2018年全国数学竞赛模拟试题(一)

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2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。

(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。

注：本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。

(B) $1$。

(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）qfRgF4dw271．设1a =，则代数式32312612a a a +--的值为( >.<A ）24 .qfRgF4dw27<A ）<0，1） ，0y >，且满足3y y x xy x x y==，，则x y +的值为( >.<A ）1 .<A ）1324S S S S < <D ）不能确定5．设3333111112399S =++++，则4S 的整数部分等于( >. <A ）4 <B ）5 <C ）6 <D ）7 二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .NW2GT2oy018．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y x=<x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD - 的值为 .NW2GT2oy019．若112y x x =-+-的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .NW2GT2oy01三、解答题<共4题，每题20分，共80分）11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线<第8题）<第10题）<第12题）223y x =于P ，Q 两点. <1）求证：∠ABP =∠ABQ ；<2）若点A 的坐标为<0，1），且∠PBQ =60º，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解读式.14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB AC =．点P 在△ABC 内，且352PA PB PC ===，，，求△ABC 的面积．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．A解：因为71a =-， 17a +=， 262a a =-，所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得<x y ，）=<1，0）．3．C<第13题）<第14题）解：由题设可知1y y x -=，于是341y y x yx x -==，所以 411y -=，故12y =，从而4x =．于是92x y +=．4．C解：如图，连接DE ，设1DEF S S ∆'=，则1423S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．5．A解：当2 3 99k =，，，时，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 3331111115111239922991004S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 6．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m ∆=-≥0，即 ()2121242x x x x +-<，164m ∆=-≥0，所以1642m -<， 164m ∆=-≥0，<第4题）解之得 3＜m ≤4.7．19解：在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2，3），<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.NW2GT2oy01 8．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，）因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-，又因为2BD AC =，于是 22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.9．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．22213113122()2222416y x x x =+-+-=+--+．由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故22b =．所以，2232a b +=． 10．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则<第8题）22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以FE AF CB AC =，即1212b a b-=，故 12()a b ab +=． ② 由①②得2222122524a b a b ab a b +=++=++（）（），解得a ＋b ＝49<另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ，连接 AH BD QB QC QH ，，，，. <第10题）因为AB 为⊙1O 的直径，所以∠ADB =∠BDQ =90°，故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.13．解：<1）如图，分别过点P Q ，　作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　.设点A 的坐标为<0，t ），则点B 的坐标为<0，-t ）.设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,并设P Q，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，，得 2203x kx t --=，于是 32P Q x x t =-，即 23P Q t x x =-.于是 222323P P Q Qx t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===--- 又因为PQx PCQD x =-，所以BC PC BDQD=.因为∠BCP =∠90BDQ =︒，所以△BCP ∽△BDQ ，故∠ABP =∠ABQ .<第12题）<第13题）<2）解法一设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由<1）可知∠ABP =∠30ABQ =︒，BC ，BD ，所以AC 2-，AD =2.因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ .于是PCACDQAD =，即a b =，所以a b +=．由<1）中32P Q x x t =-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b =将2b =代入223y x =，得到点Q 的坐标，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解读式为1y x =+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解读式为1y x =+，或1y +. 解法二设直线PQ 的函数解读式为y kx t =+,其中1t =. 由<1）可知，∠ABP =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x = 将223Q Q y x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1>得3322P Q x x t =-=-，32P Q x x k +=.若32Q x =，代入上式得 3P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=-.同理，若3Q x =，可得32P x =-，从而 23()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解读式为313y x =-+，或313y x =+. 14．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是22324AQ AP BQ CP ====，．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是33PQ AP ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒．于是222()2883AB PQ AP BQ =++=+ .故 213673sin 60282ABC S AB AC AB ∆+=⋅︒==．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷)

