力学 · 波动学基础

2π
k k0
波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面
波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面
波动学基础·机械波概述
A 波线与波面、波前一定垂直。 B 波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程
课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位
证明：设振源的简谐振动为
x Acos(t 0 )
时刻 t 振源的相位为
y
振 动 方 向
o
v x
x
u(0,t) Acos(t )
t 时刻 x 处的质元振动相位
(t
x v
)
t 时刻 x 处的质元振动频率应当等于振源的频率
u(
x,t)
Acos
t
x v
Acost
v
x
2π T 2π v T
2π
k k0
波矢
u( x,t) Acost kx
讨论 u( x,t) Acost kx
k 0,1,2
A A1 A2
IV 波程差与波的干涉
(2
1
)
2π
(r2
r1
)
1 2
2π
(r2
r1
)
2π
r2 r1 k
k 0,1,2
A A1 A2
r2
r1
(k
1 )
2
k 0,1,2
A A1 A2
相长干涉 相消干涉
波动学基础·波的干涉、驻波
例 5.5.1：如图，已知振源 S1，S2，PS1= 4 m，S1S2= 3 m，两振动有如下共
波动学基础·机械波能量
(5) 简谐波的能流密度 (波的强度)
能流： 单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量
p v s
平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量
p
(
v)
s
能流密度 (坡印亭矢量)
I
v
平均能流密度矢量
I
v
对平面简谐波
I
1 2
A2
2v
课后作业：练习p180-182，例5.4.1-例5.4.3
B：体变模量
波动学基础·机械波能量
5.3 机械波的能量、能量密度和能流密度 (1) 机械波的动能
x
x+dx
x
设简谐波
u( x, t) Acos(t x)
v
u(x,t)
u(x+dx ,t)
微元动能
Ek
1 mv2 2
1 V u 2
2 t
1 2
V
2
A2
sin2
t
x v
(2) 机械波的势能
弹性模量 Y 类比弹簧
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
(2
1
)
2π
(r2
r1
)
讨论：I 波强度
I I1 I2 2 I1I2 cos
II 相长干涉
S1
r1
P
r2 S2
波动学基础·波的干涉、驻波
(2
1
)
2π
(r2
r1 )
2kπ
k 0,1,2
A A1 A2
III 相消干涉
(2
1
)
2π
(r2
r1 )
(2k
1)π
波动学基础·波的干涉、驻波
5.5.2 波的叠加原理、波的干涉 (1) 波的叠加原理
• 各列波相遇后它们各自原有的特点独立继续传播； • 在各列波相遇的区域里，质点的振动为各列波在该点引起振动的叠加 (2) 波的干涉 A 相关概念 相干波：满足相差恒定、振动频率相同、振动方向相同的波 波的干涉：相干波在其公共区域内叠加形成波强度稳定的空间强弱分布
2 v2
Acos(t
x v
)
对比
2 y t 2
v2
2 y x 2
0
2u t 2
a2
2u x 2
0
波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度
a
T
v
绳的微振动横波 杆的纵向微振动波 杆的横向微振动波 声音在空气中传播
a
T
a
Y
a
G
a
B
波动学基础·动力学方程 T：绳的张力 Y：杨氏弹性模量 G：切变弹性摸量
2 y t 2
T2 cos2 T1 cos1 0
微振动时
cos1 cos2 1
sin1
y x
x
sin 2
y x
x dx
2 y t 2
a2
2 y x 2
0
a
T
y
1 T1
x
2 T2 x+dx x
波动学基础·动力学方程
如果弦在振动过程中还受到力密度 (F/) 为 f(x,t) 的横向外力，则
2 t
π
πx 5
)
波动学基础·机械波概述
(3) 以B为坐标原点，C、D 两点的振动方程及振动速度表达式
u(
xc
,
t
)
3cos(4πt
13π 5
)
u(
xD
,
t
)
3
cos(4πt
9π 5
)
v(
xc
,
t
)
12π
sin(4πt
13π 5
)
v(
xD
,
t
)
12π
sin(4πt
9π 5
)
例5.1.2：平面波沿 x 轴正向传播，振幅为A，频率为ν，波速为 v ，
