力学 · 波动学基础
第5章波动学基础
量纲!
Y
T为绳索或弦线中张力;
为质量线密度
ul
* 细长的棒状媒质中纵波波速为
Y 为媒质的杨氏弹性模量; 为质量密度
G * 各向同性均匀固体媒质横波波速 u t G为媒质的切变弹性模量; 为质量密度
在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些。
震中
26
*
5.3 平面波的动力学方程 p172—177(不要求)
质量为 m 的媒质其动能为：
2
x y A cos[ (t )] u x y A sin[ (t )] u
1 x y 1 2 2 2 Wk m VA sin [ (t )] 2 2 u t 以棒内传播纵波为例讨论弹性势能：
2 2 2x y A cos( t ) T 2
0
u
X
21
0 0.2m 0.4m
2 2x y A cos( t ) T 2
0.4 10 cos(100t 5x 2) (m)
2
因为：
y ( x, t ) x v y A sin[ (t ) ] t u 2
10
惠更斯原理 1. 惠更斯原理
• 媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的 子波源 (点波源)。 • 在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面就是 实际的波在该时刻的波前 。 2. 应用 :
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
11
t 时刻波面
· · · · ·
t+t时刻波面
波传播方向
y x 1 y A 2 cos[ (t ) 0 ] 2 2 2 x u u u t 2 2 动平 y 1 y 力面 2 学波 2 2 x u t 方动
波动学基础1
0.1
0.2
t/s
b
x 3 π y(x,t) = 0.02cos[10π(t + ) + ] 50 2
三 波动方程
将平面简谐波的波动表达式对t 将平面简谐波的波动表达式对 和x 求导
∂2 y x 2 = −ω Acosωt − +ϕ0 2 ∂t u
∂2 y ω2 A x = − 2 cosωt − +ϕ0 2 ∂x u u
二、 平面简谐波的波函数
平面简谐波 —— 波阵面为平面的简谐波
1、波函数的建立
y u
同一波阵面上各点 振动状态相同
O
x
t =0
给出波线上任意 x 处质点的位移 y 随时间 t 的 变化规律 —— 波函数 y ( x , t )
y P O
u
x
t =0
设 O 点的振动表达式为
y0 ( t ) = Acosωt
1cm
y(cm) Ⅱ Ⅰ 3 4 5 6
法二：
A点振动表达式： 点振动表达式： 点振动表达式 初始条件： 初始条件：
0 A
1 2
x(cm)
yA(t) = Acos(ωt +ϕ)
x −0.01 )] 波动表达式： 波动表达式： y(x, t) = 0.01cos[π(t − 0.02 x π y(x,t) = 0.01cos[π(t − )+ ] 0.02 2
∆ = (xp − x0 )/ u = (xp − t
λ
4
)/ u
P点在 时刻振动振动方程则为 点在t时刻振动振动方程则为 点在 时刻振动振动方程则为:
xp −λ / 4 π 2π y(xp ,t) = Acosω(t − ) = Acos(ωt − xp + ) u λ 2 2π π x+ ) 不 一 性 xp ⇒x y(x,t) = Acos(ωt − x1)
第二章 波动力学基础
第二章波动力学基础§2.1波函数的统计解释按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。
怎么理解粒子性和波动性之NJ 的联系，这是 量子力学首先碰到的一个根本问题。
能否认为波由粒子所组成?答案是否定的。
因为粒子束的单缝或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个一个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射花样。
这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关。
如果波由粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。
这和上述实验结果矛盾。
实际上，单个粒子也有波动性。
那么，能否认为粒子由波所组成.比方，是否可以认为粒子就是波包?答案也是否定的。
以自由粒子为例。
对于自由粒子，由于不受外力场的作用，粒子的能量E 和动量P 均为常矢量。
按德布罗意关系(1.4.1)和(1.4. 2)式，和自由粒子相联系的波的频率。
，波矢k 均为常数及常矢量。
因此和自由粒子相联系的波是平面波。
即()()Et r p h i t r k i Ae Ae -∙-∙==ωϕ （2.1.1）其振幅A 与坐标无关。
因此它充满全空间。