祝君金榜题名2018 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 设集合 A 1, 2, 3,, 99, B2x xA, Cx 2x A，则 BC 的元素个数为．答案：24 ．1399解：由条件知，B C，2, 4, 6, , 198,1, , 2, ,2, 4, 6, , 48222故 B C 的元素个数为 24 ．2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成角不小于30且不大于60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．OP3解：设点 P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OQP, 3 ， OQ3即OQ[1, 3]，故所求的区域面积为．318223. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a , b , c , d , e , f ，则 abc + def 是偶数的概率为．答案：9 10．解：先考虑abc + def 为奇数的情况，此时abc , def 一奇一偶，若abc 为奇数，则a , b , c 为1, 3, 5的排列，进而d , e , f 为2, 4, 6的排列，这样有3!×3! = 36 种情况，由对称性可知，使abc + def 为奇数的情况数为36×2 = 72 种．从而abc + def 为偶 72 72 9 数的概率为1− = 1− = ． 6! 720 10xy22ab4. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :1(a b 0)的左、右焦点22分别是 F 、F ，椭圆C 的弦 ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已12知线段 PU , PS , PV , PT 的长分别为1, 2, 3, 6 ，则 PF F的面积为．1 2答案： 15 ．解：由对称性，不妨设 P (x , y ) 在第一象限，则由条件知PP1 1x PT PS y PV PU，2,1PP221祝君金榜题名即 P (2,1)．进而由 1, 2xPU PS得U (2, 2), S (4, 1) ，代入椭圆C 的方程知 P1 1 1 14 4 161 2 20,25，解得 a b ．abab22221从而15SF Fyaby ．22PF F1 2PP21 25. 设 f (x ) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间[0, 1]上严格递减，1 x 2,且满足 f ()1, f (2) 2 ，则不等式组的解集为．1 f (x ) 2答案：[2, 82]．解：由 f (x ) 为偶函数及在[0, 1]上严格递减知， f (x ) 在[1, 0] 上严格递增，再结合 f (x ) 以 2 为周期可知，[1, 2]是 f (x ) 的严格递增区间．注意到f f ff f ，(2) ( ) 1, (8 2 )( 2 ) (2 ) 2 所以1f (x ) 2 f (2) f (x ) f (82) ，而1282 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x[2, 82]．6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zxzx 有实根，则这样 22 2 0的复数 z 的和为．3答案：． 2解：设 z ab i (a , b R , a 2 b 21) ．将原方程改为(a b i)x 22(ab i)x 2 0，分离实部与虚部后等价于axax ，①22 2 0bxbx ． ②22 0若b 0，则 a，但当 a1时，①无实数解，从而 a 1，此时存在实21数 x1 3 满足①、②，故 z1满足条件．若b 0，则由②知 x{0, 2}，但显然 x 0 不满足①，故只能是 x 2 ，代 115 1 15i入①解得．a，进而b，相应有z4441 15i1 15i3 综上，满足条件的所有复数 z 之和为1．4427. 设O 为ABC 的外心，若 AO AB 2AC ，则sinBAC 的值为．故10 答案：．4 解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径 R 2 ．由条件知，2AC AOAB BO，①1AC BO ．122祝君金榜题名取 AC 的中点 M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且 B 与 A 位于直线MC1 OM 的同侧．于是cos BOC cos (90 MOC ) sin MOCOC4．在BOC 中，由余弦定理得BC OBOCOB OC BOC，222cos10BC10进而在ABC 中，由正弦定理得．sin BAC 2R48. 设整数数列 1, 2, , 10 10 3 1, 282 5 a a a 满足 a a a aa ，且aaa i，iii1 {1, 2 },1, 2, , 9则这样的数列的个数为．答案：80．解：设baai ，则有 1{1, 2}( 1, 2, , 9)iii2aaabbb ，①1101129bbbaaaabbb ． ②2345285567用t 表示b 2, b 3, b 4 中值为 2 的项数．由②知，t 也是 5, 6, 7b b b 中值为 2 的项数，2, 3,, 70 2 1 2 2 2 3 2 3333取定 2, 3, ,78, 9b b b 后，任意指定b b 的值，有 22 4 种方式．最后由①知，应取 1 {1,2} b 的取法是b使得bbb 为偶数，这样的1291唯一的，并且确定了整数 1, 2, , 9a 的值，进而数列b bb 唯一对应一个满足条件的 1数列 1, 2, ,10a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为 204 80．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）已知定义在 R 上的函数 f (x ) 为log x 1 , 0 x9, f (x )34 x , x 9.设 a , b , c 是三个互不相同的实数，满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，求 abc 的取值范围．解：不妨假设ab c ．由于 f (x ) 在(0, 3] 上严格递减，在[3, 9] 上严格递增，在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9)1，故结合图像可知a，b (3, 9)，c (9,)，(0, 3)并且 f (a ) f (b ) f (c ) (0, 1) ． …………………4 分由 f (a ) f (b ) 得1log a log b1，33即 39log alog b 2，因此 ab．于是 abc 9c ． …………………8 分233又3祝君金榜题名0 f (c ) 4 c 1， …………………12 分故c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．所以， abc 的取值范围是(81, 144) ．…………………16 分r注：对任意的 r (81, 144) ，取c = ，则c ∈ ，从而 0 90 (9,16)f (c )∈(0,1)．过点(c , f (c ))作平行于 x 轴的直线l ，则l 与 f (x )的图像另有两个交点(a , f (a )) ，(b , f (b )) （其中a (0, 3), b (3, 9) ），满足 f (a ) f (b ) f (c ) ，并且ab 9 ，从而abc = r ．10.（本题满分 20 分）已知实数列 1, 2,3,a a a满足：对任意正整数 n ，有 a S a ，其中 (2 ) 1 S 表示数列的前 n 项和．证明： n n n n(1) 对任意正整数 n ，有 2an ；n(2) 对任意正整数 n ，有a a．11n n证明：(1) 约定S．由条件知，对任意正整数 n ，有 1(2) ( )()，aSaSSSSSS22nnnnn 1nn 1nn 1从而22Sn Sn ，即 Sn （当 n 0 时亦成立）． …………………5 分nn显然，11 2aSSnnn ． …………………10 分nnn(2) 仅需考虑 a a 同号的情况．不失一般性，可设 a a 均为正（否则, ,nn 1nn 1将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则SSSn ，故必有n 1nn 1S n Sn ，,1nn 1此时an nan n ， 1,1nn 1从而a an n n nn n n n ．n n1(1)(1) (1)(1) 1…………………20 分11.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 y 24x 的过点 F (1, 0) 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分APB ，求 PF 的所有可能值．AyB y Py1 ,,2 ,,3,1, 2, 3yyy222解：设，由条件知 y y y 两两不等且非零．1234 4 4设直线 AB 的方程为 x ty 1，与抛物线方程联立可得 yty ，故24 4 0y y． ①1 24注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为 xydx ey ，与 22yyd 24x 联立得，y y y y这四个不1yey 0 ．该四次方程有 1, 2,3, 0241644祝君金榜题名同的实根，故由韦达定理得y y y，从而1 2 3 0 0y yy．②3 ( 1 2 )…………………5 分PA FA y因PF平分APB，由角平分线定理知，PB FB y，结合①、②，有122y y2 23 1 2(y y)22 3 1 2 2 2y PA 4 42 (y y) y16(2y y)1 2 1 1 212 2 2y PB y y y y y y y2 2 2 2 2 2( ) 16(2 )2 3 2 2 1 2 2 2 1(y y)3 24 4(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 22 1 2 2 1 ，………………10 分(y8) 16(4y y16) y64y1922 2 2 2 4 21 2 1 1 2即16 64 12 22192 12 2664 22 12192 22y y y y y y y y，故(y y)(y y y y192) 0 ．2 2 4 2 24 1 2 1 1 22当 2 2 3 0y y时，y y，故y，此时P与O重合，与条件不符．1 2 2 1当14 122224192 0y y y y时，注意到①，有(y y) 192(y y) 208．…………………15 分2 2 22 1 2 1 2因12 22 4 13 8 2 1 2 1 2 4 13 1, 2y y y y，故满足①以及y y的实数2 2y y存在，对应可得满足条件的点A, B．此时，结合①、②知PF．y3 1 (y1 y2 ) 4 y1 y2 4 208 4 13 12 2 2 24 4 4 4…………………20 分5。

2018年全国初中数学竞赛湖北赛区初赛试题

第8题X ︒76︒124︒40︒120︒60︒图1FEB A 2018年全国初中数学竞赛湖北赛区初赛试题（时间120分钟，满分120分）一、选择题：（每小题5分，共30分）1．若x ＜-2,则y =x +-11等于（）．A 、2+xB 、-2-xC 、xD 、-x 2．在⊿ABC 中,∠A =60°,AC =1,BC =3那么为（）．A 、60°B 、60°或120°C 、30°或150°D 、30°3．如图，点P 为弦AB 上的一点，连接OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ．若AP =8,PB =2,，则PC 的长是（） A 、4 B 、22 C 、5 D 、无法确定4．如图，一块边长为5㎝的正方形钢板的一角被割去一个边长为1㎝的小正方形，一条直线把这块钢板分为面积相等的两部分．则这样的直线有（）条． A 、1 B 、3 C 、5 D 、无数5．已知：如图1，点G 是BC 中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2㎝的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G →C →D →E →F →H ，相应的⊿ABP 的面积y （㎝2）关于运动时间t (s)的图象如图2，若AB =6㎝，则下列四个结论中正确的个数有（）． ①图1中BC 的长是8㎝；②图2中的点M 表示第4秒时，y③图1中的CD 长是4㎝；④图2中的N 点表示第12秒时，yA 、1个B 、2个C 、36100元但不超过300付款80元和252元．如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（）． A 、288元 B 、332元 C 、288元或316元D 、332元或363元二、填空题：（每小题5分，共30分）7．已知m 是方程x 2-2x -1=0的根，则代数式(m -1)2-﹙m -3﹚﹙m +3﹚-﹙m -1﹚·﹙m -3﹚的值为．8．三个正方形连成如图所示的图形，则x 的度数为．第3题A第4题第12题第11题A 'Q PN M B A9．已知3122sin 602cos 451x x +=+??,则)225(423---÷--x x x x 的值为．10．如图，创新广场上铺设了一种新颖的石子图案，它由五个过同一点且半径不同的圆组成，其中阴影部分铺黑色的石子，其余部分铺白色的石子。

