空间单元与等参单元(已排)
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10
10.3 空间问题
基本方程:
u x x v y y w z z u v xy y x yz v w y zx z u w x z
14
(4)刚度矩阵 类似平面问题，利用虚功方程可得单元刚阵
k
e
B D B dV
T
k
1212
e
B D B V
T
V
K
e
K11 K12 K13 K14 K K K K 21 22 23 24 K31 K32 K33 K34 K 41 K 42 K 43 K 44
9
实
例
封头作为压力容器中的重要受 力部件，用户对其质量、强度、安 全性等有很高的要求。带裙座封头 的结构如图，其优点是可以避免直 接在封头壁上进行焊接，提高了封 头的可靠性，但也增加了成形过程 的难度。 1) 如何保证锻件的厚度； 2）如何保证成形后的裙座位置。 厚壁封头在热冲压成形过程中 还会出现明显的局部减薄或增厚现 象，严重的会导致封头撕裂、起皱、 模具涨裂等问题。
所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位 移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。 借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有 限元离散。
17
等参数单元实例
任意直边四边形: 任意六面体:
18
由于工程实际中问题的边界通常很复杂，使用前述的规 则单元(如矩形或正六面体等)难于逼近几何形状不规则的原 始边界(如曲边等)，而只能采用不规则的单元(如任意直四 边形、任意直六面体、或曲四边形、曲六面体)。但是如果 直接研究这些不规则单元的有限元计算格式(如单刚阵)，则 非常困难。 问题：能否利用规则单元的结果来研究这些不规则单元 的计算格式？
节点1，2，3，4的坐标：
(x1,y1,z1),…… (x4,y4,z4).
12
利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式:
0 N3 0 0 N 4 0 0 u1 u ( x, y, z ) N1 0 0 N 2 0 v ( x , y , z ) 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 1 2 3 4 w( x, y, z ) 0 0 N 0 w 0 N 2 0 0 N3 0 0 N4 1 4
z2 z3 z4
y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4
1 x2 d1 1 x3 1 x4
y2 y3 y4
这些系数为四面体体积V 各行各元素的代数余子式:
13
(3)应变矩阵
u x x v y y w z z B1 v xy x u y yz v w y zx z w u x z
其中各子块阵为:
K rs Br D Bs dV
T V
15
第11章
等参数有限元法
16
11.1 等参数单元
矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单 元更好的边界适应性。
实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好 的单元。
本章将介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元：即 以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函 数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换
将上述坐标变换式与正四边形单元的位移函数相比较， 可知，函数形式和阶次完全相同，即任意四边形与正四边 形的变换采用了与正四边形位移函数相同参数变换，故称 这样的单元为等参单元.
22
11.3 等参数单元形函数
21
y
坐标变换式记为：
x Ni xi
i 1
4
y Ni yi
i 1
4
1 1 (1 )(1 ) N 2 (1 )(1 ) 4 4 1 1 N 3 (1 )(1 ) N 4 (1 )(1 ) 4 4 N1
( r 0,
={
z 0)
ur
应变分量
{ } { r z rz }T ur r r w z ur z w r }T
虚功方程
2
* T * T d 2 则 { } { F } 2 { } { }Rrdrdz 0
e T
8
（7）轴对称单元的特点 1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接； 2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 3）单元边界是一回转面； 4）应变分量 中出现了 ur，即应变不是常量；且应变矩 r 阵在r 0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元 的形心坐标替代节点坐标。
位移、应变、应力都与θ无关，只与r、 z有关。 任一点位移只有r、z方向分量： p
( r , , z )
{ur
w}
T
x
r
而θ方向位移分量 u =0
4
（2）基本方程 T 位移分量： {ur w}
u =0
T { } { } r z rz 应力分量：
x y z xy yz zx
D
对于实际工程中不能简化的空 间问题，弹性力学是无法求解的， 有限元法是解决此问题的有力工具。
11
10.4 四面体单元
(1)单元类型：四面体 单元节点位移向量
x 1 2 3 4 y 5 6 7 8
i i 1, 8 利用任意四边形与母元的坐标值待定系数： 并将其整理为插值函数形式：
