江苏省常州市中考数学试题(解析版)

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初中毕业升学考试(江苏常州卷)数学(解析版)(初三)中考真卷.doc

初中毕业升学考试（江苏常州卷）数学（解析版）（初三）中考真卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】﹣2的绝对值是（）A. ﹣2B. 2C.D.【答案】B【解析】试题分析：|﹣2|=2．故选B．考点：绝对值．【题文】计算3﹣（﹣1）的结果是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【答案】D．【解析】试题分析：3﹣（﹣1）=4，故选D．考点：有理数的减法．【题文】如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（）A．圆柱体 B．三棱锥 C．球体 D．圆锥体【答案】A．【解析】试题分析：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体．故选A．考点：数轴．【题文】如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）评卷人得分A．cm B．5cm C．6cm D．10cm【答案】B．【解析】试题分析：如图，连接MN，∵∠O=90°，∴MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm，∴MN===10（cm），∴该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm．故选B．考点：圆周角定理；勾股定理．【题文】若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．【答案】D．【解析】试题分析：A．在不等式x＞y两边都加上1，不等号的方向不变，故A正确；B．在不等式x＞y两边都乘上2，不等号的方向不变，故B正确；C．在不等式x＞y两边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D．当x=1，y=﹣2时，x＞y，但，故D错误．故选D．考点：不等式的性质．【题文】已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为P，则CP的长可能是（）A．2 B．4 C．5 D．7【答案】A．【解析】试题分析：如图，根据垂线段最短可知：PC＜3，∴CP的长可能是2，故选A．考点：垂线段最短．【题文】已知一次函数（k≠0）和二次函数（a≠0）的自变量和对应函数值如表：当时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞4 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1或x＞4【答案】D．【解析】试题分析：由表可知，（﹣1，0），（0，1）在直线一次函数的图象上，∴，∴，∴一次函数y1=x+1，由表可知，（﹣1，0），（1，﹣4），（3，0）在二次函数（a≠0）的图象上，∴，∴，∴二次函数.当时，∴，∴（x﹣4）（x+1）＞0，∴x＞4或x＜﹣1，故选D．考点：二次函数与不等式（组）．【题文】化简：=．【答案】．【解析】试题分析：原式==．故答案为：．考点：二次根式的加减法．【题文】若分式有意义，则x的取值范围是．【答案】x≠﹣1．【解析】试题分析：∵分式有意义，∴x+1≠0，即x≠﹣﹣1．故答案为：x≠﹣1．考点：分式有意义的条件．【题文】分解因式：=．【答案】．【解析】试题分析：==．故答案为：．考点：提公因式法与公式法的综合运用．【题文】一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为．【答案】6．【解析】试题分析：360÷60=6．故这个多边形边数为6．故答案为：6．考点：多边形内角与外角．【题文】若代数式的值与的值相等，则的值为____．【答案】﹣4．【解析】试题分析：根据题意得：x﹣5=2x﹣1，解得：x=﹣4，故答案为：﹣4．考点：解一元一次方程．【题文】在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 km ．【答案】2.8km．【解析】试题分析：设这条道路的实际长度为x，则：，解得x=280000cm=2.8km，∴这条道路的实际长度为2.8km．故答案为：2.8．考点：比例线段．【题文】已知正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数（k≠0）图象的一个交点坐标为（﹣1，﹣1），则另一个交点坐标是．【答案】（1，1）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（﹣1，﹣1）关于原点对称，∴该点的坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．【题文】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=__________．【答案】50°．【解析】试题分析：∵∠A=70°，∴∠C=180°﹣∠A=110°，∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°，∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°，故答案为：50°．考点：圆内接四边形的性质．【题文】已知x、y满足，当0≤x≤1时，y的取值范围是．【答案】1≤y≤．【解析】试题分析：∵，∴，即，∴x+2y=3，∴y=，∵0≤x≤1，∴1≤y≤．故答案为：1≤y≤．考点：解一元一次不等式组；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【题文】如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE 面积的最大值是．【答案】1．【解析】试题分析：先延长EP交BC于点F，得出PF⊥BC，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，最后根据，判断ab的最大值即可．试题解析：延长EP交BC于点F，∵∠APB=90°，∠AOE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b，，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a×b=ab，又∵≥0，∴2ab≤，∴ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；最值问题．【题文】先化简，再求值，其中x=．【答案】﹣5x+1．【解析】试题分析：根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．试题解析：原式== =﹣5x+1当x=时，原式=﹣5×+1=．考点：多项式乘多项式．【题文】解方程和不等式组：（1）；（2）．【答案】（1）x=；（2）﹣1＜x≤2．【解析】试题分析：（1）先把分式方程化为整式方程求出x的值，再代入最简公分母进行检验即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．试题解析：（1）原方程可化为x﹣5=5﹣2x，解得x=，把x=代入2x﹣5得，2x﹣5=≠0，故x=是原分式方程的解；（2），由①得，x≤2，由②得，x＞﹣1，故不等式组的解为：﹣1＜x≤2．考点：解分式方程；解一元一次不等式组．【题文】为了解某市市民晚饭后1小时内的生活方式，调查小组设计了“阅读”、“锻炼”、“看电视”和“其它”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名市民；（2）补全条形统计图；（3）该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数．【答案】（1）2000；（2）作图见解析；（3）96万．【解析】试题分析：（1）根据“总人数=看电视人数÷看电视人数所占比例”即可算出本次共调查了多少名市民；（2）根据“其它人数=总人数×其它人数所占比例”即可算出晚饭后选择其它的市民数，再用“锻炼人数=总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数”即可算出晚饭后选择锻炼的人数，依此补充完整条形统计图即可；（3）根据“本市选择锻炼人数=本市总人数×锻炼人数所占比例”即可得出结论．试题解析：（1）本次共调查的人数为：800÷40%=2000，故答案为：2000．（2）晚饭后选择其它的人数为：2000×28%=560，晚饭后选择锻炼的人数为：2000﹣800﹣240﹣560=400．将条形统计图补充完整，如图所示．（3）晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为：400÷2000=20%，该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为：480×20%=96（万）．答：该市共有480万市民，估计该市市民晚饭后1小时内锻炼的人数为96万．考点：条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．【题文】一只不透明的袋子中装有1个红球、1个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，求摸到红球的概率；（2）搅匀后从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）直接利用概率公式求解；（2）先利用画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（1）摸到红球的概率=；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为1，所以两次都摸到红球的概率=．考点：列表法与树状图法；概率公式．【题文】如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O，（1）求证：OB=OC（2）如果∠ABC=50o，求∠BOC的度数。

2020年江苏省常州市中考数学试卷(含解析版)

2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．22．（2分）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．（2分）8的立方根为（）A．B．C．2D．±25．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+16．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（2分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4C．3D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）分解因式：x3﹣x＝．13．（2分）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．14．（2分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．（2分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．2【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．（2分）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．【点评】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4．（2分）8的立方根为（）A．B．C．2D．±2【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．【解答】解：8的立方根是＝＝2，故选：C．【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是．5．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．8．（2分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4C．3D．6【分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM ＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11．（2分）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（2分）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13．（2分）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是k＞0．【分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大．14．（2分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC ＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，）．【分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，∴C（2，），故答案为：（2，）．【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17．（2分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45°，∴∠ECG＝90°，设AC＝2，BC＝1，∴CE＝2，CG＝，∴tan∠GEC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．【分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．【点评】本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．【分析】（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是100；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝＝．【点评】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x，答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是1；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【分析】（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN•NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．【点评】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝﹣4；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE ＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB ＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，∴点F（，0），∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，∴，解得，∴点H坐标为（，﹣），∵FH＝QH，∴点Q（，﹣），∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，联立方程组，解得：或，∴点P（，﹣）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，。

2023年江苏省常州市中考数学测试试题附解析

2023年江苏省常州市中考数学测试试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是（）A．路灯的左侧B．路灯的右侧C．路灯的下方D．以上都可以2．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）A．34B．23C．12D．143．在二次根式23，625-，116，5149和232中，能与6进行加减合并同类项的有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个4．下图几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．已知正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0），y随x的增大而减小，则一次函数y ax a=-+的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．若0a<，则下列各点中在第二象限内的（）A．（-2，a）B．（-2，a-）C．（a，-2）D．（a-，2）7．12xy=⎧⎨=⎩是方程ax－y＝3的解，则a的取值是（）A．5 B．－5 C．2 D．18．如图，每个小正方形网格的边长都为1，右上角的圆柱体是由左下角的圆柱体经过平移得到的.下列说法错误的是（）A．先沿水平方向向右平移4个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度，然后再沿水平方向向右平移3个单位长度B．先沿水平方向向右平移7个单位长度，再向上沿垂直的方向平移4个单位长度C．先向上沿垂直的方向平移4个单位长度，再沿水平方向向右平移7个单位长度D．直接沿正方形网格的对角线方向移动7个单位长度9．在△ABC和△A′B′C′中，①AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′；④∠A=∠A′；⑤∠B=∠8′；⑥∠C=∠C′，则下列条件中不能使△ABC≌△A′B′C′的是（）A．②④⑤B．①②③C．①③⑤D．①②⑤二、填空题10．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AmB上，则∠C的度数为______．11．如图，每个小正方形的边长为 1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是 .解答题12．□ABCD的周长为l8cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△COB的周长大2 cm，则AB= ，PC= ．13．某汽车每小时耗油6 kg，该车在行驶t(h)后耗去了Q(kg)油，即Q=6t，其中常量是，变量是．14．过圆上一点可以作圆的条切线；过圆外一点可以作圆的条切线．15．在△ABC 和△DEF 中，AB=4，，∠A=35°，∠B =70°, DE=4 ,∠D = ，∠E=70°，根据判定△ABC≌△DEF.16．有一块绿地的形状如图所示，则它的面积表达式经化简后结果为．17．箱子中有6个红球和2个白球，它们除颜色外都相同．摇匀后，若随意摸出一球，摸到红球的概率是_____ _.18．相似变换不改变图形的；图形中每条线段都．19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，则△ABC斜边上的高是，AB 边上的高是，△ADB的BD边上的高是．三、解答题20．已知△ABC，P 是边 AB 上的一点，连结CP，问：(1) △ACP 满足什么条件时，△ACP∽△ABC；A B CD FE (2) AC ：AP 满足什么条件时，△ACP ∽△ABC.21．己知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长的最小值，以及当斜边长达到最小值时的两条直角边的长．当两条直角边都为1时，斜边长最小，最小值为 222．1．有 300 个零件要一天内加工完毕，设当工作效率为每人每天加工x 个时，需工人y 个.(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)当x 为50时，求y 的值；(3)当x 从30增加到60时，需要的人数相应减少了多少？23．如图，已知AOB OA OB ∠=，，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠的平分线（请保留画图痕迹）．24．在菱形ABCD 中，∠A 与∠B 的度数比为1：2，周长是48cm ．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．25．已知：如图，E ，F 分别是□ABCD 的边AD ，BC 的中点，求证：DE ＝DF.26．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是CD边的中点，连结BE并延长与AD的延长线交于点F．求证：BC=DF．27．判断命题“有两边长分别为3和4的等腰三角形的周长是l0”的真假，并说明理由．28．下表是某市4所中学举行男子足球单循环赛的成绩登记表. 表中①与②表示的是同一场比赛，在这场比赛中一中进了 3 个球，三中进了2个球，即一中以 3：2胜三中，或者说三中以2：3 负于一中，其余依次类推. 按照比赛规则胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.(1)本次足球单循环赛共进行了几场比赛？你能排出他们的名次吗？(2)求各场比赛的平均进球数；(3)求备场比赛进球数的众数和中位数.29．如图，一根旗杆在离地面9 m处的B点断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前有多高?30．从1，2，3，4，5中任取两个数相加．求：(1）和为偶数的概率；（2）和为偶数的概率或和为奇数的概率；（3）和为奇数的概率．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．A3．B4．C5．B6．B7．A8．D9．C二、填空题10．30° •12．5．5 cm ，3．5 cm13．6；Q 、t14．1；215．35°, ASA16．2x 2+xy17．43 18．每一个角的大小，扩大(或缩小)相同的倍数19．BD ，BC ，AD三、解答题20．（1）∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ；(2）AC AB AP AC=时，△ACP ∽△ABC. 21．22．(1)由300xy =，得300(0)y x x=>； (2)当 x= 50 时，300650y == (3)当 x= 30 时，y= 10；当 x=60 时，y=5，∴需要的人数相应减少了10—5=5(人)．23．连结AB 、EF 相交于点P ，连结OP ，OP 就是所求的AOB ∠的平分线（图略）． 24．（1）12cm ，；（2）cm 2提示：四边形BEDF是平行四边形．26．证△DEF≌△CEB(AAS)即可27．是假命题，当腰为4，底边为3时，三角形的周长为1128．(1)6场比赛，二中是第一名，一中是第二名，三中是第三名，四中是第四名；(2)各场比赛的进球数为1，5，2，2，3，5．∴平均进球数16x=⨯（1+5+2+2+3+5）=3(个)；(3)各场比赛进球数的众数2个和5个，中位数为2．5个．29．24 m30．（1）25；（2）1；（3）35。

精品解析：2023年江苏省常州市中考数学真题(解析版)