2018年全国高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学竞赛试题2018年全国高中数学竞赛试题是高中学生们用来展示自己数学才能的重要考试。

本文将分析该考试试题的难度和内容，并探讨其对学生数学能力的要求。

首先，我们来看一下2018年全国高中数学竞赛试题的整体难度。

根据学生们的反馈和考试后的统计数据，该试题的难度较大。

其中一些问题涉及到高等数学的知识和概念，对学生的推理和解题能力提出了很高的要求。

其次，我们来分析2018年全国高中数学竞赛试题的内容。

整个试卷由选择题和解答题两个部分组成。

选择题主要涵盖了数论、代数、几何等数学相关的知识点。

这些选择题通过简洁清晰的语言描述问题，并要求学生选出正确的答案。

解答题则要求学生从实际问题出发，进行推理、计算和解决问题的过程。

这些解答题不仅考察了学生的数学知识，还考察了学生的分析能力和解决问题的思路。

此外，2018年全国高中数学竞赛试题还在难度上进行了适当的增加。

这样做的目的是为了激励学生们更加努力地学习和提高自己的数学水平。

这些增加的难题旨在考察学生的数学思维方式和解决问题的能力，使学生能够更好地应对未来学习和工作中的复杂数学问题。

综上所述，2018年全国高中数学竞赛试题是一套难度适中、内容丰富的试题。

通过这样的考试，学生们可以展示他们在数学方面的才能和潜力。

同时，这些试题还能够提高学生的数学思维能力和解决问题的能力，对他们今后的学习和发展有着积极的促进作用。

当然，与考试试题的难度和内容相比，学生们在备考过程中的努力和准备也是至关重要的。

只有通过不断的学习和练习，才能更好地理解和掌握数学知识，应对各种各样的数学竞赛试题。

因此，学生们需要制定科学合理的学习计划，并积极参加各种数学竞赛活动，不断提高自己的数学水平和竞赛能力。

最后，希望广大学生们能够充分利用2018年全国高中数学竞赛试题，不仅仅是作为一次考试，更是一次锻炼和成长的机会。

相信通过不断的努力和坚持，每一个学生都能在数学竞赛中取得优异的成绩，展现自己的才能和潜力。

高中数学竞赛分类：集合-1981-2018年历年数学联赛48套真题分类汇编含详细答案

1981年--2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编1、集合部分2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是◆答案：31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1 =，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X 中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。

★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是集合{}1,,2,1-m 的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1, ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法.因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：()[]()12122122111111+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n nm m n m n nm mn m n 由于有序集合对),(Y X 有()()()2121212-=--nnn个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()()124122122+-=-+⋅--n n n n n n n 2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21 ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+ 设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡∙-∙=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m-=2017B 四、（本题满分50分）。

五年级下册数学竞赛奥数试题-2018年第15届希望杯邀请赛第1试试卷

五年级下册数学竞赛奥数试题-2018年第15届希望杯邀请赛第1试试卷2018年⼩学第⼗五届“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试试题以下每题6分，共120分。

1、计算：1.25×6.21×16＋5.8＝。

2、观察下⾯数表中的规律，可知x＝。

3、图1是⼀个由26个相同的⼩正⽅体堆成的⼏何体，它的底层由5×4个⼩正⽅体构成，如果把它的外表⾯（包括底⾯）全部涂成红⾊，那么当这个⼏何体被拆开后，有3个⾯是红⾊的⼩正⽅体有块。

4、⾮零数字a，b，c能组成6个没有重复数字的三位数，且这6个数的和是5994，则这6个数中的任意⼀个数都被9整除。

（填“能”或“不能”）5、将4个边长为2的正⽅形如图2放置在桌⾯上，则它们在桌⾯上所能覆盖的⾯积是。

6、6个⼤于零的连续奇数的乘积是135135，则这6个数中最⼤的是。

7、A，B两桶⽔同样重，若从A桶中倒2.5千克到B桶中，则B桶中⽔的重量是A桶中⽔的重量的6倍，那么桶B中原来有⽔千克。

8、图3是⼀个正⽅体的平⾯展开图，若该正⽅体相对的两个⾯上的数值相等，则a—b×c的值是。

9、同学们去春游，带⽔壶的有80⼈，带⽔果的有70⼈，两样都没带的有6⼈，若两样都带的⼈数是所有参加春游⼈数的⼀半，则参加春游的同学有⼈。

10、如图4，⼩正⽅形的⾯积是1，则图中阴影部分的⾯积是。

11、6个互不相同的⾮零⾃然数的平均数是12，若将其中⼀个两位数ab换成ba，（a，b是⾮零数字），这6个数的平均数变成15，所有满⾜条件的两位数ab共有个。

12、如图5，在△ABC中，D，E，分别是AB，AC的中点，且图中两个阴影部分（甲和⼄）的⾯＝。

积差是5.04，则S△ABC13、松⿏A，B，C共有松果若⼲个，松⿏A原有松果26颗，从中拿出10颗平均分给B，C，然后松⿏B拿出⾃⼰的18颗松果平均分给A，C，最后松⿏C把⾃⼰现有的松果的⼀半平分给A，B，此时3只松⿏的松果数量相同，则松⿏C原有松果颗。

