-，双曲线上一点P 到相应焦点的最短距离为c a -，到另一焦点的最短距离为c a +. ②焦点12F PF ∆面积为S ，121sin 2S r r θ=， 【例5】设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21F F 、是该双曲线的两个焦点，若2/3/21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ ）A .B .12C.D.24【答案】B【解析】由已知1,a b ==，故c =，已知2/3/21=PF PF ①又1222PF PF a -== ②由①、②解得16PF =，24PF =，则221252PF PF +=，又因1252F F =，则21F PF ∆为直角三角形， 则121211641222PF F S PF PF ∆==⨯⨯=. 【课堂练习】6.已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且1232PF PF ⋅=，求21PF F ∠的大小.【解析】∵点P 在双曲线的左支上，∴621=-PF PF ，∴362212221=-+PF PF PF PF ，∴1002221=+PF PF ，∵()22221244100F F c a b ==+=，∴ 9021=∠PF F .【考点四：抛物线的标准方程和几何性质】1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 （0>P ）：2.抛物线的焦半径：①)0(22≠=p px y 的焦半径2p x PF +=；)0(22≠=p py x 的焦半径2p y PF +=； ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p . 3. 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠A MF ＝∠B MF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为11B A 、，若P 为11B A 的中点，则P A ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则B C 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线.（5） AB 为抛物线)0(22≠=p px y 的焦点弦，则22,4p y y p x x B A B A -==，p x x AB B A ++= 4. 抛物线的焦点位置判断：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.【例6】已知抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则P 的值为（ ）（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4【答案】 C【解析】法一：抛物线)0(22≠=p px y 的准线方程为2p x -=， 因为抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切， 所以2,423==+p p. 法二：作图可知，抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切于点（-1，0）所以2,12=-=-p p. 【课堂练习】7.设A 、B 为抛物线)0(22≠=p px y 上的点，且090=∠AOB （O 为原点），则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解析】设直线OA 方程为kx y =，由22y kx y px=⎧⎨=⎩解出A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p k p 2,22由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为()pk pk 2,22-， 直线AB 方程为22-1)2(2k pk x k pk y -=+，令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点()0,2p【例7】在抛物线24x y =上求一点，使该点到直线54-=x y 的距离为最短，求该点的坐标 【解析】解法1：设抛物线上的点()2P x x，4，则点P 到直线的距离17|544|2+-=x x d 1717417|4)21(4|2≥+-=x当且仅当21=x 时取等号，故所求的点为⎪⎭⎫⎝⎛121，解法2：平行于直线54-=x y 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ， 由01616=+=∆b 得21,1=-=x b ，故所求的点为⎪⎭⎫⎝⎛121，【课堂练习】8.已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l .（1）求F 的坐标； （2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？ 【解析】（1）抛物线方程为 y a x 12=，故焦点F 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a 410， （2）设()00y x P ，，则200ax y =2 ,2'0ax k P ax y =∴=）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在直线l 的方程是)(20020x x ax ax y -=-， 0 2 200=-ax y x ax －即. 411441)1()2(410 20222020ax a aax ax ad ≥+=-+--=∴当且仅当00x =时上式取“=”，此时点P 的坐标是()0,0， 故当P 在()0,0处时，焦点F 到切线l 的距离最小.【巩固练习】基础训练（A 类）1. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ ） A . x y 32±= B . x y 94±= C. x y 23±= D. x y 49±= 2. 焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A .1241222=-y x B . 1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x3.（ ）A .22124x y -=B .22142x y -= C.22146x y -= D.221410x y -=4.双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）A .B .2 D.1 5.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、⎫⎪⎪⎝⎭B 、⎫⎪⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎝⎭D 、)6.抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）A .（2，0）B .（- 2，0） C.（4，0） D.