2023年江苏省常州市中考数学真题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.计算28a a ÷的结果是（）A.4a B.6a C.10a D.16a 【答案】B【解析】【分析】利用同底数幂的除法进行解题即可．【详解】解：82826a a a a -÷==，故选B ．【点睛】本题考查同底数的幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．2.若代数式21x x -的值是0，则实数x 的值是（）A.1- B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由20,10x x =-≠即可求解．【详解】解：由分母不为零得：210,1x x -≠≠±∵代数式21x x -的值是0∴0x =综上：0x =故选：B【点睛】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零．掌握分式有意义的条件是关键．3.某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是()A. B. C.D.【答案】C【解析】【详解】从正面看到的图形如图所示：，故选C ．4.下列实数中，其相反数比本身大的是（）A.2023- B.0 C.12023 D.2023【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可．【详解】解：A.2023-的相反数是()20232023--=，则20232023>-，故该选项符合题意；B.0的相反数是()00-=，则00=，故该选项不符合题意；C.12023的相反数是12023-，则1120232023-<，故该选项不符合题意；B.2023的相反数是2023-，则20232023<-，故该选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较．5.2022年10月31日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B 遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功．长征五号B 运载火箭可提供1078t 起飞推力．已知1t 起飞推力约等于10000N ，则长征五号B 运载火箭可提供的起飞推力约为（）A.51.07810N⨯ B.61.07810N⨯ C.71.07810N ⨯ D.81.07810N ⨯【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可．【详解】解：1078t 10780000N =，则710780000N 1.07810N =⨯，故选：C ．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题时注意用科学记数法表示较大的数时，10n a ⨯中a 的范围是110a ≤<，n 是正整数．6.在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为(2,1)，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（）A.(2,1)-- B.(2,1)- C.(2,1)- D.(2,1)【答案】C【解析】【分析】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点()x y ，关于y 轴的对称点的坐标是()x y -，，即点P 的坐标为()21，关于y 轴对称的点的坐标．【详解】点P ()21，关于y 轴的对称点的坐标是()21-，，故选C ．【点睛】此题主要考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．7.小明按照以下步骤画线段AB 的三等分点：画法图形1．以A 为端点画一条射线；2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC 、CD 、DE ，连接BE ；3．过点C 、D 分别画BE 的平行线，交线段AB于点M 、N ，M 、N 就是线段AB 的三等分点．这一画图过程体现的数学依据是（）A.两直线平行，同位角相等B.两条平行线之间的距离处处相等C.垂直于同一条直线的两条直线平行D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【答案】D【解析】【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：M、N就是线段AB的三等分点故选：D【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．8.折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志的折返跑，用时18s在整个过程中，他的速度大小v（m/s）随时间t（s）变物．小华练习了一次250m化的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①，由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，故他的速度大小v（m/s）随时间t（s）变化的图像可能是D．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上）9.9的算术平方根是_____．【答案】3【解析】【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．【详解】∵239=，∴9算术平方根为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．10.分解因式：x 2y -4y =____．【答案】y (x +2)(x -2)【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x 2y -4y =y (x 2-4)=y (x +2)(x -2)，故答案为：y (x +2)(x -2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．11.计算：)0112--+=________．【答案】32【解析】【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可．【详解】解：)011312122--+=+=．故答案为：32．【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．12.若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x 、y ，则y 与x 的函数表达式为______．【答案】10y x=【解析】【分析】根据题意列出反比例函数解析式，即可．【详解】解：∵矩形的面积是10，相邻两边的长分别为x 、y ，故10xy =，则10y x=，故答案为：10y x=．【点睛】本题考查了求函数解析式，解题的关键是根据矩形的面积公式推得10xy =．13.若圆柱的底面半径和高均为a ，则它的体积是______（用含a 的代数式表示）．【答案】3πa 【解析】【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积⨯圆柱的高，可得23ππV a a a == ．故答案为：3πa ．【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．14.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是______．【答案】59【解析】【分析】根据几何概率的求解公式即可求解．【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积，∴击中阴影部分的概率是59，故答案为：59．【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式．15.如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，点D 在边AB 上，连接CD ．若BD CD =，13AD BD =，则tan B =_____．【答案】22122【解析】【分析】由题意可设AD x =，则3CD x =，4AB x =，在Rt ADC 中求得22AC x =，在Rt ABC △中求出答案即可．【详解】解：BD CD = ，13AD BD =，设AD x =，则3BD CD x ==，4AB x =，在Rt ADC 中，由勾股定理得：22AC x =，在Rt ABC △中，222tan 42AC B AB ===．【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．16.如图，AD 是O 的直径，ABC 是O 的内接三角形．若DAC ABC ∠=∠，4AC =，则O 的直径AD =______．【答案】42【解析】【分析】连接CD ，OC ，根据在同圆中直径所对的圆周角是90︒可得=90ACD ∠︒，根据圆周角定理可得COD COA ∠=∠，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得AC CD =，根据勾股定理即可求解．【详解】解：连接CD ，OC ，如图：∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ∠︒，∵DAC ABC ∠=∠，∴COD COA ∠=∠，∴AC CD =，又∵4AC =，∴4CD =，在Rt ACD △中，2222442AD AC CD =+=+=，故答案为：42【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90︒，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．17.如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均无缝隙）．在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面．若这台扫地机能从角落自由进出，则图中的x 至少为_______（精确到个位，参考数据：21 4.58≈）．【答案】46【解析】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题．【详解】解：如图过点A 、B 分别作墙的垂线，交于点C ，则()60cm AC x =-，603030cm BC =-=，在Rt ABC 中，222AC BC AB +=，即()2226030x AB -+=∵这台扫地机能从角落自由进出，∴这台扫地机的直径不小于AB 长，即最小时为()222603033x -+=，解得：160x =+（舍），16046cm x =-+≈，∴图中的x 至少为46cm ，故答案为：46．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．18.如图，在Rt ABC △中，904BAC AB AC ∠=︒==，，D 是AC 延长线上的一点，2CD =．M 是边BC 上的一点（点M 与点B 、C 不重合），以CD CM 、为邻边作CMND ．连接AN 并取AN 的中点P ，连接PM ，则PM 的取值范围是______．【答案】252PM ≤<【解析】【分析】过点B 作BN CD '∥交CD 的延长线于点N '，连接AN '，过点P 作BC 的平行线交AN '于点P '，交AD 于点P ''，连接BP '，过点P ''作P G BC ''⊥，分析可知BP '为PM 的最大值，P G ''为PM 的最小值，据此即可求解．【详解】解：过点B 作BN CD '∥交CD 的延长线于点N '，连接AN '，过点P 作BC 的平行线交AN '于点P '，交AD 于点P ''，连接BP '，过点P ''作P G BC ''⊥，如图所示：由题意得：点N 在线段N N '''上运动（不与点,N N '''重合），点P 在线段P P '''上运动（不与点,P P '''重合），∴BP '为PM 的最大值，当PM BC ⊥时，PM 取得最小值，最小值等于P G ''的长，∵904BAC AB AC ∠=︒==，，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵BN CD '∥，∴45,90N BC ABN ''∠=︒∠=︒故，∵CMND 且2CD =，∴222,25BN AN AB BN '''==+=∵P 为AN 的中点，∴152BP BN ''==∵P 为AN 的中点，∴P ''为AN ''的中点，∴13,12AP AN P C ''''''===，∵45ACB ∠=︒，∴222,P G CG P C P G CG ''''''==+，故2P G ''=，∵点M 与点B 、C 不重合，∴PM的取值范围是2PM ≤<，故答案为：22PM ≤<．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理、动点轨迹问题，平行四边形的判定和性质，垂线段最短等知识的综合．根据题意确定动点轨迹是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.先化简，再求值：2(1)2(1)x x +-+，其中x =．【答案】21x -；1【解析】【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案．【详解】原式22122x x x =++--21x =-．当x =时，原式21=-1=．【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键．20.解不等式组480,113x x x -≤⎧⎪+⎨<+⎪⎩，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．【答案】12x -<≤，整数解为：0，1，2【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案．【详解】解：480113x x x -≤⎧⎪⎨+<+⎪⎩①②，由①得，2x ≤，由②得，1x >-，故不等式组的解集为：12x -<≤，在解集在数轴上表示出来为：它的整数解为0，1，2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集，注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变．21.为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：（1）根据图中信息，下列说法中正确的是______（写出所有正确说法的序号）：①这20名学生上学途中用时都没有超过30min ；②这20名学生上学途中用时在20min以内的人数超过一半；③这20名学生放学途中用时最短为5min；④这20名学生放学途中用时的中位数为15min．（2）已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25min的人数；（3）调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．【答案】（1）①②③（2）20（3）直线的解析式为：y x=；这条直线可近似反映该学校放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．【解析】【分析】（1）根据图中信息，逐项分析即可求解；（2）根据图中信息，可得上学途中用时超过25min的学生有1人，用总人数×抽取的学生中上学用时超过25min学生所占比例；即可求解；（3）先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式．【小问1详解】解：根据在坐标系中点的位置，可知：这20名学生上学途中所有用时都是没有超过30min的，故①说法正确；这20名学生上学途中用时在20min以内的人数为：17人，超过一半，故②说法正确；这20名学生放学途中用时最段的时间为5min，故③说法正确；这20名学生放学途中用时的中位数是用时第10和第11的两名学生用时的平均数，在图中，用时第10和第11的两名学生的用时均小于15min，故这20名学生放学途中用时的中位数也小于15min，即④说法错误；故答案为：①②③．【小问2详解】解：根据图中信息可知，上学途中用时超过25min的学生有1人，故该校八年级学生上学途中用时超过25min的人数为14002020⨯=（人）．【小问3详解】解：如图：设直线的解析式为：y kx b =+，根据图象可得，直线经过点()10,10，()7,7，将()10,10，()7,7代入y kx b =+，得：101077k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得：10k b =⎧⎨=⎩，故直线的解析式为：y x =；则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．【点睛】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．22.在528；③1；④乘法；⑤加法．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A 中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B 中搅匀．（1）从盒子A 中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是______；（2）先从盒子A 中任意抽出2支签，再从盒子B 中任意抽出1支签，求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．【答案】（1）23（2）56【解析】【分析】（1）先判断盒子A 中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．【小问1详解】=均为无理数，故盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是2 3．故答案为：2 3．【小问2详解】解：树状图画出所有情况为：即抽签的组合有12种，分别为：对应的组合运算结果共12个，其中运算结果为无理数的有10个，故抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为105126=．【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运算的结果，判断结果是无理数的个数．23.如图，B 、E 、C 、F 是直线l 上的四点，AB DE AC DF BE CF ===，，．（1）求证：ABC DEF ≌△△；（2）点P 、Q 分别是ABC 、DEF 的内心．①用直尺和圆规作出点Q （保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接PQ ，则PQ 与BE 的关系是________．【答案】（1）见解析（2）①见解析②,PQ BE PQ BE= 【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．（1）可证得BC EF =，结合AB DE =，AC DF =即可证明结论．（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为ABC DEF ≌△△，所以DEF 可看作由ABC 平移得到，点Q ，点P 为对应点，点B ，点E 为对应点，据此即可求得答案．【小问1详解】∵BE CF =，BC BE EC =+，EF CF EC =+，∴BC EF =．在ABC 和DEF 中AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ABC DEF ≌△△．【小问2详解】①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作DEF ∠，DFE ∠的角平分线，其交点即为点Q．②因为ABC DEF ≌△△，所以DEF 可看作由ABC 平移得到，点Q ，点P 为对应点，点B ，点E 为对应点，根据平移的性质可知,PQ BE PQ BE = ．故答案为：,PQ BE PQ BE = ．24.如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？【答案】1cm【解析】【分析】设页边距为cm x ，根据题意找出等量关系列方程，解方程即可解题．【详解】解：设页边距为cm x ，则列方程为：()()162102161070%x x --=⨯⨯，解得：11x =，212x =（舍去），答：页边距为1cm ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程式解题的关键．25.在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x=的图像相交于点(2,4)A 、(4,)B n ．C 是y 轴上的一点，连接CA 、CB ．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）若ABC 的面积是6，求点C 的坐标．【答案】（1）6y x =-+，8y x=（2）()00，或()012，【解析】【分析】（1）先把点A 坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；（2）设点()0,C t ，点E 是一次函数6y x =-+与y 轴的交点，求出()06E ，，则6CE t =-，再由ABC BEC AEC S S S =- ，得到66t -=，问题随之得解．【小问1详解】解：点(2,4)A 在比例函数m y x=上，∴42m =，∴8m =，∴反比例函数解析式为8y x =，∵点(4,)B n 在反比例函数8y x =上，∴84n =，∴2n =，∴(4,2)B ，∵点A ，点B 在一次函数y kx b =+的图象上，∴2442k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：16k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为6y x =-+．【小问2详解】解：如图，所示：根据题意：设点()0,C t ，∵点E 是一次函数6y x =-+与y 轴的交点，∴点()06E ，，∴6CE t =-，∵(2,4)A ，(4,2)B ，∴ABC BEC AEC S S S =- ，1122B A CE x CE x =⨯⨯-⨯⨯()162B A t x x =⨯-⨯-6t =-，∵6ABC S = ，∴66t -=，∴0=t 或12t =，∴点C 的坐标为()00，或()012，．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．26.对于平面内的一个四边形，若存在点O ，使得该四边形的一条对角线绕点O 旋转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O 是该四边形的一个“旋点”．例如，在矩形MNPQ 中，对角线MP 、NQ 相交于点T ，则点T 是矩形MNPQ 的一个“旋点”．（1）若菱形ABCD 为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD 的边长是_______；（2）如图1，四边形ABCD 为“可旋四边形”，边AB 的中点O 是四边形ABCD 的一个“旋点”．求ACB ∠的度数；（3）如图2，在四边形ABCD 中，AC BD =，AD 与BC 不平行．四边形ABCD 是否为“可旋四边形”？请说明理由．【答案】（1）2（2）90︒（3）是【解析】【分析】（1）根据“可旋四边形”的性质可得AC BD =，根据正方形的判定可得菱形ABCD 为正方形，根据正方形四条边都相等的性质即可求解；（2）连接OC ，根据“可旋四边形”的性质和题意可得OC OB =，OA OB =，推得OC OB OA ==，根据等边对等角可得OCB OBC ∠=∠，OAC OCA ∠=∠，根据三角形内角和定理即可求出结果；分别作AD ，BC 的垂直平分线，交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，根据垂直平分线的性质可得OA OD =，OC OB =，根据全等三角形的判定和性质可得AOC BOD ∠=∠，求得AOD BOC ∠=∠，即可证明四边形ABCD 是“可旋四边形”．【小问1详解】解：∵菱形ABCD 为“可旋四边形”，则菱形ABCD 的一条对角线AC 绕点O 旋转一定角度后能与另一条对角线BD 重合，即AC BD =，则菱形ABCD 为正方形，∵菱形ABCD 的面积为4，∴菱形ABCD 的边长是42=．故答案为：2．【小问2详解】解：连接OC ，如图：∵四边形ABCD 为“可旋四边形”，且点O 是四边形ABCD 的一个“旋点”，∴OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∵点O 是边AB 的中点，∴OA OB =，∴OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∵180OAC OCA OCB OBC ∠+∠+∠+∠=︒，即()2180OCA OCB ∠+∠=︒，∴90ACB ∠=︒．【小问3详解】解：四边形ABCD 是“可旋四边形”；理由如下：分别作AD ，BC 的垂直平分线，交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD，如图：∵点O 在线段AD 和线段BC 的垂直平分线上，∴OA OD =，OC OB =，在AOC 和DOB 中，OA OD AC BD OC OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS AOC DOB ≌ ，∴AOC BOD ∠=∠，则AOC DOC BOD DOC ∠-∠=∠-∠，即AOD BOC ∠=∠，∴四边形ABCD 是“可旋四边形”．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做辅助线，构建全等三角形．27.如图，二次函数2142y x bx =+-的图像与x 轴相交于点(2,0)A B -、，其顶点是C．（1）b =_______；（2）D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，5tan 2AOD ∠=；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(,0)k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知PCQ △是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】（1）1-；（2）3k ≤-；（3）53,2⎛⎫-⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）把(2,0)A -代入2142y x bx =+-即可求解；（2）过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设21,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D m m m ，由21452tan 2m m DM AOD OM m -++∠===-，解得51,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为()219322y x =+-，根据二次函数得性质即可得解；（3）先设出平移后顶点为24,12p P p p ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，根据原抛物线()219122y x =--，求得原抛物线的顶点91,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为x =1，进而得271,22Q p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再根据勾股定理构造方程即可得解．【小问1详解】解：把(2,0)A -代入2142y x bx =+-得，()()2102242b =⨯-+⨯--，解得1b =-，故答案为1-；【小问2详解】解：过点D 作DM ⊥OA 于点M，∵1b =-，∴二次函数的解析式为2142y x x =--设21,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D m m m ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，5tan 2AOD ∠=，∴21452tan 2m m DM AOD OM m -++∠===-，解得m =1-或m =8（舍去），当m =1-时，2115414222m m --=+-=-，∴51,2D ⎛⎫--⎪⎝⎭，∵()2211941222y x x x =--=--，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为()29212y x a -=+，把51,2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()29212y x a -=+得()22511292a =+---，解得a =3或a =1-（舍去），∴平移后得抛物线为()219322y x =+-∵过点(,0)k 作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在()219322y x =+-的对称轴x =3-的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴3k ≤-；【小问3详解】解：由()219122y x =--，设平移后的抛物线为()212q y x p =+-，则顶点为(),P p q ，∵顶点为(),P p q 在()219122y x =--上，∴()2249211122q p p p =----=，∴平移后的抛物线为()2211422y x p p p +=---，顶点为24,12p P p p ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∵原抛物线()219122y x =--，∴原抛物线的顶点91,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴271,22Q p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵PCQ △是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴222QC PC PQ =+，∴()()222222222179972112222422142p p p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪⎝⎛⎫--+=-++-+++⎭⎝ ⎪⎭⎭⎝化简得()()()21310p p p --+=，∴p =1（舍去），或p =3或p =1-，当p =3时，221154334222p p --=⨯--=-，当p =1-时，()21511422⨯-+-=-，∴点P 坐标为53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或51,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．28.如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD 和矩形EFGH ，点E 、F 在边AB 上（AB EF <），且点C 、D 、G 、H 在直线AB 的同侧；第二步，设置,AB EF m n AD EH==，矩形EFGH 能在边AB 上左右滑动；第三步，画出边EF 的中点O ，射线OH 与射线AD 相交于点P （点P 、D 不重合），射线OG 与射线BC 相交于点Q （点Q 、C 不重合），观测DP 、CQ 的长度．（1）如图2，小丽取4313AB EF m n ====，，，，滑动矩形EFGH ，当点E 、A 重合时，CQ =______；（2）小丽滑动矩形EFGH ，使得O 恰为边AB 的中点．她发现对于任意的m n DP CQ ≠=，总成立．请说明理由；（3）经过数次操作，小丽猜想，设定m 、n 的某种数量关系后，滑动矩形EFGH ，DP CQ =总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】（1）73；（2）见解析；（3）小丽的猜想正确，理由见解析．【解析】【分析】（1）证GOF QOB ∽，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；（2）证GOF QOB ∽得BQ OB GF OF =，同理可得AP OA HE OE =，由OA OB =，OE OF =，得BQ AP GF HE =，进而有BQ AP =，再根据矩形的性质即可得证；（3）当m n =时，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，由AB EF AD EH =，O 恰为边EF 的中点，得AB BC EF O B F F O O ==，进而证GOF CMB ∽，得GOF CMB ∠∠=，于是有CM OQ ，由平行线分线段成比例得CQ CB OM BM =，同理可证：DP AD OM AM =，于是有CQ CB AD DP OM BM AM OM===，从而即可得解．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴EH FG =，BC AD =，90B OFG ∠∠==︒，∵1,3AB EF m n AD EH====，43AB EF ==，，∴4AB AD ==，1FG EH ==，∴O 是EF 的中点，∴OA OF ==1322EF =，∴OB AB OA =-=35422-=，∵B OFG ∠∠=，GOF QOB ∠∠=，∴GOF QOB ∽，∴BQ OB GF OF =即5523132BQ ==，∴53BQ =，∴73CQ BC BQ =-=，故答案为：73；【小问2详解】证明：如下图，解：∵小丽滑动矩形EFGH ，使得O 恰为边AB 的中点，∴OA OB =，OE OF =，∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴90B OFG ∠∠==︒，AD BC =，GF HE =，∵GOF QOB ∠∠=，∴GOF QOB ∽，∴BQ OB GF OF =，同理可得AP OA HE OE =，∵OA OB =，OE OF =，∴OB OA OF OE =，∴BQ AP GF HE =，∵GF HE =，∴BQ AP =，∵AD BC =，∴DP CQ =；【小问3详解】解：小丽的猜想正确，当m n =时，DP CQ =总成立，理由如下：如下图，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴90B OFG ∠∠==︒，AD BC =，GF HE =，∵,AB EF m n AD EH ==，m n =，∴AB EF AD EH =，∵O 恰为边EF 的中点，M 是AB 的中点，∴MA MB =，OE OF =，∴AB EF AD EH =，∴AB BC EF O B F F O O ==，∵90B OFG ∠∠==︒，∴GOF CMB ∽，∴GOF CMB ∠∠=，∴CMOQ ，∴CQ CB OM BM =，同理可证：DP AD OM AM=，∵AD BC =，∴CQ CB AD DP OM BM AM OM===，∴DP CQ =，∴小丽的猜想正确．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，比例的性质，平行线的判定及性质以及中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．。