高中数学竞赛模拟试题(第一试)及参考答案

高中数学竞赛模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．若对任意[],2x a a ∈+均有2x a x +≥，则实数a 的取值范围是解：22323204602x a x x ax a a a +≥⇔--≤⇒+≤⇒≤-． 2．已知()220x y ≥>，则x y +的最小值为解：(221212x x x y y y ⎫+≥⇒≥⇒≥⎪⎪⎭（利用函数单调性）12x y y y+≥+≥，等号当且仅当1x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为2． 3．用[]x 表示不超过x 的最大整数.则211sin ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣等于解：22110sin20142014sin <<⇒>，222111tan 120152014sin tan >⇒=+<，所以2120141sin ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎢⎣．4．已知()()()()()21,,()21n n fx f x f x f x f x f f x x ===+个则12n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 解：1222211111111111121n nn n n n n ff f f f f x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒+=+==+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2132n n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上，112,2A E ED DF FC ==.则三棱锥1B FEC -的体积为解：如图，作111FF C D ⊥,连接11B F 交1EC 于点K 三棱锥1B FEC -的体积为115327BFK EC S =△．6．已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为解：（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==. 又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=,所以22221()124PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为14.（2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图所示，设1,(01),(0)2BC CR x x BRQ παα==≤≤∠=<<,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠= 在Rt CPR ∆中，,sin sin CR xPR αα== 在BRQ ∆中，31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=+, 由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44xPQ RB xB PQB αππα-=⇔=⇔∠+1sin cos 2sin x ααα=+，因此2221111()()22sin 2cos 2sin PQR x S PR ααα∆===+. 这样，PQR ABCS S ∆∆2222111()cos 2sin (12)(cos sin )5αααα=≥=+++，当且仅当arctan 2α=取等号，此时PQR ABCS S ∆∆的最小值为15.7．设P 为抛物线22y x =上的一个动点，过P 作抛物线的切线与22:1O x y +=交于点,,M N O 在,M N 两点处的切线交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是8．选择集合{}()*1,2,,S n n N =∈的两个不同的非空子集A 和B ．则使B 中最小数大于A 中最大数的概率是设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n kn k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-，从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---，所以所有满足A 中最大数小于B 中最小数的集合对(A ，B )的个数为()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=--=-⋅-=-⋅+-∑．而所有的集合对(A ，B )的个数为()()2122nn --所以使B 中最小数大于A 中最大数的概率是()()1(2)212122n n nn --⋅+-- 二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）. 已知椭圆2222:1x y E a b+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q .求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.（略）10.（本小题满分20分）已知函数22()1n nx xf x x -=+，12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥ （略）11.（本小题满分20分）.已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>．证明：因为22221122112()n n n n n n n n n na b a b a b a b b a +++=+++++，所以49492222505011221111()2()i i i i i i ii a b a b a b a b b a ==+=+++++∑∑221122111122494449200.a b a b >++++⨯⨯≥+⨯=又1112n n n n n n a b a b a b ++=++，所以49505011111111124998100i i i a b a b a b a b a b ==++⨯>++≥∑. 所以222505050505050()2200200400a b a b a b +=++>+=.因此505020a b +>2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案加试一、（本小题满分40分）已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=+*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N∈，使得2015m a ，并说明理由．（Ⅰ）由13n n a a +=+得2211640n n n n a a a a +++++=，（1）同理可得222212640n n n n a a a a +++++++=，（2），由（1）（2）可知，2,n n a a +为方程2211640n n x a x a ++-++=的两根，又2n n a a +<，即有216n n n a a a +++=，即216.n n n a a a ++=- 因为121,5,a a ==所以n a 为正整数.（Ⅱ）不存在*m N ∈，使得2015m a .假设存在*m N ∈，使得2015m a ，则31m a .一方面，2214m m m a a a ++=+，所以21314m a ++,即214(mod31)m a +≡-，所以301530142(mod31)m a +≡-≡-. 由费马小定理知3021(mod31)≡，所以3011(mod31)m a +≡-，另一方面，1(,31)1m a +=.事实上，假设1(,31)1m a d +=>，则31d ，即31d =，所以131m a +，而21314m a ++，这样得到314.矛盾.所以，由费马小定理得3011(mod31)m a +≡.这样得到11(mod31)≡-.矛盾. 所以不存在*m N ∈，使得2015m a二、（本小题满分40分）如图，在等腰ABC ∆中，A B A C B C =>，D 为ABC ∆内一点，满足.DA DB DC =+ 边AB 的中垂线与ADB ∠的外角平分线交于点P ，边AC 的中垂线与ADC ∠的外角平分线交于点Q .证明： B C P Q 、、、四点共圆.三、（本小题满分50分）设p 为大于3的素数，证明：（1）()11pp -+至少含有一个不同于p 的素因子；（2）设()111inpi i p p α=-+=∏，其中12,,,n p p p 是互不相同的素数，12,,,n ααα为正整数，则212ni i i p p α=≥∑.四、（本小题满分50分）设X 是非空有限集合，12,,,k A A A … 是X 的k 个子集，满足下列条件：(1) 3,1,2,,i A i k ≤=…; (2) X 中任意一个元素属于12,,,k A A A …中的至少4个集合.证明：可从12,,,k A A A …中选出37k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个集合，使得它们的并集为X .解：令{}12,,,k S A A A =.现依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增3个，选出所有这样的集合后，不妨设{}3312,,,a S A A A =，30a ≥，又设33S X =，其中333X a =.因为3S 已是满足以上性质的最大集合，则对于剩下的任意集合3,i A i a >，有()32iA X X -≤.类似地，在集合3X X -中依次选定集合i A ，使得这些集合的并集i A 的元素个数每次递增2个，不妨设这些集合{}3332212,,,a a a a S A A A +++=全部被选出，则有()232S X X X ⋂-=，且222X a =；同理，对于剩下的任意集合23,i A i a a >+，有()321iA X X X --≤.类似地，{}3232321112,,,a a a a a a a S A A A ++++++=，以及321X X X X --=，注意到32112323X X X X a a a =++=++，323S S S X ⋃⋃= 且321123S S S a a a m ++=++=即为上述选定集合所满足的关系，现说明37km ≤. 注意到1X 中的每一个元素至少出现4次，但11iA X ≤，32i a a ≥+，因此有：3214k a a a ≥++ (1)在12X X +中，每个元素也至少出现4次，但()122iA X X +≤，3i a ≥，因此有：()21332124422a a k a aa a +≥+=++ (2)在X 中，每个元素也至少出现4次，因此有：()3213243a a a k ++≥ (3)现考虑20*(1)12*(2)27*(3)++，()12359140k a a a ≥++，所以5931407k m k ≤<，即为所求.。

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

则(�� + ��)��2 + 2(�� − ��)�� + 2 = 0，
整理得：(��2 + 2�� + 2) + (��2 − 2��)�� = 0
由图结合对称性得：
��1 = �� − 2, ��2 = 2�� − [4 + 2(2�� − 6)] = 8 − 2�� 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ��(��) ≤ 2在[1，2]内
分析：�� + ��为偶数，则��与��奇偶性相同，
故当�� ≥ 2 时，
�� = √�� ± √�� − 1 ≤ √�� + √�� − 1 < 2√�� (2) ��与��+1异号时结论显然成立，
当��与��+1同号时：由(1)得�� = ±√��，不妨得：�� = √�� − √�� − 1
6. 设复数��满足|��|=1，使得关于�� 的方程z��2 + 2��̅�� +
2 = 0有实根，则这样的复数��的和为

2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛试题及答案

21．（1）解：由
，得
，即 a2=4b2，∴椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2=4b2．又椭圆
.................. ；
C 过点 P （2， ﹣ 1）， ∴4+4=4b2，得 b2=2，则 a2=8． ∴椭圆 C 的方程为
4分
（2）证明：由题意，直线 PA 斜率存在，设直线 PA 的方程为 y+1=k（x﹣2），
即
=
，.................. 10 分
∴直线 AB 的斜率为
．..................12 分
22.（1）由 f ' ( x )
nx n2 ' ， f (2) ，由于函数 f ( x ) 在 (2, f (2)) 处的切线与直线 x y 0 平行， 2 x 4
故故 f ( x ) 在 [1, ) 上的最大值为 f (1) m n ； ②当 n 1 ， f ( x ) 在 [1, n) 上单调递增，在 ( n, ) 上单调递减，故 f ( x ) 在 [1, ) 上的最大值为 f ( n) m 1 ln n ；综上①当 n 1时， f ( x ) 在 [1, ) 上的最大值为 f (1) m n ； ②当 n 1 ， f ( x ) 在 [1, ) 上的最大值为 f ( n) m 1 ln n ；.................. 6 分
（3）函数 f ( x ) 恰有两个零点 x1 , x2 (0 x1 x2 ) ，
则 f ( x1 ) 可得 m 令t
mx1 1 mx 1 ln x1 0, f ( x2 ) 2 ln x2 0 ， x1 x2

