微分几何(第一课)讲义资料
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念ppt课件
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
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12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
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19
例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
微分几何教案 曲面的内蕴几何
通过第一章曲线论的学习，知道曲率是反映空间曲线弯曲程度的 量；而第二章曲面论的知识告诉我们法曲率是反映曲面上在给定点沿 给定方向的弯曲程度的量。现在自然要考虑曲面上的一条曲线在曲面 上的弯曲程度如何刻画？
教师讲 解结合 图形及 多媒体 课件演
示
1. 测地曲率的定义
第一小节内容
给定曲面 s : r r(u1,u2 ) 及曲面上一条曲线, c : ui ui (s) ,i=1,2,
2
gv 2 E V
k k k 所以 Liouville 公式可以改写为 d cos sin ，其中
g ds
gu
gv
k k, 分别表示 u 线和 v 线的测地曲率. gu gv
课堂 小结 （2 分钟）
本节课学习了曲面上曲线的测地曲率的定义，几何意义及其计算公式.
作业 练习
书上 170 页习题 1,2,3,4.
例 2. 求平面上的测地线. 解:由正交网时测地线的微分方程组,平面 I du2 d 2 上的测
地线的微分方程组为
d du
tan
d
du
0
则有 0 (常向量), u tan C ( C 为积分常数),即平面上的测地 线均为直线.
例 3. 求圆柱面上的测地线.
解 : 在圆柱面 r(u, ) a cosu, a sin u, 上 , I adu2 d 2 . 同
网，这种参数坐标网称为曲面上的半测地坐标网，此时把 u, v 称为半
测地坐标. 当曲面 S 上采用半测地坐标网后，经计算可知它的第一基本形
式为 I d 2 Gdv2 .
以下利用半测地坐标网证明测地线的短程性质.
第四小节内容 定理 3 的证明: 设 C 为包含在曲面 S 上一区域U 内的一条测地 线，这里U 足够小，以使在U 内可建立半测地坐标网. 在U 上取含 C 在内的一族测地线为 u -线，它的正交轨线为 v -线，则 S 的第一基本 形式为
微分几何讲义
z
Tp S
n
ru
S
p
rv
y
x
图 x 曲面上任意点处的切空间和切平面 在空间 E 中经过点 p , 以为方向的直线称为曲面 S 在点 p 的法线, 它的参数方程是
3
= X ( t ) r ( u , v ) + tn ( u , v )
上式中 t 为法线上点的参数.
(1.16)
4. 曲面的第一基本形式
(1.14)
n (u,v ) =
ru ( u , v ) × rv ( u , v ) ru ( u , v ) × rv ( u , v )
(1.15)
Dr. Zhiyong Alex, Chang.
An Introduction to Differential Geometry
Northwestern Polytechnical University
s = 0 处的各阶导数
= ′′′ ( 0 ) r
( 0 ) = [ 0,0,0 ] r ′ ( 0 ) = [1,0,0] r ′′ ( 0 ) = [ 0, k ,0] r
(1.6)
[0,0, kΚ ]
( s ) 在在 s = 0 处的曲率是 k , 挠率是 Κ , 并且 Frenet 标架为 由上式不难看出 , 曲线 r
上式称为曲线在 s = 0 处的标准展开. 上式中坐标函数 x ( s ) , y ( s ) , z ( s ) 作为参数 s 的无穷小量的主要部分分别是 s ,
(1.4)
k 2 s 2
Dr. Zhiyong Alex, Chang.
An Introduction to Differential Geometry
微分几何教学大纲
微分几何教学大纲一、引言背景介绍目标概述二、课程介绍2.1 课程目标2.2 课程重点2.3 课程难点2.4 课程适用对象三、教学内容3.1 基础知识讲解3.1.1 点、线、面的定义与性质3.1.2 向量代数3.1.3 空间坐标系3.2 曲线与曲面3.2.1 参数方程与向量值函数3.2.2 曲线的切线与法线3.2.3 曲面的切平面与法线3.3 微分几何的基本概念3.3.1 曲线的弧长与切向量3.3.2 曲面的面积与法向量3.3.3 曲率与曲率圆3.4 光滑曲线与曲面3.4.1 光滑曲线的性质3.4.2 光滑曲面的性质四、教学方法4.1 理论讲解4.1.1 以概念为核心，讲解基本知识4.1.2 结合示例，深入理解概念与定理 4.1.3 引导学生进行逻辑推理与证明4.2 实践操作4.2.1 利用数学软件进行图像绘制与计算 4.2.2 解决实际问题，提高应用能力4.3 互动讨论4.3.1 引导学生提出问题，进行讨论 4.3.2 促进学生之间的合作与交流4.4 实例分析4.4.1 分析典型问题，培养解题思维4.4.2 提供真实案例，激发学习兴趣五、教学评价5.1 课堂小测验5.1.1 阶段性测试，检验基础掌握情况 5.1.2 题型包括选择题、填空题等5.2 实验报告5.2.1 学生完成相关实验，撰写报告 5.2.2 采用标准评分体系进行评价5.3 课程论文5.3.1 学生独立完成课题研究5.3.2 评价论文的创新性和逻辑性六、参考教材6.1 《微分几何导论》6.2 《微分几何与曲面建模》6.3 《微分几何引论》七、教学进度安排7.1 第一周：基础知识讲解7.2 第二周：曲线与曲面7.3 第三周：微分几何的基本概念7.4 第四周：光滑曲线与曲面7.5 第五周：复习与考试八、总结与展望8.1 教学成果总结8.2 教学改进建议8.3 未来发展趋势探讨以上为《微分几何教学大纲》的基本内容概览。
通过系统性的教学安排，激发学生对微分几何的学习兴趣，提高其应用能力和解决问题的能力。
微分几何 陈维桓 绪论-第一章-第二章讲稿_百度文库.
四、正交坐标变换与刚体运动,等距变换. .......................................................................... 3§ 1.2向量函数. .............................................................................................................................. 4第二章曲线论. ..................................................................................... 6
对微分几何做出突出贡献的数学家:欧拉(Euler,蒙日(Monge,高斯(Gauss,黎曼(Riemann.克莱因(Klein关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.
微分几何:微积分,拓扑学,高等代数与解析几何知识的综合运用.