常州市中考数学试卷及答案(Word解析版)

江苏省常州市中考数学试卷一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）（•常州）在下列实数中，无理数是（）A．2B．3.14 C．D．考点：无理数．分析：根据无理数，有理数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、2是有理数，故本选项错误；B、3.14是有理数，故本选项错误；C 、﹣是有理数，故本选项错误；D 、是无理数，故本选项正确．故选D．点评：主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2．（2分）（•常州）如图所示圆柱的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图分析：找到从左面看所得到的图形即可．解答：解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选C．点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．3．（2分）（•常州）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（）A．B．C．D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征分析：设将点（1，﹣1）代入所设的反比例函数关系式y=（k≠0）即可求得k的值．解答：解：设经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是y=（k≠0），则﹣1=，解得，k=﹣1，所以，所求的函数关系式是y=﹣或．故选A．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上点的坐标都满足该函数解析式．4．（2分）（•常州）下列计算中，正确的是（）A．（a3b）2=a6b2B．a•a4=a4C．a6÷a2=a3D．3a+2b=5ab考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、（a3b）2=a6b2，故本选项正确；B、a•a4=a5，故本选项错误；C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误；D、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，理清指数的变化是解题的关键．5．（2分）（•常州）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，下列结论中正确的是（）A．甲组数据比乙组数据的波动大B．乙组数据的比甲组数据的波动大C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较考点：方差．分析：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，结合选项进行判断即可．解答：解：由题意得，方差＜，A、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；B、乙组数据的比甲组数据的波动大，说法正确，故本选项正确；C、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；D、甲组数据没有乙组数据的波动大，故本选项错误；故选B．点本题考查了方差的意义，解答本题的关键是理解方差的意义，方差表示的是数据波评：动性的大小，方差越大，波动性越大．6．（2分）（•常州）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断考点：直线与圆的位置关系．分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．解答：解：∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选；C．点评：本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．7．（2分）（•常州）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点：二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解答：解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选B．点评：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．（2分）（•常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b考点：完全平方公式的几何背景．分析：根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式即可得出答案．解答：解；3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故选D．点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题4分，共20分，）9．（4分）（•常州）计算﹣（﹣3）=3，|﹣3|=3，（﹣3）﹣1=﹣，（﹣3）2=9．考点：有理数的乘方；相反数；绝对值；有理数的减法．分析：根据相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，有理数的乘方的意义分别进行计算即可得解．解答：解：﹣（﹣3）=3，|﹣3|=3，（﹣3）﹣1=﹣，（﹣3）2=9．故答案为：3；3；﹣；9．点评：本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，负整数指数幂，以及有理数的乘方的意义，是基础题．10．（2分）（•常州）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣3，2），点P关于原点O的对称点P2的坐标是（﹣3，﹣2）．考点：关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解答：解：点P（3，2）关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣3，2），点P关于原点O的对称点P2的坐标是（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，2）；（﹣3，﹣2）．点评：本题考查了关于原点对称点点的坐标，关于y轴对称的点的坐标，熟记对称点的坐标特征是解题的关键．11．（2分）（•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k=2，b=﹣2．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：把点A、B的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解答：解：∵一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B （1，0），∴，解得．故答案为：2，﹣2．点评：本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．12．（2分）（•常州）已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是5πcm，扇形的面积是15πcm2（结果保留π）．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．分析：根据扇形的弧长公式l=和扇形的面积=，分别进行计算即可．解答：解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，∴此扇形的弧长是：l==5π（cm），根据扇形的面积公式，得S扇==15π（cm2）．故答案为：5π，15π．点评：此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用，熟练记忆运算公式进行计算是解题关键．13．（2分）（•常州）函数y=中自变量x的取值范围是x≥3；若分式的值为0，则x=．考点：分式的值为零的条件；函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；根据分式的值为0，分子等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3；2x﹣3=0且x+1≠0，解得x=且x≠﹣1，所以，x=．故答案为：x≥3；．点评：本题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．14．（2分）（•常州）我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：最高气温（℃）25 26 27 28天数 1 1 2 3则这组数据的中位数是27，众数是28．考点：众数；中位数．分析：根据中位数、众数的定义，结合表格信息即可得出答案．解答：解：将表格数据从大到小排列为：25，26，27，27，28，28，28，中位数为：27；众数为：28．故答案为：27、28．点评：本题考查了众数、中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．15．（2分）（•常州）已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=﹣2或1．考点：一元二次方程的解．分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．解答：解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0 解得a=﹣2或1点评：本题主要考查了方程的解得定义，是需要掌握的基本内容．16．（2分）（•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=2．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．解答：解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=120°﹣90°=30°，∴∠CBD=∠CAD=30°，又∵∠BAC=120°，∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，∵AB=AC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，∵AD=6，∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．故答案为：2．点评：本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．17．（2分）（•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=OA，则k=﹣．考点：反比例函数综合题．分析：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），判断出△OBF∽△AOE，利用对应边成比例可求出k的值．解答：解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵∠AOE+∠BOF=90°，∠OBF+∠BOF=90°，∴∠AOE=∠OBF，又∵∠BFO=∠OEA=90°，∴△OBF∽△AOE，∴==，即==，则=﹣b①，a=②，①×②可得：﹣2k=1，解得：k=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了反比例函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标的特点，解答本题要求同学们能将点的坐标转化为线段的长度．三、解答题（本大题共2小题，共18分）18．（8分）（•常州）化简（1）（2）．考点：分式的加减法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）分别进行二次根式的化简、零指数幂的运算，代入特殊角的三角函数值即可得出答案．（2）先通分，然后再进行分子的加减运算，最后化简即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+2×=2．（2）原式=﹣==．点评：本题考查了分式的加减运算、特殊角的三角函数值及零指数幂的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．19．（10分）（•常州）解方程组和分式方程：（1）（2）．考点：解分式方程；解二元一次方程组．分析：（1）利用代入消元法解方程组；（2）最简公分母为2（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解答：解：（1），由①得x=﹣2y ③把③代入②，得3×（﹣2y）+4y=6，解得y=﹣3，把y=﹣3代入③，得x=6，所以，原方程组的解为；（2）去分母，得14=5（x﹣2），解得x=4.8，检验：当x=4.8时，2（x﹣2）≠0，所以，原方程的解为x=4.8．点评：本题考查了解分式方程，解二元一次方程组．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤）20．（7分）（•常州）为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为72°．考点：条形统计图；扇形统计图．分析：（1）首先根据打篮球的人数是20人，占40%，求出总人数，再用总人数减去篮球、足球和其它人数得出乒乓球的人数，用各个爱好的人数除以总人数，即可得出所占的百分百，从而补全统计图；（2）用360°乘以足球所占的百分百，即可得出扇形的圆心角的度数．解答：解：（1）总人数是：20÷40%=50（人），则打乒乓球的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人）．足球的人数所占的比例是：×100%=20%，打乒乓球的人数所占的比例是：×100%=10%；其它的人数所占的比例是：×100%=30%．补图如下：（2）根据题意得：360°×=72°，则扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为72°；故答案为：72°．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．（8分）（•常州）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：（1）根据概率的意义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵共有3个球，2个白球，∴随机摸出一个球是白球的概率为；（2）根据题意画出树状图如下：一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，所以，P（两次摸出的球都是白球）==．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）22．（6分）（•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．23．（7分）（•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC 的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．解答：证明：∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）24．（6分）（•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC=30°，∠A′BC=90°，OA+OB+OC=．考点：作图-旋转变换．专题：作图题．分析：解直角三角形求出∠ABC=30°，然后过点B作BC的垂线，在截取A′B=AB，再以点A′为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O′，连接A′O′、BO′，即可得到△A′O′B；根据旋转角与∠ABC的度数，相加即可得到∠A′BC；根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．解答：解：∵∠C=90°，AC=1，BC=，∴tan∠ABC===，∴∠ABC=30°，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C===，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．故答案为：30°；90°；．点评：本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A′、O′四点共线是解题的关键．25．（7分）（•常州）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．分析：（1）表示出生产乙种饮料（650﹣x）千克，然后根据所需A种果汁和B种果汁的数量列出一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围；（2）根据销售总金额等于两种饮料的销售额的和列式整理，再根据一次函数的增减性求出最大销售额．解答：解：（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，根据题意得，，由①得，x≤425，由②得，x≥200，所以，x的取值范围是200≤x≤425；（2）设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得，y=3x+4（650﹣x）=3x+2600﹣4x=﹣x+2600，即y=﹣x+2600，∵k=﹣1＜0，∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元．点评：本题考查了一次函数的应用，列一元一次不等式组解实际问题，根据A、B果汁的数量列出不等式组是解题的关键，（2）主要利用了一次函数的增减性．七．解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）26．（6分）（•常州）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则S=a+b﹣1（史称“皮克公式”）．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上格点边多边形内部格点多边形的面积的格点的个数的格点个数多边形1 8 1多边形2 7 3…………一般格点多边形 a b S则S与a、b之间的关系为S=a+2（b﹣1）（用含a、b的代数式表示）．考点：规律型：图形的变化类．分析：根据8=8+2（1﹣1），11=7+2（3﹣1）得到S=a+2（b﹣1）．解答：解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1 8 1 8多边形2 7 3 11…………一般格点多边形 a b S则S与a、b之间的关系为S=a+2（b﹣1）（用含a、b的代数式表示）．点评：考查了作图﹣应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．27．（9分）（•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°或135°；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；②由于OC=3，OF=，所以∠COF=30°，则可得到∴BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADC=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA=OB=6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴OE=AB=3，∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×（3+3）×6=9+18．∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，∵OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°，∴∠DOA+∠DAO=90°而∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO，∴Rt△OCF∽Rt△AOD，∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF==，∴C点坐标为（﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，∵在△BOC和△AOD中，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．28．（10分）（•常州）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P 点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a 的代数式表示）；若不能，请说明理由．考点：一次函数综合题分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解；（2）如答图1所示，解题关键是求出点P、点Q的坐标，然后利用PA=2PQ，列方程求解；（3）如答图2所示，利用相似三角形，将已知的比例式转化为：，据此列方程求出m的值．解答：解：（1）在直线解析式y=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，∴A（﹣1，0），C（0，2）；（2）当0＜m＜1时，依题意画出图形，如答图1所示．∵PE=CE，∴直线l是线段PC的垂直平分线，∴MC=MP，又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）；直线l与y=2x+2交于点D，令y=m，则x=，∴D（，m），设直线DP的解析式为y=kx+b，则有，解得：k=﹣2，b=2m﹣2，∴直线DP的解析式为：y=﹣2x+2m﹣2．令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）．已知△PAQ是以P为顶点的倍边三角形，由图可知，PA=2PQ，∴，即，整理得：（m﹣1）2=，解得：m=（＞1，不合题意，舍去）或m=，∴m=．（3）当1＜m＜2时，假设存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE．依题意画出图形，如答图2所示．由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，由勾股定理得：PQ=（m﹣1）；∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），∴AQ=m，AB=a+1；∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=．∵直线l∥x轴，∴△CDE∽△CAB，∴；又∵CD•AQ=PQ•DE，∴，∴，即，解得：m=．∵1＜m＜2，∴当0＜a≤1时，m≥2，m不存在；当a＞1时，m=．∴当1＜m＜2时，若a＞1，则存在实数m=，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，则m不存在．点评：本题是代数几何综合题，考查了坐标平面内一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、解方程等知识点．题目综合性较强，有一定的难度．第（3）问中，注意比例式的转化，这样可以简化计算．。