高等数学竞赛模拟试题【精品】

1 1 a + b f (b) = f (a) + (b − a ) f ' (a ) + f ' (b) + 4 f ' − (b − a ) 5 f (5) (ξ ). 6 2 2880
四、（本题满分 14 分）求经过三条平行直线 L1 : x = y = z ， L2 : x − 1 = y = z + 1 ， L3 : x = y + 1 = z − 1 的圆柱面的方程.
（2）求
∑
k =1
1
∏ ( k + m)
m =0
2017
.
第九届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题（二）第 1 页共 2 页
三、（本题满分 14 分）计算三重积分
∫∫∫ xyzdxdydz ，其中 Ω 位于第一象限，由下列曲面所围成：x
Ω
2
+ y 2 = mz ，
x 2 + y 2 = nz ， xy = a 2 ， xy = b 2 ， y = αx ， y = βx ，其中 0 < a 0) 条件收敛的 p 的取值范围为
.
3.设 f (u , v) 具有一阶连续偏导数，且满足 f (tu , tv ) = t 2 f (u , v) ， f (1,2) = 0, f u (1,2) = 3 ，
n →∞
. .
2.设 f ( x) =
∫
1
0
ln x − t dt ，则 max f ( x) =

2018全国高中数学联赛模拟试题1及参考答案

⎫ ⎩ ⎭⎪ + 2高中联赛模拟试题 1一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 设集合 A = {x -2 ≤ x < 5}， B = ⎧x 3a > 1．若A B ≠∅ ，则实数 a 的取值范围是．⎨ x - 2a ⎬2. 已知甲、乙两只盒子中装有相同规格的乒乓球，其中，甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅有三个白球．若从甲盒中任取三个放入乙盒中，则从乙盒中任取一个是红球的概率是．2 c os 2 ⎛ 1 x - 1 ⎫- x3. 函数 f ( x )= ⎝ 2 2 ⎭ 的对称中心的坐标为．x - 1V + V 4. 已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，O 是四棱锥内任意一点．则四面体OSAB 四面体OSCD=V 四面体OSBC + V 四面体OSDA．5. 在椭圆 x2 = 1(a > b > 0) 中，记右顶点、上顶点、右焦点分别为 A , B , F ．若 ∠AFB = ∠BAF + 90 ，a b则椭圆的离心率为．6. 平面上 n 个三角形最多把平面分成部分．sin2π ⋅ sin 8π7. 计算：15 15= ．cos π⋅ cos 2π ⋅ cos 4π 5558. 设复数 α, β ,γ , z 满足 α + β + γ = αβ + βγ + γα = αβγ = 1．则 α - z + β - z + γ - z 的最小值为．2 y 2( )二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 已知动直线 l 过定点 A (2, 0) 且与抛物线 y = x 2 + 2 交于不同的两点B ,C ．设 B , C 在 x 轴上的射影分别 PB为 B 1 ,C 1 ． P 为线段 BC 上的点，且满足 PC= ，求 ∆POA 的重心的轨迹方程．10. 设 f ( x ) = sin x ．已知当 x ∈[0,π ]时，有 sin x + 1 ≥ 2x + cos x ．π证明： f ⎛ π ⎫ + f ⎛ 2π ⎫ + + f ⎛ (n + 1)π ⎫ ≥ 3 2 (n + 1) ． 2n + 1⎪ 2n + 1⎪ 2n + 1 ⎪ 4(2n +1) ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭p11. 已知 p 为大于 3 的素数．求 ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数．k =1高中联赛模拟试题 1加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）已知a, b, c∈，且3 9a + 3 3b + c = 0 ．证明：a = b = c = 0二、（本题满分 40 分）a2b2 b2c2 c2 a2 3( 3 -1)已知正实数a, b, c 满足a2 + b2 + c2 = 1．证明：++≥．abc + c4abc + a4abc + b4 2三、（本题满分 50 分）已知圆Γ 内有两定点A 、B ，过A 作一动弦CD ，延长CB 、DB ，与圆Γ 分别交于点E 、F ．证明：弦EF 通过一个与C 、D 无关的定点．四、（本题满分 50 分）在80 座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：（1）任意一座城市至少与七座城市有直航；（2）任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的正整数n ，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过n 次直航到达．C3 3高中联赛模拟试题 1解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 0 < a < 5或 -1 < a < 0 ．2解析：由题意可知 B = {x 2a < x < 5a , a > 0}⋃{x 5a < x < 2a , a < 0}．又因为 A ⋂ B ≠ ∅ ， ⇒ 0 < 2a < 5或 - 2 < 2a < 0 ．2.1． 4C k C 3-k解析：由题设知乙盒中红球个数的可能值 ξ =0，1，2，3 ．故 P (ξ = k ) = 3 3(k = 0,1, 2,3)．从而得出6P ( A ) = ∑P (ξ = k )P ( A ξ = k ) = 1．k =04 3.(1, -1) ．解析：由题设知 f ( x ) = cos ( x -1) - 1 ．因为 g ( x ) = cos x为奇函数，其对称中心为 (0, 0) ，故 f ( x ) 的对称中心为 (1, -1) ．x -1 x4. 1．解析：延长 SO 与底面 ABCD 交于点 X ．由底面 ABCD 是平行四边形，⇒ S ∆XAB + S ∆XCD = S ∆XBC + S ∆XDA ⇒ V 四面体OSAB + V 四面体OSCD = V 四面体OSBC + V 四面体OSDA5. 5 -1 ．2解析：设左焦点为 F '．则由 ∠AFB = ∠BAF + 90⇒ ∠AF ' B + ∠BAF ' = 90⇒ AB ⊥ BF ' ．又 AB 2= a 2 + b 2 , BF ' 2= a 2 , AF ' 2= (a + c )2．由勾股定理知 a 2 + b 2 + a 2 = (a + c )2，由此， ⇒ c = 5 - 1 ．a 26.3n 2 - 3n + 2 ．解析：设 n 个三角形最多把平面分成 S n 个部分． S 1 = 2 ．因为任意一个三角形与另一个三角形至多有 6 个交点，这些交点将该三角形的周长分成至多 6(n - 1)1 12 2 0 0⎨ 1 , 段，每一段将其所在平面一分为二，增加了 6(n - 1) 个部分．从而 S n - S n -1 = 6(n - 1)(n ≥ 2) ．7.-2 ．解析：sin 2π ⋅ sin 8π8sin πsin 2π sin 8π4sinπ ⎛cos 2π - cos 2π ⎫2⎛sin 3π - sin π ⎫ + 2sin π 15515155 53 ⎪5 5 ⎪ 5 cos π⋅ cos 2π⋅ cos 4π ==cos 8π⎝⎭ = cos 8π⎝⎭ ．sin 8π5 5 55558.1 +．解析：注意到 α, β ,γ 为一元三次方程 x 3 - x 2 + x -1 = 0 的根，从而可令α = i , β = -i ,γ = 1．在复平面上，⎛ 3 ⎫令 α, β ,γ 分别对应于点 A (0,1), B (0, -1),C (1, 0) ．当 z 取到 ∆ABC 的费马点 ,0⎪ 时取值最小． 3⎪ ⎝⎭二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分） 9. 当 l ⊥ x 轴时，直线 l 与抛物线不可能有两个交点．故设直线l : y = k ( x - 2)．与抛物线的方程联立得： x 2 - kx + 2k + 2 = 0 ．（1）由 ∆ > 0 ⇒ k > 4 + 2 6或k < 4 - 2 6 ．（2）设 B ( x , y ),C ( x , y ), P ( x , y ) ．则 ⎧x 1 + x 2 = k , （3）BP 令 λ = CP===2 - x 1 2 - x 2⎩x 1 x 2 = 2k + 2.（4）⎧ ⎪⎪x = 设重心 G ( x , y ) ．则 ⎨ (2 + x 0 ), 3 ．将式（2），（3），（4）代入，并注意到 y = k ( x- 2)得： 0 0⎪ y = y .⎪⎩ 3 0⎧x = 4 - 4k ⎪⎪ 3(4 - k ) ⎨⇒ 12x - 3y - 4 = 0 ．