2-2 向量组的线性相关性

２－２ 向量组的线性相关性一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系例2.5［Ｐ８７ 不管］定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数；向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。

例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么β可由α１，α２，α３线性表出⇔向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解α１ α２ α３⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322311323322221121331221111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解。

此时，线性方程组有唯一解⇔β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一； 线性方程组有无穷多解⇔β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。

例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi 均可由该向量组线性表出。

证明：βI ＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ，ｉ＝１，２，…，ｍ。

作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。

二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系：对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。

所有向量组的共性。

定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１，ｋ２，，ｋｍ，使得ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６） 则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。

即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。

例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１） 令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=++003203321321x x x x x x x ，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０，所以ξ１，ξ２，ξ３线性无关。

例２．８［Ｐ９２］讨论向量组α１，α２，α３的线性关系：α１＝（１，－２，３，４），α２＝（－１，０，２，－２），α３＝（－１，－２，７，０）。

解：令 ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０ （２．１１）即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=--=--024072302202132131321x x x x x x x x x x ， Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----024*********→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----4201050420111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--210210210111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000210101， 通解为：⎩⎨⎧-=-=32312x x x x （ｘ３为自由未知量）， 令ｘ３＝－１，得该齐次线性方程组的一个非零解：ｘ１＝１，ｘ２＝２，ｘ３＝－１。

于是有：α１＋２α２－α３＝０，所以α１，α２，α３线性相关。

定理：设αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，…，ａｉｎ），ｉ＝１，２，…ｍ，那么α１，α２，…，αｍ线性相关（线性无关）⇔齐次向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋…＋ｘｍαｍ＝０有非零解（只有零解）⇔对应齐次线性方程组有非零解（只有零解）： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a 。

例２．９［Ｐ９４－９５ 了解］作业：Ｐ１１１：４（５）课内， ５读题， ７读题。

Ｐ１１３：３（２）课内Ｐ１１４：４（１）读题关于向量组线性相关性的常用结论：１、例２．６［Ｐ８９－９０］称以下ｎ个ｎ维向量（ｉ）εｉ＝（０，…，０，１，０，…，０），ｉ＝１，２，…，ｎ，为ｎ维单位向量组。

证明： ε１，ε２，…，εｎ线性无关，而且每一个ｎ维向量α＝（а１，а２，…，аｎ），有α＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。

证明：令 ｋ１ε１＋ｋ２ε２＋…＋ｋｎεｎ＝０，即ｋ１（1，0，…，0）＋ｋ２（0，1，0，…，0）＋…＋ｋｎ（0，…，0，1）＝０即（ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ）＝（０，０，…，０），所以ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｎ＝０，ε１，ε２，…，εｎ线性无关。

α＝（а１，а２，…，аｎ）＝（а１，0，…，0）＋（0，а２，0，…，0）＋…＋（0，…，0，аｎ）＝ａ１（1，0，…，0）＋ａ２（0，1，0，…，0）＋…＋ａｎ（0，…，0，1）＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。

２、含零向量的向量组线性相关。

即，线性无关向量组不含零向量。

证明：设向量组α１，α２，…，αｍ中，α１＝０，则有不全为零的数１，０，…，０使１·α１＋０·α２＋…＋０·αｍ＝０，所以α１，α２，…，αｍ线性相关。

３、一个向量α线性相关⇔α＝０；一个向量α线性无关⇔α≠０。

证明：必要性：如果α线性相关，则存在常数ｋ≠０，使ｋα＝０，故⇔α＝０。

充分性：如果⇔α＝０，则有１·α＝０，所以α线性相关。

４、定理２．１［Ｐ９０书］逆否定理：向量组α１，α２，…，αｍ（ｍ≥２）线性无关⇔这ｍ个向量中的每一个向量都不能由其余的ｍ－１个向量线性表出。

证明：［Ｐ９０：１４行至－４行掌握］思考题：［Ｐ９７］（１），（２）。

作业：［课内讲］Ｐ１１１：３（４）４（１）、（２）Ｐ１１３：３（１）５、两个ｎ维向量线性相关⇔它们对应分量成比例；即：两个ｎ维向量线性无关⇔它们对应分量不成比例。

证明：［Ｐ９０：－３行至Ｐ９１：５行书］必要性：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）线性相关，则其中一个向量可由另一个线性表出，不妨设α＝ｋβ，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝ｋ（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α与β对应分量成比例。

充分性：如果α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）与β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）对应分量成比例，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α＝ｋβ，所以α，β线性相关。

