《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案

一、填空题（每个空格4分，共80分）

1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程

2=dy

x dx

的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2

1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2

4=+y x ，满足条件3

3ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。

4、对方程

2()dy

x y dx

=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程

21d d y x y -=过点)1,2

(π

共有 无数 个解。 6、方程

''2

1=-y x

的通解为 42

12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为

4219

12264

=-++x x y x 。

7、方程

x x y x

y

+-=d d 无 奇解。

8、微分方程2260--=d y dy

y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩dy

z dx dz z y dx

。 9、方程

y x

y

=d d 的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dy x dx dx

是 3 阶常微分方程。

11、方程

22dy

x y dx

=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx

--=通解为 512-=+x x

y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组

45⎧=⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩dy z dx

dz z y dx

。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dX

AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

t t t t e e t e

e 。

二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、0d d )2(=-+y x x y x 答案：方程化为

x

y x y 21d d += 令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入上式，得u x

u x +=1d d 分离变量，积分，通解为1-=Cx u

∴ 原方程通解为x Cx y -=2

2、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x t

y y x t

x

4d d d d

答案：特征方程为 014

11=--=

-λ

λλE A 即0322=--λλ。

特征根为 31=λ，12-=λ 对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--0031413111b a 可确定出 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a

∴ 原方程组的通解为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。 3、

x y x

y

2e 3d d =+ 答案：齐次方程的通解为x C y 3e -=

令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=C x C x +=5e 51)(

代入原方程，确定出原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 5

1

4、

2-=x y dy

dx ； 答案：2-=x y dy

dx

是一个变量分离方程 变量分离得22y

x

dy dx =

两边同时积分得22y x c =+（其中c 为任意常数） 5、

xy e x

y

dx dy =+ 答案：x

y xe

xy e dx dy xy

xy -=-=

dx y xe xdy xy )(-= dx xe ydx xdy xy =+

dx xe dxy xy = xdx e dxy

xy =

积分：c x e xy +=--221 故通解为：02

12=++-c e x xy

6、

{}

0)(22

=-+-xdy dx y x

x y

答案：

0)(22=+--dx y x x xdy ydx

两边同除以2

2

y x +得02

2=-+-xdx y x xdy ydx ，即021)(2

=-dx y x arctg d ， 故原方程的解为C x y x arctg =-2

2

1

7、2453dx

x y dt

dy x y dt

⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .

答案：方程组的特征方程为203A E λλλ

---=

=--45

即(2)(3)(4)(5)0λλ----⨯-=，即25140λλ--= 特征根为17λ=，22λ=-

对应特征向量应满足1127405370a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢

⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得1145a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

⎣⎦ 同样可算出22λ=-时，对应特征向量为2211a b ⎡⎤⎡⎤

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

∴ 原方程组的通解为72127245--⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

t t t t x e e C C y e e 8、sin cos2x x t t ''+

=-

答案：线性方程0x x ''+

=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±