大学物理 光栅衍射

K
P
E2
铅板 单晶片的衍射 1912年劳厄 1912年劳厄 悚
<
E1
劳厄斑点
照 像 底 片 单晶片
1913年英国布拉格父子提出了一种解释Ｘ射线 年英国布拉格父子提出了一种解释Ｘ 年英国布拉格父子提出了一种解释 衍射的方法，给出了定量结果，并于1915年荣获物 衍射的方法，给出了定量结果，并于 年荣获物 理学诺贝尔奖． 理学诺贝尔奖． 布拉格反射 入射波 散射波 晶格常数d 晶格常数 掠射角θ
I1 = 0 I = N 2 I1 = 0
该主明纹不出现——缺级 缺级 该主明纹不出现
光栅衍射图样的特点
1、主极大条件
r r A A 1 2
A= NA 1
r A N r A
δ = 2kπ，β＝kπ
A = NA 1
I = N 2 I1
亮度高
(k = 0， 1， 2 L) ± ±
π d sin ϕ β = = kπ λ
o
d = a + b = 10 −5 m
d sin ϕ = kλ
sin ϕ1 =
k = 1:
λ1 = 4 ×10 m
−7
λ1
d
= 0 ⋅ 04
= 0 ⋅ 07
λ2 = 7 ×10 −7 m
sin ϕ 2 =
λ2
d
∆x = f ( tgϕ 2 − tgϕ1 ) ≈ f (sin ϕ 2 − sin ϕ1 ) = 3(cm )
O
sinϕ
O
sinϕ
例： 一平行衍射光栅，每厘米刻 一平行衍射光栅，每厘米刻1000条，用可见光 条 垂直入射，缝后透镜焦距f 垂直入射，缝后透镜焦距 = 100cm 1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度 、 2、证明第二、三级光谱重叠 、证明第二、 3、 入射， 用红光λ = 7000 A 入射，b = 3a, 最多看到主明纹条数 解： 1.
⋅ ∆k ′
2λ 2λ ∆k ′ = 2： ∆ϕ = Nd cos ϕ ≈ Nd
N ↑ ：主明纹细窄
光栅分辨本领
由瑞利判据， λ1，λ2光第 k 级主明纹恰能分辨条件 ： 由瑞利判据，
λ1的主极大在 λ2相邻最近的暗纹处
d sin ϕ = kλ1
kN − 1 d sin ϕ = ⋅ λ2 N 1 = ( k − ) ⋅ λ2 N
(2) 中央明纹区域内主极大的条数 缺级条件
（ a） （ b） d = 2, a d = 4, a d = 1, a d = 3, a
d 2( ) − 1 a 进整
d k = a k′
缺级； ± 2缺级； ± 4缺级； 缺级；
（c） （ d）
缺级； ± 1缺级； 缺级； ± 3缺级；
(3) 相邻两条主明纹间有 相邻两条主明纹间有N-1条暗纹，N-2条次级大。 条暗纹， 条次级大。 条暗纹 条次级大
Pϕ
F
δ=
2π
λ
d sin ϕ
f
相同、相差依次为δ 的振动的合成。
★ P 点处的合振动为N个振幅相同、频率 ϕ
r AN
R
C
δ
Nδ
δ
δ δ
利用多边形法则，得P 点的合振幅： ϕ
r A
δ
sin N2δ sin Nβ = A1 A = A1 δ sin( 2 ) sin β
πd sin ϕ 其中β = = 2 λ δ
a ↑ ：I ↑ ；∆x ↓
不易 分辨
a ↓：∆x ↑；I ↓
2、单缝衍射的一个重要特点： ※ 单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下移动而变化
λ
a
O
λ a
O
光栅的构成
l N
★光栅常数d： a a+b b
l d = a+b = N
a—透光部分；b—不透光部分
光栅的分类
透射光栅
反射光栅
光栅衍射的实验装置
∆λ
λ2 − λ1 1 = = λ λ2 kN
∆λ
kλ1 d
kλ2 d (kN − 1)λ2
Nd
sinϕ
分辨本领： 分辨本领： R = λ = kN
R ∝ N , 与d无关
4、缺级 、
a sin ϕ = k ′λ
−1
d sinϕ = kλ
d k = ⋅ k′ a
1 2
−2
sin ϕ
0
(
λ
a
)
(a )
δ
r A1 r r AN A = 0
位置： 位置：
r A2
λ
k′ d sin ϕ = λ N
k′ λ sin ϕ = ⋅ N d
( k ′ ≠ Nk )
主极大位置： sin ϕ
=k
λ
d
k′ λ ⋅ 暗纹位置： sin ϕ = N d
(k ′ ≠ Nk )
k:
0
1
2
k′ :
≠0, 1, 2, …N-1, ≠N, N+1, N+2, …2N-1, ≠2N, 2N+1,…
最多可见主明纹
k ′ = ±1,±2,±3
第 12、8、4、-4、-8、-12 级主明纹缺级 、 、 、 、 、
2 × 14 + 1 − 6 = 23条
例： 入射光λ =500nm, 由图中衍射光强分布确定
缝数N= 缝数 =? 缝宽 a =? 光栅常数 d=a+b=?
