《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案
一、填空题（每个空格4分，共80分）
1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程
2=dy
x dx
的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2
1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2
4=+y x ，满足条件3
3ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。

4、对方程
2()dy
x y dx
=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程
21d d y x y -=过点)1,2
(π
共有 无数 个解。

6、方程
''2
1=-y x
的通解为 42
12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为
4219
12264
=-++x x y x 。

7、方程
x x y x
y
+-=d d 无 奇解。

8、微分方程2260--=d y dy
y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩dy
z dx dz z y dx。

9、方程
y x
y
=d d 的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dy x dx dx
是 3 阶常微分方程。

11、方程
22dy
x y dx
=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。

12、微分方程22450d y dy y dx dx
--=通解为 512-=+x x
y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组
45⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩dy z dx
dz z y dx。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dX
AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
t t t t e e t e
e 。

二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、0d d )2(=-+y x x y x 答案：方程化为
x
y x y 21d d += 令xu y =，则x u x u x y d d d d +=，代入上式，得u x
u x +=1d d 分离变量，积分，通解为1-=Cx u
∴ 原方程通解为x Cx y -=2
2、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x t
y y x t
x
4d d d d
答案：特征方程为 014
11=--=
-λ
λλE A 即0322=--λλ。

特征根为 31=λ，12-=λ 对应特征向量应满足 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--0031413111b a 可确定出 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a
∴ 原方程组的通解为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 。

3、
x y x
y
2e 3d d =+ 答案：齐次方程的通解为x C y 3e -=
令非齐次方程的特解为x x C y 3e )(-=C x C x +=5e 51)(
代入原方程，确定出原方程的通解为x C y 3e -=+x 2e 5
1
4、
2-=x y dy
dx ； 答案：2-=x y dy
dx
是一个变量分离方程 变量分离得22y
x
dy dx =
两边同时积分得22y x c =+（其中c 为任意常数） 5、
xy e x
y
dx dy =+ 答案：x
y xe
xy e dx dy xy
xy -=-=
dx y xe xdy xy )(-= dx xe ydx xdy xy =+
dx xe dxy xy = xdx e dxy
xy =
积分：c x e xy +=--221 故通解为：02
12=++-c e x xy
6、
{}
0)(22
=-+-xdy dx y x
x y
答案：
0)(22=+--dx y x x xdy ydx
两边同除以2
2
y x +得02
2=-+-xdx y x xdy ydx ，即021)(2
=-dx y x arctg d ， 故原方程的解为C x y x arctg =-2
2
1
7、2453dx
x y dt
dy x y dt
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .
答案：方程组的特征方程为203A E λλλ
---=
=--45
即(2)(3)(4)(5)0λλ----⨯-=，即25140λλ--= 特征根为17λ=，22λ=-
对应特征向量应满足1127405370a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得1145a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
⎣⎦ 同样可算出22λ=-时，对应特征向量为2211a b ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
∴ 原方程组的通解为72127245--⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
t t t t x e e C C y e e 8、sin cos2x x t t ''+
=-
答案：线性方程0x x ''+
=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±
1()sin f t t = i λ=是特征单根，
原方程有特解(cos sin )x t A t
B t =+代入原方程A=-
12
B=0 2()cos 2f t t =- 2i λ=不是特征根，
原方程有特解cos2sin 2x
A t
B t =+
代入原方程13
A =
B=0
所以原方程的解为12
11cos sin cos cos223
x c t c t t t t =+-+
9、0)2()122(=-++-+dy y x dx y x 答案：
2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，令z=x+y ，则dx dy dx dz +
=1
,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-1
2 所以 –z+3ln|z+1|=x+1C ， ln 3|1|+z =x+z+1C
即y x Ce y x +=++23)1(
10、220++=d x dx x dt dt
答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。

其特征方程为210λλ++=
特征根为1122i λ=-
+，2122
i λ=--
∴ 方程的通解为111
()()2221212(cos sin )22
t t t x c e c e
c t c e ---=+=+
11、
3
1
2+++-=y x y x dx dy 答案： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0即21d 2x
-d(xy)+dx-33
1dy -3dy=0
所以
C y y x xy x =--+-33
1
2132
三、证明题（共160分）
1、（12分）证明如果Ax x t =/
）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么 =)(t ϕ[
]η)
(0t t A e
-。

证明：设)(t ϕ的形式为)(t ϕ=C e At （1）（C 为待定的常向量）
则由初始条件得)(0t ϕη==C e At 0 又1)(0
-At e
=0At e - 所以C=1)(0-At e η=0At e -η
代入（1）得)(t ϕ=ηη)(0
t t A At At
e e e --= 即命题得证。

2、（12分）设)(x ϕ在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程
y x x
y
sin )(d d ϕ=的所有解的存在区间必为),(∞+-∞。

证明 ：由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。

显然1±=y 是方程的两个常数解。

任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y 。

记过该点的解为)(x y y =， 由上面分析可知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延展；
另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾； 故该解的存在区间必为),(∞+-∞。

3、（12分）设)(1x y ，)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，且满足)(01x y =)(02x y =0，0)(1≠x y ，这里)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，),(0∞+-∞∈x ．试证明：存在常数C 使得)(2x y =C )(1x y ． 证明：设)(1x y ，)(2x y 是方程的两个解，则它们在),(∞+-∞上有定义，
其朗斯基行列式为)()()
()
()(2
121x y x y x y x y x W ''=
由已知条件，得0)()(0
)()()()
()(02
0102
01
02010=''=''=
x y x y x y x y x y x y x W 故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数21αα，
， 使得0)()(2211=+x y x y αα，),(∞+-∞∈x 由于0)(1≠x y ，可知02≠α．
否则，若02=α，则有0)(11=x y α，而0)(1≠x y ，则01=α， 这与)(1x y ，)(2x y 线性相关矛盾．故)()()(112
1
2x Cy x y x y =-=αα
4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。