从而得 k = 4 y ，代入（2）式得： ⎪ y = ⎪⎩-4k 4 - k y - 44 - 4 6 < y < 4 或 4 < y < 4 + 4 6 ，因此中心 G 的轨迹方程为：3 3⎛ 4 6 4 6 ⎫ 12x - 3y - 4 = 0 4 - < y < 4或4 < y < 4 +． 11⎝⎭ 33 ⎪⎪1- ，故⎝ ⎭ 3 ( ) ( ) 10. 由已知条件 ⇒ sin x - cos x ≥ 2x -1 ⇒2 sin ⎛ x - π ⎫ ≥ 2x -1 ．又当1 ≤ k ≤ n + 1时，0 ≤ k π + π ≤ π ．π4 ⎪π 2n +1 4 ⎝ ⎭而 2 sin k π ≥ 2 ⎛ k π + π ⎫ -1 = 2k 12n + 1 π 2n +1 4 ⎪2n +1 2⎡ ⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ (n + 1)π ⎫⎤ n +1 ⎛ 2k 1 ⎫ 3(n + 1) 2 ⎢ f ⎪ + f ⎪ + + f⎪⎥ ≥ ∑- ⎪ = ⎢⎣ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭⎥⎦ k =1 ⎝ 2n + 1 2 ⎭ 2(2n +1)⎛ π ⎫⎛ 2π ⎫⎛ (n + 1)π ⎫ 3 2 (n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪ ≥ ． ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ 4(2n +1)11. 注意到 k ≠ 1时， k 2 + k + 1 = k -1．而当 k 取遍 2,3, , p 时，分母 k -1 取遍1, 2, , p -1．k -1由费马小定理， x p -1 ≡ 1(mod p ) 在1 ≤ x ≤ p 恰有 p -1 个解．（1）当 p ≡ 1(mod3 )时， x 3 -1 为 x p -1 -1 的因子，于是 x 3 -1 ≡ 0(mod p )在1 ≤ x ≤ p 内恰有三个解．于是当 k 取遍 2,3, , p 时，分子 k 3 -1 中恰有两项为 p 的倍数，而分母不含 p 的因子． p故 ∏ k 2 + k + 1 ≡ 0(mod p ) ．k =1（2）当 p ≡ 2(mod 3)时，3 与 p -1 互素，于是存在整数 a ,b 使得 3a + ( p - 1)b = 1．假设有一个 2 ≤ k ≤ p 满足 k 3 ≡ 1(mod p ) ．由费马小定理得 k ≡ k 3a +( p -1)b ≡ 1(mod p )，矛盾．因此， x 3 -1 ≡ 0(mod p )只有 x ≡ 1(mod p ) 这一个解．故当 k 取遍1, 2, , p 时， k 3 除以 p 的余数两两不同，正好也取遍1, 2, , p ．从而当 k 取遍 2,3, , p 时， k 3 -1 除以 p 的余数取遍1, 2, , p -1．p3p p3故 ∏ k -1 ≡ 1(mod p ) ⇒ ∏ (k 2 + k + 1) ≡ 3 ∏ k -1 ≡ 3(mod p ) ．k =2 k -1 k =1 k =2 k -1p综上， ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数为 0 或 3．k =1(( ) ( ) ( )) ( ) t 1一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分显然， 3 9 、 33 为无理数，且若 a , b , c 中有一个为 0，则其余两个也为0．下面假设 a , b , c 均不为 0．易证明：若 a , b , c 均为非 0 有理数，且 3 9a + 3 3b + c = 0 ；（1）d ,e ,f 均为非 0 有理数，且 3 9d + 3 3e + f = 0 ，则 a = b = c ．d e f（1）式两边同时乘以 3 3 得 39b + 3 3c + 3a = 0 ；（1）式两边同时乘以 3 9 得 3 9c + 3a 3 3 + 3b= 0 ．于是， b = c = 3a= k ．（2）c 3a 3b由 a , b , c 均为非 0 有理数知其中必有两个同号．结合（2）式，知 a , b , c 同号．从而（1）式左边不为 0，矛盾． ⇒ a = b = c = 0 ．二、（本题满分 40 分）x 2 y 2 z 2令 a 2 = yz ,b 2 = zx , c 2 = xy ．则 xy + yz + zx = 1．原式左边 = + + x + yz y + zx z + xy．由柯西不等式得：⎛ x 2y 2 z 2 ⎫ 2+ + ⎪x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z ⎝ x + yz y + zx z + xy ⎭x 2y2z 2( x + y + z )2( x + y + z )2⇒+ + ≥ = x + yz y + zx z + xy x + y + z + ( yz + zx + xy ) ． x + y + z + 1由 ( x + y + z )2≥ 3( x y + yz + zx ) ⇒ x + y + z ≥3 ．令 t = x + y + z ≥ 3 ．2 因为 f (t ) = = (t + 1) + - 2 ，在区间[ 3, +∞) 上单调递增，所以：t + 1 t + 1 33( 3 - 1)原式左边 ≥ f (t ) ≥ =．3 + 12三、（本题满分 50 分）连结 AB 并延长与圆 Γ 交于点 G ， H ，与弦 EF 交于点 P ．设 ∠ECD = ∠EFD = α,∠CDF = ∠CEF = β .由 S ∆ABC ⋅ S ∆PBF ⋅ S ∆ABD ⋅ S ∆PBE = 1 ，得 AC ⋅ BC sin α ⋅ PB ⋅ FB ⋅ AD ⋅ BD sin β ⋅ PB ⋅ EB = 1．S ∆PBF S ∆ABD S ∆PBE S ∆ABC PF ⋅ BF sin α AB ⋅ DB PE ⋅ BE sin β AB ⋅ C B 整理得 PB 2 ⋅ AC ⋅ AD = AB 2 ⋅ PE ⋅ PF ．在圆 Γ 中，由相交弦定理得：PB 2 ⋅ AG ⋅ AH = AB 2 ⋅ PG ⋅ PH ．（1）设 AB = a , PB = b , BG = c > a , BH = d > b ，其中， a , c , d 为常数， b 未定．则（1）式 ⇔ b 2 (c - a )(d + a ) = a 2 (d - b )(c + b ) ．整理得 ((c - a )d + ac )b 2 + a 2 (c - d )b - a 2cd = 0 ．该二次方程的二次项系数与常数项符号相反，因此有且仅有一个正数解．故 b 是定值．即 BP 是定值．从而无论 C , D 如何选取， EF 总是与 AB 交于一个固定点 P ．四、（本题满分 50 分）n 的最小值为 27．若两座城市可以通过有限次直航来连接，称这两个城市”通航”．首先证明： n ≤ 27 ．反证法：若 n ≥ 28 ，不妨设有两座城市 A 1 到 A 29 间至少经过 28 次到达．设城市 A 1 到 A 29 的一个最短连接路线为 A 1 → A 2 → → A 29 ．因为每一座城市至少和七座城市通航，所以， A 1 , A 29 与除去 A 2A 28 以外的至少六座城市通航，城市 A 2A 28 与除去 A 1A 29 以外的至少五座城市通航．设 A = {A 1 , A 2 , , A 29 } ．设分别与城市 A 1 , A 4 , A 7 , A 10 , A 13 , A 16 , A 19 , A 22 , A 25 , A 29 通航，且不属于 A 的所有城市组成的集合为 X i (i = 0,1, , 9)．易知， X 0≥ 6, X 9 ≥ 6, X i ≥ 5(i = 1, 2, ,8)．又 X i ⋂ X j = ∅(i ≠ j ) ，否则，城市 A 1 , A 29 之间有更短的连接路线．故 A ⋃ ( X 0 ⋃ X 1 ⋃ ⋃ X 9 ) ≥ 29 + 6 ⨯ 2 + 5 ⨯ 8 = 81 > 80 ，矛盾．从而 n ≤ 27 ．其次证明： n = 27 是可以的．事实上，取 28 座城市 A 1 , A 2 , , A 28 与城市集合 X i (i = 0,1, , 9)．当 i = 0, 9 时， X i= 6 ；当 i = 1, 2, ,8 时， X i= 5 ，且对于 0 ≤ i < j ≤ 9 ， X i ⋂ X j = ∅ ， X i 中不包含城市 A 1 , A 2 , , A 28 ．对于1 ≤ k ≤ 8 ，城市 A 3k , A 3k +1 , A 3k +2 与集合 X k 中所有的城市通航；城市 A 1 , A 2 与集合 X 0 中所有的城市通航；城市 A 27 , A 28 与集合 X 9 中所有城市通航；集合 X i (0 ≤ i ≤ 9)中任意一座城市与上述的城市 A s 通航，与且仅与集合 X i 中其余城市通航；城市 A i 与 A i +1 (i = 1, 2, , 27) 通航．这样，城市 A 1 A 28 至少与七座城市通航，集合 X i 中任意一座城市均只与七座城市通航，且城市A 1 A 28 至少经过 27 次直航来连接．因此， n = 27 ．。

