2-2 向量组的线性相关性

２－２ 向量组的线性相关性

一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系

例2.5［Ｐ８７ 不管］

定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］

ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数；

向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。 例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么

β可由α１，α２，α３线性表出

⇔向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解

α１ α２ α３

⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++33332231

1323322221121331221111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解。此时，

线性方程组有唯一解⇔β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一； 线性方程组有无穷多解⇔β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。 例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi 均可由该向量组线性表出。 证明：βI ＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ，

ｉ＝１，２，…，ｍ。

作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。

二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系：

对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有

０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。 所有向量组的共性。 定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１，

ｋ２，，ｋｍ，使得

ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６） 则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０

成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。 例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组

ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１） 令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０，

即 ⎪⎩

⎪⎨⎧==++=++003203321321x x x x x x x ，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０，

所以ξ

１，ξ２，ξ３线性无关。

例２．８［Ｐ９２］讨论向量组α１，α２，α３的线性关系：α１＝（１，－２，３，４），

α２＝（－１，０，２，－２），α３＝（－１，－２，７，０）。

解：令 ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０ （２．１１）

即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=--=--0

240723022021321

31321x x x x x x x x x x ， Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----024*********→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----4201050420111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--210210210111→⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000210101， 通解为：⎩⎨⎧-=-=32

312x x x x （ｘ３为自由未知量）， 令ｘ３＝－１，得该齐次线性方程组的一个非零解：ｘ１＝１，ｘ２＝２，ｘ３＝－１。 于是有：α１＋２α２－α３＝０，所以α１，α２，α３线性相关。

定理：设αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，…，ａｉｎ），ｉ＝１，２，…ｍ，

那么α１，α２，…，αｍ线性相关（线性无关）

⇔齐次向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋…＋ｘｍαｍ＝０有非零解（只有零解）

⇔对应齐次线性方程组有非零解（只有零解）

： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0

00221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a 。 例２．９［Ｐ９４－９５ 了解］

作业：Ｐ１１１：４（５）课内， ５读题， ７读题。

Ｐ１１３：３（２）课内

Ｐ１１４：４（１）读题

关于向量组线性相关性的常用结论：

１、例２．６［Ｐ８９－９０］称以下ｎ个ｎ维向量

（ｉ）

εｉ＝（０，…，０，１，０，…，０），ｉ＝１，２，…，ｎ，

为ｎ维单位向量组。证明： ε１，ε２，…，εｎ线性无关，而且每一个ｎ维向量α＝（а１，а２，…，аｎ），有α＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。

证明：令 ｋ１ε１＋ｋ２ε２＋…＋ｋｎεｎ＝０，

即ｋ１（1，0，…，0）＋ｋ２（0，1，0，…，0）＋…＋ｋｎ（0，…，0，1）＝０

即（ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ）＝（０，０，…，０），

所以ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｎ＝０，ε１，ε２，…，εｎ线性无关。

α＝（а１，а２，…，аｎ）

＝（а１，0，…，0）＋（0，а２，0，…，0）＋…＋（0，…，0，аｎ）

＝ａ１（1，0，…，0）＋ａ２（0，1，0，…，0）＋…＋ａｎ（0，…，0，1）

＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。

２、含零向量的向量组线性相关。

即，线性无关向量组不含零向量。

证明：设向量组α１，α２，…，αｍ中，α１＝０，则有不全为零的数１，０，…，０使１·α１＋０·α２＋…＋０·αｍ＝０，

所以α１，α２，…，αｍ线性相关。

３、一个向量α线性相关⇔α＝０；

一个向量α线性无关⇔α≠０。

证明：必要性：如果α线性相关，则存在常数ｋ≠０，使ｋα＝０，故⇔α＝０。

充分性：如果⇔α＝０，则有１·α＝０，所以α线性相关。

４、定理２．１［Ｐ９０书］

逆否定理：向量组α１，α２，…，αｍ（ｍ≥２）线性无关⇔这ｍ个向量中的每一个向量都不能由其余的ｍ－１个向量线性表出。

证明：［Ｐ９０：１４行至－４行掌握］

思考题：［Ｐ９７］（１），（２）。

作业：［课内讲］Ｐ１１１：３（４）４（１）、（２）

Ｐ１１３：３（１）

５、两个ｎ维向量线性相关⇔它们对应分量成比例；

即：两个ｎ维向量线性无关⇔它们对应分量不成比例。

证明：［Ｐ９０：－３行至Ｐ９１：５行书］

必要性：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）线性相关，则其中一个向量可由另一个线性表出，不妨设α＝ｋβ，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）

＝ｋ（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α与β对应分

量成比例。

充分性：如果α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）与β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）对应分量成比例，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α＝ｋβ，

所以α，β线性相关。

作用：判断两个向量构成的向量组线性性质的简便方法。

作业：Ｐ１１１：４（３）

线性相关、线性无关的几何解释［Ｐ９１：－１５行至Ｐ９２图２．４了解］６、例２．１１［Ｐ９５：１４－１６行改变说法］

设向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，添加向量β后，α１，α２，…，αｍ，β线性相关，则β可由α１，α２，…，αｍ线性表出，而且表示法唯一。