(完整版)概率论公式总结
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论计算公式总结
概率论计算公式总结概率论是研究随机事件发生的可能性的数学分支，它在各个领域都有广泛的应用。
在概率论中，有一些重要的计算公式，它们能够帮助我们计算出某个事件发生的概率。
本文将总结一些常用的概率论计算公式，并解释其应用场景和计算方法。
1. 概率的定义概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
在概率论中，概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件A来说，其概率记为P(A)。
2. 加法法则加法法则是计算两个事件之和的概率的公式。
对于两个互斥事件A 和B来说，它们不能同时发生，因此它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3. 乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
对于两个独立事件A和B来说，它们的概率之积等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
4. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 全概率公式全概率公式是一种利用已知条件概率来计算事件A的概率的方法。
假设有一系列互斥且穷尽的事件B1、B2、...、Bn，那么事件A的概率可以表示为P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + ... + P(A|Bn) × P(Bn)。
6. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种利用条件概率来计算事件B的概率的方法。
根据条件概率的定义，可以得到贝叶斯公式为P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A)。
其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
(完整版)概率论公式总结
(完整版)概率论公式总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤ba dx x fb X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=k k k p x g X g E )())((方差定义式 常用计算式常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。
(整理)概率论公式大全
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
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概率论与统计分布公式总结【已整理可直接打印】概率论与统计分布公式总结概率论和统计分布是数学中重要的分支。
本文将总结一些常见的概率论和统计分布公式，以便帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、概率论公式1. 概率计算公式- 条件概率公式：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)- 乘法法则：P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)- 加法法则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)- 全概率公式：P(A) = ΣP(A|B) * P(B)2. 期望值和方差- 期望值公式：E(X) = Σx * P(X = x)- 方差公式：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)二、统计分布公式1. 正态分布- 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2)) - 累积分布函数：F(x) = (1 / 2) * (1 + erf((x - μ) / (σ * √2)))2. 泊松分布- 概率质量函数：P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!3. 指数分布- 概率密度函数：f(x) = λ * e^(-λx)4. 二项分布- 概率质量函数：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)5. t分布- 概率密度函数：f(x) = (Γ((v + 1) / 2) / (√(v * π) * Γ(v / 2))) * (1 + (x^2 / v))^(-(v + 1) / 2)以上是一些常见的概率论和统计分布公式。
希望本文能对您对概率论和统计分布的研究和应用有所帮助。
如需更深入了解，请参考相关教材或咨询专业人士。
《概率论公式大全》Word文档
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)( )(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni in i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P)()(A P AB P乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = pn k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有 ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kk n n k n kn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (m , s 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xy dvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9.二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征数学期望 ∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X EX 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的 方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X EX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
概率论与统计学公式总结【已整理 可直接打印】
概率论与统计学公式总结【已整理可直接打印】1. 概率公式概率 P(A) = n(A) / n(S)，其中 n(A) 表示事件 A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中所有可能事件发生的次数。
2. 条件概率公式事件 B 在事件 A 已经发生的条件下发生的概率，表示为P(B|A)，计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
3. 独立事件公式如果事件 A 和事件 B 相互独立，则事件 A 发生与否不会对事件 B 发生的概率产生影响，表示为P(A∩B) = P(A) * P(B)。
4. 期望值公式离散型随机变量 X 的期望值E(X) = ΣxP(X=x)，其中 x 表示可能的取值，P(X=x) 表示 X 取值为 x 的概率。
5. 方差公式离散型随机变量 X 的方差Var(X) = Σ(x-E(X))^2 * P(X=x)，其中 x 表示可能的取值，E(X) 表示随机变量 X 的期望值。
6. 正态分布公式正态分布的概率密度函数为f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-µ)^2 / (2σ^2))，其中 µ表示均值，σ 表示标准差。
7. 中心极限定理对于一个总体中的任意样本，样本均值的分布接近正态分布，当样本容量足够大时，均值的分布越接近正态分布。
8. 置信区间公式无偏样本的均值x的置信水平为 1-α 的置信区间为 [x - Z * (σ/√n), x + Z * (σ/√n)]，其中x表示样本均值，Z 表示标准正态分布的分位数，σ 表示总体标准差，n 表示样本容量。
9. 假设检验公式在给定总体参数假设的条件下，进行样本均值的假设检验，计算统计量的值，与临界值进行比较，判断是否拒绝原假设。
