应用数值分析【研究生课程】课后习题答案07章

应用数值分析【研究生课程】课后习题答案07章

第七章习题解答

1、试证明牛顿—柯特斯求积公式中的求积系数()n i

C 满足()0

1n

n i i C ==∑。

证明：取(0,1,

,)i x i i n ==的插值节点，相应的Lagrange 插值基函数为0()n

i j j i

x j

l x i j

=≠-=-∏

，由插值基函数的性质知0

()1n

i i l x ==∑，于是可得：

()0000

00111()()11n

n

n n n n

n i

i i i i i C

l x dx l x dx dx n

n n =======∑∑∑⎰⎰⎰。证毕。

2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分21

ln xdx ⎰的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。

解：由梯形公式21ln 2

()(()())(ln1ln 2)0.3466222

b a T f f a f b --=

+=+=≈ 最大误差限为：3''2()1111

()()10.0833((1,2))12121212

T b a R f f ξξξ-=-

=≤∙=≈∈ 由Simpson 公式13()()4()ln14ln ln 20.38586262b a a b S f f a f f b ⎛⎫-+⎛⎫

⎛⎫

=

++=++≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 最大误差限为：5(4)4()161

()()60.0021((1,2))288028802880

S b a R f f ηηη-=-

=≤∙≈∈。 3、用复化Simpson 公式求积分14

0x

e dx -

⎰，要求绝对误差限小于71102

-⨯，问步长h 要取多大？ 解：由复化Simpson 公式的误差限：

4(4)444

44

()111111

()()((0,1))28802880288044n S b a R f h f e n n ηηη--=-=≤∈

令71()102n

S R f -≤⨯可得 2.28n ≥，故至少取3n =，1

3

b a h n -=

=，相应的求积结果为： 3()0.8848S f =。

4、推导中点求积公式

3''

()()()()()

()224

b

a

a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰

证明：取以(

)2

a b

f +为高，长为b a -的矩形代替()f x 在[,]a b 区间上与x 轴所围面积即可得中点求积公式

()()()2

a b

I f b a f

+=-，设一次多项式

()P x 满足

''(

)(),()()2222a b a b a b a b P f P f ++++==，易求得'()()()()222

a b a b a b

P x f x f +++=-+，设

()()()r x f x P x =-，易知()r x 有二重零点

2

a b

+，于是有2()()()2a b r x K x x +=-，记 2()()()()()2a b t f t P t K x t ϕ+=---

，则()t ϕ有三个零点,()2

a b

x +二重，由广义Rolle 定理知(,)a b η∃∈使得''

()0ϕη=，即''

()2()0f K x η-=，于是可得''()

()2f K x η=，从而有 ''2

()()()()()22

f a b r x f x P x x η+=-=-,

另一方面由()P x 为一次多项式知()()(

)()()()22

b

a a

b a b

P x dx b a P b a f I f ++=-=-=⎰，于是 ''2

()()()()(()())()()22

b

b

b

b a

a

a

a

f a b R f f x dx I f f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰

由于2

()2

a b x +-

在区间(,)a b 上不变号，利用积分第二中值定理可得 ''32''

()()()()()

((,))2224

b a f a b b a R f x dx f a b ξξξ+-=-=∈⎰

即：3''()()()()()

()224

b

a

a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰

。证毕。

5、对变步长Simpson 方法，用事后误差分析方法说明为什么2n n S S ε-≤可以作为迭代终止条件。

解：设精确积分结果为()()b

a I f f x dx =⎰，(4)[,]

max ()x a b f x M ∈=

由复化求积公式的误差4(4)

1()()()()2880

n S n b a R f I f S f h f η-=-=-

， 24

(4)

22()()()()28802n S n b a h R f I f S f f η-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭

设(4)()f x 在[,]a b 上变化不大，即(4)(4)12()()f f ηη≈，两式相比可得

242()()()

216()

()()

n n S n S n R f I f S f R f I f S f -=

≈=-，

解之可得21()(16()())15n n I f S f S f ≈

-，或者221

()()(()())15

n n n I f S f S f S f -≈-，从而当 2()()n n S f S f ε-≤时，2()()2

n I f S f ε

ε-≤

≤，

故2n n S S ε-≤可以作为迭代终止条件。

6、计算积分1

0x e dx ⎰，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少剖

分多少等分才能保证有六位有效数字。

解：由复化梯形公式的误差限：