x 1 [(1 )(1 ) x1 (1 )(1 ) x2 4 (1 )(1 ) x3 (1 )(1 ) x4 ] 1 [(1 )(1 ) y1 (1 )(1 ) y2 4 (1 )(1 ) y3 (1 )(1 ) y4 ]
其中：
x2 a1 x3 x4 y2 y3 y4
1 Ni (1) (ai bi x ci y di z ) i 1,2,3,4 6V
i 1
z2 z3 z4
1 y2 b1 1 y3 1 y4
z2 z3 z4
1 x2 c1 1 x3 1 x4
1 x1 1 x2 6V 1 x3 1 x4
f
4 (x4,y4)
η=1 η v P(x,y) u ξ 3 (x3,y3) ξ =1
ξ
y 1 (x1,y1) 2 (x2,y2) η=-1
1 (-1,-1) 2 (1,-1)
t η
ζ
η
百度文库
ζ ξ
ξ
y
z x
20
11.2 平面四边形等参数单元
等参变换 为了建立两者的关系，将局部坐标附在任意四边形上， 原点在单元中心，两坐标轴可不正交，但必须使四个角点和 边界限制在-1~1之间。整体坐标如前图。 设变换函数为：
e u1 v1
w1 u2
v2
w2
u3
v3
w3
u4
v4
w4
T
(2)位移函数 线性位移函数
u( x, y, z ) a1 a2 x a3 y a4 z v( x, y, z ) a5 a6 x a7 y a8 z w( x, y, z ) a9 a10 x a11 y a12 z
物理方程：圆柱坐标是正交坐标，物理方程参照直角坐标系。
5
z
p
( r , , z )
x
r
（3）结构离散 对于轴对称问题的离散,通常在子午面 roz上进行,其形状常为三角形和四边形,实 际上，子午面上的每个三角形(或四边形)单 元表示的是一个绕z轴一周的三棱(或四棱) 环单元。因此,有限元轴对称问题的离散就 是将连续体离散成由有限个圆环组成的离 散体,单元与单元间通过环线(称为节线)相 连接,作用于单元上的载荷,也作用于节线上。 如图。 实际分析时，考虑到轴对称问题位移 与周向无关，故可只需取一个截面,按平面 情况进行分析。
第10章
轴对称问题、空间问题有 限单元法
1
10.1 空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任 意空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作
用的回转体等。本章简单介绍两类问题：轴对称问题和空 间问题的有限元计算。 空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）未知量的数目剧增。———— （对某些问题简 化）——— （轴对称问题）
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的 变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得 到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。 重点：
1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系; 2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四 边形的单刚矩阵.
19
变换实例:
η 4 (-1,1) 3 (1,1)
B2
63
B3
e B4 B e 612 121
bi 其中： 0 1 0 Bi c 6V i 显然[B]为常量矩阵，故四面体单元 0 为常应变单元。 di
0 ci 0 bi di 0
0 0 di 0 ci bi
j j
urj
wi
wm urm
m(r z)
m m
uri
i(ri z) i
r
1 Ni (ai bi r ci z ) i,j,m轮换 2A
7
o
其中：
（5）应变矩阵 bi 0 b j 0 bm 0 uri r f 0 f 0 f 0 1 wi i j m { } 0 c 0 c 0 c i j m z 2A rz wm ci bi c j b j cm bm
e e = B B B [ B ] j m i
素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r 0时，f 不存在，即奇异，需近似处理。 （6）刚度矩阵
其中 fi
ai c bi i z i,j,m轮换 为r的函数，故[B]的元 r r
K 66 2 B [ D][ B]rdrdz
空间分析的优点：
精确。
2
10.2 轴对称问题
结构所受载荷与约束都对称于它的轴线，则其内部的 应力、应变与位移也必然对称于该轴线。
（a）压力管道
（b）受重力作用的烟囱 几何形状，约束条件及作用的载荷都对称于一固定轴。
3
(1) 建立轴对称问题圆柱坐标系 取柱面坐标系orθz. z
径向为r，环向为θ，对称轴为z。
6
（4）单元位移函数
wj
单元类型：三角形单元 ur 1 2 r 3 z w 4 5r 6 z
利用节线位移，待定系数，可得
ur N i uri N j urj N murm w N i wi N j w j N m wm
z
j(r z)
10.3 空间问题
基本方程:
u x x v y y w z z u v xy y x yz v w y zx z u w x z
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(4)刚度矩阵 类似平面问题，利用虚功方程可得单元刚阵
k
e
B D B dV
T
k
1212
e
B D B V
T
V
K
e
K11 K12 K13 K14 K K K K 21 22 23 24 K31 K32 K33 K34 K 41 K 42 K 43 K 44
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实
