高中数学抛物线的性质归纳及证明

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每
抛物线的常见性质及证明
概念
焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；
焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.
性质及证明
过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-=
+
=p p x AF ；②焦半径α
cos 12||2+=+=p
p x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2
p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α
2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90︒)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝α
sin 22
p .
证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p
2
，
| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p
如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝
| RF |1－cos θ＝p
1－cos θ
同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p
1＋cos θ
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝
p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2p
sin 2θ
.
S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p
2·(| y 1
|＋| y 1 |)
∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |
∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2
＝p 2
2sin θ
.
2.
求证：①2124p x x =；②2
12y y p =-；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p .
当AB
⊥x 轴时，有 AF BF p ==，
成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
.代入抛物线方程： 2
222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=
∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴12
24
k x x ⋅=.
(1221112
12111111
222x x p p p
p AF BF AA BB x x x x +++=+=+=
+++()()12122212122
2424
x x p x x p p p p p p x x p x x ++++=
==
+++++
. 3.求证：=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.
先证明：∠AMB ＝Rt ∠
【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则
△ADM ≌△ECM ，
∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则
| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝1
2| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |
∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.
【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 2
2
).
∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2
y 1)
y 2
1＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝p
y 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2
－p 2＝－1
∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.
【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p
2，y 1)，由此得M (－
p 2，y 1＋y 2
2
). ∴MA →
＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)
∴MA →·MB →
＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4
＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)2
4
＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 2
2－2y 1y 24
＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 2
2
＝0 ∴MA →⊥MB →
，故∠AMB ＝Rt ∠.
【证法五】由下面证得∠DFC ＝90 ，连结FM ，则FM ＝DM .
又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每
∴∠2＋∠3＝1
2×180︒＝90︒
∴∠AMB ＝Rt ∠. 接着证明：∠DFC ＝Rt ∠
【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，
故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α， 同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β， 而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒ ∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒ 【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 2
2
)
由前知k AM ＝p
y 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p 2
＝－y 2p ＝p y 1
∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.
【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →
＝(p ，－y 2)，
∴DF →·CF →
＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →
，故∠DFC ＝90︒.
【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR |
| RF |＝
| RF |
| RC |
，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒ ∴ △DRF ∽△FRC
∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFC ＝90︒
4. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线
图6
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每
【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 21
2p
)
与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得
y －y 1＝p y 1(y 22p －y 2
12p
)，整理得y 2－2y 1y ＋y 2
1＝0
可见△＝(2y 1)
2
－4y 21＝0，
故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切， 同理BM 也是抛物线的切线，如图8.
【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x ＝(2px )'x ，
得2y ·y 'x
＝2p ，y 'x ＝p y ，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x
| y ＝y 1＝p
y 1
. 又k AM ＝p
y 1
，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的
切线.
【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 2
2
)代入
左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 2
1＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 2
2
，
右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 2
2＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，
即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线.
5. C ’A 、C ’B 分别是∠A ’AB 和∠B ’BA 的平分线. 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，
则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，
即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA . 【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜
角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α
图9
图8
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每＝2β. 且M (－p 2，y 1＋y 2
2)
∵tan α＝k AB ＝
y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 222p －y 21
2p
＝2p
y 1＋y 2. tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)
y 21＋p 2＝p
y 1. ∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β
＝2p
y 11－(p y 1)
2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 2
2＋y 1y 2＝2p
y 1＋y 2＝tan α ∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .
6. AC ’、A ’F 、y 轴三线共点，BC ’、B ’F 、y 轴三线共点 【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，
由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.
设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2， 易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ， 故△DD 1G 2≌△FOG 2
∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.
∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点，
同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.
【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 21
2p
)，
令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 1
2
)，
又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 1
2)
∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 1
2
)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，
图10
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形. 7. A 、O 、B ’三点共线，B 、O 、A ’三点共线. 【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1 y 212p
＝2p
y 1
，
k OC ＝y 2 －p 2 ＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2p y 1
∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线， 同理D 、O 、B 三点也共线.
【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC
∴| RO ' || AD |＝| CO ' || CA |＝| BF || AB |，| O 'F || AF |＝| CB || AB |， 又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴
| RO ' || AF |＝| O 'F |
| AF |
∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.
【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，| O 'F || CB |＝| AF |
| AB |
，
∴| O 'F |＝
| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |
＝1 1| AF |＋1| BF |
＝p
2【见⑵证】
∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法四】∵OC →＝(－p 2
，y 2)，OA →
＝(x 1，y 1)，
∵－p 2·y 1－x 1 y 2＝－p 2·y 1－y 21
2p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p ＝0
∴OC →∥OA →
，且都以O 为端点
∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.
【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M
图11
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每
三点也共线，如下图：
8. 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －n
m ＋n ；
【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD
于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则
| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t ∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －n
m ＋n
∴cos θ＝cos ∠BAE ＝m －n
m ＋n
.
【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于
两点A 、B ，
且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 .
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每
则E 的坐标为( p
2＋x 1 2，y 1
2
)，
则点E 到y 轴的距离为d ＝ p
2＋x 1 2＝1
2| AF |
故以AF 为直径的圆与y 轴相切， 同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.
【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则
| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝1
2| AB |
则圆心M 到l 的距离| MN |＝1
2| AB |，
故以AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.
【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 22
2p ，y 1)，则C (－p 2，y 2)，D (－p 2，
y 1)，
M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 2
2
4p ，y 1＋y 22
)，
设MN 的中点为Q '，则Q ' ( －p 2＋y 21＋y 2
24p 2，y 1＋y 2
2
)
∵ －p 2＋y 21＋y 2
24p 2＝ －2p 2＋y 21＋y 22 8p ＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 2
2
8p ＝ ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222 2p
∴点Q ' 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.
图16。