引言........................................................................................................................................... 2§ 1.1三维欧氏空间中的标架. ........................................................................................................ 2
周建伟微分几何讲义
周建伟微分几何讲义一、微分几何概述1.1 什么是微分几何微分几何是研究曲线、曲面及高维空间中的几何性质的数学分支。
它通过引入微分、积分和向量等工具，研究切向量、曲率、曲率线等概念，揭示了几何对象与微分方程之间的密切关系。
1.2 微分几何的应用领域微分几何在很多领域有广泛的应用，例如物理学中的广义相对论、机器学习中的降维算法、计算机图形学中的曲面建模等。
它为解决实际问题提供了数学工具和理论基础。
二、微分流形2.1 流形的定义流形是具有良好局部欧几里德结构的空间。
它可以用参数化局部坐标系来刻画，并且能够通过坐标变换进行衔接。
2.2 流形的分类根据维度的不同，流形可以分为一维曲线、二维曲面和高维流形。
高维流形的研究对于理解现实世界中的复杂结构具有重要意义。
2.3 流形上的切空间切空间是流形上每一点处切向量的集合，它与流形的局部变换相联系。
切空间的研究是微分几何的重要内容之一，可以用来描述曲线的切线、曲面的切平面等。
2.4 流形上的度量度量是流形上定义的一种距离概念，用于测量流形上两点之间的距离。
在微分几何中，度量可以用来定义曲线的长度、曲率等重要概念。
三、微分几何的基本概念3.1 曲率曲率是刻画流形弯曲程度的量度。
在一维曲线上，曲率即为曲线的弯曲程度；在二维曲面上，曲率包括高斯曲率和平均曲率等。
3.2 平行性平行性是流形上切向量平行的概念。
通过引入仿射联络，可以在流形上定义平行性的概念，从而研究平行移动、测地线等重要概念。
3.3 高斯-博内定理高斯-博内定理是微分几何中的重要定理之一。
它描述了曲面上的曲率和曲面内外几何关系之间的联系，对于研究曲面的性质具有重要意义。
3.4 微分形式微分形式是微分几何中的关键工具，用于描述切向量场和流形局部性质。
微分形式的引入使得微分几何与微分方程能够建立起联系。
四、微分几何的应用案例4.1 物理学中的应用微分几何在物理学中有广泛的应用，例如广义相对论中的时空曲率、黑洞的几何性质等。
大学数学(高数微积分)专题四第1讲立体几何(课堂讲义)
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热点分类突破
多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面 体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化
本 讲 栏 目 开 关
为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关 系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置， 弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程 (组)求 解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素 “补形”成为一个球内接长方体，则 4R2＝a2＋b2＋c2 求解．
A．200＋9π C．140＋9π
B．200＋18π D．140＋18π
热点分类突破
(2)(2012· 辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为________．
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
解析
(1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成．
1 V＝10×4×5＋ ×π×32×2＝200＋9π. 2
讲 栏 答案 目 开 关
C
押题精练
2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直， 2 3 6 △ABC，△ACD，△ABD的面积分别为 ， ， ， 2 2 2 则三棱锥A－BCD的外接球体积为 A． 6π
本 所以 AE⊥平面 BCD. 讲 栏 因为 AB＝AD＝CD＝1，BD＝ 2， 目 开 2 1 3 关 所以 AE＝ ，EO＝ .所以 OA＝ .
3 所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径为 . 2 4 33 3 所以该球的体积 V＝ π( ) ＝ π.故选 A. 答案 A 3 2 2
微分几何 陈维桓 绪论-第一章-第二章讲稿
目录绪论 (1)内容简介 (1)第一章预备知识 (2)引言 (2)§ 1.1 三维欧氏空间中的标架 (2)一、向量代数复习 (2)二、标架 (3)三、正交标架流形 (3)四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 (3)§ 1.2 向量函数 (4)第二章曲线论 (6)§ 2.1 参数曲线 (6)§ 2.2 曲线的弧长 (9)§ 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 (10)§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 (14)§ 2.5 曲线论基本定理 (16)§2.7 存在对应关系的曲线偶 (21)§2.8 平面曲线 (21)绪论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”.Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数()y f x =的图像是xy 平面上的一条曲线，二元函数(,)z f x y =的图像是空间中的一张曲面.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成()()(),(),()r r t x t y t z t ==.这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.§ 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：AB ，r ，r . 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0. 反向量：a -.向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘. 内积的定义：:||||cos (,)ab a b a b =∠ 外积的定义.二重外积公式：()()()a b c a c b b c a ⨯⨯=⋅-⋅；()()()a b c a c b a b c ⨯⨯=⋅-⋅ba⨯a b内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架{};,,O OA OB OC . 定向标架.正交标架(即右手单位正交标架)：{};,,O i j k . 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间3E 和3.三、正交标架流形取定一个正交标架{};,,O i j k (绝对坐标系). 则任意一个正交标架{}123;,,P e e e 被P 点的坐标和三个基向量{}123,,e e e 的分量唯一确定：123111121322122233313233,,,.OP a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k e a i a j a k ⎧=++⎪=++⎪⎨=++⎪⎪=++⎩ (1.6) 其中123(,,)a a a a =可以随意取定，而(,1,2,3)ij a i j =应满足31ikjk ij k aa δ==∑， (1.7)即过渡矩阵()ij a A =是正交矩阵. 又因为123,,e e e 是右手系，det 1A =，即矩阵111213212223313233(3)a a a A a a a SO a a a ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭(1.8, 1.9) 是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：{正交标架}←→3(3)E SO ⨯，{}123;,,(,)P e e e a A ←→.所以正交标架的集合是一个6维流形.四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换QOPki1e j2e 3e空间任意一点Q 在两个正交标架{};,,O i j k 和{}123;,,P e e e 中的坐标分别为(,,)x y z 和(,,)x y z ，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式：111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.10) 如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动.在刚体运动33:E E σ→下，若σ将正交标架{};,,O i j k 变为{}123;,,P e e e ，则空间任意一点(,,)Q x y z 和它的像点(,,)Q x y z (均为在{};,,O i j k 中的坐标)之间的关系式为111213121222323132333,,.x a xa ya za y a xa ya za z a xa ya za =+++⎧⎪=+++⎨⎪=+++⎩ (1.11) 定理1.1 3E 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于3E 中的任意两个正交标架，必有3E 的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.空间3E 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换33:E E σ→称为等距变换.刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).仿射坐标变换与仿射变换.§ 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域D 到3中的映射3::()r p r p →D .设有定义在区间[,]a b 上的向量函数()((),(),()),r t x t y t z t a t b =≤≤.如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续函数，则称向量函数()r t 是连续的；如果(),(),()x t y t z t 都是t 的连续可微函数，则称向量函数()r t 是连续可微的. 向量函数()r t 的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即QO ()P O σ=ki1e j2e 3e ()Q Q σ=000()()limt t t r t t r t dr dtt∆→=+∆-=∆0000000()()()()()()lim ,,t x t t x t y t t y t z t t z t t t t ∆→+∆-+∆-+∆-⎛⎫= ⎪∆∆∆⎝⎭()000(),(),()x t y t z t '''=，0(,)t a b ∈， (2.6)()1()lim ()(),(),()nbb bbi i aaaai r t dt r t t x t dt y t dt z t dt λ→='=∆=∑⎰⎰⎰⎰， (2.7)其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，1[,]i i i t t t -'∈，并且{}max |1,2,,i t i n λ=∆=. (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.由(1.6)可得()()()()()(),()()()()()()a t b t a t b t t a t t a t t a t λλλ''''''+=+=+.