若认为自由粒子由波组成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。
而且，自由粒子的德布罗意波的相速度是k 的函数，按§1.4，必然存在色散。
如果把自由粒子看成是个物质波包，即使在真空中，也会因为存在色散而使粒子自动解体。
这当然与实际情况不符。
在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。
即使到现代，也仍然有不同观点。
而且持不同观点的人有些还是量子力学的奠基人之一。
但被物理学家们普遍接受的波函数的解释是玻恩(M. Barn)提出的统计解释。
他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的统计结果。
第5章波动学基础
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u + ∆t x+u∆t )+ϕo] = Acos[ω(t
u
上式表明， 时刻x点的振动状态 点的振动状态， 上式表明，t 时刻 点的振动状态，经时间∆t后传播到了 后传播到了 x+u∆t 处。即经时间∆t波沿 轴正方向传播了距离 ∆t，如图所 波沿x轴正方向传播了距离 波沿 轴正方向传播了距离u ， 示。 y
总之, 波动(或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 或行波)是振动状态的传播 总之 波动 或行波 是振动状态的传播，是能量的传播， 而不是质点的传播。 而不是质点的传播。 2 . 纵波和横波 横波——振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 振动方向与传播方向垂直，如绳中传播的波等。 横波 振动方向与传播方向垂直 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 横波只能在固体中传播，横波的特征是有凸凹的波峰、波谷。 纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。 振动方向与传播方向相同，如声波。 纵波 振动方向与传播方向相同 纵波可在固体、液体、气体中传播。 纵波可在固体、液体、气体中传播。纵波的特征是有稀密相 间的介质区域。 间的介质区域。
λ y = Acos(ωt kx + ϕo )
) + ϕ0 ]
λ
的传播方向一致。 的传播方向一致。
13
2.平面简谐波运动学方程的物理意义 平面简谐波运动学方程的物理意义
x y = Acos[ω(t − ) + ϕ0 ] u
运动学方程中含有两个变量x和 ， 运动学方程中含有两个变量 和t，它即反映了媒质中各质点 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 的振动规律，又反映了振动状态的传播规律。 (1)当x=xo(确定值 时，位移 只是时间 的余弦函数 当 确定值)时 位移y只是时间 的余弦函数: 只是时间t的余弦函数 确定值
波动学基础
这些波行进的最前方的点组成的曲面
惠更斯原理的应用
t时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向
t 时刻波面 t+t 时刻波面
t + t
波传播方向
·
ut
平面波
球面波
二 波的干涉
1、波的叠加原理
在几列波相遇处，任意质元的振动等于各列波 单独传播时在该处引起振动合成。
任意位置的 振动方程
2 y Acos(t 0 x1)
一横波，其波动方程为
y 0.2cos[ (200t 5x) / 2] (SI制)
•求振幅、波长、频率、周期、波速； •分别画出t=0, t=0.0025s, t=0.005s时刻的波形
解：(1)比较法
y
Acos(t 0
2
x)
上式与标准形式的波函数相比
横波—振动方向与传播方向垂直
横波和纵波 纵波：振动方向与传播方向相同
任一波,例如，水波、地表波，都能分解为 横波与纵波来进行研究。
横波和纵波的不同点
不同点1，外形上 横波表现为凸起的波峰和凹下的波谷
纵波外形特征是具有稀疏和稠密的区域
不同点2，传播媒质上 横波只能在固体中传播，纵波可以在固体， 液体，气体中传播。
X处的振动方程：
y
Acos(t 0
2
x)
小结
O点的振动方程：
y
u
y A cos(t 0 ) p
p
xo x
x
波动方程（任意X处的振动方程）：
y
Acos(t 0
2
x)
向X轴正方向传播为-，向X轴负方向传播为+
波动学基础练习及答案
（C）周期为 1 秒； （D）波沿 x 正方向传播。 3
（C ）
根据公式ω =6 π ，T = 2π / ω =1/3 秒。其它均不正确， λ = 100 / 3, u = 100 （忽略单位），传
播方向为-x。
3．下列叙述中不正确的是
（A）在波的传播方向上，相位差为 2π 的两个质元间的距离称波长；
t (s)
-A
d
O
Px
计算题 1 图
5
解：（1）
yP
=