F s
Y
u x
F
Ys u x
F kx
Ep
1 2
kx2
Ep
1 2
Ys x
u2
Y (V 2
)
u 2
x
E p
1 (弹性模量（) 应变）2 V＝1
2
2
V 2 A2
sin2 (t
x) v
波动学基础·机械波能量
(3) 机械波的能量
Ek
1 mv2 2
1 V u 2
2 t
1 2
V
2
A2
sin2
解： (1) 由 y 3cos4πt
A=3，=4，=0，
k
v
4π 20
依简谐波标准方程 u( x,t) Acost kx
波函数为
u(
x,
t
)
3cos(4πt
4π
2x0)
3cos(4πt
πx 5
)
(2) 以B为坐标原点，写出波动方程
u( x,t)
3cos[4π(t
AB v
)
4π
2x0]
3cos(4πt
波动学基础·机械波概述
• 描述一个机械波，需要确定 A，，k，
• 波函数给出任意时刻 t，媒质各质点的振动状态 (相位或振动状态) • 波函数给出了任意时间段 t=t2-t1 媒质各质点振动状态差
波动学基础·机械波概述
(5) 描述机械波的解析参量
波长 ()：沿波传播直线上两个相邻同相点 (相位差为2) 之间的距离
k
p
1
2
讨论： 机械波的能量传输特性
A 关于能量守恒
• 机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量； • 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒； • 机械波能够向外传输；
B 关于能量传输特性 • 机械波能量密度传输速度仍为 v，但频率是机械波频率的 2 倍； • 介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；
u( x dx, t) u( x, t) u( x, t)
dx
x ux x
x x+dx
x
AB
C
u u+du
AB
C
由牛顿第二定律，微元满足的动力学方程为
YS
u(
x dx, t) x
YS
u( x, t) x
( Sdx )
2u t 2
化简得
2u t 2
a2
2u x 2
0
其中
a
Y
波动学基础·动力学方程
1.0
1.5
波动学基础·波的干涉、驻波
u(x,t)
2
Acos
2πx
cost
2πx
kπ
x
k
2
k 0,1,2 时 A 2A 波腹
2πx
(2k
1)
π 2
x
(2k 4
1)
k 0,1,2 时 A 0
波节
相邻波腹、波节的距离 B 相位分布规律
波动学基础·机械波概述 (2) 机械波产生的物理机制
波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果
结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (3) 机械波模型
• 振源与观察者保持相对静止 • 弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变
波动学基础·机械波概述
(4) 机械波的运动学方程 目标：给出距振源任意距离 x 处质点的振动方程 推导：设 t 时刻 x=0 处的质元振动方程为
波动学基础·机械波概述
v
dx dt
2π
Asin(2π
t
)
0
π 2
2π
t
u(0,
t
)
Acos[2π
(t
t)
π 2
]
k
2π
v
u( x,t)
Acos[2π
(t
t)
x v
π 2
]
(6) 描述机械波的几何参量
波线：波向外传播的方向构成的曲线
波线上任意一点的切线方向与该点波的传播方向相同
波矢：表示波线任意点方向，且具有一定模值的矢量
y
2
a2
2 y x 2
f (x,t)
(2) 杆中纵波方程
设杆的质量密度为 ，杨氏模量为Y，横截面积为S，t 时刻dx微元两端
点偏离平衡位置的距离分别为 u(x,t) 和 u(x+dx,t)，那么，微元伸长量为
u( x, t) u( x dx, t) u( x, t) x dx ux x dx 称微元伸长量与原长之比为相对伸长量
x x+dx
x
AB
C
u u+du
AB
C
课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (解释方案)
波动学基础·动力学方程
5.2.2 波动动力学方程求解
在无界空间中，动力学方程的解为
u( x,t)
Acos(t
v
x
)
Acos(t
x v
)
验证
2u( x, t 2
t
)
2
Acos(t
x v
)
2u( x, t) x 2
t
x v
E p
1 (弹性模量（) 应变）2 V＝1
2
2
V 2 A2
sin2 (t
x) v
E
Ek
E p
V 2 A2
sin2
t
x v
(4) 机械波的能量密度
dE dV
2
A2
sin2
t
x v