（- 4，0） 7. 抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A .1617 B . 1615 C.87D. 0 8.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）A .2B .3C.5D.29.若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）A . 2B .C.32D. 1 10. 若椭圆122=+ny m x )0(>>n m 和双曲线122=-t y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） . A .m s - B .)(21s m - C.22s m - D.s m - 【参考答案】1.【答案】C【解析】直接考察渐近线的公式.2.【答案】B【解析】从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 3.【答案】B【解析】由2e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B .4.【答案】A【解析】双曲线24x -212y =1的焦点（4，0）到渐近线y =的距离为d ==5.【答案】C【解析】双曲线的2211,2a b ==，232c =，c =2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 6.【答案】B【解析】由28y x =-，易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B . 7.【答案】B【解析】抛物线的标准方程为y x 412=，准线方程为161-=y ， 由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是16158.【答案】C【解析】焦点到渐近线的距离等于实轴长，故51,222222=+===ab ac e a b ，所以5=e 9.【答案】D【解析】由222123x y a -===c可知虚轴e=a，解得a =1或a =3， 参照选项知而应选D.10.【答案】A【解析】因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+.又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-.两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21.选A .提高训练（B 类）1. 以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是 A .221090x y x +-+= B . 221090x y x +--=C. 221090x y x +++=D. 221090x y x ++-= 2. 曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ） A .焦距相等 B .焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对3. 两个正数a 、b 的等差中项是29，一个等比中项是52，且b a >，则双曲线12222=-b y a x 的离心率为（ ）A .35 B . 441 C.45 D.541 4.以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）A .22x +y +2x=0B .22x +y +x=0 C.22x +y -x=0 D.22x +y -2x=0 5.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线离心率为（ ）A B .26. 已知点)4,3(A ，F 是抛物线28x y =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MF MA +最小时，M 点坐标是 （ ）A . ()0,0B . ()62,3- C. ()4,2 D. ()62,37.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点B A ,，若B A ,在抛物线准线上的射影为11,B A ，则=∠11FB A （ ）A . 45︒B . 60︒ C. 90︒ D. 120︒8.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知点)0,1()0,3(),0,3(B N M ，-，动圆C 与直线MN 切于点B ，过N M ,与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A .)1(1822-<=-x y x B .)1(1822>=-x y x C.)0(1822>=+x y x D.)1(11022>=-x y x 10.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y =x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A . 45 B . 5 C. 25 D.5 【参考答案】1.【答案】A2.【答案】A 【解析】方程)6(161022<=-+-m my m x 表示的曲线为焦点在x 轴的椭圆， 方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴上的双曲线， )5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A .3.【答案】B 【解析】414,5=∴==c b a ，选B . 4.【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D. 5.【答案】C 【解析】由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =， 代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c .6.【答案】C【解析】设M 到准线的距离为MK ，则MK MA MF MA +=+， 当MK MA +最小时，M 点坐标是()4,2，选C.7.【答案】C【解析】焦点弦的性质.8.【答案】C【解析】将方程221mx ny +=转化为 22111x y m n +=， 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足110,0,m n>> 11n m >.9.【答案】B 【解析】，2=-=-BN BM PN PM P 点的轨迹是以N M ,为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B .10.【答案】D 【解析】双曲线12222=-by a x 的一条渐近线为x a b y =， 由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2c e a ==== D. 综合迁移（C 类）1.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于()224a a a R ++∈，则这样的直线（ ）A .有且仅有一条B .