2022年常州市中考数学试题含答案解析

2022年常州市中考数学试题含答案解析一、选择题(每小题3分，共10小题，合计30分)1.-2的相反数是().A．-12B．12C．±2D．2答案：D.解析：数a的相反数是-a,所以-2的相反数是2，故选D．2.下列运算正确的是().A．m·m=2mC．(m2)3=m6答案：C.解析：m·m=2m2,(mn)3=m3n3,(m2)3=m6,m6÷a3=a4,故正确的是C，故选C．B．(mn)3=mn3D．m6÷a3=a33.右图是某个几何体的三视图，则该几何体是().A．圆锥C．圆柱答案：B.解析：由三视图确定几何体，从三视图可以确定此几何体为三棱柱，故选B．4.计算:B．三棱柱D．三棱锥某11+的结果是().某某1A．某2某12B．2某C．D．1答案：D.解析：本题考查分式的加法，同分母分式，分子相加减，原式=某11=1，故选D．某5.若3某>-3y,则下列不等式中一定成立的是().A．某+y>0B．某-y>0C．某+y<0D．某-y<0答案：A.解析：不等式的两边都除以3得某>-y,移项得某+y>0,故选A．6.如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD,∠1＝60°,则∠2的度数是(A．100°B．110°C．120°D．130°答案：C.解析：∵AB∥CD,∠1＝60°,∴∠3＝∠1＝60°,所以∠2＝180°-60°=120°,故选C．7.如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在某轴、y轴上，OD=2OA=6,AD：2).AB=3:1,则点C的坐标是().A．(2,7)C．(3,8)答案：A.解析：作BE⊥某轴于E，由题意知△ABE∽△DAO，因为OD=2OA=6,所以OA=3,由勾股定理得AD=35,因为AD：AB=3：1,所以AB=5，所以BE=1,AE=2,由矩形的性质知，将点D向上平移一个单位，向右平移2个单位得到点C，所以点C的坐标为(2,7),故选A．B．(3,7)D．(4,8)8.如图，已知□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC，若EF=2,FG=GC=5,则AC的长是().A．12B．13C．65答案：B.D．83解析：作AM⊥CH交CH的延长线于H，因为四条内角平分线围成的四边形EFGH为矩形，所以3AM=FG=5,MH=AE=CG=5,所以CM=12,由勾股定理得AC=13，故选B．二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，共20分)9.计算：|-2|+(-2)0=.答案：3.解析：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0,非零数的零次方都等于1,依此规则原式=2+1=3．10.若二次根式某2有意义，则实数某的取值范围是.答案：某≥2.解析：二次根式有意义需要满足被开方数为非负数，所以某-2≥0,解得某≥2．11.肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,则数据0.0007用科学计数法表示为.答案：7某10-4.解析：用科学记数法表示较小的数，0.0007=7某10-4．12.分解因式：a某2-ay2=.答案：a(某+y)(某-y).解析：原式=a(某2-y2)=a(某+y)(某-y)．13.已知某=1是关于某的方程a某2-2某+3=0的一个根，则a=.答案：-1.解析：将某=1代入方程a某2-2某+3=0得a-2+3=0,解得a=-1．14.已知圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,则圆锥的侧面积是.答案：3π.解析：圆锥的侧面积=11某扇形半径某扇形弧长=某l某(2πr)=πrl=π某1某3=3π．设圆锥的母线长为l，设圆锥的底面半径为r，221某扇形半径某扇形弧长2则展开后的扇形半径为l，弧长为圆锥底面周长(2πR)．我们已经知道，扇形的面积公式为：S=4=1某l某(2πr)=πrl．即圆锥的侧面积等于底面半径与母线和π的乘积.π某1某3=3π.215．(2022常州，15，2分)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是.答案：15.解析：因为DE垂直平分BC，所以DB=DC，所以△ABD的周长=AD+AB+BD=AB+AD+CD=AB+AC=6+9=15．16.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点.若∠DAB＝40°,则∠ABC＝°.答案：70°.解析：连接AC，OC，因为C是弧BD的中点，∠DAB＝40°,所以∠CAB＝20°,所以∠COB＝40°,由三角形内角和得∠B＝70°.17.已知二次函数y=a某2+b某-3自变量某的部分取值和对应函数值y如下表：某y则在实数范围内能使得y-5>0成立的某的取值范围是.答案：某>4或某......-25-100-31-42-330 (5)解析：将点(-1,0)和(1,-4)代入y=a某2+b某-3得0ab3a1，解得：，所以该二次函数的解析式为y=某2-2某-3,4ab3b2若y>5,则某2-2某-3>5,某2-2某-8>0,解一元二次方程某2-2某-8=0，得某=4或某=-2.根据函数图象判断y-5>0成立的某的取值范围是某>4或某18.如图，已知点A是一次函数y=1某(某≥0)图像上一点，过点A作某轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的2右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y面积是.k(k)0)的图像过点B、C，若△OAB的面积为6,则△ABC的某答案：18.析：设点A(4a,2a),B(4a,2b),则C点的横坐标为4a+(3a-b)(a-b)=0,解得：a=b(舍去)或b=3a.S△ABC=1(2b-2a),C点的坐标为(3a+b,a+b)．所以4a·2b=(3a+b)(a+b),21(2b-2a)·4a=8a2=6,k=4a·2b=24a2=18.2三、解答题：(本大题共6个小题，满分60分)19.(6分)先化简，再求值：(某+2)(某-2)-某(某-1),其中某=-2.思路分析：先化简，再代入求值.解：原式=某2-4-某2+某=某-4,当某=-2时，原式=-2-4=-6.20.(8分)解方程和不等式组：(1)2某53某3=-3某2某26(2)2某64某15思路分析：(1)解分式方程，检验方程的解是否为增根；(2)分别解两个不等式再确定不等式组的解集.解：(1)去分母得2某-5=3某-3-3(某-2),去括号移项合并同类项得，2某=-8,解得某=-4,经检验某=4是原方程的根，所以原方程的根是某=4；(2)解不等式①得某≥-3，解不等式②得某＜1，所以不等式组的解集是-3≤某＜1.21.(8分)为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了如下统计图：根据统计图所提供的信息，解答下列问题：(1)本次抽样调查中的样本容量是.(2)补全条形统计图；(3)该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数.思路分析：(1)利用爱好阅读的人数与占样本的百分比计算，30÷30%=100；(2)其他100某10%=10人，打球100-30-20-10=40人；(3)利用样本中的数据估计总体数据.解：(1)100；(2)其他10人，打球40人；(3)2000某740=800,所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生为数为800人.10022.(8分)一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3、4.(1)搅匀后从中任意摸出1个球，求摸出的乒乓球球面上数字为1的概率；(2)搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，求2次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率.思路分析：(1)列举法求概率；(2)画树状图法求概率.解：(1)从4个球中摸出一个球，摸出的球面数字为1的概率是(2)用画树状图法求解，画树状图如下：1；4第一个球第二个球数字之和1234423134124123534356457567从树状图分析两次摸球共出现12种可能情况，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率为：41=．12323.(8分)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.(1)求证：AC=CD；(2)若AC=AE，求∠DEC的度数.思路分析：(1)证明△ABC≌△DEC；(2)由∠EAC=45°通过等腰三角形的性质求解.解：(1)证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DCE，又∵∠BAC=∠D，BC=CE，∴△ABC≌△DEC，∴AC=CD.(2)∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠EAC=45°，8∵AE=AC∴∠AEC=∠ACE=1某(180°-45°)=67.5°，2∴∠DEC=180°-67.5°=112.5°.24.(8分)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元.(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)如果学校计划购买这两种共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？思路分析：(1)根据等量关系列方程组求解；(2)根据不等关系列不等式求解.解：(1)解设每个篮球售价某元，每个足球售价y元，根据题意得：2某y320某100，解得：3某2y540y120答：每个篮球售价100元，每个足球售价120元.(2)设学校最多可购买a个足球，根据题意得100(50-a)+120a≤5500,解得：a≤25.答：学校最多可购买25个足球.25.(8分)如图，已知一次函数y=k某+b的图像与某轴交于点A，与反比例函数y=作BC⊥某轴于点C，点D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点.m(某<0)的图像交于点B(-2,n)，过点B某(1)求m的值；(2)若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=k某+b的表达式.思路分析：(1)将点B、D坐标代入反比例函数解析式求解m的值；(2)先求BD的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点A坐标，最后求AB的解析式.9解：(1)把B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数y=m得,某m62nm解得：，所以m的值为-6.n333nm(2)由(1)知B、D两点坐标分别为B(-2,3),D(-6,1)，1p2pq3设BD的解析式为y=p某+q,所以，解得26pq1q4所以一次函数的解析式为y=1某+4,与某轴的交点为E(-8,0)2延长BD交某轴于E，∵∠DBC=∠ABC，BC⊥AC，∴BC垂直平分AC，∴CE=6,∴点A(4,0),将A、B点坐标代入y=k某+b得1k2kb31，解得，所以一次函数的表达式为y=-某+2.224kb0b226.(10分)如图1,在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是等角线四边形(填写图形名称)；②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足时，四边形MNPQ是正方形；⑵如图2,已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D为平面内一点.②若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是；②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由.10思路分析：(1)①矩形是对角线相等的四边形；②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线AC、BD互相垂直时四边形MNPQ是正方形；⑵①根据题意画出图形，根据图形分析确定DF垂直平分AB，从而计算面积SABED=S△ABD+S△BCD；②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE 为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形ABED面积的最大值.解：(1)①矩形；②AC⊥BD；⑵①∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴BD=AC=5,作DF⊥AB于F，∵AD=BD，∴DF垂直平分AB，∴BF=2,由勾股定理得DF=21，由题意知SABED=S△ABD+S△BCD=1111某AB某DF+某BC某BF=某4某21+某3某2=221+3；2222②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的直角三角形的直角顶点，所以AE=6,DO=3,在△ABC中，由面积公式得点B到AC的距离为12，所以四边形ABED面积的最大值=5S△AED+S△ABE=1211某6某3+某6某=16.2.5221127.(10分)如图，在平面直角坐标系某Oy中，已知二次函数y=-(1)求二次函数的表达式；12某+b某的图像过点A(4,0),顶点为B，连接AB、BO.2(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CP的对称点为B′，当△OCB′为等边三角形时，求BQ的长度；(3)若点D在线段BO上，OD=2BD，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标.思路分析：(1)将A点坐标代入y=-12某+b某求得二次函数的表达式；2(2)根据题意画出图形，根据图形分析，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，由∠B=90°,根据特殊三角函数值求得BQ的长；(3)按点F在OB上和点B在OA上进行讨论确定点E的位置，当点F在BA上，点E与点A重合时△DOF与△DEF全等；当F在OA上，DE∥AB时△DOF与△DEF全等，点O关于DF的对称点落在AB上时△DOF与△DEF 全等.解：(1)将A(4,0)代入y=-1212某+b某得，-某4+b某4=0,解得b=2,2212某+2某；2所以二次函数的表达式为y=-12(2)根据题意画出图形，二次函数y=-12某+2某的顶点坐标为B(2,2)，与两坐标轴的交点坐标为O(0,0)、A(4,0).此时2OB=22,BC=,所以2，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，因为∠B=90°tan∠QCB=QB:CB=3,所以QB=6；(3)①当点F在OB上时，如图，当且仅当DE∥OA，即点E与点A重合时△DOF≌△FED，此时点E的坐标为E(4,0)；②点F在OA时，如图DF⊥OA，当OF=EF时△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以点D坐标为(44，)，点F坐33标为(48，0)，点E坐标为(，0)；33点F在OA时，如图,点O关于DF的对称点落在AB上时，△DOF≌△DEF，此时OD=DE=2BD=13432，BE=236，作BH⊥OA于H，EG⊥OA于G，由相似三角形的性质求得HG=233，所以点E坐标为(2+233，2-233)．综上满足条件的点E的坐标为(4,0)、(82，0)、(2+333，2-233)．28.(10分)如图，已知一次函数y=-(1)求线段AB的长度；4某+4的图像是直线l，设直线l分别与y轴、某轴交于点A、B.3(2)设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.①当⊙N与某轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与某轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交某轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.思路分析：(1)求A、B两点坐标，由勾股定理求得AB的长度；(2)①根据题意画出图形，根据△AOB∽△NHA，△HAN≌△FMA计算出线段FM与OF的长；②分点P位于y轴负半轴上和点P位于y轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角形的对应线段比等于相似比列方程求得交点Q坐标，再将点Q坐标代入AB及NP解析式求得交点P的坐标.解：(1)函数y=-4某+4中，令某=0得y=4,令y=0得，某=3,所以A(0,4),B(3,0).AB=3242=5.3(2)①由图1知,当⊙N与某轴相切于点E时，作NH⊥y轴于H，则四边形NHOE为矩形，HO=EN=AM=AN，14∵∠HAN+∠OAB=90°，∠HNA+∠HAN=90°,∴∠OAB=∠HAN，因为AM⊥AN，所以△AOB∽△NHA，图1∴AHHNAN==，设AH=3某，则HN=4某,AN=NE=OH=5某,∵OH=OA+AH,∴3某+4=5某,∴某=2,OBAOAB∴AH=6,HN=8,AN=AM=10.∵AM=AN，∠OAB=∠HAN，∴Rt△HAN≌Rt△FMA,∴FM=6,AF=8,OF=4,∴M(6,-4).k1b4②当点P位于y轴负半轴上时，设直线AN的解析式为y=k某+b，将A(0,4),N(8,10)代入得，解得3，b8kb104所以直线AN的解析式为y=163某+4.所以点C坐标为(-，0),过D34作某轴的垂线可得点D(16，16).设点P坐标为(0,-p),N(8，10)则直线NP解析式为y=10p某-p,作EF⊥CD于F，8CE=1640202280+8=,AC=，CD=+20=,由相似三角形性质可得EF=8,△CDE∽△APQ，则333334p点Q横坐标绝对值（34p），解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q 横坐标绝对值代入AB及NP解析式得80108310p（34p）（34p）4·-p=·(-)+4，解得p1=-4(舍去),p2=6,所以P(0,-6).81010315。

