2020年浙江省高中数学竞赛试题及答案

2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()(

)2

2

20x y a x y

++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）

． （A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈

答案：（A ） 解 若0a =，则曲线()(

)2

2

20x y a x y

++-=表示曲线是三条交于原点的直线．

反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a =

2.函数()2

34sin sin 2sin cos 22x x f x x x ⎛

⎫=-+- ⎪⎝

⎭的最小正周期为（ ）．

（A ）2π （B ）2

π

（C ）23π （D ）π

答案：（C ）

解 化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为

.3

π

2 3.设双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为

4

π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）．

（A （B 1 （C （D 1 答案；(D)

解 因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF F F =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()

()

()2

2

222.a c c +=解得

1.c

a

= 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥 的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ）

（A （B （C （D 答案：（D ）

解：设截面与棱SC 交于D 点，由已知条件可知，点D 为棱SC 的中点．取AB 的中点

E ，连接,,EC DE SE ，则DEC ∠为截面与底面所成二面角的平面角，设为θ．在△SEC

中，2SE EC SC =

==，所以中线DE =在△DEC 应用余弦定理得

cos θ=

5.已知,a b R ∈，函数().f x ax b =-若对任意[]1,1x ∈-，有()01f x ≤≤，则31

22

a b a b +++-的取值范围为（ ）

（A ）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）4,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）12,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）42,57⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

答案：（D ）

解：由题设，()()011,011f f ≤≤≤-≤，即01,10.a b a b ≤-≤-≤+≤令u a b =+，

c a b =-，则

由此即知4312

.5227

a b a b ++-≤

≤+- 6.已知向量,OA OB 垂直，且24.OA OB ==若[]0,1t ∈，则 的最小值为（ ）

（A ） （B ）26 （C ） （D ）24 答案：（B ）

解：用数形结合方法求解，作正方形OACB ，连对角线AB ，则向量t AB AO -等于向量OD （D 为对角线AB 上一点）．向量()5

112

BO t BA --等于向量DE （E 为OB 上一点，10EB =）

．因为OD DC =，所以 由几何意义可知DE DC +的最小值为EC 的值，即等于26. 7.设集合()*,|

,

M x y x y N ⎧⎫⎪⎪

==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，则集合M 的元素个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3

答案：（B ） 解：由

=得115

=+，从而

11152255x y =++这样

.Q 同理，.Q 所以可设22*5,5,,.x a y b a b N ==∈因此，原式等价于

111

.3

a b -=解得()(),2,6.a b =又(),a b 与(),x y 一一对应，则集合M 中元素的个数为1. 8.记[]x 为不超过x 的最大整数．若集合()[][]{},|1S x y x y x y =++-≤，则集合S

所表示的平面区域的面积为（ ）． （A ）

52 （B ）3 （C ）9

2

（D ）4 答案：（A ）

解：当01x y ≤+<时，[]0x y +=，所以[]1x y -≤，即12x y -≤-<； 当12x y ≤+<时，[]1x y +=，所以[]0x y -=，即01x y ≤-<； 当10x y -≤+<时，[]1x y +=-，所以[]0x y -=，即0 1.x y ≤-< 画出满足上述条件的区域，可知集合S 所表示的平面区域的面积为5

.2

二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）

9.设()f x 是定义在R 上的奇函数．若对任意实数,x 有()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈

时，()2f x x =，则(f = ．

答案：36-

解：由()()2f x f x +=-得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，因此 10.已知数列{}{},n n a b 满足：(

)*

11111,2,,23,n n n n n a b a b b a b n N ++=-==-=-∈

则20152016b b += ． 答案：2015

32

.-⨯

解：由题设递推关系，我们有 从而，()

()

21212n

n n b b b b +++=-+，注意到211238b a b =-=-．我们有

20152015201632.b b +=-⨯

11.设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ． 答案：2.

解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =

12.已知两个底面重合的正四面体A -OBC 和D -OBC ，,M N 分别为△ADC 与△BDC 的