大学微积分的教程

M
当 x > 2 时, f (x) < 0
所以 f (2) = 1 为 f (x) 的极大值.
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极值存在的第二充分条件
定理 设函数 y = f (x) 在驻点 x0 二阶可导,
(1) 如果 f (x0) > 0, 则 f (x) 在 x0 取极小值; (2) 如果 f (x0) < 0, 则 f (x) 在 x0 取极大值.
+
一阶导数
+
变号法
x0
x0
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例1 求函数 f (x) = x3－ 3x2－ 9x + 5 的极值.
解 f (x) = 3x2 － 6x － 9
= 3(x + 1)(x － 3) 令 f (x) = 0 得: x1 = －1, x2 = 3
x (－∞, －1) －1 (－1, 3) 3 (3, +∞)
当 x (x0, x0+d) 时, f (x) < 0,
+
则 x0 是 f (x) 的极大值点. (2) 当 x (x0－d, x0) 时, f (x) < 0,
当 x (x0, x0+d) 时, f (x) > 0,
x0
+
则 x0 是 f (x) 的极小值点.
x0
(3) 在上述两个区间, f (x) 同号, 则 x0 不是极值点.
注3: 不可导点也可能是极值点.
y y = x2
y y = x3 y
y = |x|
o
x
o
x
o
x
5
两个充分条件
?
极值可疑点
不可导点 驻点
6
极值存在的第一充分条件
定理 设函数 x0 是 f (x) 的极值可疑点, f (x) 在 x0 的某一
邻域内(x0－d, x0+d) 连续且可导 (在 x0 可以不可导): (1) 当 x (x0－d, x0) 时, f (x) > 0,
称为“二阶导数非零法”
说明：1. 记忆——特例法: y = x2, y= －x2
+
x0
+
x0 y
2. 只适用于驻点, 不能用于判断不可导点
3. f (x0) = 0 时不可使用.
o
y = x3
x
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例3 求函数 f (x) = x3 + 3x2－ 24x － 20 的极值. 解 f (x) = 3x2 + 6x－24
f (x0) = 0. 注1: 如果 f (x) = 0, 那么称 x0 为 f (x) 的驻点.
x0
x0
4
极值存在的必要条件
定理 设函数 y = f (x) 在极值点 x0 可导, 则
f (x0) = 0.
注1: 如果 f (x) = 0, 那么称 x0 为 f (x) 的驻点.
注2: 驻点不一定是极值点.
y
y
y
oa
bx o a
bx
oa
bx
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求闭区间 [a, b] 上最值的步骤:
1. 求出定义域内所有的极值可疑点 (驻点和一阶 不可导点) x1, x2, …, xk, 并算出相应函数值 f (xk);
2. 计算 f (a), f (b)； 3. 最大值 M = max{f (x1), …, f (xk), f (a), f (b)}
一、函数的极值及其求法
y y = f (x)
o a x1 x2
x3
x4 x5 b x
x0
x0
1
极值的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义,
如果对任意的 x ≠ x0, 恒有 f (x) < f (x0) ( f (x) > f (x0))
则称 f (x0)为 f (x) 的一个极大(小)值.
= 3(x + 4)(x － 2) 令 f (x) = 0 得: x1 = －4, x2 = 2 f (x) = 6x + 6 ∵ f (－4) = －18 < 0 ∴ 极大值 f (－4) = 60 ∵ f (2) = 18 > 0 ∴ 极小值 f (2) = －48
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例3 求函数 f (x) = x3 + 3x2－ 24x － 20 的极值.
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例5 求函数 y =
在 [ 3, ) 上的最值.
解
当 又∵ y 在
时, y > 0 上是连续的
∴y在
上单调递增
∴ 最小值是
∵
∴ y 没有最大值
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Байду номын сангаас明:
1. 如果 f (x) 在 [a, b] 上单调, 则它的最值必定在 端点 a 和 b 处取得;
2. 如果 f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 且有 唯一驻点 x0为极值点, 则 f (x0) 必定是最大 值 或最小值; 更进一步, 若实际问题中有最大(小)值,且有
最小值 m = min{f (x1), …, f (xk), f (a), f (b)}.
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例4 求函数 f (x) = 解
在 [－1, 0.5] 上的最值.
令 f (x) = 0 得:
x1 =
2 5
x = 0 是 f (x) 的不可导点.
∵
f (0) = 0
f (－1) = －2 ∴ 最大值是 0, 最小值是 －2
图形如下:
M
m
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求极值的步骤:
1. 确定函数的定义域； 2. 求导数 f (x); 3. 求定义域内的极值可疑点 (即驻点和一阶
不可导点)； 4. 用极值的第一或第二充分条件判定.
注意: 第二充分条件只能判定驻点的情形.
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二、函数的最值及其求法
极值是局部的, 而最值是全局的.
若函数 f (x) 在 [a, b] 上连续, 则函数 f (x) 在 [a, b] 上存在最大值和最小值.
x0
x0
函数的极大值与极小值统称为极值, 函数取得极值
的点称为极值点.
2
例 y = sin x, x[0, 2]
sin x 在
2
取极大值
sin
x
在
3 2
取极小值
注意: 0 和 2 不是 sin x 的极值点
3
极值存在的必要条件
定理 设函数 y = f (x) 在极值点 x0 可导, 则
唯一驻点,则不必判断极大还是极小,立即可以断 定该驻点即为最大(小)值点.
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例6 当 0 ≤ x ≤ 1, p > 1 时, 证明
f (x) +
0
0
+
f (x)
极大
极小
极大值 f (－1) = 10 极小值 f (3) = －22
8
例1 求函数 f (x) = x3－ 3x2－ 9x + 5 的极值.
图形如下:
M
m
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例2 求函数 解
的极值.
当 x = 2 时, f (x) 不存在, 但 f (x) 在 R 上连续.
当 x < 2 时, f (x) > 0