A cos( 1 2
πt
+
π)
；
（2）
y
=
Acos[2π( t 4
+
x
− λ
d
)
+
π] ；（3）
y0
=
Acos(
1 2
πt) 。
解：（1）由振动曲线可知，P 处质点振动方程为
yP
=
Acos[( 2π t) 4
+
π] =
A cos( 1 2
πt
+
（D ） 由传播方向可知，时间项为正的 x/u；
设表达式为 y = A cos[ω(t + x / u) + φ] ，依图可知，x=0 处在 t=T/4 时相位为 − π ，代入后相 2
位公式得： φ =- π ，等价于 π 。
5．在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比是 I1 I 2 = 4 ，则两列波的振幅之比是
2
2
O
（C） π 与 − π ； （D） − π 与 π 。
22
22
u
第8章 波动学基础
第八章波动学基础◆本章学习目标1．了解波的基本概念；2．掌握最基本的波动——平面间谐波的波动方程及运动规律；3．掌握波的能量特点；4．掌握波具有的基本现象——反射、折射、干涉和驻波；5．了解多普勒效应；6．了解声波、超声波和次声波。
◆本章教学内容1．机械波的产生及间谐波；2．波速、波长、周期和频率；3．波动方程；4．波的能量和能流；5．惠更斯原理波的反射和折射；6．波的叠加原理波的干涉；7．驻波；8．多普勒效应；9．声波、超声波、次声波◆本章教学重点1．间谐波方程及运动规律；2．波的叠加及驻波。
◆本章教学难点1．波方程的建立及其意义；2．驻波的运动特点；3．多普勒效应。
§8.1 机械波的产生和传播简谐波振动和波动是密切关联又相互区别的两种运动形式。
任何波动都是有振动引起的，激发波动的振动系统称为波源。
波动分为两大类：一类是机械振动在媒质中的传播，称机械波。
另一类是变化的电场和变化的磁场在空间的传播，称为电磁波。
一、机械波的产生机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。
就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来说，振动传播形成机械波。
产生机械波的条件是：具有波源和弹性媒质。
二、横波和纵波在波动中，如果质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。
如果质点振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。
各种复杂的波都可分解为横波和纵波。
在波动中真正传播的是振动、波形和能量；波形传播是现象，振动传播是实质，能量传播是波动的量度。
如果产生波动的波源作简谐振动，在振动传播过程中，从波源所在位置开始，媒质中各质点相继开始做简谐振动，如果媒质是各向同性均匀且完全弹性的（即媒质不消耗能量），则媒质中各质点的振动频率和波源相同，且各质点具有相同的振幅。
这种波称为简谐波。
三、波振面和波射线把波振面为球面的波动称为球面波，点波源在均匀媒质中产生的波就是球面波。
把波振面为平面的波称为平面波。
波的传播方向称为波射线。
波动力学基础知识与实践应用
波动力学基础知识与实践应用波动力学是一种描述粒子运动的理论，它试图揭示微观世界中粒子的行为和宏观的物理规律之间的联系。
波动力学的基本概念包括波函数、薛定谔方程和量子态等。
它广泛应用于物理、化学、材料科学、电子学、计算机科学和生物学等领域。
波函数是波动力学的核心概念，它是描述微观粒子的数学函数。
波函数的平方模长可以表示粒子在某个位置出现的可能性大小。
波函数描述了一个粒子的所有性质和运动状态，包括位置、速度、动量、能量和自旋等。
波函数的形式通常是复数形式，它可以反映出粒子的相位信息。
薛定谔方程是波动力学的基本方程之一，它描述了波函数随时间的演化规律。
薛定谔方程可以用于计算波函数在各种条件下的变化，从而推算出粒子的运动和相互作用。
薛定谔方程的求解是波动力学理论应用的核心问题之一，它通常采用数值计算方法或近似求解方法。
量子态是波动力学中的一个重要概念，它描述了粒子在特定条件下的状态和行为。
量子态分为可观测态和纯态两种情况。
可观测态是指粒子经过测量后所处的状态，而纯态描述了粒子受到外界干扰前的状态。
量子态具有非常奇特的性质，例如叠加态、量子纠缠、量子隧道效应等。
波动力学的应用具有极其广泛的范围，从微观粒子到宏观世界，从基础研究到技术应用都有其身影。
在物理学领域，波动力学解释了量子力学中的量子隧道效应、双缝实验、汤川劈裂等基本现象。
在化学领域，波动力学可以用于计算分子的电子结构和化学反应机理。
在材料科学领域，波动力学可以帮助研究新材料的电子性质和光学性质。
在电子学领域，波动力学可以解释半导体器件的工作原理和量子点的光电特性。
在计算机科学领域，波动力学可以用于量子计算、量子通信和量子密码学。
在生物学领域，波动力学可以帮助研究生物分子的结构和功能，以及生物大分子的相互作用。
总之，波动力学是现代物理学和化学研究中不可或缺的理论基础，它的实践应用涉及各个领域和方面。
