大学物理-大学物理思维导图

e1
z
的各阶导数及其在
z
0点的值，故
1
e1 z
e(1
z
3
z2
13 z3
)
1
2! 3!
因为 e1z 的唯一的奇点为 z ，1 故类似于上例可求得其
收敛圆为 z 1
例2 计算积分
I
dz
, 设L为: z 2a (a 0)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
a.指数函数ez （具有周期性）
b.三角函数
cos
z
eiz
eiz 2
, sin
z
eiz
eiz 2i
cos
z,
sin
z
可以大于1
c.双曲函数
cosh z ez ez , sinh z ez ez
2
2
从复变函数意义上说，双曲函数与三角函数基本上是
一个变量代换z iz,二者没有本质区别
（3）导数定义 （4）可导充要条件：
lim R
zn-1 或 lim
1
n zn n n zn
特别提醒：以前在实变级数中
lim
n
zn z n -1
或 lim n n
zn 然后R
1
6.圆形区域的泰勒展开
1.直接计算泰勒系数ak
f k b
k!
2.换元法：常借助 1
tk t 1
1 t k0
3.利用两个绝对收敛的幂级数的乘积和商
所以
f
'' (z)
(3 2z) (1 z)2
f
' (z),
f
'' (0)
3e
（1）
再对（1）式求导并整理得
(1 z)2 f (3) (z) 5 f '' (z) 2 f ' (z)
于是
f
(3)
(z)
(5
4z) f '' (z) (1 z)2
2
f
'(z)
,
f
(3)
(0)
13e
1
由此下去可求得 由泰勒展开有
(k (1
1) z)k2
,
f
(k)
(0)
(k
1)!
故由泰勒展开，有
1
(1 z)2
k 0
f (k) (0)zk k!
(k 1)zk
k 0
1 2z 3z2 4z3 (k 1)zk
由于
(1
1 z
)在2 复平面内有唯一的奇点
z 1，它与展开中心
z 0 的距离为1，故该级数的收敛范围为 z 1.
1
(2) f (z) e1z , f (0) e
f
(z')
1
e1 z
1 (1 z)2
,
f
' (0)
e
为了便于求导将上式写为
(1 z)2 f '(z) f (z)
两边对 z求导得
(1 z)2 f ''(z) 2(1 z) f (z) f '(z)
即
(1 z)2 f ''(z) (3 2z) f (z)
dz
(
l1
zl2(azz)(zaaz)3(aza)dz3a
)
dz(z
l2
a)( z za
2πi
(z
1 a)( z
3a)
|za
2πi
(z
1 a)( z
3a)
|za
2πi
1 2a(2a)
2πi
1 (2a)(4a)
πi 4a2
【解法 2】 若将上式逆时针方向转化为顺时针方向
1
积分，则被积函数 f (z) z2 a2 在 L 外部仅有一个奇点
x0
(z) (z 1) (z)
函数的性质 (1) 1
(n 1) n!
(1)
2
(n
1) 2
(2n 1)!! 2n
3 多值函数
根式函数与对数函数
值的确定支点、回路、割线
保角变换
1反演变换（保圆性、对称点对不变性）
2分式变换(平移、转动、区域的线性放大)
3分式线性变换（保圆性）
W=(az=b)/(cz+d)=a/c+(bc-ad)/(c2 z+cd)
期中小结
——复变函数论
知识框架
极限
微 分
连续 导数
可导条件
可微 C—R条件
几何含义
解析函数
共轭性 调和性
调和函数
保角性 保角变换
积分柯西定理
柯西公式
高阶导数
模数定理
级数 泰勒展开 罗朗展开
孤 解留立析数奇延点拓留应数用定理
第一章 复变函数论基础
.1复数的三种表示：
代数表示：z x iy
三角表示：z (cos i sin ) 指数表示：z ei (涉及乘、除、乘方、开方及指对数时特方便
2.复数的矢量表示：（从矢量角度看问题常能简化问题） 复数都可以看成一个矢量，那么矢量的一切性质也适合复数： （1）矢量求和的平行四边形法则 （2）可以平移 （3） z1 z2 z1 z2 z1 z2 （后面留数应用中用到）
4.在收敛圆里逐项求导或逐项积分
5.待定系数法
7.环形区域的罗朗展开（方法同上）
但要注意
ak
f kb 对罗朗展开不成立
k!
第三章 解析延拓与孤立奇点
1.孤立奇点分类
可去奇点：zl im b f（z） a0 (无负幂) 极点：zl im b f（z） (有限负幂) 本性奇点：zl im b f（z） 不定（无限负幂）
z 3a z2 a2
在积分区域
L
内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ，l2 仅含
奇点 z2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西
积分公式有
I
dz L (z2 a2 )(z 3a)
1
11
1
I
l1L
(z a)d(zz 3a) (z2 az2)(az 3a)
9.二维调和函数 （1）条件：具有连续二阶导数并满足二维拉普拉斯方程 （2）解析函数的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是（x,y）平面内 的调和函数 10.保角变换 （1）线性变换w=az+b （2）反演变换w=1/z （3）分式线性变换w=（az+b）/(cz+d) （4）幂级数及根式变换 （5）指数对数变换
第四章 留数定理及其应用
1.留数定理：l f zdz 2i Re sf (bk )
2.留数计算方法：
k
(1)利用留数的定义，把f(z)罗朗展开resf(b)=a-1 (2)若b是f(z)的一阶极点，则a-1=lzimb(z b) f (z)
(3)
若b是f(z)的m阶极点，则a-1=
lim z
b
2.级数的敛散性判断方法：
当n 时，zn z n-1
或n
zn
r,则r 1发散，r 1绝对收敛
特别说明：“绝对收敛则一定收敛”对复变级数也成 立。
3.一致收敛级数定义和四条性质 4.维尔斯特拉斯定理
5.幂级数：
a0 a1z b a2z b2
（1）阿贝尔定理及其推论 （2）收敛半径求法：
a.u(x,y)及v(x,y)在点（x,y）处可微
b.满足C-R条件
（5）导数几何意义
5.复变函数中的解析函数
（1）解析的充要条件
（2）解析函数的映射：具有保角性
6.复变函数的积分
（1）柯西定理
（2）柯西公式 f (z) 1
f (z' ) dz' n 1,2,3...