定理2.1 (Leibniz 法则) 假定(),(),()a t b t c t 是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⋅=⋅+⋅；(2) ()()()()()()()a t b t a t b t a t b t '''⨯=⨯+⨯；(3) ()()()()(),(),()(),(),()(),(),()(),(),()a t b t c t a t b t c t a t b t c t a t b t c t ''''=++.定理2.2 设()a t 是一个处处非零的连续可微的向量函数，则 (1) 向量函数()a t 的长度是常数当且仅当()()0a t a t '⋅≡. (2) 向量函数()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '⨯≡.(3) 设()a t 是二阶连续可微的. 如果向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么 ()(),(),()0a t a t a t '''≡.反过来，如果上式成立，并且处处有()()0a t a t '⨯≠，那么向量函数()a t 必定与某个固定的方向垂直.证明 (1) 因为()()22()()()()|()|a t a t a t a t a t '''==，所以|()|a t 是常数2|()|a t ⇔是常数()()0a t a t '⇔⋅≡.(2) 因为()a t 处处非零，取()a t 方向的单位向量1()|()|()b t a t a t -=. 则()()()a t f t b t =，其中()|()|f t a t =连续可微. 于是()()2()()()()()()()()()()(),.a t a t f t b t f t b t f t b t f t b t b t t ''''⨯=⨯+=⨯∀“⇒”由条件知()b t c =是常向量，()0b t c ''==. 从而()()0a t a t '⨯≡.“⇐”由条件得()()0b t b t '⨯≡，所以()b t ，()b t '处处线性相关. 因为()b t 是单位向量，处处非零，所以()()()b t t b t λ'=. 用()b t 作内积，得()12()()()()()0t b t b t b t b t λ''=⋅=⋅≡. 于是()0b t '≡，()b t c =是常向量.(3) 设向量函数()a t 与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量1e 使得1()0a t e ⋅≡. 求导得到1()0a t e '⋅≡，1()0a t e ''⋅≡. 从而(),(),()a t a t a t '''共面，()(),(),()0a t a t a t '''≡.反之，设()(),(),()0a t a t a t '''≡. 令()()()b t a t a t '=⨯. 由条件，()b t 处处非零. 且()b t '=()()a t a t ''⨯连续. 根据二重外积公式，()()()()()()()()()()()(),(),()()(),(),()()(),(),()()0.b t b t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ''''⨯=⨯⨯⨯''''''=-'''=≡ 根据已经证明的(2)，()b t 的方向不变. 设这个方向为1e . 则1()|()|b t b t e =. 用()a t 作内积，得()1|()|()()()()()()0b t a t e a t b t a t a t a t '⋅=⋅=⋅⨯≡.由于()b t 处处非零，得到1()0a t e ⋅≡，即()a t 与固定方向1e 垂直. □课外作业： 1. 证明定理2.1.2. 设33:E E σ→为等距变换. 在3E 中取定一个正交标架{};,,O i j k . 令3为3E 中全体向量构成的向量空间. 定义映射33::()()AB A B σσ→. 如果()O O σ=，证明是线性映射.3. 设向量函数()r t 有任意阶导(函)数. 用()()k r t 表示()r t 的k 阶导数，并设()(1)()()k k r t r t +⨯处处非零. 试求()()(1)(2)(),(),()0k k k r t r t r t ++≡的充要条件.第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet 标架，Frenet 公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明§ 2.1 参数曲线三维欧氏空间3E 中的一条曲线C 是一个连续映射3:[,]p a b E →，称为参数曲线. 几何上，参数曲线C 是映射p 的象.取定正交标架{};,,O i j k ，则曲线上的点()([,])p t t a b ∈与它的位置向量()Op t 一一对应. 令()()r t Op t =. 则()()()()((),(),())r t x t i y t j z t k x t y t z t =++=，[,]t a b ∈， (1.3) 其中t 为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.由定义可知()()01()lim(),(),()()()t r t x t y t z t r t t r t t∆→''''==+∆-∆，(,)t a b ∈. (1.4)如果坐标函数(),(),()x t y t z t 是连续可微的，则称曲线()r t 是连续可微的. 此概念与标架的取法无关. (为什么？)导数()r t '的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.如果r ()r t '是该曲线在()r t 处的切线的方向向量，称为该曲线的 曲线在正则点的切线方程为()()()X u r t ur t '=+， 其中t 是切线上点的参数，()X u 是切线上参数为u 的点的位置向量定义. 如果()r t 是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t ，()0r t '≠，则称曲线()r t 是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.上述定义与3E 中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换()t t u =满足：(1) ()t u 是u 的三次连续可微函数；(2) ()t u '处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当()0t u '>时，称为保持定向的参数变换.根据复合函数的求导法则，[]()(())()()d d du dt t t u r t u r t t u ='=⋅.这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定()r t 是正则曲线.如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet 标架)()r t y()X u ()r t t +∆()r t '2-1例1.1 )，其中()()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，22|()|0()0r t a b r t ''=+>⇒≠所以圆柱螺线是正则曲线.例1.2 半三次曲线32()(,),()r t t t t =∈.2()(3,2)r t t t '=，(0)0r '=.这条曲线不是正则曲线.连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程()y f x =和隐式方程(,)0F x y =. 空间曲线的一般方程(),()y f x z g x == (1.6)和隐式方程(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (1.8) 这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)曲线(1.8)的切线方向，正则性.y()r t btQαβγ课外作业：习题2，5§ 2.2 曲线的弧长设3E 中一条正则曲线C 的方程为(),[,]r r t t a b =∈. 则|()|bas r t dt '=⎰ (2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.不变量s 的几何意义是该曲线的弧长，因为1max||01|()|lim|()()|i nbi i at i s r t dt r tr t +∆→='==-∑⎰.其中01n a t t t b =<<<=是区间[,]a b 的任意一个分割，1i i i t t t +∆=-，max λ={|1,i t i ∆=}2,,n . (为什么？)令()|()|tas t r d ττ'=⎰. (2.4)则()s s t =是曲线C 的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s 作为参数，当然，允许相差一个常数.注意|()|ds r t dt '=也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s ，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数t 给出的. 由(2.4)，即使|()|r t '是初等函数，()s t 也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.定理2.1 设(),[,]r r t t a b =∈是3E 中一条正则曲线，则t 是它的弧长参数的充分必要条件是|()|1r t '=. 即t 是弧长参数当且仅当(沿着曲线C )切向量场是单位切向量场.证明. “⇐”由(2.4)可知，s t a =-. “⇒”如果t 是弧长参数，则s t =，从而|()|1dsr t dt'==. □以下用“﹒”表示对弧长参数s 的导数，如()r s ，()r s 等等，或简记为,r r 等等. 而“'”则用来表示对一般参数t 的导数.课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3.§ 2.3 曲线的曲率和Frenet 标架设曲线C 的方程为()r r s =，其中s 是曲线的弧长参数. 令()()s r s α=. (3.1)对于给定的s ，令θ∆是()s α与()s s α+∆之间的夹角，其中0s ∆≠是s 的增量.定理 3.1 设()s α是曲线()r r s =的单位切向量场，s 是弧长参数. 用θ∆表示向量()s s α+∆与()s α之间的夹角，则lim|()|ss s θα∆∆∆→=. (3.2)证明. ()001||lim lim ()()s s d s s s ds s s ααααα∆→∆→∆===+∆-∆∆ ()()2200022sin sin lim lim lim ||s s s s s s θθθθθ∆∆∆∆→∆→∆→∆∆===∆∆∆， 因为arccos[()()]s s s θαα∆=+∆，所以0lim 0s θ∆→∆=. □定义 称函数():|()|s s κκα==为曲线()r r s =在s (即()r s )点处的曲率，称()s α为该曲线的曲率向量.把曲线C 的单位切向量()s α平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象. 其方程就是()s αα=. (3.3)例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆.()r s 0s =图2-5O()s αs L=()s s α+∆()r s s +∆()s s α+∆()s α()()s s s αα+∆-θ∆圆柱螺线的切线象2()πα圆柱螺线()(cos r t a =()(r t a '=-221()(a b t a α+=-(0)α(0)α2()πα()απ()απ32()πα32()πα当然，s . 切线象()s αα=的弧长元素为|()|()ds s ds s ds ακ==. (3.4)所以dss dsκ==， (3.5) 即曲率κ是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比.由|(α()()0s s αα⋅=. 所以曲率向量()s α是曲线的一个如果在一点s 处()s κ≠，则向量11()|()|()()()s s s s s βαακα--==称为曲线在该点的. 于是在该点有()()()s s s ακβ=. (3.6)在(s κ处，令()()()s s s γαβ=⨯. (3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场). 