10. 线性回归公式通过最小二乘法确定线性回归方程，表示为y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，其中 y 表示因变量，x₁, x₂, ..., xₙ 表示自变量，β₀, β₁, β₂, ..., βₙ 表示回归系数。
概率论的公式大全
概率论的公式大全1.基本概率公式：对于一个随机事件A，它发生的概率（记作P(A)）等于A包含的元素数目除以样本空间中元素的总数目。
P(A)=个数(A)/个数(样本空间)2.条件概率公式：对于两个事件A和B，如果B已经发生，则A发生的概率记作P(A，B)。
P(A，B)=P(A交B)/P(B)3.全概率公式：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(A)=Σ(P(A，Bi)*P(Bi))，i=1到n4.贝叶斯定理：对于一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，它们的并集等于样本空间，那么对于另一个事件A，可以用条件概率公式表示为：P(Bi，A)=(P(A，Bi)*P(Bi))/Σ(P(A，Bj)*P(Bj))，j=1到n5.独立事件公式：对于两个事件A和B，如果它们相互独立（即A的发生与B的发生没有任何关系），则它们的联合概率等于它们的乘积。
P(A交B)=P(A)*P(B)6.乘法公式：对于一系列独立事件A1，A2，...，An，它们的概率等于各个事件发生的概率的乘积。
P(A1交A2交...交An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)7.加法公式：对于两个事件A和B，它们的并集的概率等于各个事件发生的概率之和减去它们的交集的概率。
P(A并B)=P(A)+P(B)-P(A交B)8.期望值公式：对于一个随机变量X和它的概率分布P(X)，它的期望值可以表示为：E(X)=Σ(Xi*P(Xi))9.方差公式：对于一个随机变量X和它的期望值E(X)，它的方差可以表示为：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 * P(Xi))，i为X的取值范围内的索引10.协方差公式：对于两个随机变量X和Y，它们的协方差可以表示为：Cov(X, Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))11.相关系数公式：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以表示为：Corr(X, Y) = Cov(X, Y) / (σ(X) * σ(Y))，其中σ(X)和σ(Y)分别是X和Y的标准差12.大数定律：对于独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，当n趋向于无穷大时，它们的算术平均值逐渐接近它们的期望值。
概率论公式总结
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：BA B A =⋃BA AB ⋃=n i ini iA A11===ni ini iA A11===2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i k j inj i j ini ini i A A A P A A AP A AP AP A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i ik k B AP B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p nk p pC k X P kn kk n,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理 0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f xλλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t ex xtd 21)(22π7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X),()(⎰⎰∞-+∞∞-=yYdudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y),()(8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U( G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x Ay x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x ey x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9. 二维随机变量的 条件分布0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X XYX0)()()(>=y f y x f y f YYX Y⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dyy f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxx f x y f dx y x f y f X XYY )()(),()()(y x f Y X )(),(y f y x f Y =)()()(y f x f x y f Y X XY =)(x y f XY)(),(x f y x f X =)()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞==1)(k kkp xX E⎰+∞∞-=dxx xf X E )()(随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(kX E X 的 k 阶绝对原点矩 )|(|kX EX 的 k 阶中心矩 )))(((kX E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 )(lkY X E X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 ()lkY E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩 )(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --= )()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±=相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。
以下是概率论中常用的公式。
1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。
2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。
9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。
10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。
（完整版）概率论基本公式
（完整版）概率论基本公式概率论与数理统计基本公式第⼀部分概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==--例：证明：成⽴。
得证。
成⽴，也即成⽴，也即（不发⽣，从⽽发⽣，则不发⽣，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-?-?-==-=-?--)).)Θ 2、对偶率：.----==B A B A B A B A ； 3、概率性率：(1))()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加：(2))()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有：特别，（3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有：)();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ?-===--求：，，例：已知：.3.0)(1)(,7.0)()()()(3.0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=?-=?==-+=?=-=-∴===+∴=+---B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB ΘΘ⼜即是不相容事件，、且解：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则⾃成⼀双为：！！（解：分堆法：每堆⾃成⼀双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为⽆条件概率。