尽管波动力学理论具有一定的复杂性和难度，但它为人类认识自然界提供了独特的视角和工具，因此值得我们深入研究和应用。
波动学基础
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9. 1机械波的产生和传播
波动的传播既然与介质的弹性有密切的关系，因而波速必然与介 质的弹性模量有关。另外，波速也应该与介质的密度有关，因为密度 是描述介质惯性的物理量，它反映介质中任一部分在力的作用下，运 动改变的难易程度。理论证明横波和纵波在固态介质中的波速u可分 别用下列两式计算
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9. 1机械波的产生和传播
9.1.2横波与纵波
波在传播时，质元的振动方向和波的传播方向不一定相同。如 果质元的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波，如绳 中传播的波。其外形特征是具有凸起的波峰和凹下的波谷。如果质元 的振动方向和波的传播方向一致，这种波称为纵波，如空气中传播的 声波。纵波的外形特征是具有“稀疏”和“稠密”的区域。横波和纵 波是自然界中存在着的两种最简单的波，其他如水面波、地震波等， 情况就比较复杂。 如图9一1所示，绳的一端固定，另一端握在手中并不停地上下 抖动，使手拉的一端作垂直于绳索的振动，我们可以看到一个接一个 的波形沿着绳索向固定端传播形成绳索上的横波。
第9章波动学基础
9. 1机械波的产生和传播 9. 2平面简谐波 9. 3波的能量 9. 4波的干涉
9. 1机械波的产生和传播
9.1.1机械波的形成
机械振动系统(如音叉)在介质中振动时可以影响周围的介质，使 它们也陆续地发生振动。这就是说，机械振动系统能够把振动向周围 介质传播出去，形成机械波。 机械波的产生，首先，要有作机械振动的物体，它称为机械波 的波源;其次，要有能够传播这种机械振动的介质。例如，音叉在振 动时，音叉就是波源，而空气就是传播声波的介质。 应当注意，波所传播的只是振动状态，而介质中的各质元仅在 它们各自的平衡位置附近振动，并没有随波前进。例如，在漂浮着树 叶的静水里，当投入石子而引起水波时，树叶只在原位置附近上下振 动，并不移动到别处去。振动状态的传播速度称为波速。它与质元的 振动速度是不同的，不要把两者混淆起来。
第12章 波动学基础-1
u
t 0
O 2
x
思考: 对纵波,波形曲线是不是实际波形？ 波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏 密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
P.4/33
wzy
波动学基础
u
x
形变最大
形变为零
O 密部中心
x
疏部中心
注意：波形曲线与振动曲线比较 (见下页表)
P.5/33
1
wzy
振动曲线
2
2
sin
2
பைடு நூலகம்
t
x u
(2) 介质元的动能、势能变化是同周期的,且相等.
(3) 机械能不守恒,因为不是孤立体系,有能量传播.
(4) 峰值处 Ek Ep 0 平衡位置处 y 0, E k E p E max
P.28/33
wzy
二、波的能量密度和能流密度
波动学基础
P.7/33
wzy
波动学基础
平面简谐波的波函数
波 自由振动(无能量补充) —— 波动不能长期维持 源 受迫振动(有能量补充) —— 波动才能长期维持
简谐振动
简谐波
P.8/33
wzy
一、波函数的建立
波动学基础
波函数(wave function): 描述波传播媒质中不同质点的
运动规律,又称波动表达式(或波动方程).
0
(2) t = t0 表示各质元的位移分布函数
y(x)
A
cos
t0
x u
0
第十章 波动学基础汇总
第十章 波动学基础§10-1波动的基本概念一、常见机械波现象 1、水面波。
把一块石头投在静止的水面上，可见到石头落水处水发生振动，此处振动引起附近水的振动，附近水的振动又引起更远处水的振动，这样水的振动就从石头落点处向外传播开了，形成了水面波。
2、绳波。
绳的一端固定，另一端用手拉紧并使之上下振动，这端的振动引起邻近点振动，邻近点的振动又引起更远点的振动，这样振动就由绳的一端向另一端传播，形成了绳波。
3、声波。
当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成了声波。
二、机械波产生的条件两个条件 1、波源。
如上述水面波波源是石头落水处的水；绳波波源是手拉绳的振动端；声波波源是音叉。
2、传播介质。
如：水面波的传播介质是水；绳波的传播介质是绳；声波的传播介质是空气。
说明：波动不是物质的传播而是振动状态的传播。
三、横波与纵波1、横波：振动方向与波动传播方向垂直。
如 绳波。
2、纵波：(1)气体、液体内只能传播纵波，而固体内既能传播纵波又能传播横波。
(2)水面波是一种复杂的波，使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性力，而是重力和表面张力。