这样，在正则曲线上()0s κ≠的点，有一个完全确定的正交标架}(),()s s γ，称为曲线在该点的Frenet 标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.注意. 如果在一点0s 处0()0s κ=，则一般来说无法定义在该点的Frenet 标架. 1. 若()0s κ≡，则C 是直线，可以定义它的Frenet 标架.2. 若0s 是κ的孤立零点, 则在0s 的两侧都有Frenet 标架. 如果00()()s s ββ-+=，则可以将Frenet 标架延拓到0s 点.3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.切线：()()()u r s u s ρα=+；主法线：()()()u r s u s ρβ=+；次法线：()()()u r s u s ργ=+ 法平面：[()]()0X r s s α-=；从切平面：[()]()0X r s s β-=；密切平面：[()]()0X r s s γ-=在一般参数t 下，曲率κ和Frenet 标架的计算方法.3|()()|()|()|r t r t t r t κκ'''⨯=='，()|()|r t r t α'='，()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯，βγα=⨯. (3.13)证明. 设()s s t =为弧长参数，()t t s =为其反函数. 则由(2.4)，()|()|dss t r t dt''==. 故(())()()()|()|(())()(),():(())|()|dr s t ds t r t r t r t s t s t t s t ds dt r t αααα''''====='. (3.12)由曲率κ的定义，||0κα=≥，可知主法向量||αβα=满足ακβ=. 上式再对t 求导，得 2d d dsr s s s s s s dt ds dtααααακβ'''''''''''=+=+=+.于是2333()()||r r s s s s s r r s αακβκαβκγκ'''''''''''''⨯=⨯+=⨯=⇒⨯=.所以33|()()||()()||()|r t r t r t r t s r t κ''''''⨯⨯==''. 代入上式得()()|()()|r t r t r t r t γ'''⨯='''⨯. □例3.1 求圆柱螺线()(cos ,sin ,),()r t a t a t bt t =∈的曲率和Frenet 标架，其中0a >.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=+2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，2||r r a a '''⨯=所以密切平面()s α()s γ()s β()r s322()()||()|r t r t r t a b '''⨯='+21()t a α=22()()1(sin |()()|r t r t b r t r t a bγ'''⨯=='''⨯+(cos ,sin ,0)t t βγα=⨯=--维维安尼(Viviani)曲线2221,.y z y x +==一般方程例3.2 标架. 解法()(cos r t =. 点(0,0,1)对应的参数为2t k ππ=+，其中k 不妨设t π=22()(2sin cos ,cos sin ,cos )r t t t t t '=--， ()(2cos2r t t ''=-于是当/2t π=时，(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1)r r r '''=-=，||1,(1,0,2)r r r ''''=⨯=(0,1,0)α=-，15(1,0,2)γ=，15(2,0,1)βγα=⨯=-.所以在点处的曲率5κ=，Frenet 标架为(0,0,1)r =，(0,1,0)α=-，15(2,0,1)β=-，15(1,0,2)γ=□解法2. 设曲线的弧长参数方程为(),(),()x x s y y s z z s ===，(,)s εε∈-，(0,0,1)对应的参数为0s =. 则有(0)((0),(0),(0))(0,0,1)r x y z ==， (1)以及22222222()()()1,(,).()()()0,()()()1,x s y s z s s x s y s x s x s y s z s εε⎧++=⎪∀∈-+-=⎨⎪++=⎩ (3.14) 求导得到()()()()()()0,2()()2()()()0,()()()()()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s y s y s x s x s x s y s y s z s z s ++=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩(3.15)令0s =，由(1)和上述方程组得到(0)(0)0x z ==，(0)1y =±. 通过改变曲线的正方向，可设(0)1y =，于是(0)((0),(0),(0))(0,1,0)x y z α==. (3.16)对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得22()()()()()()1,2()()2()2()()2()()0.x s x s y s y s z s z s x s x s x s y s y s y s x s ++=-⎧⎨+++-=⎩ (3.17) 令0s =，由(3.15)和(3.16)得(0)0y =；由(1)和(3.17)第1式得(0)1z =-；再由(3.17)第2式得(0)2x =. 所以(0)(0)((0),(0),(0))(2,0,1)r x y z α===-.由此得(0)(0,0,1)r =处的曲率(0)|(0)|5κα==，Frenet 标架为：(0)(0,0,1)r =；(0)(0,1,0)α=，11(0)5(0)(0)(2,0,1)κβα==-，15(0)(0)(0)(1,0,2)γαβ=⨯=--. □课外作业：习题1(2,4)，4，7§ 2.4 曲线的挠率和Frenet 公式密切平面对弧长s 的变化率为||γ，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数τγβ=-⋅，即()()()s s s τγβ=-⋅称为曲线的挠率. 注. 由0γγ⋅=，()0γαγαγκβ⋅=-⋅=-⋅=可知//γβ. 因此可设γτβ=-， (4.1)从而||||τγ=，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度.定理4.1 设曲线C 不是直线，则C 是平面曲线的充分必要条件是它的挠率0τ≡. 证明. 设曲线C 的弧长参数方程为()r r s =，[0,]s L ∈. 因为C 不是直线，0κ≠(见定理3.2 )，存在Frenet 标架{};,,r αβγ.“⇒” 设C 是平面曲线，在平面:()0X a n ∏-=上，其中a 是平面上一个定点的位置向量，n 是平面的法向量，a 和n 均为常向量. 则有(())0,[0,]r s a n s L -=∀∈.求导得()0,()()0()0,s n s s n s n s ακββ==⇒=∀.于是()//s n γ, 由于|()|||1s n γ==，所以()s n γ=±是常向量，从而0γ≡，||||0τγ=≡. 即有0τ≡.“⇐”设0τ≡. 由(4.1)得0γτβ=-=. 所以()0s c γ=≠是常向量. 由(())()()()0dr s c r s c s s dsαγ=== 可知()r s c 是一个常数，即0()()r s c r s c =，其中0[0,]s L ∈是固定的. 于是曲线C 上的点满足平面方程0[()()]0r s r s c -=，其中0()r s 是平面上一个定点的位置向量，c 是平面的法向量. □设正则曲线C 上存在Frenet 标架. 对Frenet 标架进行求导，得到Frenet 公式,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (4.8)上式中的后三式可以写成矩阵的形式00000ακαβκτβγτγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (4.9)作为Frenet 公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线()r r s =的曲率()s κ和挠率()s τ都不为零，s 是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有222111d a ds κτκ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， (4.10) 其中a 为常数.证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a ，球心是0r ，即有()220()r s r a -=. (4.11)求导得到()0()()0r s r s α-=.这说明0()r s r -垂直于()s α，可设0()()()()()r s r s s s s λβμγ-=+. (4.12)再求导，利用Frenet 公式得()()()()[()()()()]()()()()()s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ=+-++-.比较两边,,αβγ的系数，得1λκ=-，λμτ=，μλτ=-， (4.13)其中略去了自变量s . 所以1λκ=-，111d d ds ds λλμτττκ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. (4.14)将(4.12)两边平方可得()22220r r a λμ+=-=，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得110d d ds ds τκτκ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. (4.16) 在一般参数下挠率的计算公式.2(,,)||r r r r r τ''''''='''⨯. (4.18)证明. 因为()|()|dss t r t dt''==，利用Frenet 公式，有 ()()(())ds dr r t s t s t dt dsα''==，2()()(())()(())(())r t s t s t s t s t s t ακβ'''''=+，23(())()()(())3()()(())(())()(())()(())[(())(())(())(())].d s t r t s t s t s t s t s t s t s t s t dts t s t s t s t s t s t κακββκκατγ''''''''''=++'+-+ 于是3()()()(())(())r t r t s t s t s t κγ''''⨯=，从而()362()()()()(())(())()(),(),()()(())(()).r t r t r t s t s t s t r t r t r t r t s t s t s t κγκτ''''''''''''''''=⨯⋅=⋅'=由(3.13)可知622()(())|()()|s t s t r t r t κ''''=⨯，代入上式即得(4.18). □定理4.3 曲线()r r t =是平面曲线的充要条件是(,,)0r r r ''''''=. □ 例 求圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的挠率.解. ()(sin ,cos ,)r t a t a t b '=-，()(cos ,sin ,0)r t a t a t ''=-，2|()|r t a '=+2(sin ,cos ,)(sin ,cos ,)r r ab t ab t a a b t b t a '''⨯=-=-，2||r r a a '''⨯=()(sin ,cos ,0)r t a t t '''=- 所以2(,,)r r r a b ''''''=，22b a b τ=+. □课外作业：习题1(2, 4)，4，10§ 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理5.1 (唯一性定理) 设111222:(),:()C r r s C r r s ==是3E 中两条以弧长s 为参数的正则参数曲线，[0,]s l ∈. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即12()()s s κκ=，12()()s s ττ=，则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 选取3E 中的刚体运动σ将2C 在0s =处的Frenet 标架{}2222(0);(0),(0),(0)r αβγ变为1C 在0s =处的Frenet 标架{}1111(0);(0),(0),(0)r αβγ. 则这个刚体运动σ将2C 变为正则曲线3C . 设3C 的弧长参数方程为33()r r s =. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，1C 与3C 也有相同的曲率和挠率函数：13()()s s κκ=，13()()s s ττ=.且在0s =处它们有相同的Frenet 标架：13131313(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ====令{}1111();(),(),()r s s s s αβγ和{}3333();(),(),()r s s s s αβγ分别为1C 和3C 的Frenet 标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题,,,.r αακββκατγγτβ⎧=⎪=⎪⎨=-+⎪⎪=-⎩ (5.6) 1111(0)(0),(0)(0),(0)(0),(0)(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有13()()r s r s =，即1C 与3C 重合. □注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：()()(),(),()r s x s y s z s =，()123()(),(),()s s s s αααα=，()123()(),(),()s s s s ββββ=，()123()(),(),()s s s s γγγγ=.初始条件为：()1123(0)(,,)(0),(0),(0)r a a a x y z ==，()123111213(0),(0),(0)(,,)a a a ααα=，()123212223(0),(0),(0)(,,)a a a βββ=，()123313233(0),(0),(0)(,,)a a a γγγ=.定理5.2设111222:(),:()C r r t C r r u ==是3E 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数()u t λ=([,]t a b ∈)，()0t λ'≠，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足121212()(()),()(()),()(())s t s t t t t t λκκλττλ===， (5.4) 则有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C .证明 不妨设()0t λ'>. 对2C 作可允许参数变换()u t λ=，可将2C 的参数方程写成32()(())r t r t λ=. 则1C 的弧长为11()|()|tas t r d ξξ'=⎰，2C 的弧长为()23322()()|()||()|(())()ttt aa a dr s t r d d d s t r du λλξξλξξηλη'''====⎰⎰⎰. 由条件，可取132()()()s s t s t s t λ===作为1C 和2C 的弧长参数. 因为13()()s t s t =有相同的反函数()t s μ=，即111111322()s s s s μλλ-----====，12s λμ-=. 于是1111112222()()()()()()s s s s s s s s κκκμκλμκκ--≡===≡.同理，21()()s s ττ= 根据定理5.1，有3E 中的一个刚体运动σ将1C 变成2C . □定理 5.3 (存在性定理) 设(),()s s κτ是定义在区间[,]a b 上的任意二个给定的连续可微函数，并且()0s κ>. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的3E 中的正则曲线:()C r r s =，[,]s a b ∈，使得s 是C 的弧长参数，且分别以给定的函数()s κ和()s τ为它的曲率和挠率.证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：,,,.drds d ds d ds d dsαακββκατγγτβ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=-+⎪⎪⎪=-⎩ (5.6) 0000(0),(0),(0),(0).r r ααββγγ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[,]a b 上的解. 取(5.6)的满足初始条件(0)0,(0),(0),(0)r i j k αβγ==== (5.7)’的解，其中{};,,O i j k 是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记123,,,ij i j e e e g e e αβγ====, (5.9)[,]a b 11[,]a b [0,]l λ1s 2s 1κ2κμ11121321222331323300000a a a a a a a a a κκττ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (5.5) 因为123,,,r e e e 是(5.6)的解，所以()r r s =是三阶连续可微的. 下面来证明()r r s =就是所要求的曲线. 由(5.6)可得311,,1,2,3iij j j de dre a e i dsds ====∑ (5.6)’ 首先来证明(),,1,2,3ij ij g s i j δ==. (5.10)由(5.6)得333111()()ij i j j ij i ik k j jk i k ik kj jk ki k k k dg d e e de de e e a e e a e e a g a g dsds ds ds =====+=+=+∑∑∑， 由初始条件(5.7)’可知有(0)(0)(0)ij i j ij g e e δ==，,1,2,3i j =. 这说明9个函数()ij g s 满足一阶线性常微分方程组初值问题31()ij ik kj jk ki k dF a F a F ds==+∑，(0)ij ij F δ=，,1,2,3i j =.另一方面由(5.5)可知ij ji a a =-，,1,2,3i j =. 于是9个函数()ij ij F s δ=也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有()()ij ij ij g s F s δ==.因此123(),(),()e s e s e s 是两两正交的单位向量. 从而混合积()123(),(),()1e s e s e s =±. 但是函数()123()(),(),()f s e s e s e s =是连续的，并且由初始条件得()123(0)(0),(0),(0)1f e e e ==. 所以123(),(),()e s e s e s 构成右手系.现在，由(5.6)’可知11dre ds==. 所以()r r s =是正则曲线，并且s 是:()C r r s =的弧长参数，1()()s e s α=是C 的单位切向量场. 由(5.6)第2式及()0s κ>可知C 的曲率为()s κ，主法向量场为2()()s e s β=. 最后，因为123(),(),()e s e s e s 是右手单位正交基，所以3()()s e s γ=是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C 的挠率为()()()s s s γβτ-=. □例 求曲率和挠率分别是常数00κ>，0τ的曲线C 的参数方程.解 我们已经知道圆柱螺线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =的曲率和挠率都是常数，分别为22a a b +和22b a b +. 根据定理5.1，曲线C 一定是圆柱螺线. 由022a a b κ=+和022ba b τ=+解出02200a κκτ=+，02200b τκτ=+. 因此所求曲线C 的参数方程为()00022001()cos ,sin ,rt t t t κκτκτ=+. 因为C 的弧长参数s ==，将上式中的t 就可得到C 的弧长参数方程：))()0022001()cos,sin,r s κκτκτ=+. □课外作业：习题1，4，6§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间[,]a b 上的n 次连续可微的函数()f x ，可以在区间(,)a b 内任意一点0x 邻近展开为Taylor 展式：2()11000000002!!()()()()()()()()()n n n n f x f x f x x x f x x x f x x x o x x '''=+-+-++-+-.同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线(),(,)r r s s εε=∈-，可在0s =处展开为233112!3!()(0)(0)(0)(0)()r s r sr s r s r o s =++++， (6.1)其中3()o s 是一个向量函数，满足330()lim 0s o s s→=. (6.2) 由Frenet 公式可得2(0)(0),(0)(0)(0),(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r ακβκακβκτγ===-++ (6.3)代入(6.1)得23233300000()(0)(0)(0)(0)()6266r s r s s s s s o s κκκκταβγ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中000(0),(0),(0)κκκκττ===.以0s =处的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ建立右手直角坐标系，则曲线C 在0s =附近的参数方程为2330123300233003(),6(),26().6x s s o s y s s o s z s o s κκκκτ⎧=-+⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎩(6.4)上式称为曲线:()C r r s =在0s =处的标准展开式.在标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ下，考虑C 的近似曲线232300000011:(),,(0)(0)(0)(0)2626C r s s s s r s s s κκτκκταβγ⎛⎫=≡+++ ⎪⎝⎭. (6.5)近似曲线1C 与原曲线C 在0s =处有相同的Frenet 标架{}(0);(0),(0),(0)r αβγ，有相同的曲率0κ和相同的挠率0τ. 这是因为s 是1C 的一般参数，并且1(0)(0,0,0)(0)r r ==，1(0)(1,0,0)(0)r α'==，100(0)(0,,0)(0)r κκβ''==，10000(0)(0,0,)(0)r κτκτγ'''==， 从而1(0)1r '=，111(0)(0)(0)(0)r r αα'=='，()1100(0)(0)(0)(0)(0)r r ακβκγ'''⨯=⨯=，110(0)(0)r r κ'''⨯=，111031(0)(0)(0)(0)r r r κκ'''⨯=='，11111(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r γγ'''⨯=='''⨯，111(0)(0)(0)(0)(0)(0)βγαγαβ=⨯=⨯=，2111001022011(0)(0)(0)(0)(0)(0)r r r r r κτττκ''''''⨯⋅==='''⨯. 在0s =邻近，近似曲线1C 的性状近似地反映了原曲线C 的性状. 近似曲线1C 的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.在密切平面上的投影是抛物线：20,,02x s y s z κ===，在从切平面上的投影是三次曲线：300,0,6x s y z s κτ===，在法平面上的投影是半三次曲线：230000,,26x y s z s κκτ===.