的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐⼦，1号装有2红1⿊共3个球，2号装有3红1⿊4个球，3号装有2红2⿊4个球，某⼈随机从其中⼀罐，再从该罐中任取⼀个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第⼀个罐中取出的概率为多少？.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是⼀个完备事件、、，由题知取得是红球。
概率论的公式大全
概率论的公式大全一、基本概率公式：1.定义概率公式：对于任意事件A，概率P(A)的范围是[0,1]。
2.互补事件概率公式：对于任意事件A，概率P(A')=1-P(A)。
3.空集概率公式：对于空集Φ，概率P(Φ)=0。
二、条件概率公式：4.定义条件概率公式：对于事件A和B，当P(B)>0时，条件概率P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
5.乘法公式：对于事件A和B，P(A∩B)=P(A，B)·P(B)。
三、独立事件公式：6.独立事件公式：对于事件A和B，当P(A)>0且P(B)>0，事件A和事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)·P(B)。
7.乘法公式（多个独立事件）：对于事件A1，A2，...，An，P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)·P(A2)·...·P(An)。
四、加法公式：8.加法公式（两个互不相容事件）：对于事件A和B，当A和B互不相容（即A∩B=Φ）时，P(A∪B)=P(A)+P(B)。
9.加法公式（两个一般事件）：对于事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
五、全概率公式：10.全概率公式：对于任意一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(A)=Σ[P(A，Bi)·P(Bi)]，其中Σ表示求和。
六、贝叶斯公式：11.贝叶斯公式：对于事件A和一系列互不相容的事件B1，B2，...，Bn，且每个事件Bi的概率大于0且小于1，且它们的并集为样本空间S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)·P(Bi)/[Σ[P(A，Bj)·P(Bj)]]，其中Σ表示求和。
七、期望与方差公式：12.期望公式：对于随机变量X的概率分布函数P(x)，它的期望E(X)定义为E(X)=Σ[x·P(x)]，其中Σ表示求和。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理一、概率论公式：1.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法公式：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)其中，P(A)和P(B)表示事件A和B的概率，P(B，A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率。
3.全概率公式：P(A)=∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，B(i)表示互斥事件组，且它们的概率之和为14.贝叶斯公式：P(B(j)，A)=P(A，B(j))×P(B(j))/∑[P(A，B(i))×P(B(i))]其中，P(B(j)，A)表示已知事件A发生的条件下事件B(j)发生的概率。
5.期望值公式：E(X)=∑[x×P(X=x)]其中，X为一个随机变量，x为X的取值，P(X=x)为X等于x的概率。
6.方差公式：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示X的期望值。
二、数理统计公式：1.样本均值公式：样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn)/n其中，x1、x2、..、xn为样本中的观测值，n为样本容量。
2.样本方差公式（无偏估计）：样本方差 = [(x1-样本均值)^2 + (x2-样本均值)^2 + ... + (xn-样本均值)^2]/(n-1)3.样本标准差公式（无偏估计）：样本标准差=样本方差的平方根4.正态分布的标准化公式：Z=(X-μ)/σ其中，X为一个正态随机变量，μ为其均值，σ为其标准差，Z为标准正态分布的变量。
5.正态分布的累积分布函数：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
6.样本之间的协方差公式：Cov(X,Y) = ∑[(x(i)-X均值) × (y(i)-Y均值)]/(n-1)其中，X、Y为两个随机变量，x(i)、y(i)为X、Y的观测值，X均值、Y均值分别为X、Y的样本均值，n为样本容量。
(完整版),概率论公式总结,推荐文档
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
3．条件概率 PB A P(AB) 乘法公式 P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P( A)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P A2 A1 P An A1 A2 An1
(P( A1 A2 An1 ) 0)
n
全概率公式 P(A) P(ABi ) i 1
n
P(Bi ) P( A
i 1
Bi ) Bayes 公式 P(Bk
A) P( ABk ) P( A)
P(Bk )P( A Bk ) n P(Bi )P( A Bi ) i 1
4．随机变量及其分布
分布函数计算 P(a X b) P(X b) P(X a)
f (x, y)dx
fY X ( y x) f X (x)dx
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
fY X ( y x) fX (x) fY ( y)
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
fX Y (x y) fY ( y) fX (x)
10. 随机变量的数字特征
E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l
E(X kY l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E( X E( X ))(Y E(Y ))
X ,Y 的相关系数
E
(X
E( X ))(Y E(Y D( X ) D(Y )
f (x, v)dv
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
完整word版概率论公式总结
第1章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有xF(x) f (x)dx密度函数具有下面性质：f(X) 0f(x)dx 1离连随量系散续机的与型变关P(X x) P(x X x dx) f (x)dx。
积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk) P k在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
连续型随机量的布密度则称X为连续型随机变量。
f (x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
0-1 分布 P (X=1)=P ，P (X=0)=q设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数 F(x) P(X x)称为随机变量 X 的分布函数, 本质上是一个累积函数。
P 在刃重贝努里试式验中:b)设事件a) A 可以得到概率落入区间事件,bA 发生率。
分布函数F(x)表示随机变量是随区变量，设为内的概率。
能取值为O,1,2， ，n 。
1. 0 F(x) 1, (5)八大分布) 巳项分布3 ° F(x 0) 随机变量, PX< k)； P°n(k)F(C 是单q 调不减的函数，即 F( 1 )P,0imPF(%)k 00,1,2,F(,n ,) F(x)，即F(x 则是右连续机变量5X 服从参X 数年衣) F(x)X 1 X 其时，有中 lim F(x) 1 ;P的X 二(项。