解：
N =5
k ′ = 1 sin ϕ = 0 ⋅ 25 5000 a= = 2 × 104 Å 0 ⋅ 25
光波长相同，请问： 光波长相同，请问： 最大？ (1)哪条曲线对应的缝宽 最大？ )哪条曲线对应的缝宽a最大 =?有无缺级 (2)各图对应的 /a=?有无缺级？ )各图对应的d/ =?有无缺级？ (3)各图分别是几缝衍射，为什么？ )各图分别是几缝衍射，为什么？
解：
(1)单缝衍射暗纹公式: )单缝衍射暗纹公式: a sin ϕ = k ′λ 观察图中一级暗纹位置 观察图中一级暗纹位置 λ a= sin ϕ (c)中缝宽 最大 (c)中缝宽a最大 中缝宽
α
)2
π a sin ϕ 2 式中： 式中：α = I ， 0 = (NA1 ) 为中央明纹光强 λ
中央明纹集中大部分能量，明条纹级次越高亮度越弱。 中央明纹集中大部分能量，明条纹级次越高亮度越弱。
光栅衍射
衍射条纹：亮度高+间距大？
引 言 1、单缝衍射的矛盾： 单缝衍射不能进行精确测量
a
1 ∆x ∝ a
(a ) N = 2； (b) N = 4； (c ) N = 1； (d ) N = 3；
射线在晶体上的衍射 四. X射线在晶体上的衍射 射线在 1895年伦琴发现 发现， 1895年伦琴发现，受高速电子撞击的金属会发 射一种穿透性很强的射线称Ｘ射线。 射一种穿透性很强的射线称Ｘ射线。
X 射线( 0.001 ~ 0.01nm) 冷却水
※ 相邻两条主明纹间有N-1条暗纹 ※ 相邻两条主明纹间有N-2个次极大 ※ 相邻两条主明纹间为一片暗区（暗纹和次极大） ——间距大
3、主明纹角宽度 = kN-1和kN+1两条暗纹之间角宽度，对应 ∆ k ′ = 2 由暗纹条件
k′ λ sin ϕ = ⋅ N d
⇒ cos ϕ ⋅ ∆ϕ =
λ
Nd
R = Nk
( k = 0,±1,±2 L)
小结
1、光栅衍射的实质： 多束衍射光之间的干涉 2、光栅衍射条纹的主要特点： ①明纹细而明亮 ②明纹间暗区较宽 ③有缺级现象 3、光栅方程、缺级条件
多光束干涉、单缝衍射、 多光束干涉、单缝衍射、光栅衍射对比
比较 基本 思想 相邻光束 相位差δ 振幅矢量 合成 多光束干涉
sin N β 2 I = I0 ( ) ⋅( ) α sin β
2
sin α
式中： 式中：
π a sin ϕ α = λ
π d sin ϕ β = λ
I 0 : 零级主明纹光强
（1） 细窄明亮的主明纹 ） 位置： 位置： d sin ϕ = kλ
k = (0,±1, L)
——光栅公式 光栅公式
缺级： 缺级： a sin ϕ = k ′λ d k = k′ ( k ′ = ±1,±2 L) a
ϕ
S
L1
P0
P ϕ
光源
光栅
L2
幕
光栅衍射的图样
光栅衍射的图样
= 单缝衍射 + 多缝干涉
1、某条单缝的衍射光在 P 点处的合振动 ϕ
A1 = A0
sin α
πa ; (α = sin ϕ ) α λ
2
I1 = I 0
sin α
α
2
2、不计缝宽，N 束光的干涉
ϕ
d
∆ ∆ ∆ ∆
L2
λ
∆ = d sin ϕ
∆ = AC + CB = 2d sin θ 2d 相邻两个晶面反射的两X 相邻两个晶面反射的两 射线干涉加强 加强的条件 射线干涉加强的条件
布拉格公式
θ
oθ
B
C
d
A
2d sin θ = kλ
k = 1, 2, 3,L
布拉格公式
2d sin θ = kλ
k = 1, 2, 3, L
测量射线的波长研究X射线谱 射线谱， 用途 测量射线的波长研究 射线谱，进而研究原 子结构；研究晶体的结构，进一步研究材料性能。 子结构；研究晶体的结构，进一步研究材料性能。 晶体的成千张的X射线衍射照片 例如对大分子 DNA 晶体的成千张的 射线衍射照片 的分析，显示出DNA分子的双螺旋结构。 分子的双螺旋结构。 的分析，显示出 分子的双螺旋结构
上讲内容 一. 单缝夫琅和费衍射 明暗纹条件
0
中央明纹中心
λ
2
∆ = a sin ϕ =
± (2k + 1)
各级明纹中心 暗纹 注意： 注意： k ≠ 0
± kλ
k = 1、、 L 2 3