定义 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==相交于0p ，012(0)(0)Op r r ==. 取1122,p C p C ∈∈，使得0102p p p p s ==∆. 若有正整数n 使得121200|||()()|limlim 0n n s s p p r s r s s s ∆→∆→∆-∆==∆∆，1210|()()|lim 0n s r s r s s +∆→∆-∆≠∆， (6.9) 则称1C 与2C 在0p 处有n 阶切触.定理 6.1 设两条弧长参数曲线111222:(),:()C r r s C r r s ==在0s =处相交. 则它们在0s =处有n 阶切触的充分必要条件是()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k n =，(1)(1)12(0)(0)n n r r ++≠. (6.10)证明 在0s =处，有0s s s ∆=-=. 因为12,C C 在0s =处相交，所以12(0)(0)r r =. 根据Taylor 公式，α0γ0β(0)r12()()12121()()()(0)(0)!k n n k k k s r s r s o s r r k ++=-=+⎡⎤-⎣⎦∑. 充分性. 由(6.10)，12(1)(1)1212()()()(0)(0)(1)!n n n n s r s r s o s r r n ++++-=+⎡⎤-⎣⎦+，所以 2(1)(1)12121210001()||()()lim lim lim ||0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s s r r n s s s++++∆→→→-===+⎡⎤-⎣⎦+∆， 2(1)(1)1212121110001()||()()lim lim lim 0(0)(0)(1)!n n n n n n s s s o s p p r s r s r r n s s s++++++∆→→→-==≠+⎡⎤-⎣⎦+∆. 即12,C C 在0s =处有n 阶切触.必要性. 由条件，12,C C 在0s =处有n 阶切触，则1n ≥. 如果12(0)(0)r r ''≠，则12121200||()()lim lim 0(0)(0)s s p p r s r s r r s s∆→→-''==>-∆， 从而120||lim0n s p p s ∆→≠∆，矛盾. 设1m ≥是满足 ()()12(0)(0)k k r r =，1,2,,k m =，(1)(1)12(0)(0)m m r r ++≠的正整数. 由充分性，12,C C 在0s =处有m 阶切触. 由条件得m n =，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor 展开式中的前1n +项之和(即略去()n s ∆的高阶无穷小)至少有n 阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触.(2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线:()C r r s =上一点()r s 处的密切平面上，以曲率中心1()()()r s s s βκ+为圆心，以曲率半径1()R s κ=为半径的圆. 它的方程是： ()11()()()cos ()sin ()()()X t r s s t s t s s s βαβκκ=+++. 曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略)课外作业：习题2，3§2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线111222:(),:()C r r t C r r u ==之间存在一个一一对应关系()t u t ↔=，()0u t '≠. 对曲线2C 作参数变换，可设222:()C r r t =，从而12,C C 之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应.定义7.1 如果两条互不重合的曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand 曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.每一条正则曲线(:()(C r r s x ==证明 设s ()()(),()s x s y s α=是C 的单位切向量场，()()(),()n s y s x s =-. 取充分小的非零实数λ使得|()|1s λκ<∀11:()()()C r s r s n s λ=+是曲线C 的侣线.事实上，因为21n n x y αα⋅=+=⋅=，所以0nn =，n n ⊥. 另一方面由0n =可知n α⊥. 因此//n α. 设r n κα=. 于是C 的曲率()22()|()|||()()|()|||(),()r s s x s y s n s x s y s κακ===+==.当常数λ充分小时，1()[1()]()0r r s s s λκα'=+≠，所以1C 是正则参数曲线. 因为0λ≠，所以曲线C 和1C 不重合.现在来证明在对应点C 和1C 有相同的主法线. 在相同的参数s 点处，C 的主法线l 是过()r s (的终)点且垂直于()s α的直线，所以l 的方程为()()()X u r s un s =+，u ∈.同理，在相同的参数s 点处，1C 的主法线1l 是过1()r s 点且垂直于1()//()rs s α'的直线. 所以1//l l (因为它们都垂直于()s α). 由定义可知1()r s 在直线l 上，所以l 与1l 重合. □下面考虑空间挠曲线，即挠率0τ≠的曲线.定理7.1 设1C 和2C 是Bertrand 曲线偶. 则1C 和2C 在对应点的距离是常数，并且1C 和2C 在对应点的切线成定角.证明 设曲线1C 的弧长参数方程为11()r r s =，Frenet 标架为{}1111();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为1()s κ和1()s τ. 因为1C 和2C 之间存在一一对应，设2C 上与1()r s 对应的点是22()r r s =，s 是2C 的一般参数，2C 的Frenet 标架为{}2222();(),(),()r s s s s αβγ，曲率和挠率分别为2()s κ和2()s τ. 再设2C 的弧长参数为()s s s =.由条件，2()r s 在曲线1C 上的点1()r s 处的主法线11()()()X u r s u s β=+上，所以()121//()()()s r s r s β-，并且12()()s s ββ=±. 因此可设211()()()()r s r s s s λβ=+，21()()s s βεβ=， (7.3)αn其中1ε=±是常数，()121()()()()s s r s r s λβ=-是可微函数.将(7.3)两边对s 求导，利用Frenet 公式，得21111()()()()()()[()()()()]s s s s s s s s s s s ααλβλκατγ''=++-+111[1()()]()()()()()()s s s s s s s s λκαλβλτγ'=-++. (7.4)以21βεβ=分别与上式两边作内积，可得()0s λ'=，()s c λ=是常数. 再由(7.3)得211|()()||()()|||r s r s s s c λβ-==，即1C 和2C 在对应点的距离是常数||(0c >，因为1C 和2C 不重合).设12()((),())s s s θαα=∠，则()12()()cos ()s s s ααθ=. 因为()112212122211120d s s dsκβακαβεκβαεκαβαα''=+=+=， 所以()cos ()s θ是常数，从而()s θ是常数. □定理7.2 设正则曲线C 的曲率κ和挠率τ都不为零. 则C 是Bertrand 曲线的充分必要条件是：存在常数,λμ，且0λ≠，使得1λκμτ+=.证明 必要性. 设曲线C 有侣线1C ，它们的参数方程分别是()r s 和1()r s ，其中s 是C 的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设{}();(),(),()r s s s s αβγ和{}1111();(),(),()r s s s s αβγ分别是C 和1C 的Frenet 标架，11,κτ分别是1C 的曲率和挠率，s 是1C 的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为 1()()()r s r s s λβ=+，1()()s s βεβ=， (7.3)1()()[1()]()()()s s s s s s s αλκαλτγ'=-+. (7.5)其中0λ≠是常数. 因此由0τ≠得|()|[10s s '=≠，1()[1s s ε'=其中11ε=±也是一个常数.由定理7.1，1()()s s c αα=是常数. 用()s α与(7.5)两边作内积，得22221()(1)[1()][()]c s c s c s ελκλκλτ=-⇒--=.由()0s λτ≠可知2(1)0c -≠，从而1()()s s λκμτ-== 是常数. 这就是说，存在常数0,λμ≠，使得1λκμτ+=.充分性. 设正则弧长参数曲线:()C r r s =的曲率κ和挠率τ满足1λκμτ+=，其中,λμ是常数，且0λ≠. 令1()()()r s r s s λβ=+，则1()[1()]()()()()[()()]0r s s s s s s s s λκαλτγτμαλγ'=-+=+≠.所以由参数方程11()r r s =定义的曲线1C 是正则曲线，并且与曲线C 不重合(因为0λ≠).由于21||r τλ'=1C 的单位切向量场1()[sin ()cos ()]s s s αθαθγ=±+，其中arctan(/)θμλ=是常数，满足sin θ=，cos θ=.设s 是1C 的弧长参数，利用Frenet 公式，有111(sin cos )d ds ds dsακβθκθτβ==±-. 如果sin cos 0θκθτ-≠，则有1ββ=±，从而曲线1C 是C 的侣线，1C 和C 是Bertrand 曲线偶(在参数s 相同的点，1C 和C 得主法线有相同方向，并且1()r s 在()r s 处的主法线上).如果sin cos 0θκθτ-=，则μκλτ=. 结合1λκμτ+=可知κ和τ都是非零常数，C 是圆柱螺线，从而是Bertrand 曲线. □定义7.2 如果两条曲线12,C C 之间存在一个一一对应，使得曲线1C 在任意一点的切线正好是2C 在对应点的法线(即垂直于2C 在该点的切线)，则称曲线2C 是1C 的渐伸线. 同时称曲线1C 是2C 的渐缩线.定理7.3 设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐伸线的参数方程为1()()()()r s r s c s s α=+-. (7.7)证明 设渐伸线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 则1()r s 在曲线C 上()r s 点处的切线上，故有函数()s λλ=使得1()()()()r s r s s s λα=+. (7.8)由渐伸线的定义，1()()r s s α'⊥，所以10()()[()()()()()()]()1()r s s s s s s s s s s ααλαλκβαλ'''==++=+.由此得()1s λ'=-，()s c s λ=-. 代入(7.8)即得(7.7). □曲线C 的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C 的切线曲面∑上. 定理7.4设:()C r r s =是正则弧长参数曲线. 则C 的渐缩线的参数方程为()111()()()tan ()()()()r s r s s s ds s s s βτγκκ=+-⎰. (7.10) 证明 设渐缩线1C 上与()r s 对应的点为1()r s . 由定义，1[()()]()()rs r s r s s α-⊥=，可设 1()()()()()()r s r s s s s s λβμγ=++. (7.11)求导得1()()()()()[()()()()]()()()()()r s s s s s s s s s s s s s s αλβλκατγμγμτβ'''=++-++- [1()()]()[()()()]()[()()()]()s s s s s s s s s s s λκαλμτβμλτγ''=-+-++.。
微分几何1
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：专业知识课程性质：选修一、课程介绍1.课程描述：微分几何是主要面向数学专业高年级的课程，对进一步理解现代数学和物理学的内容有较大帮助。