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧(3）一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。
四、关于波动的几个概念1、波线：沿波传播方向带箭头的线。
2、同相面（波面）：振动位相相同点连成的曲面。
同一时刻，同相面有任意多个。
3、波阵面（或波前）：某一时刻，波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前，显然它是同相面的一个特例，它是离波源最远的那个同相面，任一时刻只有一个波阵面。
（或：传播在最前面的那个同相面）4、平面波与球面波(1)平面波：波阵面为平面。
(2)球面波：波阵面为球面。
图10-1*：在各向同性的介质中波线与波阵面垂直。
五．波长、波的周期和频率波速波长λ波长λ:同一波线上位相差为π2的二质点间的距离（即一完整波的长度）。
波动力学知识点
波动力学知识点波动力学是物理学中的一个重要分支，研究涉及到波动现象的产生、传播和相互作用。
在这篇文章中，我将向您介绍一些波动力学的基本知识点。
一、波动的定义和特征波动是一种物理量随时间和空间的变化而传播的现象，其携带能量和动量。
波动可以分为机械波和电磁波两种类型。
机械波需要介质传播，如水波、声波等；而电磁波可以在真空中传播，如光波、无线电波等。
波动具有以下几个基本特征：1. 振动：波动的传播是由物理量的振动引起的，例如固体介质中的颗粒、空气分子、电磁场的振动等。
2. 传播：波动以一定的速度在介质中或真空中传播，可以是横波或纵波，传播过程中不会引起物质的平移。
3. 叠加：当两个或多个波动通过同一介质传播时，它们会相互叠加而产生干涉现象。
4. 能量传递：波动具有能量传递的特性，能量通过波动的传播而传递到不同的位置。
二、波动力学的基本方程波动力学使用一些基本方程来描述波动现象。
其中最重要的方程是波动方程，它可以描述波动在时间和空间上的变化。
一维波动方程可以表示为：∂^2ψ/∂t^2 = c^2 ∂^2ψ/∂x^2其中，ψ是波函数，t是时间，x是空间坐标，c是波速。
波动方程的解体现了波动的传播。
在特定条件下，波动方程的解可以是正弦函数或余弦函数形式，代表了平面波的传播。
三、波动的干涉和衍射现象波动学中最为有趣和重要的现象之一是干涉和衍射。
干涉是指两个或多个波动传播相遇并相互叠加的现象，它可以产生增强或抵消的效果。
干涉现象可以分为两种类型：构造性干涉和破坏性干涉。
构造性干涉发生在波动的峰值或谷值相重叠，导致波动增强；而破坏性干涉发生在波动的峰值和谷值相重叠，导致波动相互抵消。
衍射是指波动通过障碍物或小孔时发生偏折和扩展的现象。
衍射现象是波动传播的一个重要特征，它使波动能够传播到遮挡物的背后区域。
四、波动的反射和折射波动在界面上发生反射和折射是波动力学中的另一个重要内容。
反射是指波动传播到介质边界时，一部分能量被反射回原来的介质中；折射是指波动从一种介质传播到另一种介质时改变传播方向。
波动学基础
波的独立传播原理
实验发现，当不同波源产生的波同时在某介质中传播，如果这多列波在空间 某处相遇，每一列波都将独立地保持自己原有的特性(频率、波长、振动方向 等)传播。波相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰。
任意时刻、介质中任一质点的振动位移 是各个波单独传播时在该点所产生的位移的 矢量和，(相遇区域,合振动是分振动的叠加 )，波的叠加原理。
描述某时刻，波线上各点位移的分布 x 为P点在x 轴的坐标 y 表示质点P偏离平衡位置的位移 平面简谐波的波动与简谐振动的区别？
y
P
u
O
x
x y = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] u
平面简谐波波动方程的物理意义： 1)当 x 给定 (x = x0) 时
x0 y = A cos[ω ( t − ) + ϕ ] u
波的干涉 满足一定条件的两列 ( 或多列 ) 波在空间相遇 ( 叠加 ), 在空间的某些地方振动始终加强,而在空间的另一些地 方振动始终减弱或完全消失的现象, 称为波的干涉.
波的干涉 ～（一种特殊的、重要的叠加形式） 振动方向相同 频率相同 相位相同或相位差恒定 相干波： 满足相干条件的几列波称为相干波。 相干波源：能发出相干波的波源称为相干波源。
波动学基础
振动和波动 振动: 于平衡位置, 无随波逐流. 波动: 振动的传播过程.
机械波的产生和传播 机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程 1. 波源 —— 被传播的机械振动 . 2. 弹性介质 —— 任意质点离开平衡位置会受到弹 性力作用. 在波源发生振动后, 因弹性力作用,带动 邻近的质点也以同样的频率振动 . 如此将振动传播 出去. 故机械振动只能在弹性介质中传播.