例
封头作为压力容器中的重要受 力部件，用户对其质量、强度、安 全性等有很高的要求。带裙座封头 的结构如图，其优点是可以避免直 接在封头壁上进行焊接，提高了封 头的可靠性，但也增加了成形过程 的难度。 1) 如何保证锻件的厚度； 2）如何保证成形后的裙座位置。 厚壁封头在热冲压成形过程中 还会出现明显的局部减薄或增厚现 象，严重的会导致封头撕裂、起皱、 模具涨裂等问题。
所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位 移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。 借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行有 限元离散。
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等参数单元实例
任意直边四边形: 任意六面体:
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由于工程实际中问题的边界通常很复杂，使用前述的规 则单元(如矩形或正六面体等)难于逼近几何形状不规则的原 始边界(如曲边等)，而只能采用不规则的单元(如任意直四 边形、任意直六面体、或曲四边形、曲六面体)。但是如果 直接研究这些不规则单元的有限元计算格式(如单刚阵)，则 非常困难。 问题：能否利用规则单元的结果来研究这些不规则单元 的计算格式？
节点1，2，3，4的坐标：
(x1,y1,z1),…… (x4,y4,z4).
12
利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式:
0 N3 0 0 N 4 0 0 u1 u ( x, y, z ) N1 0 0 N 2 0 v ( x , y , z ) 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 1 2 3 4 w( x, y, z ) 0 0 N 0 w 0 N 2 0 0 N3 0 0 N4 1 4
z2 z3 z4
y1 y2 y3 y4 z1 z2 z3 z4
1 x2 d1 1 x3 1 x4
y2 y3 y4
这些系数为四面体体积V 各行各元素的代数余子式:
13
(3)应变矩阵
u x x v y y w z z B1 v xy x u y yz v w y zx z w u x z
其中各子块阵为:
K rs Br D Bs dV
T V
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第11章
等参数有限元法
16
11.1 等参数单元
矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单 元更好的边界适应性。
实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好 的单元。
本章将介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元：即 以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函 数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换
将上述坐标变换式与正四边形单元的位移函数相比较， 可知，函数形式和阶次完全相同，即任意四边形与正四边 形的变换采用了与正四边形位移函数相同参数变换，故称 这样的单元为等参单元.
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11.3 等参数单元形函数
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y
坐标变换式记为：
x Ni xi
i 1
4
y Ni yi
i 1
4
1 1 (1 )(1 ) N 2 (1 )(1 ) 4 4 1 1 N 3 (1 )(1 ) N 4 (1 )(1 ) 4 4 N1
( r 0,
={
z 0)
ur
应变分量
{ } { r z rz }T ur r r w z ur z w r }T
虚功方程
2
* T * T d 2 则 { } { F } 2 { } { }Rrdrdz 0
e T
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（7）轴对称单元的特点 1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接； 2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力； 3）单元边界是一回转面； 4）应变分量 中出现了 ur，即应变不是常量；且应变矩 r 阵在r 0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元 的形心坐标替代节点坐标。
位移、应变、应力都与θ无关，只与r、 z有关。 任一点位移只有r、z方向分量： p
( r , , z )
{ur
w}
T
x
r
而θ方向位移分量 u =0
4
（2）基本方程 T 位移分量： {ur w}
u =0
T { } { } r z rz 应力分量：
x y z xy yz zx
D
对于实际工程中不能简化的空 间问题，弹性力学是无法求解的， 有限元法是解决此问题的有力工具。
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10.4 四面体单元
(1)单元类型：四面体 单元节点位移向量
x 1 2 3 4 y 5 6 7 8