在选修本课程之前，学生要熟悉多元函数微积分的内容，了解二次曲面的几何特性，掌握线性空间理论，理解常微分方程初值问题解的存在性定理。
课程包括如下主要内容：向量函数、曲线论、曲面的第一、第二基本形式、曲面论基本定理、测地曲率和测地线等。
2.设计思路：（1）低起点、高终点本课程注重与《空间解析几何》课程在内容上的衔接性，贯彻“从简单到复杂、从基础到前沿”的理念，从向量函数讲起，贯穿曲线论、曲面的第一、第二基本形式，最终达到曲面论基本定理、测地曲率和测地线的高度。
（2）问题驱动、强调几何直观本课程采用问题驱动的模式，追踪溯源，抓住“几何不变量”这一微分几何理论发展的主线，清晰交代理论的研究背景与数学思想，使学生体会到几何理论的发展、几何思想的进化是一种自然而然、逐步深化的过程，从中学习几何学研究的思想与方法。
“几何是数学演绎的舞台”，培养学生通过“几何直觉”来学习与研究数学的能力。
（3）扩展性强本课程注重微分几何的经典理论与现代数学发展前沿的衔接，从更加现代的观点- 1 -介绍经典的理论，为学生打开一扇通往现代数学前沿的窗口。
3.课程与其他课程的关系：先修课程：数学分析I-III、高等代数I-II、空间解析几何、常微分方程；并行课程：拓扑学等；后置课程：无。
二、课程目标本课程以培养学生的空间想象力和直觉能力为主要目标。
学完本课程，应掌握局部微分几何的基本内容，初步了解整体微分几何的研究对象，了解微分几何在数学和物理学领域中的作用。
应能使学生运用解析几何的知识，以微积分和线性代数为工具，解决和处理局部性几何问题和部分整体性几何问题。
到课程结束时，学生应能：（1）掌握微分几何的近代发展史概况；掌握标架的概念，了解向量分析基础知识。
（2）掌握正则参数曲线、弧长、曲率、挠率的概念；能够计算常见曲线的弧长、曲率和挠率；理解标准展开的几何意义，以及Frenet公式的本质。
微分几何课件 课件一：矢量代数小结
何结构代数化为欧几里得矢量空间的一个模型。这 样以来就可以把几何里的一些推论转化为这个欧几 里得矢量模型上的以矢量的运算为基础的代数运算， 因此代数的方法也就引入到几何里来了。
几何结构矢量化，只是将代数运算带到了几何 里来，它可以研究几何里的一些定性问题，如：共
线、共面、中点等。它还不能解决有关定量的问题， 但许多几何问题研究的是数量关系，所以在几何中 要进行数的计算，还要沟通几何结构（或矢量）与 数量的关系。这个关系是通过建立坐标系沟通的。 本章是通过矢量引进标架来建立坐标系和坐标 概念的。在空间，给定一点O和不共线的三个矢量
（1）
或 b 可用 a 线性表出 a b （2）a, b, c 共面 a, b, c 线性相关 不全为零 的一组数 x, y , z 使 xa yb zc 0 a, b, c 中至少有一个是另两个的线性组合 若 a, b 不 共线，则 x, y 使 c xa yb 其中 x, y 被 a
几何结构
几何特征
代数结构
矢量形式
有向线段、点 矢量、径矢
三角形、平行 矢量的加法、 四边形 减法 放大、缩小， 数乘矢量、线 定比分点 性运算 长度、夹角 面积 体积 数性积 矢性积 混合积
(abc) (a b)c
c
O
b
a
(abc) V
矢量加法满足
(1)
(3)
ab ba
(2)(Βιβλιοθήκη )2(10)( a b)c ac bc
aa a (a 0)
(13)
矢性积满足 (12) a b b a
(14)
(a b) ( a) b a (b)
( a b) c (a c) (b c)
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
《微分几何第一节》课件
曲面的参数化表示
1
曲面的参数式表示
2
通过参数方程描述曲面在空间中的运动。
3
曲面的一般式表示
用方程系统描述曲面的参数化表示。
常见曲面的参数化标准式
如平面、球面、圆柱面等常见曲面的参数化 表达。
常见的微分几何量
切矢场、法矢场
描述切矢、法矢随空间的变化情况。
曲率、扭率
刻画曲线、曲面的弯曲程度和旋转性质。
第二基本形式
描述曲面的几何性质和内在结构。
微分几何的坐标表示
1 在欧几里得空间中的坐标表示
2 在流形上的坐标表示
使用笛卡尔坐标系或其他坐标系描述几何对象。
利用不同坐标系描述流形上的几何对象。
微分几何的基本定理
1
Poincaré-Hopf定理
2
研究向量场的拓扑特征和曲面的欧拉特征。
3
Gauss-Bonnet定理
描述曲面的整体几何性质与局部性质之间 的关系。
Stokes定理
连接微分几何和微积分，揭示曲面与流形 上的积分关系。
总结
1 微分几何的重要性
应用广泛且深入，是现代ຫໍສະໝຸດ 学和科学的重要组成部分。2 微分几何的学习建议
加强数学基础，掌握基本概念和定理，进行实际问题的应用探索。
2 切矢、法矢的概念
刻画曲线、曲面上的切向量、法向量。
3 切平面、法平面的概念
描述曲面的局部性质，如曲面上的切平面与法平面。
曲线的参数化表示
1
曲线的一般式表示
用联立方程方式表达曲线的参数化表示。
2
曲线的参数式表示
通过参数方程描述曲线在空间中的运动。
3
常见曲线的参数化标准式
如直线、圆、椭圆等常见曲线的参数化表达。
微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】[1]
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微分几何主要习题解答第一章 曲线论 §2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e×'e=0，而（e×'e2)=22'e e --(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何讲义 王幼宁
目 录
第一章 预备知识 ···································································································1 §1 向量代数复习 ··················································································· 1 一．E3 中 Descartes 直角坐标系 O-xyz 中的点与向量····················· 1 二．向量空间 R3 （起点自由） ······················································ 1 三．E3 中向量的乘积 ······································································· 2 四．在初等几何中的应用例示 ························································ 3 §2 向量函数微积分 ··············································································· 4 一．E3 中实变向量函数 ··································································· 4 二．向量函数的极限、连续和微积分简介 ····································· 5 三．常用几何条件的解析判定式 ···················································· 7 §3 标架和标架场 ··················································································· 9 一．E3 中的单位正交右手标架及其变换 ······································ 10 二．E3 中的刚体运动与等距变换 ·················································· 12 三．E3 中的正交标架场的运动公式 ·············································· 13 四．E3 中的仿射标架 ····································································· 13 第二章 曲线的局部微分几何············································································ 15 §1 参数化曲线与曲线的参数表示 ······················································ 15 一．E3 中参数化曲线的定义 ························································· 15 二．正则曲线 ················································································· 16 三．曲线的等价 ············································································· 18 §2 曲线的弧长和弧长元素 ·································································· 21 一．E3 中正则曲线段的长度 ························································· 22 二．弧长和弧长参数 ····································································· 23 §3 曲线的曲率和 Frenet 标架 ······························································ 25 一．曲率························································································· 25 二．Frenet 标架 ·············································································· 27 §4 曲线的挠率和 Frenet 公式 ······························································ 33 一．挠率························································································· 33 二．Frenet 公式 ·············································································· 36 §5 曲线在一点附近的结构 ·································································· 38
微分几何教案 第一讲
一、E 3中的曲线论.3))(),(),(()(),(:E t z t y t x t r b a t r ∈=→∈0))('),('),('),('()('≠=t r t z t y t x t r 时，)(t r 称为正则的。
定义弧长：()|'()|,|'()|t s t r t dt r t t ==⎰Remark ：弧长与参数的选择无关（即不依赖于参数的选择）。
事实上，设)(,0)('),('0u t u u t ϕϕϕ=>=。
则()(()),'()(())'()'(),r r u r u dr u r u dudr dt r t u dt duϕϕϕ=====以u 为参数的弧长:)(|)('|)('|)('||)(')('||)('|)(0t s t tdt t r duu uu t r du u u u t r du u u u r u s =⎰=⎰=⎰=⎰=ϕϕ以t 为参数的弧长。
当以弧长为参数时，|,)('|)(s r dsdsds t ds == 即1|)('|=s r 。
设曲线),,()(t sht cht t r =，cht t r cht sht t r 2|)('|),1,,()('==, 显然该曲线不是以弧长为参数。
为研究曲线的弯曲情况，首先介绍曲线的曲率。
对于不同的曲线其弯曲程度可能不同，如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大。