(中考精品卷)江苏省常州市中考数学真题(解析版)

常州市2022年初中学业水平考试数学试题一、选择题1. 2022的相反数是（）A. 2022B. 2022-C. 12022D. 12022- 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义直接求解．【详解】解：实数2022的相反数是2022-，故选：B ．【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．2. x 的取值范围是（）A. 1≥xB. 1x >C. 0x ≥D. 0x >【答案】A【解析】0)…进行计算即可．【详解】解：由题意得： 10x -…，1x ∴…，故选：A ．0)…是解题的关键． 3. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：D ．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大．4. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，若DE ＝2，则BC 的长度是（）A. 6B. 5C. 4D. 3 【答案】C【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出答案．【详解】∵在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∵DE ＝2，∴BC 的长度是：4．故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，正确把握三角形中位线定理是解题关键． 5. 某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（）A. 50y x =+B. 50y x =C. 50y x =D.50=x y 【答案】C【解析】【分析】根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解．【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地50y x=．故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系． 6. 如图，斑马线作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A. 垂线段最短B. 两点确定一条直线C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 与点1A 关于x 轴对称，点A 与点2A 关于y 轴对称．已知点1(1,2)A ，则点2A 的坐标是（）A. (2,1)-B. (2,1)--C. (1,2)-D.(1,2)-- 【答案】D【解析】的A点坐标，即可得出答案．【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，2【详解】解：∵点1A的坐标为（1，2），点A与点1A关于x轴对称，∴点A的坐标为（1，-2），A关于y轴对称，∵点A与点2A的坐标是（-1，﹣2）．∴点2故选：D．【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．km的加速时间和满电续航里程8. 某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100/h进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知km的加速时间的中位数是s m，满电续航里程的中位数是nkm，相应的直线将0~100/h平面分成了①、②、③、④四个区域（直线不属于任何区域）．欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在（）A. 区域①、②B. 区域①、③C. 区域①、④D. 区域③、④【答案】B【解析】【分析】根据中位数的性质即可作答．【详解】在添加了两款新能源汽车的测评数据之后，0~100km/h的加速时间的中位数m s，满电续航里程的中位数n km，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，据此逐项判断即可：A项，两款车的0~100km/h的加速时间均在直线m下方，不符合要求，故A项错误；B项，可知这两款新能源汽车的0~100km/h的加速时间的数值分别处于直线m的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线n的左侧和右侧，符合要求；C 项，两款车的满电续航里程的数值均在直线n 的左侧，不符合要求，故C 项错误；D 项，两款车的0~100km/h 的加速时间均在直线m 上方，不符合要求，故D 项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了中位数的概念，根据中位数的值不变可知新添加的一组数据分别处在中位数的左右两侧或刚好都等于该中位数，理解这一点是解答本题的关键．二、填空题9. ___．【答案】2【解析】【分析】根据立方根的定义进行计算．【详解】解：∵23=8，，故答案为：2．10. 计算：42÷=m m _______．【答案】2m【解析】【分析】根据同底数幂的除法运算法则即可求出．【详解】解：422m m m ÷=．故答案为：2m ．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 11. 分解因式：22x y xy +=______．【答案】xy (x +y )【解析】【分析】利用提公因式法即可求解．【详解】22()x y y y xy x x =++，故答案为：()xy x y +．【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．12. 2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138000个．数据138000用科学记数法表示为______．【答案】1.38×105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n 是正整数数．【详解】解：由题意可知：138000=1.38×105，故答案为：1.38×105【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．13. 如图，数轴上的点A 、B 分别表示实数a 、b ，则1a ______1b ．（填“>”、“=”或“<”）【答案】>【解析】【分析】由图可得：1a b <<，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：1a b <<，由不等式的性质得：11a b>，故答案为：>．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．14. 如图，在ABC 中，E 是中线AD 的中点．若AEC △的面积是1，则ABD △的面积是______．【答案】2【解析】【分析】根据ACE ∆的面积DCE =∆的面积，ABD ∆的面积ACD =∆的面积计算出各部分三角形的面积．【详解】解：AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，根据等底同高可知，ACE ∆的面积DCE =∆的面积1=，ABD ∆的面积ACD =∆的面积2AEC =∆的面积2=，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．15. 如图，将一个边长为20cm 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm 时才会断裂．若60BAD ∠=︒，则橡皮筋AC _____断裂（填“会”或“不会” 1.732≈）．【答案】不会【解析】【分析】设扭动后对角线的交点为O ，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出ABD △为等边三角形，利用勾股定理算出AO =而得到AC ，再比较即可判断．【详解】解：设扭动后对角线的交点为O ，如下图：60BAD ∠=︒ ，根据正方形的性质得，得出扭动后的四边形四边相等为菱形，20AD AB ==，ABD ∴ 为等边三角形，20BD ∴=，1102BO BD ∴==，AO ∴==根据菱形的对角线的性质：234.64AC AO ==≈，34.6436< ，AC ∴不会断裂，故答案为：不会．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．16. 如图，ABC 是O 的内接三角形．若45ABC ∠=︒，AC =O 的半径是______．【答案】1【解析】【分析】连接OA 、OC ，根据圆周角定理得到90AOC ∠=︒，根据勾股定理计算即可．详解】解：连接OA 、OC ，45ABC ∠=︒ ，290AOC ABC ∴∠=∠=︒，222OA OC AC ∴+=，即222OA =，解得：1OA =，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．17. 如图，在四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，DB 平分ADC ∠．若1AD =，3CD =，则sin ABD ∠=______．【【解析】△为等腰三角【分析】过点D作BC的垂线交于E，证明出四边形ABED为矩形，BCD形，由勾股定理算出DE=BD=，即可求解．【详解】解：过点D作BC的垂线交于E，∴∠=︒DEB90，∠=∠=︒A ABC90∴四边形ABED为矩形，//,1∴==，DE AB AD BE∴∠=∠，ABD BDE∠，Q平分ADCBD∴∠=∠，ADB CDB，AD BE//∴∠=∠，ADB CBD∴∠CDB=∠CBDCD CB∴==，3，==AD BE1∴，CE=2∴===DEBD ∴===sin BE BDE BD ∴∠===sin ABD ∴∠=【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．18. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【解析】【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==， 1115344DM AM AB ∴===， //BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==， 345344DN AN AB ∴===， 451530444MN DN DM ∴=-=-=， Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．三、解答题19. 计算：（1）201(3)3---+π；（2）2(1)(1)(1)+--+x x x ．【答案】（1）43（2）2x +2【解析】【分析】（1）利用负指数公式化简，零指数公式化简，平方根定义化简，合并后即可求出值；（2）利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．【小问1详解】201(3)3---+π＝2﹣1+13＝43；【小问2详解】2(1)(1)(1)+--+x x x＝22211x x x ++-+＝2x +2．【点睛】此题考查了乘法公式，以及实数的运算，实数的运算涉及的知识有：零指数公式，负指数公式，绝对值的代数意义，以及平方根的定义．20. 解不等式组510032x x x -≤⎧⎨+>-⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】12x -<≤；解集表示见解析【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．【详解】解：原不等式组为510032x x x -≤⎧⎨+>-⎩①②，解不等式①，得2x ≤；解不等式②，得1x >-．∴原不等式组的解集为12x -<≤ ，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．21. 为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下（特定微生物、温度、湿度）较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭1周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为A（不使用）、B（1~3个）、C（4~6个）、D（7个及以上），以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．（1）本次调查的样本容量是_____，请补全条形统计图；（2）已知该小区有1500户家庭，调查小组估计：该小区1周内使用7个及以上环保塑料袋的家庭约有225户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．【答案】（1）100，图见解析（2）合理，理由见解析【解析】【分析】（1）利用频数除以频率即可得出，结合条形统计图及扇形统计图，求出,B C涉及的户数再画图即可；（2）利用样本估计总体的思想来解释即可．【小问1详解】解：本次调查的样本容量为：201000.2=（户），C∴使用情况的户数为：10025%25⨯=，D占的比例为：1515% 100=，B∴的比例为：125%20%15%40%---=，B∴使用情况的户数为：10040%40⨯=，补全条形统计图如下：故答案为：100．【小问2详解】解：合理，理由如下：利用样本估计总体：D占的比例为：1515% 100=，150015%225∴⨯=（户），∴调查小组的估计是合理的．【点睛】本题考查了形统计图及扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是通过数形结合对数据进行分析．22. 在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y x=；②函数表达式为2y x=；③函数的图像关于原点对称；④函数的图像关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①概率是______；（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．【答案】（1）12（2）12【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．【小问1详解】解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是12；故答案为：12；的【小问2详解】解：画出树状图：共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种，∴抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为3162=．【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点C ，连接OC ．已知点(0,4)B ，BOC 的面积是2．（1）求b 、k 的值；（2）求AOC △的面积．【答案】（1）4；6（2）6【解析】【分析】（1）由点B （0，4）在一次函数y =2x +b 的图象上，代入求得b =4，由△BOC 的面积是2得出C 的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C 的坐标，从而求出k 的值；（2）根据一次函数的解析式求得A 的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．【小问1详解】解：∵一次函数2y x b =+的图象y 轴交于点(0,4)B ，∴4b =，OB =4，∴一次函数解析式为24y x =+，设点C （m ，n ），∵BOC 的面积是2． ∴1422m ⨯=，解得：m =1， ∵点C 在一次函数图象上，∴246n =+=，∴点C （1，6），把点C （1，6）代入(0)k y x x =>得：k =6；【小问2详解】当y =0时，024x =+，解得：x =-2，∴点A （-2，0），∴OA =2， ∴12662AOC S ∆=⨯⨯=．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C 的坐标是解题的关键． 24. 如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．（1）按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为______；（2）在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．【答案】（1）(3,37°)（2）见解析【解析】【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），即可由全等三角形的性质，得出结论．【小问1详解】解：由题意，得A ′(a ,n °)，∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)；【小问2详解】证明：如图，∵()3,37A '︒，B (3,74°)，∴∠AOA ′=37°，∠AOB =74°，OA = OB =3，∴∠A ′OB =∠AOB -∠AOA ′=74°-37°=37°，∵OA ′=OA ′，∴△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），∴A ′A =A ′B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．25. 第十四届国际数学教育大会（ICME -14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示ICME -14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是_______；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．【答案】（1）2022（2）9【解析】【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；（2）根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程，解方程即可求解．【小问1详解】3210387848682022⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：2022；【小问2详解】根据题意有：313233143120n n n ---⨯+⨯+⨯=，整理得：244121n n ++=，解得n =9，（负值舍去），故n 的值为9．【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n 的一元二次方程是解答本题的关键．26. 在四边形ABCD 中，O 是边BC 上的一点．若OAB OCD V V ≌，则点O 叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD 中，边BC 上的点O 是四边形ABCD 的“等形点”．已知CD =，5OA =，12BC =，连接AC ，求AC 的长；（3）在四边形EFGH 中，EH //FG ．若边FG 上点O 是四边形EFGH 的“等形点”，求OF OG的值．【答案】（1）不存在，理由见详解（2（3）1【解析】【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；（2）过A 点作AM ⊥BC 于点M ，根据“等形点”的性质可得AB =CD=OA =OC =5，OB =7=OD ，设MO =a ，则BM =BO -MO =7-a ，在Rt △ABM 和Rt △AOM中，利的用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据∥，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有EH FGOE=OH，可得OF=OG，则问题得解．【小问1详解】不存在，理由如下：假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∥，∴DO BC∵O点在BC上，∴DO与BC交于点O，∴假设不成立，故正方形不存在“等形点”；【小问2详解】如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，∵O点是四边形ABCD的“等形点”，∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∵CD ，OA=5，BC=12，∴AB=CD=OA=OC=5，∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，∴设MO =a ，则BM =BO -MO =7-a ，∴在Rt △ABM 和Rt △AOM 中，22222AM AB BM AO MO =-=-，∴2222AB BM AO MO -=-，即2222(7)5a a --=-，解得：207a =，即207MO =，∴MC =MO +OC =2055577+=，AM ===∴在Rt △AMC 中，AC ===即AC ；【小问3详解】如图，∵O 点是四边形EFGH 的“等形点”，∴△OEF ≌△OGH ，∴OF =OH ，OE =OG ，∠EOF =∠GOH ，∵EH FG ∥，∴∠EOF =∠OEH ，∠GOH =∠EHO ，∴根据∠EOF =∠GOH 有∠OEH =∠OHE ，∴OE =OH ，∵OF =OH ，OE =OG ，∴OF =OG ， ∴1OF OG=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．27. 已知二次函数23y ax bx =++的自变量x 的部分取值和对应函数值y 如下表： x … 1- 0 1 2 3 …y… 4 3 0 5- 12- …（1）求二次函数23y ax bx =++的表达式；（2）将二次函数23y ax bx =++的图像向右平移(0)k k >个单位，得到二次函数2=++y mx nx q 的图像，使得当13x -<<时，y 随x 增大而增大；当45x <<时，y 随x 增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数2=++y mx nx q 的表达式y =______，实数k 的取值范围是_______；（3）A 、B 、C 是二次函数23y ax bx =++的图像上互不重合的三点．已知点A 、B 的横坐标分别是m 、1m +，点C 与点A 关于该函数图像的对称轴对称，求ACB ∠的度数．【答案】（1）223y x x =--+（2）()234y x -=-+（答案不唯一），45k ≤≤（3）∠ACB =45°或135°【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线1=-x k ，然后根据二次函数的增减性求出45k ≤≤，即可得到答案；（3）先分别求出A 、B 、C 三点的坐标，然后求出23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．【小问1详解】解：由题意得：403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为223y x x =--+；【小问2详解】解：∵原二次函数解析式为()222314y x x x =--+=-++由题意得平移后的二次函数解析式为()214y x k =-+-+，∴平移后的二次函数对称轴为直线1=-x k ，∵二次函数2=++y mx nx q 的图像，使得当13x -<<时，y 随x 增大而增大；当45x <<时，y 随x 增大而减小，且二次函数2=++y mx nx q 的开口向下， ∴314k ≤-≤，∴45k ≤≤，∴符合题意的二次函数解析式可以为()()2214434y x x =-+-+=--+；故答案为：()234y x -=-+（答案不唯一），45k ≤≤；【小问3详解】解：∵二次函数解析式为()222314y x x x =--+=-++，∴二次函数223y x x =--+的对称轴为直线1x =-，∵A 、C 关于对称轴对称，点A 的横坐标为m ，∴C 的横坐标为2m --，∴点A 的坐标为（m ，223m m --+），点C 的坐标为（2m --，223m m --+）， ∵点B 的横坐标为m +1，∴点B 的坐标为（m +1，24m m --），∴23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，如图1所示，当A 、B 同时在对称轴左侧时，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，交AC 于D ，连接BC ，∵A 、C 关于对称轴对称，∴AC x ∥轴，∴BE AC ⊥，∵23B C x x m -=+，23B C y y m -=--，∴23CD m BD =--=，∴△BDC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，同理当AB 同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB =45°，如图2所示，当A 在对称轴左侧，B 在对称轴右侧时，过点B 作直线BD 垂直于直线AC 交直线AC 于D ，同理可证△BDC 为等腰直角三角形，∴∠BCD =45°，∴∠ACB =135°，同理当A 在对称轴右侧，B 在对称轴左侧也可求得∠ACB =135°，综上所述，∠ACB =45°或135°【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．28. （现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．（1）沿AC 、BC 剪下ABC ，则ABC 是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；（2）分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C ，一定存在线段AC 上的点M 、线段BC 上的点N 和直径AB 上的点P 、Q ，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm 的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．【答案】（1）直角（2）见详解（3）小明的猜想错误，理由见详解【解析】【分析】（1）AB 是圆的直径，根据圆周角定理可知∠ACB =90°，即可作答；（2）以A 为圆心，AO 为半径画弧交⊙O 于点E ，再以E 为圆心，EO 为半径画弧交于⊙O 点F 连接EF 、FO 、EA ，G 、H 点分别与A 、O 点重合，即可；（3）过C 点作CG NQ ∥，交AB 于点G ，连接CO ，根据MN PQ ∥，可得MN CN AB BC =，即有13CN BC =，则可求得23BN BC =，依据CG NQ ∥，NQ =4，可得GC =OC =6，即可判断．【小问1详解】如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠ACB 直角，即△ABC 是直角三角形，故答案为：直角，【小问2详解】以A 为圆心，AO 为半径画弧交⊙O 于点E ，再以E 为圆心，EO 为半径画弧交于⊙O 点F 连接EF 、FO 、EA ，G 、H 点分别与A 、O 点重合，即可，作图如下：是由作图可知AE =EF =FH =HG =OA =12AB =6，即四边形EFHG 是边长为6cm 的菱形；【小问3详解】小明的猜想错误，理由如下：如图，菱形MNQP 的边长为4，过C 点作CG NQ ∥，交AB 于点G ，连接CO ，在菱形MNQP 中MN =QN =4，MN PQ ∥，∵MN PQ ∥，∴~CMN CAB ， ∴MN CN AB BC=， ∵AB =12，MN =4， ∴41123MN CN AB BC ===， ∵BN =BC -CN ， ∴23BN BC =， ∵CG NQ ∥，NQ =4，~BQN BGC ，∴243NQ BN GC BC GC===， ∴GC =6，∵AB =12，∴OC =6，∴OC =GC ，显然若C点靠近A点时，要满足GC=OC=6，此时的G点必在BA的延长线上，∵P点在线段AB上，∥相矛盾，∴直线GC必与直线PM相交，这与CG PM故小明的猜想错误．【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质、平行的性质等知识，掌握菱形的性质以及平行的性质求得GC=OC是解答本题的关键。