第10章 波动学基础
3）振动状态传播的速度即为波速 u
x u t 2.5 0.5 1.25m
所以 t1 时刻 x1 处质元的振动状态在 t 2 时刻传到
x2 x1 x 1.45m
例2 一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅 A 1.0m ,
T 2.0s, 2.0m.在t 0 时坐标原点处的质点位于平衡位置
A A1 A2
振动始终加强
2)
(2k 1) π k 0,1,2,
A A1 A2
振动始终减弱
其他
A1 A2 A A1 A2
讨论
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
2 1 2 π
r2 r1
y A cos[ (t x0 ) ] u
初相位
0 2
x0
波线上各点的简谐振动图
x t x y A cos[ (t ) ] A cos[2 π( ) ] u T
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位 置的位移，即此刻的波形.
球面波
平面波
惠更斯原理
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源， 而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.这就 是惠更斯原理.
平面波和球面波演示
§10-2 平面简谐波波函数
一 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐 标为 y）随时间的变化关系，即 y( x, t ) 称为波函数.
三 描述波动过程的物理量
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 2 π 的振动质点之间的距离, 即一个完整波形的长度.
第十五章 波动学基础
式中，T 为绳子或弦线上的张力，
uT
T
为其线密度.
2、在均匀细棒中，纵波的波速为
式中，Y为棒的杨氏模量，
uL
Y
为棒的密度.
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大学物理学
第十五章 波动学基础
3、在“无限大”的各向同性均匀固体中，横波的波速为
uT
G
式中， G为固体的切变模量，
K
为固体的密度.
4、而液体和气体（流体），只能传播纵波，其波速为
uL
式中，K为流体的体积模量，
为流体的密度.
什么是杨氏模量、切变模量和体积模量？
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第十五章 波动学基础
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第十五章 波动学基础
15－1 机械波的基本特征
一、机械波的形成条件
产生条件：1）波源；2）弹性介质.
注意
波是运动状态的传播，并不是介质的移动； 波动的传播方向和质点的振动方向不一定相同； 波速和质点的振动速度是不同的两个物理量.
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u
A cos(t1 - x1 ) y( x1，t1 ) u
y(x2,t2)由y(x1,t1)向右平移 x ut 得到
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第13章波动学基础资料
于拉伸或压缩变形的抵抗能力.
7
11.2 平面简谐波的表达式 波动微分方程
一、平面简谐波的表达式
设O点的简谐振动方程 0 Acos(t )
1.振动以速度u沿+x方向无衰减传播：
P点的振动比O落后
x u
Байду номын сангаас
u
Acos[(t x) ]
P
u
O
x 将 2 =2 和u
T
T
x
代入上式得波动方程的其它形式：
由度）
6.按振动规律：简谐波（也叫余弦波）、非简谐波
简谐波是最简单最重要的波，其他复杂的波是由
简谐波合成的
3
11.1 机械波的形成与传播
一.机械波的形成
1.产生： 波源和弹性介质是产生机械波的两个必 须具备的条件。
振源的振动
弹性媒质 振动、波形、能量
机械波
横波 纵波
2.特点：
（１）绳子上各质元在各自平衡位置往复振动， 而质元不沿波的传播方向移动
③在各向同性的介质中，波面
波前
⊥波线
波线
(b)平面波
5
三.简谐波的特征量
波速、波长和频率的关系： u v
T
机械波的波速由介质的弹性模量和密度决定。
固体中的波速：u G
(横波)
G为切变模量
u Y (纵波)
Y为杨氏模量
在液体或气体中只传播纵波，波速为：
u B
B为容变弹性模量
6
胡克(R. Hooke 1635-1702)于1678年从实
程，因为B点的相位比A点的相位超前 r0 ，得Ｂ点的
振动方程
yB
A cos(t
r0 u
波动学基础-1
2)波长
沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 2π 的振动质点
之间的距离，即一个完整波形的长度。对于横波，波长就 是相邻两个波峰或波谷的距离，对于纵波就是相邻两个疏 部或密部的距离。
Ay
u
O
x
-A
3) 周期T 波传播一个波长的距离所需要的时间.
u
sin i u1 1 n 21 sin r u2 2
u1/u2为第二种介质相对第一种介质的折射率。
惠更斯原理不足之处（未涉及振幅，相位等 的分布规律）。
7.2 平面简谐波的波函数
平面简谐波：若在平面波的传播过程中，振源作简谐振动， 而且波所经历的所有质元都做简谐振动，则此平面波称为平 面简谐波。
.
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 310-2 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos[2π ( t - x ) ] T
y 310-2 cos2π( t - x ) 0.5 10
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程 yA 310 -2 cos 4 π t
这是一个二阶偏微分方程。对于任一平面波，可以认为是 许多不同频率的平面简谐波的合成，也可得到此结果。它 反映了平面波的共同特征，所以称为平面波的波动方程。
举例
1.已知波函数求各物理量 2.已知各物理量求波函数
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y 5cosπ[2.50t - 0.01x].