从直观来看，曲线弯曲程度较大时，其切向量方向的改变也较快，可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。
曲线)(s r 以弧长s 为参数， 故 1|)('||)('|=∆+=s s r s r 。
|2sin |2|2sin ||)('|2|)(')('|θθ==-∆+s r s r s s r00|sin ||'()'()|2||||2|sin ||'()'()|2lim lim (|''()|)||||2s s r s s r s s s r s s r s r s s s θθ∆→∆→+∆-⇒=∆∆+∆-==∆∆ k s r =|:)(''|曲率。
微分几何(第一课)讲义资料
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度 。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加 的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰 出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几
何。
克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大 学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类。
R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几何学 ，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几 何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几 何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，
从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形
这是我们的教材
陈维恒编著的《微分几何》是北京大学微分 几何课程教材，并为普通高等教育“十五” 国家级规划教材，其前身《微分几何初步》 曾于1995年获教育部优秀教材一等奖。
本书主要介绍了微分几何方面的基础知识、 基本理论和基本方法。主要内容有：Euclid 空间的刚性运动，曲线论，曲面的局部性质， 曲面论基本定理，曲面上的曲线，高维 Euclid空间的曲面等，除第一章外其余各章 均配有习题，以巩固知识并训练解题技巧与 钻研数学的能力。 本书可作为大学数学各专业本科生的教学用 书，也可供数学教师和数学工作者参考。
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刘晓春 武汉大学数学与统计学院
杨振宁
天衣岂无缝，匠心剪接成。 浑然归一体，广邃妙绝伦。 造化爱几何，四力纤维能。 千古寸心事，欧高黎嘉陈。
微分几何学是什么？
微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或 曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几 何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的 性质的数学分支学科。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼科
夫等进一步发展了射影微分几何。
后期应用
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中 得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特 色、应用广泛的独立学科。
微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广 泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机 械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微 分几何学的理论。
从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维 从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本 身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科 及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。
微分几何学的基本内容
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微 分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展 开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性 质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率 等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲 面上每一点的曲率就要用到微分的方法。
在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它 成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展， 导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微 分几何的建立。
射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906 年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又 经以富比尼为首的意大利学派所发展。
十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与 活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微 分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极 为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛和 示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉 的里程碑。
在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如， 在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最 短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微 分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的 一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面 在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
F.Frenet(1816~1868)与J.Serret(1819~1885)分别 于1847年和1851年独立地得出现在通称的 Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空间曲 线论才最后统一起来。
高斯（德国，1777-1855，）：1827年，发表了 《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何 的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形 式曲面论的基础。
R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几何学 ，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几 何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几 何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，
从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形
整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现 代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及 与之有关的非线性分析。
在线性理论中，一个突出的成果是Atiyah和Singer 的指标定理：紧致微分流形上的一个线性椭圆算 子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数， 其差称为指标，这个定理指出，这种指标可以表 示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑 不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的 指标定理等都是它的特殊情形。
。
G. Monge（法国,1746-1818）：在筑城垒这个 实际问题的推动下，他1771年开始写了关于 空间曲线论的论文，发表于1785年，他用的 是几何方法，并反映了他对偏微分方程的兴
趣。Monge写了第一本微分几何课本《分析 在 几何学上的应用》 ，这是微分几何最早的
一 本著作。1807年出版，这课本共印了五 版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见该 书在当时的重要作用。
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲 面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、 拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系， 这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现 代数学的中心问题之一。
微分几何与分析学新的结合
微分方程：达布的《曲面论》一书就包含了丰 富的古典微分方程的内容。é.嘉当和凯勒所发 展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一 大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的 方法。
上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度 。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加 的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰 出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几
何。
克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大 学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类。
微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分 几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了 曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上 只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上 曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域 的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他 的理论奠定了近代形式曲面论的基础。