有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在2.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.如果直线A F 的斜率为|P F|= （ ）A .B .8 C. D. 163.设O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .x y =0B x ±y =0 C.x =0 ±y =04. 已知双曲线122=-n y m x 的一条渐近线方程为x y 34=，则该双曲线的离心率e 为 .5.巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 .6.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________.【参考答案】1.【答案】C【解析】 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4.2.【答案】B【解析】抛物线的焦点F （2，0），直线A F 的方程为2)y x =-，所以点(2,A -、(6,P ，从而|P F|=6+2=83.【答案】D4.【答案】53或4 【解析】当00>>n m ，时，2925,169n m n e m m +===， 当00<<n m ，时，1625,9162=+==m n m e n m ，4535或=∴e . 5.【答案】193622=+y x【解析】23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为193622=+y x . 6.【答案】3 【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF a PF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 7.【答案】 2【解析】由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-， 联立有22223042y px p x px p y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，又82AB p ==⇒=.。
双曲线标准方程及几何性质
y M
F1 O
F2 x
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
F（±c，0） F（0，±c）
AM值A,B,BmM点相)；交于点M,且它们的斜率之积是 9, 试 求点M的轨迹方程。
2A.(双a,曲0)和线B(ax-a22,0),bPy2Q2 是 1双a曲线0的, b一条0垂的直实于轴实两轴顶的点弦。
直线AP与BQ交于M，求M的轨迹方程。
思考：若为椭圆呢？
y
P
M
BoA
x
Q
二、利用双曲线的定义求轨迹方程
∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。 故 选（B）
跟踪练习
1规(.123方)律圆椭双程：：圆曲方A： 线3 =y程A：B2m>>A00B,B<m>00x，,2A1再≠根B1，据表，再A示讨,根B曲论的据线方正A的程,负B条的表判件大示断：小的焦判点断的 曲焦位线点置是的。什位么置？。
x2 y2 1 AB
a2 b2
y
(4)等轴双曲线：
x2 a2
y2 a2
（1 或x2
y2
,
0)
①e 2
② 0 时，开口左右； 0 时，开口上下；
③ 所有等轴双曲线渐近线都是: y x
高二数学双曲线的几何性质1
(1)
双曲线的标准方程
y x 2 1(a>0,b>0) 2 a b
2
2
y2 x2 2 1 (a>0,b>0) 2 a b
它所表示的双曲线
它所表示的双曲线 的焦点在y轴上.
y
的焦点在x轴上.
y M
M
F2 x O F1
F1
O
F2 x
1. 范围 双曲线在不等式 x≤－a与 x≥a所表示 的区域内.
2
2
5.离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比 e = ,
a
叫做双曲线的离心率. 双曲线的离心率的取值范围是 (1, +∞).
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质：
1、 范围： y≥a或y≤-a
y2 x2 2 1 2 a b
F2
y
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 A1（0，-a）,A2（0，a）
4.渐近线
x2 y2 双曲线 2 2 1 (a>0,b>o)的几何性质 a b N
y N M B2 A1 Q M
O B1
A2
X
2 y x b 两条直线 y=± x叫做双曲线 2 2 1 a a b 2
的渐近线.
y x 双曲线 2 2 1 (a>0,b>o)的几何性质 a b
3.顶 点 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做 双曲线的顶点. 顶点坐标 A1 (－a, 0), A2 (a,0) 线段A1A2叫做双曲线的实轴
B2 A1 A2 B1
y x 双曲线 2 2 1 (a>0,b>o)的几何性质 a b
【高中数学】圆锥曲线之双曲线
1. 双曲线标准方程的求解步骤.2. 双曲线的几何问题.3. 双曲线的第二定义及其应用.4. 双曲线的总结.2.2.1 双曲线的定义及其标准方程定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹，叫作双曲线.双曲线焦点：两个定点F 1、F 2焦距：两焦点之间的距离 |F 1F 2|1212|MF MF F F |＜MF 1 F 2动点M 的轨迹：以F 1、F 2 为端点的两条射线.动点M 的轨迹：不存在.MF 1 F 2当时：1212|MF MF |F F -=当时：1212MF MF F F -＞用定义判断下列动点M的轨迹是否为双曲线.(1) 到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之差为3的点的轨迹.(2) 到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之差为4的点的轨迹.(3) 到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之差为3的点的轨迹.是不是不是xyO222c =a +b22221x y a b-=MF 1 F 2焦距2c22221y x a b-=y xOMF 1F 2 222c =a +b焦点在哪个轴上，哪个系数为正.22221x ya b-=22221y xa b-=双曲线标准方程的两种形式焦点在 x 轴上：焦点在 y 轴上：221916x y -=在 x 轴上 (－5,0)和(5,0）在 x 轴上 (0,－13)和(0,13）22222144y x m m m()-=- ＜在 y 轴上 (0,－2)和(0,2)例1 判定下列双曲线的焦点在 哪个轴上，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标.22114425x y-=求双曲线标准方程的步骤：双曲线方程可以设成 Ax 2+By 2=1（AB ＜0）的形式，方程可变形为：22111x y A B+= 若A ＞0，表示焦点在 x 轴上的双曲线；若B ＞0，表示焦点在 y 轴上的双曲线.