分对于离散记为xp;加 0.1，这泊松分布P(X则称随机变量者 P( ) °kk) —e , k!畫X 服从参数为 0, k 0,1,2,的泊松分布，记为 X ~ ()或超几何分布P(X k)C k o c n k kC M ?CN M f1 0,1,2 ,lC Nl min(M,n)随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M) °几何分布P(X k)k 1q P,k 1,2,3,，其中 pA0, q=1-p °随机变量X 服从参数为P 的几何分布，记为G(P)°设随机变量 X 的值只落在［a , 1 b ］内，其密度函数f(X)在［a , b ］上为常数— —，即b a均匀分布当aw X 1 <X 2W b 时，X 洛在区间1---aw Xw b(为，X 2 )内的概率为f (X) bJa其他X 2 X-i0, P(X 1 X X 2)' 1b aX k XX - B(n, P)。
概率论核心概念及公式(全)
A B
如果同时有 A B ，B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B:A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B,或者 A+B。
（6）事 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A—B，也可
件的关 表示为 A-AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1° 0≤P(A）≤1， 2° P（Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 , A2 ，…有
P Ai P(Ai) i1 i1 常称为可列（完全)可加性。
则称 P（A)为事件 A 的概率。1° Nhomakorabea,2 n，
（8)古 典概型
2°
P(1 )
P( 2 )
P( n )
1 n
。
设任一事件 A ，它是由1,2 m 组成的，则有
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成. 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n
种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成.
如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
（5）基 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
本事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示.
件、样 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
本空间 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合.通常用大写字母
P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B) P(A) P(A)
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第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
)
()()|(B P AB P B A P =
)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n
k k k B A P B P A P 1)
|()()(∑==
n
k k
k
i i k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)
1,0(!
)(==
=-k e k k X P k
，λλ∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )
()()(
概率密度函数
怎样计算概
率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp ()
对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 联合分布函数
1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f )
(b X a P ≤≤⎰=≤≤b
a
dx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=x
dt t f x X P x F )()()(⎰
∞
-=≤=x
dt t f x X P x F )()()()
,(y x f )
,(y x F 0
),(≥y x f 1
),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f )(1)(b x a a
b x f ≤≤-=
联合密度与边缘密度
离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性
第三章 数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义
● E(a)=a ，其中a 为常数
● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望
常用公式
⎰+∞∞
-=dy y x f x f X ),()(⎰+∞
∞
-=dx
y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞
-∞
=⋅=
k k
k
P x
X E )(⎰+∞
∞
-⋅=dx
x f x X E )()(∑=k
k
k p x g X g E )())((∑∑=i
j
ij
i p x X E )(∑∑=i
j
ij
j i p y x XY E )(
方差 定义式
常用计算式 常用公式
当X 、Y 相互独立时： 方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数
协方差的性质
独立与相关
独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立 dxdy
y x xf X E ⎰⎰=),()()
()()(Y E X E Y X E +=+dxdy
y x xyf XY E ⎰⎰=),()()
()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰
+∞
∞
-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2
[]
2
2)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)
()(),(Y D X D Y X Cov XY
=
ρ[][]{})
()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(2
2X D X E X E X X Cov =-=)
,(),(Y X abCov bY aX Cov =
第四章 正态分布
标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式
)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤
)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥
)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤
1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P 一般正态分布的概率计算
一般正态分布的概率计算公式
)
,(~2σμN X 2
22)(21
)(σμσ
π--
=
x e x f 2
)(,)(σμ==X D X E )
(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σ
μ
σμ-=
⇔(
)()(σ
μ
-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σ
μ
-Φ-=>=≥a a X P a X P )
(
)(
)(σ
μ
σ
μ
-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。