2022年江苏省常州市中考数学试卷附解析

2022年江苏省常州市中考数学试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．sin65°与 cos26°之间的系是（）A ．sin65°<cos26°B ．sin65°>cos26°C ．sin65°= cos26°D ．sin65°+cos26°= 1 2．把ad bc =写成比例式，错误的是（） A ．a:b=c:dB ．b ：d=a ：cC ．b:a=d:cD ．b:d=c:a 3．抛物线2y ax =和22y x =的形状相同，则 a 的值是（）A ．2B ．-2C ．2±D ．不确定 4．如图，1l ∥2l ,△ABC 为等边三角形，∠ABD=25°，则∠ACE 的度数是（）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15°5．一副三角板按如图方式摆放，且∠1 的度数比∠2 的度数大50°，若设∠1 =x °，∠2 = y °，则可得到方程组为（）A ． 50180x y x y =-⎧⎨+=⎩B ． 50180x y x y =+⎧⎨+=⎩C ． 5090x y x y =-⎧⎨+=⎩D ． 5090x y x y =+⎧⎨+=⎩6．以12x y =-⎧⎨=⎩为解的二元一次方程组（） A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有无数个 7．计算23(2)a -的结果是（）A ．56a -B ．66a -C ．58a -D ．68a - 二、填空题8．一个正方体的每个面上都写一个汉字，这个正方体的平面展开图如图所示，则这个正方体中与“菏”字相对的面上的字为__________．9．一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图的形式，然后把露出的表面涂上颜色，那涂色面积为米2. 10．当你乘坐的车沿一条平坦的路向前行驶时，你前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了．如图所示，当你所在的位置在范围内时，你会看到后面那座高大的建筑物．11．已知3x=4y ，则yx =________. 12．正方形ABCD 中，对角线AC=8 cm ，点P 是AB 边上任意一点，则P 到AC ，BD 的距离之和为．13．如果不等式2(1)3x a --≤的正整数解是 1、2、3，那么a 的取值范围是．14．若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩的解为22x -<<，则(1)(1)a b +-的值等于． 15．如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，则∠C= ．16．若0132=++x x 则x x312+= . 17．若＝，，则b a b b a ==+-+-01222．三、解答题18．如图所示，一个猎人在站在土丘上寻找猎物，A 处有一小白兔，一旦被猎人发现一定会被猎取，聪明的小免躲在什么范围内能逃过猎人的视线？请画图说明.19．图l 是“口子窖”酒的一个由铁皮制成的包装底盒，它是一个无盖的六棱柱形状的盒子(如图2)，侧面是矩形或正方形．经测量，底面六边形有三条边的长是9cm ，有三条边的长是3cm ，每个内角都是120º，该六棱校的高为3cm ．现沿它的侧棱剪开展平，得到如图3的平面展开图．(1)制作这种底盒时,可以按图4中虚线裁剪出如图3的模片．现有一块长为17.5cm、宽为16.5cm的长方形铁皮,请问能否按图4的裁剪方法制作这样的无盖底盒?并请你说明理由；(2)如果用一块正三角形铁皮按图5中虚线裁剪出如图3的模片，那么这个正三角形的边长至少应为cm．(说明：以上裁剪均不计接缝处损耗．)20．已一段铁丝长为 80 cm，把它弯成半径为160cm的一段圆弧，求铁丝两端间的距离.21．某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元．经统计销售情况发现，当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件．在此基础上，假设这种商品的单价每降低1元，每天就会多售出20件．(1）用代数式表示，这种商品的单价为x元（x<40）时，销售1件该商品的利润和每天销售该商品的数量；(2）当商品单价定为多少时，该超市每天销售这种商品获得的利润为4500元．22．已知：如图，矩形ABCD的对角线BD，AC相交于点0，EF⊥BD于0，交AD于点E，交BC于点F，且EF=BF．求证：OF=CF．23．如图所示，是两个正五边形，如果想密铺，还需要怎么样的多边形?24．小华家距离学校 2.4 km，某一天小华从家中出发去上学，恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有 12 min 了．如果小华要按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？25．k为何值时，代数式2(1)3k-的值不大于代数式156k-的值．59k<26．请你在如图所示的方格纸中，画一个与左上角已有图形全等的图形．27．如图，已知 0是直线AD 上的一点，∠A0B 、∠BOC 、∠COD 三个角从小到大依次相差25°，求这三个角的度数.28．计算： 36464； 33128-- (3)200812316()(1)2--+-；(4）2223--结果保留 3个有效数字).29．一正方形的面积为 10cm 2，求以这个正方形的边为直径的圆的面积. (π取 3.14)30．一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD 上，（如图所示）他测得BC ＝2．7米，CD=1.2米．你能帮他求出树高为多少米吗？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．D3．C4．B5．D6．D7．D二、填空题8．加9．2310．BA4312．4 cm13．13a≤<14．-1415．38.5°16．－117．2,1三、解答题18．如图所示，小兔躲在 BC区域内能逃过猎人的视线.19．(1)能．理由：由题设可知，图4中长方形的宽为63+6<16．5,长方形的长为12+33 <17．5．故长为17．5 cm、宽为16．5 cm的长方形铁皮，能按图4的裁剪方法制成这样的无盖底盒．(2)63+15．20．如图所示：圆弧所在的圆心角=1808090160oππ⨯=⨯，∵OA=OB=160cm,∠AOB=90°，∴AB=160221．（1）x－20；200＋（40－x）×20；（2）（x－20）（1000－20x）＝4500，x＝35．22．证△AE0≌△CFO，OF=12BF，∠FCO=30°正十边形24．6 km／h25．59k<26．略27．设∠AOB=x，则∠BOC=25°+x，∠COD=25°+ 25°x.根据题意，得∠AOB +∠BOC+∠COD=180°，即x+ 25°+x + 25°+ 25°+x=180°解得x=35°.∴∠AOB=35°，∠BOC=60°，∠COD=85°28．(1)4；(2)32- (3) -14；(4) -3.5029．7. 85cm2 30．4.2m。

2022年江苏省常州市中考数学测试试题附解析

2022年江苏省常州市中考数学测试试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．等腰三角形的腰长为32，底边长为6，那么底角等于（）A． 30°B． 45°C． 60°D．120°2．两个相似三角形的相似比是 2：3，其中较大的三角形的面积为 36 cm2，则较小的三角形的面积是（）A．16cm2B．18 cm2 C．2O cm2D．24 cm23．已知二次函数y＝ａ（x＋1）2＋c 的图象如图所示，则函数y＝ax＋c的图象只可能是（）D4．下列说法中错误的是（）A．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．是轴对称图形的梯形一定是等腰梯形D．直角梯形一定不是等腰梯形5．“高高兴兴上学来，开开心心回家去．”小王某天放学后，l7时从学校出发，回家途中离家的路程s（km）与所走的时间t（min）之间的函数关系如图所示，那么这天小明到家的时间为（）A．17 h15 min B．17 h14 min C．17 h12 min D．17 h11 min6．亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需每个月节省30元，直到他至少．．有300元．设要的月数x 的不等式是（）A ．3045300x -≥B ．3045300x +≥C ．3045300x -≤D ．3045300x +≤7．在某城市，80％的家庭年收入不小于2．5万元，下面一定不小于2．5万元的是（） A ．年收入的平均数 B ．年收入的众数 C ．年收入的中位数D ．年收入的平均数和众数8．下列各式，是完全平方式的为（）①2244a ab b -+；②2242025x xy y ++；③4224816x x y y --；④42212a a a++. A ．①、③ B ． ②、④ C ． ①、②D ．③、④9．将如图所示图形旋转 180。