例2 写出适合下列条件的双曲线标准方程.(1) a = 4 , b = 1, 焦点在 x 轴上.(2) a = 4 , c = 5, 焦点在 y 轴上.22116x y -=221169y x -=223b c a =-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.第一步：确定双曲线方程的类型焦点在x 轴上，因此设双曲线的方程为：22 221x y a b-=第二步：求参数a 、b由题意可知 c =5，因此有 52 = a 2 + b 2因为椭圆经过点Q ，因此有2222301a b--=() a = 3b = 4经过点 Q (－3,0) ，求它的标准方程.第三步：写出双曲线方程a = 3b = 422221 34x y-=经过点Q(－3,0) ，求它的标准方程.练习1 已知双曲线 的焦点在 y 轴上，且焦距为8，则m 等于 .22111x y+m m =-+8解：由题意得，c = 422211416a b m m ()()+=++-==8m =双曲线的方程可化为22111y xm m -=+-练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=A. D. C. B. 2214x y -=22133x y -=2212yx -=2212x y -=B两边平方，化简解得解法一：由题意得，焦点为由双曲线的定义可知，22222231231a |()()|=++--+22a =因此有2221b c a =-=2212x y -=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=3030(,)(,)-、解法二：设所求双曲线的方程为由题意可得，22a =因此有21b =22221x ya b-=223a b +=2222211a b-=练习2 过点 ，且与椭圆有相同的焦点的双曲线的标准方程为21,()214y +=2212x y -=焦点在哪个轴上，哪个系数为正. 22221x ya b-=22221y xa b-=2.2.2 双曲线的几何性质双曲线的标准方程22 221x y a b-=22221y xa b-= 222c=a+bxy O MF1 F2yxOMF1F2双曲线的图像范围|x |a,y R≥∈xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb |y |a,x R≥∈双曲线的渐近线b y xa=±a y xb=±xy O F 1 F 2y xO F 1F 2 aa b bxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb F 1(-c,0) F 2(c,0)F 1(0,-c) F 2(0,c)xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb A 1(-a ,0) A 2(a ,0)A 1(0,-a ) A 2(0,a )双曲线的对称性xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点双曲线的轴xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 实轴：线段|A 1A 2| = 2a 虚轴：线段|B 1B 2| = 2b当a =b ，等轴双曲线双曲线的焦距xy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 焦距：线段|F 1F 2| = 2cxy O F 1 F 2y xO F 1F 2aa bb 离心率：221c be a a==+221c b e a a==+1e ＞a c0＜＜xy O F 1 F 2ab椭圆的离心率 e 反映了双曲线的开口程度.当e 越趋于1时，双曲线开口越小；当e 越趋于+∞时，双曲线开口越大.xy O F 1 F 2ab 221c b e a a==+例1 已知双曲线E 经过点A (4 , 3)，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，离心率e =3/2，求双曲线E 的方程.解：设椭圆的方程为22221x ya b-=由题意得2222431a b-=2232c a b e a a +===2244511a b ==22514411x y-=练习1 设中心在原点双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程 .11 2e=221 2x y+=解：椭圆的焦点在x 轴上，且焦点为(－1,0)、(1,0)椭圆的离心率为22e=双曲线焦点为(－1,0)、(1,0)，离心率为双曲线的参数：22 122c a b===、、22221x y-=双曲线的方程：练习2 求椭圆 9y 2 － 16x 2 = 144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把已知方程化成标准方程2222143y x -=这里22435a b c a b===+=,,答案参见(理科课本P58例3 / 文科课本P51例3)双曲线的几何问题1. 双曲线定义的集合语言：P = { M | ||MF 1|－|MF 2|| =2a ，2a ＜|F 1F 2| }， |F 1F 2| =2c ，其中c ＞a ，且a 、c 为常数.xyOF 1 F 2例2 已知F 是双曲线 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的一点，则|PF |+|PA |的最小值为 .221412x y-=9xy OF F 2P A|PF |+|PA | = |PF 2|+2a +|PA |= 2a +( |PF 2|+|PA | )思路：找到一个替代点，使两定点在曲线的两侧最小值 = 4+5 = 9练习 设双曲线的两个焦点为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|:|PF 2|=3:4，则△PF 1F 2的面积等于 .2218y x -=85xyOF 1 F 2P|PF 1|:|PF 2|=3:4|PF 2 |－|PF 1|=2a =2|PF 1|=6|PF 2|=8△PF 1F 2是一个等腰三角形221864852S =⨯⨯-=双曲线的几何问题2. 双曲线的渐近线xy O F 1 F 2ab 求渐近线的方法：令等式右边等于022221x y a b-=22220x y a b -=令b y xa=±得2. 双曲线的渐近线求渐近线的方法：令等式右边等于022220y x a b -=令a y xb=±得y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=2. 双曲线的渐近线若已知渐近线，求双曲线的方程.一定注意分焦点在x 轴、y 轴上两种情况分析.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=例3 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点(2,－3)，则双曲线的标准方程为12y x =±A.D. C. B.221832x y -=224177x y-=224177x y-=221832y x -=通过渐近线，排除了A 、C ；通过点(2,－3)排除了D.