2018年六年级奥林匹克数学竞赛模拟试题

乙仓库原有的快件数之比是 4 : 3 ，再从乙仓库发走快件 560 件，则乙仓库余下的快 1
件数比甲仓库余下的快件数的还要多 210 件，请你求出：甲、乙两个仓库原有快
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件多少件？
2.下图中 ABC 被线段 ED 分成甲、乙两部分， AE 2 AB, BD 1 BC 。请问：
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甲、乙两部分的面积比是多少？
学校________________ 班级_________________ 姓名_______________ 学号_____________
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2018 年六年级奥林匹克数学竞赛模拟试题
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4.快车和慢车同时从两地相对开出，快车每小时行 48 千米，慢车的速度是快车的，
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两车开出后行驶 2 小时的路程正好是两地距离的 60%，求两地的距离。
六、应用题（每题 7 分，共 35 分） 1.甲、乙两个仓库共有粮食 600 吨，如果从甲仓库调出 10%，送入乙仓库，则甲、乙
仓库的粮食质量比是 3 : 2 。甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨？
5.商店里进了 1200 件西服，每件成本 80 元，按 25%的利润定价出售，当卖出这批西服的 80%以后，剩下的打九折出售，剩下的衣服共卖多少元？
学校________________ 班级_________________ 姓名_______________ 学号_____________
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2009-2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)

60° ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．3.将1, 2, 3，4，5，6 随机排成一行，记为,,,,,,f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为 .4.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的左、右焦点分别是 F 1、F 2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PT PV PS PU ,,, 的长分别为1，2，3，6 ，则△PF 1F 2 的面积为．5.设)(x f 是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，满足2)2(,1)(==ππf f ,且在区间[0，1]上严格递减，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为．6.设复数 z 满足1||=z ，使得关于 x 的方程0222=++x z zx 有实根，则所有 z 的和为．7.设O 为△ABC 的外心，若 AC AB AO 2+=，则ABC ∠sin 的值为．8. 设整数数列10321,...,,,a a a a 满足5821102,3a a a a a =+=，且{},9,...,2,1,2,11=++∈+i a a a i i i 则这样的数列的个数为．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分 16 分）已知定义在R +上的函数 f (x ) 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=9,490|,1log |)(3＞＜x x x x x f .设a , b , c 是三个互不相同的实数，满足f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求abc 的取值范围． 10.（本小题满分 20 分）已知实数列,...,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有1)2(=-n n n a S a ，其中S n 表示数列的前n 项和．证明：对任意正整数n ，有①n a n 2＜；②11＜+n n a a ． 11.（本小题满分 20 分）平面直角坐标系 xOy 中，AB 是抛物线24x y =的过 F (1, 0) 的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分∠APB ，求|PF|的所有可能值．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为平稳数.平稳数的个数是 .5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC △的面积为3，则ANAM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b . 10.（本小题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最值. 11. （本小题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z . （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 .2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，则)2)(2(w z w z -+的模为 .3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 .4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M-BC-A 的大小为 . 6．设函数10cos 10sin )(44kxkx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为 .7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 .8．4321,,,a a a a 是1，2，…，100中满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++的4个互不相同的数，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 .二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）在ABC △中，已知CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32．求C sin 的最大值．10.（本小题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x xf =-． 12.（本小题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．2015年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f ＝ . 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα+的值为 . 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示nz 的共轭复数，则2015z 的值为 .4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 .7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 .8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则()()N P N Q -的值为 .二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本小题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424abcabc+=+=，求c 的最小值. 10.（本小题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得{}311424,2,,,1,328ija ai j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭，求1234a a a a +++的值.11.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若正数b a ,满足)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则ba 11+的值为_________.2.设集合}21|3{≤≤≤+b a b a中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=________.3.若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______.4.数列}{n a 满足)(1)2(2,211⋅+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________. 5.已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________.6.设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。

高中数学竞赛模拟试题 1

全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2kk e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O A B C 中,若点O 处的三条棱两两垂直,且长度均为,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由A B C ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将A B C ∆分割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以F A 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:F M F N F A +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a b b b b b b ++=++,且123m in{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123m ax{,,}a a a 123m ax{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形A B C D 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且A B C ∠与A D C ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在A C 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i A B C ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a b c =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.。