2020年江苏省常州市中考数学试卷原卷附解析

2020年江苏省常州市中考数学试卷原卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，几何体的主视图是（）A ．B ．C ．D ．2．下列命题中，假命题的是（）A ．圆的切线垂直于过切点的半径B ．垂直于切线的直线必经过圆心C ．若圆的两条切线平行，那么经过两切点的直线必经过圆心D ．经过半径的外揣并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）A ．sinA=sinBB ．tanA=tanBC ．sinA=cosBD ．cosA=cosB 4．若矩形的半张纸与整张纸相似，则整张纸的长是宽的（）A ．2 倍B ．4 倍C 2D ．1.5 倍 5．一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系是h ＝－5（t －2）（t ＋1）．则运动员起跳到入水所用的时间（）A ．－5B ．－1C ．1D ． 2 6．将一元二次方程(1)(22)2x x -+=-化为一般形式是（）A ．22410x x +-=B ．22410x x -+=C ．2230x x -=D ．220x = 7．在A 33-），B （22，-2），C （-222 D 23-）四个点中，在第四象限的点的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．有两组数据，第一组有4个数据，它们的平均数为x ，第二组有6个数据，他们的平均数为y ，则这两组数据的平均数为（）A ．2x y +B ．46x y +C ．235x y +D ．10x y + 9．下列四个图形中，轴对称图形的个数是（）①等腰三角形, ②等边三角形, ③直角三角形, ④等腰直角三角形A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，BC=6，AD=4，点E ，F 是线段AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A ．6B ．12C ．24D ．3011．下列计算错误．．的有（） ①a 8÷a 2=a 4；②（-m ）4÷（-m ）2=-m 2；③x 2n ÷x n =x n ；④-x 2÷（-x ）2=-1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知一叠2元和5元两种面值的人民币，其价值是24元，则面值为2元的人民币的张数是（）A ．2张B ．7张C 12张D ．2张或7张13．下列数轴的画法中，正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题14．在直角坐标平面内，一点光源位于(0，4)处，点P 的坐标为(3，2)，则点P 在x 轴上的影子的坐标为．15．如果sin α= 0.8221 ，那么∠α= (精确到10) ；如果cos β＝0.6410，那么∠β= (精确到l 0).16．已知四边形三个内角的度数如图所示，则∠β= 度．17．已知关于x 的不等式50x m -<只有两个正整数解，则m 的取值范围是．18．已知2x-y=4，则7-6x+3y=________．19．若去分母解方程3233x x x=---时，出现增根，则增根为 . 20．钟表上的分针绕其轴心旋转，经过15分钟后，分针转过的角度是；分针从12出发，转过150度，则它指的数字是．21．若2(4)|2|0a b -+-=，则b a = ；2a b a b+-= ． 22．计算1422-÷⨯的结果为．三、解答题23．AB 是半圆0的直径，C 、D 是半圆的三等分点，半圆的半径为R.(1)CD 与 AB 平行吗？为什么？(2)求阴影部分的面积.24．如图，在面积为4的菱形ABCD 中，画一个面积为l 的△ABP ，使点P 在菱形ABCD 的边上(不写画法，但要保留作图痕迹)．25．根据四边形的不稳定性，如图，长方形ABCD 变形为四边形A ′BCD ′．(1)四边形A ′BCD ′是平行四边形吗?请说明理由；(2)我们可知变形过程中周长不变，而面积改变了，若四边形A ′BCD ′的面积是长方形ABCD 的面积的一半，求∠ABA ′的度数．26．某市市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至l28元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少?27．已知n m ,是实数，且155+-+-=n n m ，求n m 32-的值．28．下面是某同学对多项式22(42)(46)4x x x x-+-++进行因式分解的过程.解：设24x x y-=，原式=(2)(6)4y y+++ (第一步)=2816y y++ (第二步)=2(4)y+ (第三步)=22(44)x x-+第四步).回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式22(2)(22)1x x x x--++进行因式分解.29．用简便方法计算：(1)2920.08+4120.083020.08⨯⨯+⨯；(2)已知123x y-=，2xy=，求43342x y x y-的值.30．计算：精确到 0.01)(2)4)3)-(精确到 0.01)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．C4．C5．D6．D7．C8．C9．C10．A11．B12．D13．C二、填空题14．(6，0)15．55°；50°16．12017．10<m ≤1518．-519．3=x 20．90度；521．16,122．-16三、解答题23．(1)由题意知⌒AC =⌒CD =⌒DB ，∴∠CDA=∠DAS, ∴CD ∥AB.(2)由题意知⌒AC 的度数为 60°，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，22,6ADC OCD R S s π∆==扇形，∴222(66R S R R ππ=+=+阴影 24．略25．(1)由A ′B=D ′C ，A ′D ′=BC ，可证四边形A ′BCD ′是平行四边形；(2)过A ′作A ′P ⊥BC 于P ，∠ABA ′=60°26．20%27．-1328．(1)C ；(2)不彻底，4(2)x -；(3)设22x x y -=，原式=22224(2)1=21(1)(21)(1)y y y y y x x x ++++=+=-+=- 29．(1)2008；(2)433433182(2)833x y x y x y x y -=-=⨯= 30．(1)4.02 (2)—2.46。

2022年江苏省常州市中考数学真题(解析版)

中位数 nkm，这两组中位数的值不变，即可知这两款新能源汽车的 0~100km/h 的加速时间的数值分别处于直线 m 的上方和下方，满电续航里程的数值分别位于直线 n 的左侧和右侧，据此逐项判断即可： A 项，两款车的 0~100km/h 的加速时间均在直线 m 下方，不符合要求，故 A 项错误； B 项，可知这两款新能源汽车的 0~100km/h 的加速时间的数值分别处于直线 m 的上方和下方，满电续航里
常州市 2022 年初中学业水平考试数学试题
一、选择题
1. 2022 的相反数是（）
A. 2022
B. 2022

C.
2022
D. 1 2022
【答案】B 【解析】【分析】根据相反数的定义直接求解．
【详解】解：实数 2022 的相反数是 2022 ，
故选：B．【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．
6. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）
A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A 【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A．【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
程的数值分别位于直线 n 的左侧和右侧，符合要求；
C 项，两款车的满电续航里程的数值均在直线 n 的左侧，不符合要求，故 C 项错误； D 项，两款车的 0~100km/h 的加速时间均在直线 m 上方，不符合要求，故 D 项错误；故选：B．

江苏省常州市2021年数学中考真题(解析版)