衍射条纹角宽度 中央明纹 其余明纹
2λ ∆ϕ = a
屏幕
∆ϕ =
λ
a
I
单缝衍射光强分布
I = I0 (
sin α
O
r A1
δ
r A2
x
Pϕ 点的光强为：
多缝干 涉因子
sin α 2 sin Nβ 2 sin Nβ 2 ) ( ) I = I1 ( ) = I0 ( α sin β sin β
单缝衍射因子
光栅衍射的光强分布曲线
N = 5时
−2
−1
sinϕ
0
1
2
(
λ
a
)
sin α α
2
(a )
∆ = d sin ϕ = kλ
光栅方程（光栅公式）
主极大位置： sin ϕ = k k: -2 -1 0 0
λ
d
1
λ
d
2
2λ d
−2λ −λ d d
sinϕ
主极大最高级次：
d sin ϕ = kλ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
| sin ϕ |< 1
⇒ km <
d
λ
2、暗纹条件
Nδ = N ⋅ 2 π d sin ϕ = 2π k ′
2. 红光 . 紫光
k =2
k =3
d = 14.2
2λ1 sin ϕ = = 0 ⋅14 d
3λ2 sinϕ′ = = 0 ⋅12 < 0 ⋅14 d
∴
3. km <
二、三级红光重迭
λ
kmax = 14
缺级
d = a + b = 4a
d sin ϕ = kλ
k = 4k ′
a sin ϕ = k ′λ
角宽度： 角宽度：
2λ ∆ϕ = Nd cos ϕ
km < d
最高级次： 最高级次：
λ
d 2( ) − 1 a 进整
单缝中央明纹区主明纹条数： 单缝中央明纹区主明纹条数： 2） （2） 相邻主明纹间较宽暗区
条暗纹， 条次极大） （N-1条暗纹，N-2条次极大） 条暗纹 条次极大 （3） 白光入射中央零级主明纹为白色，其余各级 ） 白光入射中央零级主明纹为白色， 为彩色光谱， 为彩色光谱，高级次重叠 分辨本领： 分辨本领：
缝宽： 分为奇数个半波带： 缝宽： 分为奇数个半波带： 缝内光线部分干涉相消，条纹级次越高， 缝内光线部分干涉相消，条纹级次越高， 光强越弱； 光强越弱； N 缝叠加后，光栅主明纹光强非均匀 缝叠加后， 分布——亮度调制 分布 亮度调制 分为偶数个半波带： 分为偶数个半波带： 缝内光线自身干涉相消 即使缝间干涉相长
a sin ϕ = k ′λ
I
sin ϕ = 0 ⋅ 25 4 × 5000 = 8 × 104 Å d= 0 ⋅ 25 d = 4 d = 4a = 8 × 104 Å 或由缺级 a
k=4
d sin ϕ = kλ
sinϕ
0 0.25
练习：图示所示为多缝衍射的光强分布曲线， 练习：图示所示为多缝衍射的光强分布曲线，入射
N
单缝衍射
ϕ
光栅衍射
d
a
ϕ
2π
a+ b
2π
N
ϕ
(a + b)sinϕ
λ
r A 1
d sinϕ
r A
N
2π a ⋅ sinϕ λ N
r A 1
r A
λ
r r ∆Ai = ∫ dA
i
r A = ∑Ai
i =1
δ r
r A = ∫ dA
I
δ r
r N r A = ∑∆Ai
i =1
光强分布 曲线
O
I
I
sinϕ
2
sin Nβ sin β
2
(b )
sin α sin Nβ sin β α
2
(c )
− 6 − 5 −4 − 3 − 2 −1 0
sinϕ
1
2
3
4
5
6
★多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果
光栅衍射的实验结果
讨论
考虑缝宽后会带来什么影响？ 考虑缝宽后会带来什么影响？
(b )
(c )
−6 −5 −4 −3 −2 −1
sin ϕ
0
1
2
3
4
5
6
单缝衍射中央明纹区主极大条数
d d 2( ) + 1 − 2 = 2( ) − 1 a进整 a 进整
(c )
−6 −5 −4 −3 −2 −1
sin ϕ
0
1
2
3
4
5
6
缝干涉和N个单缝衍射的总效果 总结： 光栅衍射是N缝干涉和 总结： 光栅衍射是 缝干涉和 个单缝衍射的总效果 光强分布