练习 (2015安徽, 文) 下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）2y x =± A. D. C. B. 2214yx -=2212y x -=2212x y -=2214x y -=练习 (2015安徽, 理) 下列双曲线中，焦点在 y 轴上，且渐近线方程为的是（ ）2y x =±A. D. C. B. 2214yx -=2214y x -=2214x y -=2214x y -=练习 (2014天津, 理) 下列双曲线 的一条渐近线方程平行于直线 l ：，且双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程是（ ）210y x =+A.D.C.B.221520x y-=2233125100x y-=2233110025x y-=221205x y -=22221x ya b-=渐近线：y =±2x(－5,0)练习 (2013全国I) 下列双曲线 (a ＞0，b ＞0)的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. D. C.B. 14y x=±22221x ya b-=522y x=±12y x=±4y x =±by xa=±渐近线双曲线的几何问题3. 双曲线的离心率求离心率或其范围的方法：(1)求a 、b 、c ，直接求出 e .(2)列出a 、b 、c 的方程，借助b 2=c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.y xO F 1F 2 a b 22221y x a b-=过点(4,－2)，则双曲线的离心率为 A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b -=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =225514222c a +b b =+==a a a =过点(4,－2)，则双曲线的离心率为A. 6B. 5C.62D.5222221x ya b-=22220x ya b-=令b y xa =±得渐近线方程焦点在 x 轴上，因此方程设为12b a =52c a =。
高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点
高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点知识点是知识、理论、道理、思想等的相对独立的最小单元，以下是店铺为大家整理的高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点，希望对你有所帮助。
椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义：1、到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2、到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0|F1F2|)的点的轨迹3、与定点和直线的距离之比为定值e的点的'轨迹.(02.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程(0,b0)y2=2px参数方程(t为参数)范围─a￡x￡a，─b￡y￡b|x| 3 a，y Rx30中心原点O(0，0)原点O(0，0)顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴;长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(─c,0)F1(c,0), F2(─c,0)焦距2c (c=)2c (c=)离心率e=1准线x=x=渐近线y=x焦半径通径2p焦参数P数学椭圆知识点双曲线⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=—2p_2=2pyx2=—2py直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c'_h正棱锥侧面积S=1/2c_h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi_r2 圆柱侧面积S=c_h=2pi_h圆锥侧面积S=1/2_c_l=pi_r_l弧长公式l=a_ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2_l_r 锥体体积公式V=1/3_S_H圆锥体体积公式V=1/3_pi_r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中，S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s_h圆柱体V=p_r2h乘法与因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2）三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b|a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a|一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a根与系数的关系X1+X2=—b/aX1_X2=c/a注：韦达定理判别式b2—4ac=0注：方程有两个相等的实根b2—4ac>0注：方程有两个不等的实根b2—4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosAcos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB）ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctgacos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a半角公式sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2）cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2）tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA））ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B）2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos （A+B）—cos（A—B）sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2）tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosBctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB【高中数学椭圆双曲线抛物线的标准方程与几何性质知识点】。
高考数学 双曲线及其性质 讲解
16 9
例2 (2022广东茂名调研三,14)若双曲线经过点(1, 3 ),其渐近线方程为y
=±2x,则双曲线的方程是
.