第十届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题(一)

龚宗浩：菜没油 1绝密☆启用前第十届全国大学生数学竞赛初赛模拟试题(一)(非数学类)注意:1. 本试题中有且仅有题目和解答均属扯淡。

2. 上一句的否命题正确。

3. 略。

一．填空题1.()()1120112lim sin x x x x x x →+-+=___________2.设()1arctan 1x f x x-=+,则()()0n f =_________ 3.由曲线2232120x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(处的指向外侧的单位法向量为_________4.()()1cos 3sin 5dx x x =++⎰___________ 5.22110x y y e dy e dx x ⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰___________ 二．(1)证明:()2n n f x x nx =+-(n 为正整数)在()0,+∞上有唯一正根n a .(2)计算()lim 1nn n a →∞+.龚宗浩：菜没油 2三.设()()01210,1,2~2n n n x x x n x -+>==+证明:lim n n x →∞存在,并求之. 四.设n 为自然数,计算积分()2sin 21sin n n x I dx xπ+=⎰. 五.设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足012,1,1,2,3,n n a na a n n -==+-=…,求此幂级数的和函数()S x .六.已知()f x 二阶可导,且()()()()20,0,f x f x f x f x x R '''>-≥∈⎡⎤⎣⎦(1)证明:()()2121212,,2x x f x f x f x x R +⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭(2)若()01,f =证明:()()0,f x f x e x R '≥∈ 七．设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()11000, 1.f x dx xf x dx ==⎰⎰试证: (1)[]00,1,x ∃∈使得()04f x >;(2)[]10,1,x ∃∈使得()14f x =.。

数学竞赛模拟试题及答案

数学竞赛模拟试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，求$ f(-1) $的值为：A. 4B. 2C. -2D. 02. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定3. 若$ a $，$ b $，$ c $是三角形的三边长，且$ a^2 + b^2 = c^2 $，此三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 已知等差数列的前5项和为50，求第3项的值：A. 10B. 12C. 14D. 165. 一个正方体的体积为64，求其表面积：A. 96B. 128C. 192D. 2566. 函数$ y = \frac{1}{x} $在第一象限的增减性是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减7. 已知$ \sin \alpha = \frac{3}{5} $，$ \alpha $在第一象限，求$ \cos \alpha $的值：A. $ \frac{4}{5} $B. $ -\frac{4}{5} $C. $ \frac{3}{4} $D. $ -\frac{3}{4} $8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度：A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知$ \log_{2}8 = 3 $，求$ \log_{4}8 $的值：A. 1B. 2C. 3D. 410. 函数$ y = x^3 - 3x^2 + 2 $的导数是：A. $ 3x^2 - 6x $B. $ 3x^2 + 6x $C. $ x^3 - 6x^2 $D. $ x^3 - 9x $二、填空题（每题4分，共20分）11. 将$ 1 $小时$ 30 $分钟转换为分钟数，结果是________。

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2018年全国数学竞赛模拟试题(一)
一、选择题
1.已知有理数x 、y 、z 两两不等，则
y
x x
z x z z y z y y x ------,,中负数的个数是（） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
2.把10个相同的小正方体按如图的位置堆放，他的外表会有若干个小正方形，如果将图中表有字母P 的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬动前相比（） A.不增不减 B.减少1个 C.减少2个 D.减少3个
3.一椭圆形地块，打算分A 、B 、C 、D 四个局域栽种观赏植物，要求同一种区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现在有4种不同的植物可供选择，那么所有的种栽方案的个数为（）
A. 66
B. 72
C. 60
D. 84
4.甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写下已经写过的数的约数，最后不能写得为失败者，如果甲写第一个，甲要必胜，甲应写数字（） A. 10
B. 9
C. 8
D. 64
5. 如图, 边长为12m 的正方形池塘的周围是草地, 池塘边D C B A ,,,处各有一棵树, 且
===CD BC AB 3m. 现用长4m 的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上, 为了使羊在草地
上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在（）
A. A 处
B.B 处
C.C 处
D.D 处
6.某台球桌为如图所示的长方形ABCD , 小球从A 沿 45角击出, 恰好经过5次碰撞到达
B 处. 则B
C AB :等于（）
A. 1:2
B. 2:3
C. 2:5
D.3:5 7.对于方程5532
22=-b a
, 共有几对整数解（）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 5
8.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和m ，圆心距为n ，且2和m 都是方程x 2-10x+n=0的两根，则两圆的位置关系是( )
A. 相交
B. 外离
C. 内切
D. 外切二、填空题
9.若53=a ，85=a ，并且有正整数n 满足721=++++n n n a a a ，则=2005a ．
A D
B C P A B
C D 第6题第5题第3题第2题
10.已知x 、y 是实数且满足0222=-++y xy x ，设M=2
2y xy x +-，则M 的取值范围是．
11.只用圆规度量∠XOY 的度数，方法是：以顶点O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点A ，B （如图），在这个圆上顺次截取AB BC CD DE EF =====
,这样绕着圆
一周周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m 次截得的弧的末端恰好与点A 重合（m >n ），那么∠XOY 的度数等于 .
12．两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成一个大正方形. 图中Rt △ABC 的斜边AB 的长等于（用a ，
b 的代数式表示）.
13.如图，正方形ABCD 的边长为1，点M 、N 分别为BC 、CD 上的动点，且满足△CMN 的周长为2，则∠MAN ＝_______度.
14.在直角坐标系中有三点A(0,-1),B(1,3) C(2,6).已知直线y=ax+b 上横坐标为0，1，2的点分别为D ，E ，F ，试求a,b 的值使达到最小值2
2
2
CF BE AD ++ .
三、解答题
15.物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心. 例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等. （1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）.
O G F E D C B A
a
b
B
A
第11题第12题
第13题
16. 甲、一辆汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车生产厂订购一批汽车，甲开
始订购的汽车数量是乙订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所定的汽车中转让给乙6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车的数量是乙所购的2倍. 试问：甲、乙最后所购的汽车总数至多是多少辆？又至少是多少辆？
17.如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为
H，△OPH的重心为G.
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持
不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG∶PG∶HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长。

G
B
P
A
H
O
18.如图,在直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(1,0),点B 在x 轴上且在A 点的右侧,OA=AB,分别过点A 、B 作x 轴的垂线,与二次函数2
y x =的图象交于C 、D 两点,分别作y 轴的垂线,交y 轴于点E 、F,直线CD 交y 轴于点H.
(1)验证:29OACE S S =矩形梯形ECDF ：：；
(2)如果点A 的坐标改为(t,0)(t>0),其它条件不变,(1)题的结论是否仍然成立?请说明理
由.
(3)如果点A 的坐标改为(t,0)(t>0),二次函数2
y x =改为2
y ax =(a>0),其它条件不变,
记点C 、D 的横坐标分别为C D x x ，，点H 的坐标记为H y .试证明: 1
C D H x x y a
⋅=-
.。