修正单纯形法

Operations Research
第九讲
第五讲 修正单纯形法（1）
大约在1954年，Dantzig和他的同事就发现了更有效的单 纯形法。 我们知道，在单纯(扩展)表格中，共有3组元素，分别 与矢量组“a1，…，an”，“b”及“e1……em”相对应，如 果说 前面讲的习惯用的一般单纯形表格法可只采用左边两组 的话，那么，修正单纯形法在运算迭代中只应用右边两 组，下面就具体阐述该种方法。 仍假设： AX=b， X≥0， CTX=min (1) 且A、b、C已知，属非退化情形，计算过程，将始终 用到A，B，C这些原始数据，故需保存。每一个阶段仍 用单纯形表格迭代，只用右边两组，即m+1列，每个表 page 格与当前基础解集相对应（ 1 j1，…，jm）： Prof. Wang
a3 a1
1 y1 ui1 c i 2 / 3， 1 7 19 / 3 i 1 m 1 y2 ui 2 c i 1 / 6， 1 / 2 7 10 / 3 i 1
m
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3
将(t3)'加入修正单纯形表格中，并求出支点行r。 a3 b e1 e2 1 -1/4 e1 3/2 7/4 0 1/4 a1 3/2 13/4 3/2
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7/4
1
-1/4
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i tis / trs i r，i 1,, m 0 ( z s cs ) / trs
最后，用as取代旧表格Vr中表示的基矢量。
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第九讲
修正单纯形法（11）
将(t1)' 临时放入表格中，以便求出支点行， a1 1 4 b 5 13 e1 1 0 e2 0 1
e1 e2
5 18 1 1 min{5/1，13/4} = 13/4 r = 2。支点元素为t’21， 进行变换使(t1)’列中：t’21 =1，t’11 =0，z’1 － c’1 = 0，得：
第九讲
修正单纯形法（8）
[例1-23] 已知线性规划为：
AX b，x 0， C T X min 1 A 4 2 5 3 5 T ， b ， C 7， 1， 1 6 13
[解] 1）应用阶段1，求出初始基础可行解 构成新规划：A' X ' = b ' ，X '≥0, C'TX'=min
第 1 阶段结束后，第 2 阶段开始的表格需加以修改，唯一 修改处是最末一行，这是由于目标函数发生了变化 z0和yi 计算公式为：
z0 ti 0 ci
i 1

m

y j ui j c i
i 1
m

(5)
其中 c i ——当前基础解的目标系数。
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第九讲
修正单纯形法（14）
7 / 4 13 / 4 min , min 7 / 6,13 / 6 7 / 6, r 1 3/ 2 3/ 2
即e1离开基，a3进基，将表格变换得： a3 b e1 e2 a3 a1 1 0 0 7/6 3/2 0 2/3 -1
0
-1/6 1/2 0
从表中看出，z '0 0 min si 0， 故阶段1结束，得出 初始基础可行解为x3=7/6，x1=3/2， x2=0。
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1 2 3 1 0 5 A' ，b' ， 4 5 6 0 1 13
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第九讲
修正单纯形法（9）
3 3 z '3 c'3 y ' a c'3 1 1 / 4 0 0 2 6
T 3
t '13 3 / 2 3 1 1 / 4 3 (t )' Ua t ' 0 1/4 6 3 / 2 23
z '1 c'1 5 0 , a1可以进基 t '11 1 0 1 1 1 (t )' U ' a 0 1 4 4 t '21
1
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费用
i 1
m
cos t C T X ( ) C T X (0) ( zs c s )当 , cos t
若存在tis>0,可求出支点行：
(9)
tr 0 / trs min ti 0 / tis：tis 0
(10)
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3
7/6 3/2
35/3
2/3 -1
-19/3
-1/6 1/2
10/3
将a2对应的t2列变为t12=1，t22=0，z2－c2=0 得出新表格为：
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修正单纯形法（5）
xi x ji ti 0 (i 1， ，m)
其最小费用为z0和最优对偶解为yT。

(7)
否则，计算zj(按6式)，找出zj > cj，并令j = s，然后处理 如下：
首先，计算单纯形表的支点列s：
tis uik aks
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修正单纯形法（12）
a1 b 7/4 13/4 e1 1 0
1
e2 -1/4 1/4
e1 a1
0 1
0
7/4
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第九讲
修正单纯形法（15）
2 ）现进行阶段 2 ，阶段 2 的第 1 个表格可借用阶段 1 的最 后表格，仅仅将最后一行加以修改。此时：A，B，C恢 复到原问题数值，这时CT=(7，1，1)。其初始表格为： b e1 e2 其中， 7/6 2/3 -1/6 m 1 3/2 -1 1/2 Z 0 ti 0 c i 7 / 6， 3 / 2 7 35 / 3 i 1 35/3 -19/3 10/3
k 1
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m
(i 1， ，m )
(8)
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第九讲
修正单纯形法（6）
如果所有tis≤0，则最优解不存在，最优目标无限，即，
AX ( ) a s (ti 0 tis )V i
T 2
z 2 c2 4 1 3 0, 故a 2可进入B, 即s 2 1 2 1 2 t12 3 6 2 又 Ua 2 有非负项 t 22 1 1 5 1 2 2 7/6 3 / 2 min , min 7 / 3,3 7 / 3 r 1, 1/2 1 / 2
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修正单纯形法（16）
现判断非基矢量a2是否应进入基础解集。
19 10 2 z 2 y a , 4 3 3 5
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修正单纯形法（4）
下面来阐述表格的迭代过程。在一般单纯形表格法中， 每次检验元素 zj －cj全部算出，然后寻找支点列，而在修 正单纯形表格中，不需一次计算全部检验元素，而是逐 个计算。设j属非基础集，则：
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修正单纯形法（2）
t10
· · ·
u11
…
u1m
tm0
z0
um1 … umm y 1 … ym
(2)
其中：ti0——给出当前基础解 uij——给出当前基础阵之逆 z0——给出当前基础解费用 yi——给出当前基础阵之联立方程解
当前表格对应的基础矢量为e1和a1。 再次校验非基础矢量，看是否可进入基础矢量，任意 选择a3检验。
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修正单纯形法（13）
z j yi ai j
i 1
m
(6)
如果zj > cj，则令j = s，并作为支点列。 如果zj ≤cj，则去试探其它非基础列j，假若所有非基础 列j的zj ≤cj，则已达到最优解，其最优解值为：
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YTM=
C
T
(3)
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修正单纯形法（3）
表格的起步可根据两阶段法的第1阶段之初始基础解表格 开始，即： ti0=bi ，uij = ij ，z0=Σbi，yi=1 (4)
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第九讲
修正单纯形法（10）
检验非基础变量a1，a2，a3能否进基，可按任何次序检验。 先检验a1： 1 T 1 z '1 y ' a 1 1 5 4
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第九讲
修正单纯形法（17）
即支点行r = 1，a3离开，支点元素t12=1/2。 将a2加入表格并转换 a2 b e1 e2
1/2 1/2
C T C1 , C 2 , C3 , C S1 , C S 2 0 0 0 1 1 X 'T x1 , x2 , x3 , s1 , s 2
令人工变量作为第1个基础可行解之基础变量，其对应的 表格为： b e1 e2 e1 e2 5 13 18 1 0 1 0 1 1
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第九讲
修正单纯形法（7）
求出支点行后，就可进行修正单纯形表格的转换，其表 格转换元素的计算只需计算后面m+1列，即： 新行r = (原行r)/trs 新行i (i r) = (原行i) － i(原行r) 其中： (11) (12)