i i 1, 8 利用任意四边形与母元的坐标值待定系数： 并将其整理为插值函数形式：
x 1 [(1 )(1 ) x1 (1 )(1 ) x2 4 (1 )(1 ) x3 (1 )(1 ) x4 ] 1 [(1 )(1 ) y1 (1 )(1 ) y2 4 (1 )(1 ) y3 (1 )(1 ) y4 ]
其中：
x2 a1 x3 x4 y2 y3 y4
1 Ni (1) (ai bi x ci y di z ) i 1,2,3,4 6V
i 1
z2 z3 z4
1 y2 b1 1 y3 1 y4
z2 z3 z4
1 x2 c1 1 x3 1 x4
1 x1 1 x2 6V 1 x3 1 x4
f
4 (x4,y4)
η=1 η v P(x,y) u ξ 3 (x3,y3) ξ =1
ξ
y 1 (x1,y1) 2 (x2,y2) η=-1
1 (-1,-1) 2 (1,-1)
t η
ζ
η
百度文库
ζ ξ
ξ
y
z x
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11.2 平面四边形等参数单元
等参变换 为了建立两者的关系，将局部坐标附在任意四边形上， 原点在单元中心，两坐标轴可不正交，但必须使四个角点和 边界限制在-1~1之间。整体坐标如前图。 设变换函数为：
e u1 v1
w1 u2
v2
w2
u3
v3
w3
u4
v4
w4
T
(2)位移函数 线性位移函数
u( x, y, z ) a1 a2 x a3 y a4 z v( x, y, z ) a5 a6 x a7 y a8 z w( x, y, z ) a9 a10 x a11 y a12 z
物理方程：圆柱坐标是正交坐标，物理方程参照直角坐标系。
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z
p
( r , , z )
x
r
（3）结构离散 对于轴对称问题的离散,通常在子午面 roz上进行,其形状常为三角形和四边形,实 际上，子午面上的每个三角形(或四边形)单 元表示的是一个绕z轴一周的三棱(或四棱) 环单元。因此,有限元轴对称问题的离散就 是将连续体离散成由有限个圆环组成的离 散体,单元与单元间通过环线(称为节线)相 连接,作用于单元上的载荷,也作用于节线上。 如图。 实际分析时，考虑到轴对称问题位移 与周向无关，故可只需取一个截面,按平面 情况进行分析。
第10章
轴对称问题、空间问题有 限单元法
1
10.1 空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任 意空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作
用的回转体等。本章简单介绍两类问题：轴对称问题和空 间问题的有限元计算。 空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）未知量的数目剧增。———— （对某些问题简 化）——— （轴对称问题）
思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的 变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得 到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。 重点：
1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系; 2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四 边形的单刚矩阵.
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变换实例:
η 4 (-1,1) 3 (1,1)
B2
63
B3
e B4 B e 612 121
bi 其中： 0 1 0 Bi c 6V i 显然[B]为常量矩阵，故四面体单元 0 为常应变单元。 di
0 ci 0 bi di 0
0 0 di 0 ci bi
j j
urj
wi
wm urm
m(r z)
m m
uri
i(ri z) i
r
1 Ni (ai bi r ci z ) i,j,m轮换 2A
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o
其中：
（5）应变矩阵 bi 0 b j 0 bm 0 uri r f 0 f 0 f 0 1 wi i j m { } 0 c 0 c 0 c i j m z 2A rz wm ci bi c j b j cm bm
e e = B B B [ B ] j m i
素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r 0时，f 不存在，即奇异，需近似处理。 （6）刚度矩阵
其中 fi
ai c bi i z i,j,m轮换 为r的函数，故[B]的元 r r
K 66 2 B [ D][ B]rdrdz
空间分析的优点：
精确。
2
10.2 轴对称问题
结构所受载荷与约束都对称于它的轴线，则其内部的 应力、应变与位移也必然对称于该轴线。
（a）压力管道
（b）受重力作用的烟囱 几何形状，约束条件及作用的载荷都对称于一固定轴。
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(1) 建立轴对称问题圆柱坐标系 取柱面坐标系orθz. z
径向为r，环向为θ，对称轴为z。
6
（4）单元位移函数
wj
单元类型：三角形单元 ur 1 2 r 3 z w 4 5r 6 z
利用节线位移，待定系数，可得
ur N i uri N j urj N murm w N i wi N j w j N m wm
z
j(r z)