1 2
2
A2
1
cos2
t
x v
平均能量密度
1
T
dt
1
2
A2
T0
2
波动学基础·机械波能量
平均动能、势能能量密度
力学 · 波动学基础
力学的内容结构体系
力学·内容结构
波动学基础·机械波概述 5.1 机械波概述 (1) 相关概念
机械波：机械振动在介质中的传播过程称为机械波 形成条件：存在波源；存在传播波的弹性介质
纵波：振动方向与波的传播方向相同的波 横波：振动方向与波的传播方向互相垂直的波
传输条件：纵波可在固、液、气等媒质中传播，横波只在固态媒质中传播
波数 (~)：波长的倒数称为波数或单位长度所包含的完整波的数目 频率()：单位时间内给定的完整波的个数
周期(T)：传递一个完整波所需的时间或频率的倒数
波速(v)：单位时间波向外传播完整波数对应的距离
1.0
1.0
0.5
0.5
x x
0.0
0.0
-0.5
-0.5
-1.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
5.4 声波、超声波和次声波 (自学章节)
波动学基础·波的干涉、驻波
5.5 波的干涉、驻波 5.5.1 惠更斯原理、波的反射与折射 (1) 惠更斯原理
• 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波； • 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前；
AD
i
i
B
C
(2) 波的反射与折射
课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律
同物理量：A=5 cm，v=330 m/s，v =165 Hz，2-1=
求：P 点的干涉结果
P
4m
解：相位差
(2
1 )
2π
(r2
r1 )
2 1 π
v
2
PS2 32 42 5
0
S1
3m
S2
A A1 A2 10
波强度
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
波动学基础·波的干涉、驻波
(t) t 0
设机械波传到波前所需时间为 t，波前的相位比振源相位落后 t
于是，t 时刻波前的相位为
(t) (t) t (t 0 ) t 0
波动学基础·动力学方程
5.2 波动动力学方程
5.2.1 典型波动的动力学方程
(1) 轻质、柔弦的横波方程
由牛顿定律
T2
sin 2
T1
sin1
ds
u(x,t)
2 A cos
2πx
cost
2 A cost
cos
2πx
• 给定空间点，质点以确定振幅谐振
• 给定时刻 t，驻波是一空间波分布
u
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0
-1.5
t=0
t=T/4 t=3T/8
-1.0
-0.5
0.0
0.5
x
t=T/2 t=T/8
5.5.3 驻波 (1) 驻波形成条件
振幅、频率、振动方向相同的两列波在同一条直线上反向传播
(2) 驻波的运动学参量的时空分布
u1( x, t)
Acos(t
2πx
)
u2 ( x, t)
Acos(t
2πx
)
u( x,t) u1( x,t) u2( x,t)
2
Acos
2πx
cost
讨论：A 振幅分布规律
B 波强度稳定的空间分布
波动学基础·波的干涉、驻波
设两列相干波源的振动分别为
u1(0, t) A1 cos(t 1 ) u2 (0, t) A2 cos(t 2 )
u1(r1 , t )
A1
cos(t
2πr1
1 )
u2 (r2 , t )
A2
cos(t
2πr2
2 )
u(rp , t) u1(r1 , t) u2 (r2 , t) Acos(t )
t+
-1.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
t+
波长、频率、相位之间的普适关系
v
T
波动学基础·机械波概述
例5.1.1：直线右行平面简谐波 v= 20 m/s，A 点的振动方程 y =3 cos4t
求：(1) 以A为坐标原点的波动方程 (2)以B为坐标原点，写出波动方程
8m C
5m
9m
B
A
D
(3) 以B为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式
设 t=t′时波形如图
1.0
0.5
求：(1) x=0 处质点的振动方程
0.0
x
(2) 该波的波动方程
-0.5
解：已知 A 2π u(0,t) Acos(t )
u(0,0) 0
-1.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
t+
cos(2π
t
来自百度文库
)
0
2π
t
π 2
,
3π 2
平面波沿 x 轴正向传播