江苏省常州市2021年数学中考真题一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 12的倒数是（）A. 2B. ﹣2C. 12D. ﹣12 【答案】A【解析】【分析】直接利用倒数的定义即可得出答案．【详解】解：12倒数是2，故选：A ．【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握相关定义是解题关键．2. 计算()32m 的结果是（）A. 5mB. 6mC. 8mD. 9m 【答案】B【解析】【分析】根据幂的乘方公式，即可求解．【详解】解：()32m =6m ，故选B ．【点睛】本题主要考查幂的乘方公式，掌握幂的乘方公式，是解题的关键．3. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 正方体B. 圆锥C. 圆柱D. 球的【答案】D【解析】【分析】首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后根据主视图和左视图将圆锥和圆柱淘汰，即可求解．【详解】解：∵俯视图是圆，∴排除A ，∵主视图与左视图均是圆，∴排除B 、C ，故选：D ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．4. 观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A. 它是轴对称图形，不是中心对称图形B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形C. 它既是轴对称图形，也是中心对称图形D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：脸谱图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故选A ．【点睛】本题主要考查轴对称和中心对称图形，掌握轴对称和中心对称图形的定义，是解题的关键．5. 如图，BC 是O 的直径，AB 是O 的弦．若60AOC ∠=︒，则OAB ∠的度数是（）A. 20︒B. 25︒C. 30D. 35︒【答案】C【解析】【分析】先根据平角的定义求出∠AOB ，再根据等腰三角形的性质求解，即可．【详解】解：∵60AOC ∠=︒，∴∠AOB =180°-60°=120°，∵OA =OB ，∴OAB ∠=∠OBA =（180°-120°）÷2=30°，故选C ．【点睛】本题主要考查圆基本性质以及等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等，是解题的关键．6. 以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是13，则对应的转盘是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据概率公式求出每个选项的概率，即可得到答案．【详解】解：A ．指针落在阴影区域的概率是12，的B ．指针落在阴影区域的概率是14， C ．指针落在阴影区域的概率是25， D ．指针落在阴影区域的概率是13，故选D ．【点睛】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键．7. 已知二次函数2(1)y a x =-，当0x >时，y 随x 增大而增大，则实数a 的取值范围是（）A 0a > B. 1a > C. 1a ≠ D. 1a <【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．【详解】∵二次函数2(1)y a x =-的对称轴为y 轴，当0x >时，y 随x 增大而增大，∴二次函数2(1)y a x =-的图像开口向上，∴a -1＞0，即：1a >，故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．8. 为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格1y （元/件）随时间t （天）的变化如图所示，设2y （元/件）表示从第1天到第t 天该商品的平均价格，则2y 随t 变化的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数图像先求出1y 关于t 的函数解析式，进而求出2y 关于t 的解析式，再判断各个选项，即可．【详解】解：∵由题意得：当1≤t ≤6时，1y =2t +3，当6＜t ≤25时，1y =15，当25＜t ≤30时，1y =-2t +65，∴当1≤t ≤6时，2y =()54223t t t t +÷=++，当6＜t ≤25时，2y =()()530156115256t t t +⎡⎤+-÷=-⎢⎥⎣⎦⨯，当25＜t ≤30时，2y =()()()132615(5256)51525622t t t ⎡⎤+-+⨯-⎡⎤+⎣⎦+⨯-+÷⎢⎥⎢⎥⎣⎦⨯ =63064t t--+ ， ∴当t=30时，2y =13，符合条件的选项只有A ．故选A ．【点睛】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.=___．【答案】3【解析】【详解】试题分析：根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的一个立方根：∵33=27，3=．10. 计算：()2222a a -+=__________．【答案】22a -【解析】【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解．【详解】解：原式=2222a a --=22a -，故答案是：22a -．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键．11. 分解因式：224x y -=__________．【答案】()()22x y x y -+【解析】【分析】根据平方差公式分解因式，即可．【详解】解：224x y -=()()22x y x y -+，故答案是：()()22x y x y -+．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．12. 近年来，5G 在全球发展迅猛，中国成为这一领域基础设施建设、技术与应用落地的一大推动者．截至2021年3月底，中国已建成约819000座5G 基站，占全球70%以上．数据819000用科学记数法表示为__________．【答案】8.19×105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：819000=8.19×105，故答案是：8.19×105．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13. 数轴上的点A、B分别表示3-、2，则点__________离原点的距离较近（填“A”或“B”）．【答案】B【解析】【分析】先求出A、B点所对应数的绝对值，进而即可得到答案．-、2，【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示3-==，且3＞2，∴33,22∴点B离原点的距离较近，故答案是：B．【点睛】本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键．14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC=，则点A的坐标是__________．3【答案】（3，0）【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解．【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∴点A的坐标是（3，0），故答案是：（3，0）．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及点的坐标，掌握平行四边形的对边相等，是解题的关键．15. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，40,60B C ∠=︒∠=︒．若//DE AB ，则AED =∠________︒．【答案】100【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A =80°，再根据平行线的性质，求出AED ∠，即可．【详解】解：∵40,60B C ∠=︒∠=︒，∴∠A =180°-40°-60°=80°，∵//DE AB ，∴AED =∠180°-80°=100°．故答案是100．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在ABC 中，分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接DE ，过点A 作AF DE ⊥，垂足为F ，将ABC 分割后拼接成矩形BCHG ．若3,2DE AF ==，则ABC 的面积是__________．【答案】12【解析】【分析】先证明ADF BDG ≌，AEF CEH ≌，把三角形的面积化为矩形的面积，进而即可求解．【详解】解：∵D 是AB 的中点，四边形BCHG 是矩形，∴AD =BD ，∠G =∠AFD =90°，又∵∠ADF =∠BDG ，∴ADF BDG ≌，∴DF =DG ，AF =BG =2，同理：AEF CEH ≌，∴EF =EH ，∴GH =2(DF +EF )=2DE =2×3=6，∴ABC 的面积=矩形BCHG 的面积=2×6=12．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，通过全等三角形的判定，把三角形的面积化为矩形的面积，是解题的关键．17. 如图，在ABC 中，3,4AC BC ==，点D 、E 分别在CA 、CB 上，点F 在ABC 内．若四边形CDFE 是边长为1的正方形，则sin FBA ∠=________．【解析】【分析】连接AF ，CF ，过点F 作FM ⊥AB ，由ABC ACF BCF ABF SS S S =++，可得FM =1，再根据锐角三角函数的定义，即可求解．【详解】解：连接AF ，CF ，过点F 作FM ⊥AB ，∵四边形CDFE 是边长为1的正方形，∴∠C =90°，∴AB 5=，∵ABC ACF BCF ABF SS S S =++， ∴111134314152222FM ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， ∴ FM =1，∵BF =，∴sin FBA ∠==．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握”等积法“是解题的关键．18. 如图，在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，D 是AB 上一点（点D 与点A 不重合）．若在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是________．【答案】43＜AD ＜2 【解析】【分析】以AD 为直径，作O 与BC 相切于点M ，连接OM ，求出此时AD 的长；以AD 为直径，作O ，当点D 与点B 重合时，求出AD 的长，进入即可得到答案．【详解】解：以AD 为直径，作O 与BC 相切于点M ，连接OM ，则OM ⊥BC ，此时，在Rt ABC 的直角边上存在3个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形，如图，∵在Rt ABC 中，90,30,1ACB CBA AC ∠=︒∠=︒=，∴AB =2，∵OM ⊥BC ， ∴1sin 302OM OB ︒==，设OM =x ，则AO =x ， ∴122x x =-，解得：23x =， ∴AD =2×23=43，以AD 为直径，作O ，当点D 与点B 重合时，如图，此时AD =AB =2， ∴在Rt ABC 的直角边上存在4个不同的点分别和点A 、D 成为直角三角形的三个顶点，则AD 长的取值范围是：43＜AD ＜2．故答案是：43＜AD ＜2．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，熟练掌握圆周角定理的推论，解直角三角形，画出图形，分类讨论，是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.201 (1)(1)2π-----+．【答案】1 2【解析】【分析】先算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算，再算加减法，即可求解．【详解】解：原式=1 2112 --+=12．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂以及平方运算法则，是解的关键．20. 解方程组和不等式组：（1）0 23 x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）3602xx x+>⎧⎨-<-⎩【答案】（1）11xy=⎧⎨=-⎩；（2）-2＜x＜1【解析】【分析】（1）利用加减消元法，即可求解；（2）分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可求解．【详解】解：（1）23x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得3x=3，解得：x=1，把x=1代入①得：y=-1，∴方程组的解为：11 xy=⎧⎨=-⎩；（2）3602xx x+>⎧⎨-<-⎩①②，由①得：x＞-2，由②得：x＜1，∴不等式组的解为：-2＜x＜1【点睛】本题主要考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，掌握加减消元法以及解不等组的基本步骤，是解题的关键．21. 为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1）本次调查的样本容量是_______；（2）补全条形统计图；（3）已知该小区有居民2000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数．【答案】（1）100；（2）补全图形见详解；（3）600【解析】【分析】（1）用较多了解的人数÷对应百分比，即可求解；（2）先算出完全了解人数，较少了解人数，再补全统计图，即可；（3）用2000×“完全了解”的百分比，即可求解．【详解】解：（1）55÷55％=100（人），故答案是：100；（2）完全了解人数：100×30％=30（人），较少了解人数：100-30-55-5=10（人），补全统计图如下：（3）2000×30％=600（人），答：估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数有600人．【点睛】本题主要考查扇形统计图和条形统计图，准确找出相关数据，是解题的关键．22. 在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件①的概率是__________；（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．【答案】（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）根据等可能事件的概率公式，直接求解，即可；（2）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．【详解】解：（1）3支签中任意抽出1支签，抽到条件①的概率=1÷3=13，故答案是：13；（2）画出树状图：∵一共有6种等可能的结果，四边形ABCD 一定是正方形的可能有4种，∴四边形ABCD 一定是正方形的概率=4÷6=23．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图是解题的关键．23. 如图，B 、F 、C 、E 是直线l 上的四点，//,,AB DE AB DE BF CE ==．（1）求证：ABC DEF △≌△；（2）将ABC 沿直线l 翻折得到A BC '．①用直尺和圆规在图中作出A BC '（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接A D '，则直线A D '与l 的位置关系是__________．【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行【解析】【分析】（1）根据“SAS ”即可证明ABC DEF △≌△；（2）①以点B 为圆心，BA 为半径画弧，以点C 为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于A '，连接A 'B ，A 'C ，即可；②过点A '作A 'M ⊥l ，过点D 作DN ⊥l ，则A 'M ∥DN ，且A 'M =DN ，证明四边形A 'MND 是平行四边形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵BF CE =，∴BC =EF ，∵//AB DE ，∴∠ABC =∠DEF ，又∵AB DE =，∴ABC DEF △≌△；（2）①如图所示，A BC '即为所求；②A D '∥l ，理由如下：∵ABC DEF △≌△，A BC '与ABC 关于直线l 对称，∴A BC DEF '△≌△，过点A '作A 'M ⊥l ，过点D 作DN ⊥l ，则A 'M ∥DN ，且A 'M =DN ，∴四边形A 'MND 是平行四边形，∴A D '∥l ，故答案是：平行．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．24. 为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【解析】【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，由题意得：202052x x-=，解得：x =2，经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数12y x b =+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数(0)ky x x =>的图像交于点C ，连接OC ．已知点()4,0A -，2AB BC =．（1）求b 、k 的值；（2）求AOC △的面积．【答案】（1）b =2，k =6；（2）6【解析】【分析】（1）过点C 作CD ⊥x 轴，则OB ∥CD ，把()4,0A -代入12y x b =+得：b =2，由AOB ADC △∽△，得23OAOBDA CD ==，进而即可求解；（2）根据三角形的面积公式，直接求解即可．【详解】解：（1）过点C 作CD ⊥x 轴，则OB ∥CD ，把()4,0A -代入12y x b =+得：()1042b =⨯-+，解得：b =2， ∴122y x =+，令x =0代入122y x =+，得y =2，即B (0，2)，∴OB =2，∵2AB BC =，OB ∥CD ，∴AOB ADC △∽△， ∴23OA OB DA CD ==，即：4223DA CD == ∴DA =6，CD =3∴OD =6-4=2，∴D (2，3)， ∴32k =，解得：k =6；（2）AOC △的面积=1143622OA CD ⋅=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法以及函数图像点的特征，是解题关键．26. 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，,AC BC CD AB ⊥⊥，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE ．已知AD a =，()0BD b a b =<<．①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）；②比较大小：CE __________CD （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数()10y x x=>的图像上，横坐标分别为m 、n ．设11,p m n q m n =+=+，记14l pq =． ①当1,2m n ==时，l =__________；当3,3m n ==时，l =________；②通过归纳猜想，可得l 的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．【答案】（1）①CD =，CE =()12a b +；②＞，()12a b +（2）①98，1；②l 的最小值是1，理由见详解【解析】【分析】（1）①先证明ADC CDB ∽△△，从而得2CD ab =，进而得CD 的值，根据直角三角形的性质，直接得CE 的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；（2）①把m ，n 的值直接代入l =14pq =()1114m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭进行计算，即可；②过点M 作x ，y 轴的平行线，过点N 作x ，y 轴的平行线，如图所示，则A (n ，1m )，B (m ，1n )，画出图形，用矩形的面积表示111114m m n n m n n m ⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭，进而即可得到结论．【详解】解：（1）①∵,AC BC CD AB ⊥⊥，∴∠ACD +∠A =∠ACD +∠BCD =90°，即：∠A =∠BCD ，又∵∠ADC =∠CDB =90°，∴ADC CDB ∽△△， ∴AD CD CD BD =，即：a CD CD b=，∴2CD ab =，即：CD =（负值舍去）， ∵E 是AB 的中点，∴CE =12AB =()12a b +； ②∵CD AB ⊥，0a b <<，∴CE ＞CD ，即：()12a b + 故答案是：＞；（2）①当1,2m n ==时，l =14pq =()1114m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()1119124128⎛⎫⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，当3,3m n ==时，l =14pq =()1114m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()111331433⎛⎫⨯+⨯+= ⎪⎝⎭，故答案是：98，1； ②l 的最小值是：1，理由如下：由题意得：M (m ，1m)，N (n ，1n )，过点M 作x ，y 轴的平行线，过点N 作x ，y 轴的平行线，如图所示，则A (n ，1m )，B (m ，1n )， l =14pq =()1114m n m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=111114m m n n m n n m ⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭ =14[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）] =14[（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积] =14(1+1+1+1+③的面积)≥1， ∴l 的最小值是1．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．27. 在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M -、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B 、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ②若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______；（2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围；（3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）①B ；②()2,0-；（2）213m ≤≤或10m -≤≤；（3）513,33Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,5Q -．【解析】【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A 绕y 轴上点T 顺时针或逆时针旋转90度的得到点A '．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T 坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点Q '，列不等式求解即可；（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E 坐标求出点Q 坐标即可．【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，设(),A x y ，点()0,T a ，关联点(),A x y '''，将点A 、点A '、点T 向下平移a 个单位，点T 对应点与原点重合，此时点A 、点A '对应点()0,A x y a -、()0,A x y a '''-， ∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x ，y ）顺时针旋转，对应点坐标为（y ，-x ）；逆时针旋转对应点坐标为（-y ，x ），∴()0,A x y a -绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为()0,A y a x '--或()0,A a y x '-，即顺时针旋转时，x y a y a x =-⎧⎨-=-''⎩解得：x y a y a x=-⎧⎨=-''⎩，即关联点(),A y a a x '--，或逆时针旋转时，x a y y a x =-⎧⎨-=''⎩，解得：x a y y x a=-⎧⎨=+''⎩，即关联点(),A a y x a '-+，即：在平面直角坐标系xOy 中，设(),A x y ，点()0,T a ，关联点坐标为(),A y a a x '--或(),A a y x a '-+，（1）①由关联点坐标变化规律可知，点()2,0M -关于在y 轴上点()0,T a 的关联点坐标为：(),2A a a '-+或(),2A a a '-+，若点()2,0B 是关联点，则220a a -=⎧⎨+=⎩或220a a =⎧⎨-+=⎩，解得：2a =±，即y 轴上点()0,2T 或()0,2T -，故点()2,0B 是关联点；若点()0,1C -是关联点，则021a a -=⎧⎨+=-⎩或021a a =⎧⎨-+=-⎩，无解，故点()0,1C -不是关联点；若点()22D ,--是关联点，则222a a -=-⎧⎨+=-⎩或222a a =-⎧⎨-+=-⎩，无解，故点()22D ,--不是关联点；故答案为：B ；②由关联点坐标变化规律可知，点()1,1P 关于点()0,T a 的关联点P '的坐标为()1,1P a a '--或()1,1P a a '-+，若10a -=，解得：1a =，此时即点()0,0P '，不在线段MN 上；若10a +=，解得：1a =-，此时即点()2,0P '-，在线段MN 上；综上所述：若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点()2,0P '-故答案为：()2,0-；（2）设点(),Q m n 与点Q '是关于点()0,T a 关联点，则点Q '坐标为(),Q n a a m '--或(),Q a n a m '-+，又因为点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上，即：21n m =-+，点Q '在线段MN 上，点()2,0M -、()1,0N -，当∴=02121a m n m n a -⎧⎪=-+⎨⎪-≤-≤-⎩，∴2211m m -≤-+-≤-， ∴213m ≤≤，或=02121a m n m a n +⎧⎪=-+⎨⎪-≤-≤-⎩，∴2211m m -≤--≤-，当10m -≤≤；综上所述：当213m ≤≤或10m -≤≤时，在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '．（3）对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，故点E 与点Q 也是关于同一点关联，设该点()0,T a ，则设点(),Q m n 与点E 是关于点()0,T a 关联点，则点E 坐标为(),E n a a m --或(),E a n a m -+，又因为(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上，即：21n m =-+，∵点()4,2E ，若2142n m n a a m =-+⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得：5313313m n a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即点513,33Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的若2142n m a n a m =-+⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得：351m n a =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即点()3,5Q -，综上所述：513,33Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,5Q -．【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数()0y kx k =≠和二次函数2134y x bx =-++的图像都经过点(4,3)A 和点B ，过点A 作OA 的垂线交x 轴于点C ．D 是线段AB 上一点（点D 与点A 、O 、B 不重合），E 是射线AC 上一点，且AE OD =，连接DE ，过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，以DE 、DF 为邻边作DEGF ．（1）填空：k =________，b =________；（2）设点D 的横坐标是(0)t t >，连接EF ．若FGE DFE ∠=∠，求t 的值；（3）过点F 作AB 的垂线交线段DE 于点P ．若13DFP DEGF S S =，求OD 的长．【答案】（1）34，1；（2）t =（3）11536 【解析】【分析】（1）把(4,3)A 分别代入一次函数解析式和二次函数解析式，即可求解；（2）先证明EF =ED ，结合D (t ， 34t )，F (t ， 2134t t -++)，可得点E 的纵坐标为：2173882t t -++，过点A 作AM ⊥EG ，延长GE 交x 轴于点N ，由4cos cos 5EM AOC AEM AE ∠=∠==，从而得217334882554t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭=，进而即可求解；（3）先推出23DP DC =，由FP ∥AC ，得23DQ DP DA DC ==，结合35DQ DH DF OD ==，可得DA =32DQ =2331132544t t ⎛⎫⨯⨯-++ ⎪⎝⎭，结合DA +OD =5，列出方程，即可求解．【详解】解：（1）把(4,3)A 代入()0y kx k =≠得：34k =，解得：34k =，把(4,3)A 代入2134y x bx =-++得：2134434b =-⨯++，解得：b =1，故答案是：34，1；（2）∵DEGF 中，FGE FDE ∠=∠，∵FGE DFE ∠=∠，∴FDE ∠=DFE ∠，∴EF =ED ，∵设点D 的横坐标是(0)t t >，则D (t ，34t )，F (t ， 2134t t -++)， ∴点E 的纵坐标为：（34t 2134t t -++）÷2=2173882t t -++，联立213434y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：43x y =⎧⎨=⎩或394x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴A (4，3)，∴ 过点A 作AM ⊥EG ，延长GE 交x 轴于点N ，则∠AEM =∠NEC =∠AOC ， ∴4cos cos 5EM AOC AEM AE ∠=∠==，又∵AE OD =54t =， ∴217334882554t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭=，解得：t =t = 在∴t =（3）当13DFP DEGF S S =时，则23DP DC =， ∵AB ⊥FP ，AB ⊥AC ， ∴FP ∥AC ，∴23DQ DP DA DC ==， ∵∠FDQ =∠ODH ，∴334cos cos 554t DQ DH FDQ ODH DF OD t ∠===∠==，又∵DF =2134t t -++-34t =211344t t -++， ∴DQ =23113544t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴DA =32DQ =2331132544t t ⎛⎫⨯⨯-++ ⎪⎝⎭， ∵DA +OD =5，∴2331132544t t ⎛⎫⨯⨯-++ ⎪⎝⎭+54t =5，解得：239t =或4t =（舍去）， ∴OD =54t =11536．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，根据题意画出图形，添加合适的辅助线，熟练掌握锐角三角函数的定义，平行四边形的性质，是解题的关键．祝福语祝你考试成功!。

2024年江苏省常州市中考数学试卷正式版含答案解析

绝密★启用前2024年江苏省常州市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.−2024的绝对值是( )A. −12024B. 12024C. −2024D. 20242.若式子√ x−2有意义，则实数x的值可能是( )A. −1B. 0C. 1D. 23.计算2a2−a2的结果是( )A. 2B. a2C. 3a2D. 2a44.下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是( )A. B.C. D.5.如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )A. d1与d2一定相等B. d1与d2一定不相等C. l1与l2一定相等D. l1与l2一定不相等6.2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为( ) A. 50×108光年 B. 5×108光年 C. 5×109光年 D. 5×1010光年7.如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是( )A. 垂线段最短B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 两点确定一条直线D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行8.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”(单位：min/km).小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是( )A. 第1km所用的时间最长B. 第5km的平均速度最大C. 第2km和第3km的平均速度相同D. 前2km的平均速度大于最后2km的平均速度第II卷（非选择题）二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

2024常州市中考数学试题

1、一个矩形的长是8cm，宽是5cm，若将其长增加x cm，宽保持不变，则新的矩形面积比原矩形面积增加了多少平方厘米？A、5xB、8xC、40+5xD、无法确定解析：原矩形面积为8cm5cm=40平方厘米，长增加x cm后，新矩形面积为(8+x)cm5cm=40+5x平方厘米。

增加的面积即为新面积减去原面积，即(40+5x)-40=5x平方厘米。

（答案）A2、下列哪个数是无理数？A、3.14B、22/7C、√2D、-1解析：无理数是不能表示为两个整数的比的数，且其小数部分是无限不循环的。

3.14是有限小数，22/7是两个整数的比，即有理数，-1是整数，也是有理数。

而√2无法表示为两个整数的比，且其小数部分是无限不循环的，所以是无理数。

（答案）C3、在三角形ABC中，若∠A=∠B+∠C，则三角形ABC是哪种三角形？A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、无法确定解析：根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和为180°。

若∠A=∠B+∠C，则∠A+∠B+∠C=∠A+∠A=2∠A=180°，所以∠A=90°。

因此，三角形ABC是直角三角形。

（答案）B4、下列哪个选项是方程x2-4x+4=0的解？A、x=0B、x=1C、x=2D、x=3解析：将选项代入方程进行验证。

当x=0时，方程左边为02-40+4=4，不等于0，所以x=0不是解；当x=1时，方程左边为12-41+4=1，不等于0，所以x=1不是解；当x=2时，方程左边为22-42+4=0，等于0，所以x=2是解；当x=3时，方程左边为32-43+4=1，不等于0，所以x=3不是解。

（答案）C5、若a>b，c>d，则下列不等式一定成立的是？A、a+c>b+dB、a-c>b-dC、ac>bdD、a/c>b/d解析：根据不等式的性质，同向不等式可以相加，所以若a>b，c>d，则a+c>b+d一定成立。

2022江苏常州中考数学试卷+答案解析

2022年江苏常州中考数学一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的)1. 2022的相反数是()A.2022B.－2022C.12 022D.－12 0222. 若二次根式√x−1有意义，则实数x的取值范围是()A.x≥1B.x>1C.x≥0D.x>03.下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是()A B C D4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。

若DE=2，则BC的长是()A.3B.4C.5D.65.某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为()A.y=x+50B.y=50xC.y=50x D.y=x506.如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是()A.垂线段最短B.两点确定一条直线C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行7.在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y 轴对称.已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是()A.(－2，1)B.(－2，－1)C.(－1，2)D.(－1，－2)8.某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的0~100 km/h的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据。

已知0~100 km/h的加速时间的中位数是m s，满电续航里程的中位数是n km，相应的直线将平面分成了①②③④四个区域(直线不属于任何区域)。

欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在()A.区域①②B.区域①③C.区域①④D.区域③④二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)9.化简：√83=.10.计算：m4÷m2=.11.分解因式：x2y+xy2=.12. 2022年5月22日，中国科学院生物多样性委员会发布《中国生物物种名录》2022版，共收录物种及种下单元约138 000个。