作用：判断两个向量构成的向量组线性性质的简便方法。

作业：Ｐ１１１：４（３）线性相关、线性无关的几何解释［Ｐ９１：－１５行至Ｐ９２图２．４了解］６、例２．１１［Ｐ９５：１４－１６行改变说法］设向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，添加向量β后，α１，α２，…，αｍ，β线性相关，则β可由α１，α２，…，αｍ线性表出，而且表示法唯一。

证明：［Ｐ９５：１７行－Ｐ９６：８行 掌握］作业：Ｐ１１１： ４（４） １１Ｐ１１４： ５（２）７、定理２．２［Ｐ９６］如果一个向量组的某个部份向量组线性相关，那么该向量组线性相关；即：如果一个向量组线性无关，那么它的每一个部份向量组都线性无关。

证明：［Ｐ９６：１３－１８行］作业：Ｐ１１１： ３（３） ９Ｐ１１３：１（２）Ｐ１１４：３（４）Ｐ２１９：２（４）８、定理２．３：［Ｐ９６：－８行至－７行］推论：［Ｐ９７：－９行至－７行］线性无关向量组的“延长”向量组也线性无关。

即：线性相关向量组的“缩短”向量组也线性相关。

（不证明，会用）例： （ａ１ １ ａ２ ０ ａ３ ａ４）（ｂ１ ０ ｂ２ １ ｂ３ ｂ４）例： （１ ２ ３ ４ ５ ６ ）（２ ４ ６ ８ １０ １２）对比性质７和性质８，不要混淆。

作业：Ｐ１１１： ３（２）９、Ｐ９８ 思考题（３）： 即Ｐ１１７：－８行至－７行 推论 设Ａ是ｎ阶方阵，那么Ａ的行（列）向量组线性无关⇔A ≠０；Ａ的行（列）向量组线性相关⇔A ＝０。

证明：设 β１ β２ … βｎＡ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nααα 21 令ｘ１β１＋ｘ２β２＋ …＋ｘｎβｎ＝０ ①①对应的ｎ×ｎ齐次线性方程组的系数矩阵为Ａ，于是β１ β２ … βｎ线性无关⇔①只有零解⇔A ≠０。

令n n y y y ααα+++ 2211＝０ ②②对应的ｎ×ｎ齐次线性方程组的系数矩阵为ＡＴ，于是α１，α２，…，αｎ线性无关⇔②只有零解⇔T A ≠０⇔A ≠０。

例：证明：α１＝（１，２，３），α２＝（４，５，６），α３＝（０，０，２）线性无关。

证明：用α１，α２，α３为行向量，得方阵Ａ，A ＝200654321＝２5421＝－６≠０，所以α１，α２，α３线性无关。

作业：Ｐ１１１： ８。

１０（了解）例２．９［Ｐ９５：７－１１行］主对角线上元素全非零的上三角矩阵的行（列）向量组线性无关。

证明：设Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a a a 00022211211，其中ａｉｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｎ。

A ＝nn a a a 2211≠０，据性质９，得Ａ的行（列）向量组线性无关。

１１（了解）例２．１０［Ｐ９５］设Ａ是有ｒ个非零行的阶梯形矩阵，则Ａ的ｒ个非零行线性无关；含有首非零元的ｒ个列也线性无关。

证明：设首非零元所在列为ｊ１，ｊ２，…，ｊｒ。

取Ａ的前ｒ行和ｊ１，ｊ２，…，ｊｒ列，得一个ｒ阶子矩阵如下：Ａｒ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡r r r rj j j j j j a a a a a a 00022111221，其中r rj j j a a a ,,,2121 均不等于零。

据例２．９知，Ａｒ的行（列）向量组线性无关，于是作为它们的延长向量组，Ａ的ｒ个非零行线性无关；含有首非零元的ｒ个列也线性无关。

例２．７［Ｐ９２］设向量组α１，α２，α３线性无关，又β１＝α１－α２，β２＝２α１＋α２＋３α３，β３＝３α１＋α２＋２α３ 讨论向量组β１，β２，β３的线性相关性。

解：令 ｘ１β１＋ｘ２β２＋ｘ３β３＝０，即ｘ１（α１－α２）＋ｘ２（２α１＋α２＋３α３）＋ｘ３（３α１＋α２＋２α３）＝０ 即（ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３）α１＋（－ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）α２＋（３ｘ２＋２ｘ３）α３＝０ 已知α１，α２，α３线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++023003232321321x x x x x x x x ，因为230111321-＝230430321＝200430321-－６≠０，所以ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０，所以β１，β２，β３线性无关。

作业：Ｐ１１１： ６（１）、（２）、（３）；Ｐ１１４： ５（１）。