➢ 波动表达式的其它形式
y(x,t) Acos[2 π( t x ) ]
Tλ
y(x,t) Acos[2 (t x ) ]
第10章波动学基础
y
u
P
O x x 相位落后 t ， u x ) P点处质点在时刻t的位移等于O点在 (t 时的位移。
t x / u
x
P点的振动位移（即P点的振动方程）为 ： x x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[ t 0 ] u u
y 2 10 cos(400 t 20x)
3
3
A 2 10 (m),
400
u
20 , u 20 （m / s） ,
20 , 0.1(m),
17
2
第十章
波动学基础
/ 2) 例：原点O振动方程为 yO 0.06cos(800t ，波速 u=200m/s，方向向右，求：①波函数；②波长、频率； ③x=5m处质点振动与原点的相位差。 解： ①原点 yO 0.06 cos( 800t ) 2 x ) ] 波函数 y 0.06 cos[ 800 (t
u
11
第十章
波动学基础
x x y A cos[ (t ) 0 ] A cos[t 0 ] 右行波的波函数 u u 下述几式等价： 2 , x 2 / T y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u u /T 2x y ( x, t ) A cos[t 0 ] y x u y ( x, t ) A cos[ 2 (t ) 0 ] x P 2 O x y ( x, t ) A cos[ ( x ut ) 0 ] 若告知的是位于x0处的振动方程 yx0 A cos(t 0 )
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x x+dx
x
AB
C
u u+du
AB
C
课堂讨论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (解释方案)
波动学基础·动力学方程
5.2.2 波动动力学方程求解
在无界空间中，动力学方程的解为
u( x,t)
Acos(t
v
x
)
Acos(t
x v
)
验证
2u( x, t 2
t
)
2
Acos(t
x v
)
2u( x, t) x 2
B 波强度稳定的空间分布
波动学基础·波的干涉、驻波
设两列相干波源的振动分别为
u1(0, t) A1 cos(t 1 ) u2 (0, t) A2 cos(t 2 )
u1(r1 , t )
A1
cos(t
2πr1
1 )
u2 (r2 , t )
A2
cos(t
2πr2
2 )
u(rp , t) u1(r1 , t) u2 (r2 , t) Acos(t )
同物理量：A=5 cm，v=330 m/s，v =165 Hz，2-1=
求：P 点的干涉结果
P
4m
解：相位差
(2
1 )
2π
(r2
r1 )
2 1 π
v
2
PS2 32 42 5
0
S1
3m
S2
A A1 A2 10
波强度
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
波动学基础·波的干涉、驻波
设 t=t′时波形如图
1.0
0.5
求：(1) x=0 处质点的振动方程
0.0
x
(2) 该波的波动方程
-0.5
解：已知 A 2π u(0,t) Acos(t )
u(0,0) 0
-1.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
t+
cos(2π
t
)
0
2π
t
π 2
,
3π 2
平面波沿 x 轴正向传播
2 v2
Acos(t
x v
)
对比
2 y t 2
v2
2 y x 2
0
2u t 2
a2
2u x 2
0
波动方程空间二次导数前的系数就是波的传播速度
a
T
v
绳的微振动横波 杆的纵向微振动波 杆的横向微振动波 声音在空气中传播
a
T
a
Y
a
G
a
B
波动学基础·动力学方程 T：绳的张力 Y：杨氏弹性模量 G：切变弹性摸量
k
p
1
2
讨论： 机械波的能量传输特性
A 关于能量守恒
• 机械波能量、能量密度是时间的函数，不是守恒量； • 机械波在一个周期内的平均动能、势能和总能量守恒； • 机械波能够向外传输；
B 关于能量传输特性 • 机械波能量密度传输速度仍为 v，但频率是机械波频率的 2 倍； • 介质微元的动能、势能和能量密度同步传输；
2π
k k0
波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面
波前：某时刻介质中刚开始振动的点构成的曲面
波动学基础·机械波概述
A 波线与波面、波前一定垂直。 B 波向外传播过程可以看作为波前以波速向前推进的过程
课堂讨论：波前的相位等于波源的初相位
证明：设振源的简谐振动为
x Acos(t 0 )
时刻 t 振源的相位为