x2 y2
13
解析 ①若双曲线的焦点在x轴上,则设 a2 - b2 =1(a>0,b>0),则 a2 - b2 =1且
b
1
a =2,联立解得a= 2 ,b=1,则双曲线的方程为4x2-y2=1;
③若Δ<0,则l与C相离.
综合篇
考法一 求双曲线的标准方程 1.定义法:由已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用双曲线的定 义求出参数a,b的值,从而得到所求的轨迹方程,求轨迹方程时,满足条件 “|PF1|-|PF2|=2a(0<2a<|F1F2|)”的轨迹为双曲线的一支,应注意合理取舍; 2.待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标 准方程,利用题目条件构造关于a,b的方程(组),解得a,b的值,即可求得方 程. 方程的常见设法:
高考 数学
专题九 平面解析几何
9.3 双曲线及其性质
基础篇
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线.
2.标准方程
焦点在x轴上: x2 - y2 =1(a>0,b>0);
a2 b2
焦点在y轴上: y2 - x2 =1(a>0,b>0).
双曲线C的渐近线方程为y=±
bx.∵
a
F1B·F2 B=0,∴F1B⊥F2B,
∴点B在☉O:x2+y2=c2上,如图所示,不妨设点B在第一象限,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。
两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。
(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线； 22a y -22bx =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-by a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-ba ．②， 又222cb a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-by a x 为所求． 同理有4522=a c ，19222=-b a ，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==ace ，由双曲线的定义，得c a PF PF ==-221．由余弦，得212122212cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=．又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ，∴4821=⋅PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ． 三、巩固测试题1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点5．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．126．双曲线x 24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )A ．23B ．2 C. 3 D ．1解析：双曲线x 24－y 212＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|3＋1＝2 3.7．以椭圆15822=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（ ）A A ．15322=-y x B ．13522=-y x C ．181322=-y x D ．151322=-y x8．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．9．经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的方程为 （ ）CA ．1257522=-y x B ．1257522=-x y C ．1752522=-y x D ．1752522=-x y 10．已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)，，(40)，，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y B ．221124x y C ．221106x y D ．221610x y11．已知P 是双曲线191622=-y x 上的一点，21,F F 是双曲线的两个焦点，且12021=∠PF F 则21F PF ∆的面积为 （ ）DA ．316B ．39C ．34D ．3312．双曲线222516400x y -=的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =________ 12．6414．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为 。
13．0543=-+y x15．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。
双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为2214x y -+=，∴ m=14-。
16．已知双曲线的离心率e ＝52，且与椭圆x 213＋y 23＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．解：在椭圆中，焦点坐标为(±10，0)， ∴c ＝10，又e ＝c a ＝10a ＝52，∴a 2＝8，b 2＝2.∴双曲线方程为x 28－y 22＝1.17．已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点．∴4221==-a PF PF ,52221==c F F∵9021=∠PF F ，∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF ，∴1622021=-PF PF ，∴221=⋅PF PF∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 18．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为 (2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； 18.(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1.又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422=+y x (2)设线段PA 的中点为M(x,y) ,点P 的坐标是(x 0,y 0),由x=210+x得x 0=2x －1 y=2210+y y 0=2y－21由,点P 在椭圆上,得1)212(4)12(22=-+-y x , ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是1)41(4)21(22=-+-y x .19．已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219x y +=.联立方程组22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185x x +=-,0x =12925x x +=所以0y =0x +2=15.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).20．求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338的双曲线方程。
解:设双曲线方程为x 2-4y 2=λ.联立方程组得: 22x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2-24x+(36+λ)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ 那么：=解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2214x y -=21．中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且132||21=F F ，椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3︰7。
（1）求这两条曲线的方程；（2）若P 为这两条曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值。