2i l z' z
特别说明：其实质是将f(z)在解析区域内任一点z的值用它在区域
（此法适用于分子较简单的情形） 方法三：若z b分别为f (z)、g(z)的m阶和n阶零点（n m）则
z b是 f (z) 的（n m）阶极点（说明若n m则是可去奇点） g(z)
（此法对分子复杂的函数也适合用）
问：z
0是
sin z z3
和
tan
z sin z3
z 的什么孤立奇点？
5.解析延拓
解析延拓 多值函数及其黎曼面
1解析延拓的定义方法 （1）用泰勒级数延拓
①选取区b内的一点，在该点领域将f(z)展开为泰勒级数， 若级数的收敛圆有一部分超出b外则f(z)定义域扩大
②与上面一样逐步扩大定义域
（2）用函数关系延拓 2 Γ函数及其性质
(t) t e x1 tdt, 0
(z 1) z(z)
3.复数的运算
相乘：ie i
i ( )
e 2
乘方：（ei）n (cos i sin )n cos n i sin n
开方：n z n ei(0 2k )/ n (k 0,1,..., n 1)
对数：Lnz ln z i arg z
4.复变函数
（1）几何意义：映射
z
（2）几种推广的复变函数：
a.不是所有都可延拓b.能延拓也具有唯一性（特有）
6.函数：x t x1et dt x 0
0
1递推公式：x 1 xx
2常用结论：1 1. n 1 nn n!
1 . n 1 (2n 1)!! / 2n
2
2
7.级数的渐进展开
8.多值函数：
a.分支点的确定
b.作割缝
c.确定变化路径
1 (m 1)!
d m1 dz m1
[
f
(z)(z
b)m ]
3.无穷远点的留数等于它在无限远点邻域的幂级数中 z1项系 数的负值：
Re sf () a1
小结论： 若f (z) 1 则Re sf () 1 za
4.留数和定理： Re sf b Re sf 0
k
说明：（1）当 z 有f (z) 0时，Resf () 0即得到
z1 =c2z+cd(线性) z2=1/z1（保圆） (线性)
w=a/c+(bc-ad)/z2
3幂函数变换和根式变换
4指数变换w=ez(保角性)与对数变换（与指数变换相反）
例1 将下列函数 f (z)在 z 0点展开为Taylor级数，
并指出其收敛范围。
1
1
(1) (1 z)2 , (2)e1z .
z 3a
z
3a ，且当|
z
| 时，
f
(z)
z2
1 a2
0
，满足无界区域
的柯西积分公式条件． 故有
I
I
d z
L
(z2
dz
a2 )(z
3a)
L
(z2
dz
da2z)(z
3a)
L (z2 a2 )(z 3a)1 L (z2 a2 )(z 3a)
1
L
(z2 a2) (z 3a)
解 在 z 0 点展开即以 z 0为中心展开。
1 (1) f (z) (1 z)2 , f (0) 1
f
(z)
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1 z)3
,
f
' (0)
2
f (z) 6 , f '' (0) 6 (1 z)4
f (3) (z) 24 , f (3) (0) 24 (1 z)5
由上可推知
f
k
(z)
无界区域的柯西公式
（ 2）利用此定理不仅可以方便的求 Re sf ()，甚至可以
解决某些求 Re sf b 的复杂问题。请看下一道改编题：
k
求I
1
2i
z 9
z
z 1z 3z 5z 7dz 2z 4z 6z 8z 10
5.利用留数定理计算实变积分（五大类型）
以前总认为复数只是“虚”的，有什么用呢？然而，复 数的美妙性质使得实数中许多几乎无法解决的问题奇迹般地 得到了解决，可见扩展实数、研究复数真的具有非同寻常的 意义。
边界线上的值表示出来（特有）
7.高阶导数
f (n) (z)
n!
2i
l
(
z
f(z') ' z)n1
dz
'
n
1,2,3...
特别说明：解析函数只要求一阶导数存在，但由此可推之它具
有任意阶导数（特有）
8 .模数定理（最大模定理）
9.刘维尔定理：有界+全平面解析
f(z)是常数
第二章 复变函数的级数
1.级数收敛的充要条件
dz
2πi
z2
1
a2
|z3a
πi 4a2
L
(z2 a2) (z 3a)
dz
2i
z2
1 a2
z3a
i
4a2
特别说明：显然当积分区域内部的奇点 多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域 的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计 算．
2.极点与零点之间的联系 3.复变函数在无穷远点性质
处理方法：令z 1, z 即t 0处性质 t
4.极点阶数的求法总结（重点）
方法一 : z b为f (z)的m阶极点的充要条件： 在z b的充分小的邻域内g(z) (z b)m f (z)解析且g(b) 0
方法二：若z b为f (z)的m阶零点，则z b为 1 的m阶级点 f (z)