t+
-1.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
t+
波长、频率、相位之间的普适关系
v
T
波动学基础·机械波概述
例5.1.1：直线右行平面简谐波 v= 20 m/s，A 点的振动方程 y =3 cos4t
求：(1) 以A为坐标原点的波动方程 (2)以B为坐标原点，写出波动方程
8m C
5m
9m
B
A
D
(3) 以B为坐标原点，C、D两点的振动方程及振动速度表达式
u(x,t)
2 A cos
2πx
cost
2 A cost
cos
2πx
• 给定空间点，质点以确定振幅谐振
• 给定时刻 t，驻波是一空间波分布
u
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0
-1.5
t=0
t=T/4 t=3T/8
-1.0
-0.5
0.0
0.5
x
t=T/2 t=T/8
t
x v
E p
1 (弹性模量（) 应变）2 V＝1
2
2
V 2 A2
sin2 (t
x) v
E
Ek
E p
V 2 A2
sin2
t
x v
(4) 机械波的能量密度
dE dV
2
A2
sin2
t
x v
1 2
2
A2
1
cos2
t
x v
平均能量密度
1
T
dt
1
2
A2
T0
2
波动学基础·机械波能量
平均动能、势能能量密度
5.4 声波、超声波和次声波 (自学章节)
波动学基础·波的干涉、驻波
5.5 波的干涉、驻波 5.5.1 惠更斯原理、波的反射与折射 (1) 惠更斯原理
• 任一时刻波前上各点都可作为子波的波源，向前发出子波； • 后一时刻各子波的包迹，就是该时刻新波的波前；
AD
i
i
B
C
(2) 波的反射与折射
课堂讨论：用惠更斯原理证明波的反射与折射定律
波动学基础·机械波能量
(5) 简谐波的能流密度 (波的强度)
能流： 单位时间通过介质中与传播速度垂直的某一面积的能量
p v s
平均能流：单位时间通过介质中与传播速度垂直的单位面积的能量
p
(
v)
s
能流密度 (坡印亭矢量)
I
v
平均能流密度矢量
I
v
对平面简谐波
I
1 2
A2
2v
课后作业：练习p180-182，例5.4.1-例5.4.3
波动学基础·机械波概述
• 描述一个机械波，需要确定 A，，k，
• 波函数给出任意时刻 t，媒质各质点的振动状态 (相位或振动状态) • 波函数给出了任意时间段 t=t2-t1 媒质各质点振动状态差
波动学基础·机械波概述
(5) 描述机械波的解析参量
波长 ()：沿波传播直线上两个相邻同相点 (相位差为2) 之间的距离
波动学基础·机械波概述 (2) 机械波产生的物理机制
波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远向外传递振动的结果
结论：介质中任何一点的频率都等于振源的频率 (3) 机械波模型
• 振源与观察者保持相对静止 • 弹性介质无阻尼或能量吸收——波在传递过程中振幅不变
波动学基础·机械波概述
(4) 机械波的运动学方程 目标：给出距振源任意距离 x 处质点的振动方程 推导：设 t 时刻 x=0 处的质元振动方程为
解： (1) 由 y 3cos4πt
A=3，=4，=0，
k
v
4π 20
依简谐波标准方程 u( x,t) Acost kx
波函数为
u(
x,
t
)
3cos(4πt
4π
2x0)
3cos(4πt
πx 5
)
(2) 以B为坐标原点，写出波动方程
u( x,t)
3cos[4π(t
AB v
)
4π
2x0]
3cos(4πt
B：体变模量
波动学基础·机械波能量
5.3 机械波的能量、能量密度和能流密度 (1) 机械波的动能
x
x+dx
x
设简谐波
u( x, t) Acos(t x)
v
u(x,t)
u(x+dx ,t)
微元动能
Ek
1 mv2 2
1 V u 2
2 t
1 2
V
2
A2
sin2
t
x v
(2) 机械波的势能
弹性模量 Y 类比弹簧
k 0,1,2
A A1 A2
IV 波程差与波的干涉
(2
1
)
2π
(r2
r1
)
1 2
2π
(r2
r1
)
2π
r2 r1 k
k 0,1,2
A A1 A2
r2
r1
(k
1 )
2
k 0,1,2
A A1 A2
相长干涉 相消干涉
波动学基础·波的干涉、驻波
例 5.5.1：如图，已知振源 S1，S2，PS1= 4 m，S1S2= 3 m，两振动有如下共
(t) t 0
设机械波传到波前所需时间为 t，波前的相位比振源相位落后 t
于是，t 时刻波前的相位为
(t) (t) t (t 0 ) t 0
波动学基础·动力学方程
5.2 波动动力学方程
5.2.1 典型波动的动力学方程
(1) 轻质、柔弦的横波方程
由牛顿定律
T2
sin 2
T1
sin1
ds
π
πx 5
)
波动学基础·机械波概述
(3) 以B为坐标原点，C、D 两点的振动方程及振动速度表达式