定理：设00:||,||R x x a y y b -≤-≤.
（1）(,)f x y 在R 上连续，
（2）(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件：
120,(,),(,)L x y x y R ∃>∀∈，总有1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-.
则初值问题00
(,)
()dy
f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩存在唯一的解()y x ϕ=，定义于区间0||x x h -≤上，
连续且满足初值条件00()x y ϕ=，这里(,)min(,
),max |(,)|x y R b
h a M f x y M
∈==.
唯一性：设()x φ是积分方程在区间00[,]x h x h -+上的解，则()()x x φϕ=. 证明：0
0()(,())x
x x y f d φξφξξ=+
⎰
，0
01()(,())x
n n x x y f d ϕξϕξξ-=+⎰，1,2,......n =
首先估计0x x ≥.
000|()()||(,())|()x
x x x f d M x x ϕφξφξξ-≤≤-⎰，
10|()()||(,())(,())|x
x
x x f f d ϕφξϕξξφξξ-≤-⎰
2000|()()|()()2!
x
x
x x ML
L
d LM x d x x ϕξφξξξξ≤-≤-=
-⎰
⎰ 设10|()()|()(1)!
n
n n ML x x x x n ϕφ+-≤
-+成立，则 00
1
210|()()||(,())(,())||()()|()(2)!
n x
x
n n n n x x ML x x f f d d x x n ϕφξϕξξφξξϕξφξξ+++-≤-≤-=-+⎰⎰
这就证明了对任意的n ，总成立估计式：1
10|()()|()(1)!(1)!
n n n n n ML ML x x x x h n n ϕφ++-≤
-≤++. 因此，{()}n x ϕ一致收敛于()x φ，由极限的唯一性，必有00()(),[,]x x x x h x h φϕ=∈-+.
5、（10分）求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=++=51
y x dt
dy
y x dt dx
的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。

解：令⎩⎨
⎧=--=++0501y x y x ，得⎩⎨⎧-==3
2
y x ，即奇点为（2，-3）
令⎩⎨⎧+=-=32
y Y x X ，代入原方程组得⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=Y X dt dY Y X dt dX
，
因为
021
11
1≠-=-，又由
021
1
1
1
2=-=+---κλλ，
解得21=λ，22-=λ为两个相异的实根，
所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。

6、（12分）求方程组313dx
x y dt
dy y dt
⎧=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩满足初始条件1(0)1ϕ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的解.
解：方程组的特征方程为
23
1
(3)00
3
λλλ--=-=-，
所以特征根为3λ=（二重），
对应齐次方程组的基解矩阵331exp ((3))01t
t
t At e I A E t e ⎡⎤
=+-=⎢⎥⎣⎦
，
满足初始条件的特解
0()exp exp exp()()t
t At At As f s ds φη=+-⎰33301111101101010t t
t s t t s e e e ds ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎰ 3331111331010t t t t t e e e -⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦3332133t t t te e e ⎡⎤
--⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
7、（10分）假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt ce Ax x +='有一解形如 mt
pe t =)(ϕ
其中c ，p 是常数向量。

证明：设方程有形如mt
pe
t =)(ϕ的解，则p 是可以确定出来的。

事实上，将mt
pe 代入方程得mt mt mt
ce Ape mpe
+=，
因为0=mt e ，所以c Ape mp +=，
c P A mE =-)( （1）
又m 不是矩阵A 的特征值，0)det(≠-A mE
所以1
)(--A mE 存在，于是由（1）得c A mE p 1
)(--=存在。

故方程有一解mt mt
pe ce A mE t =-=-1)()(ϕ
8、（12分）试求方程组'x Ax =的一个基解矩阵，并计算exp At ，其中2112A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
.
解：12()det()0,p E A λλλλ=-===
设1λ对应的特征向量为1v ，则由11
()0E A v λ-=
，得1(2v αα⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，0α≠.
取112v ⎛⎫= +⎝，同理可得1λ
对应的特征向量为212v ⎛⎫
= -⎝，
则1122(),()t t ϕϕ==，均为方程组的解， 令12()((),())t t t φϕϕ=
，又1(0)det (0)022w φ==
=≠-，
∴ ()t φ
即为所求基解矩阵(2(2e e ⎛⎫
⎪ ⎪-⎝
⎭
.
9、（12分）试证明：对任意0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程
2
21)
1(d d y x y y x y ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(∞+-∞上存在．
证明：∵ 221)1(),(y x y y y x f ++-=，2
2222)1(2)1()1)(12(),(y x y y y y x y y x f y ++--++-='
在全平面上连续
∴ 原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件． 又显然1,0==y y 是方程的两个特解．
现任取),(0∞+-∞∈x ，)1,0(0∈y ，记)(x y y =为过),(00y x 的解，
那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越1=y ，下不能穿越0=y ， 因此它的存在区间必为),(∞+-∞．
10、（10分）求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解：设曲线方程为()y y x =，切点为(,)x y ，切点到点(1,0)的连线的斜率为
1
y
x -，
则由题意可得如下初值问题：'11(0)0
y
y
x y ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩
分离变量，积分并整理后可得2
2
(1)y x C =--+， 代入初始条件可得1C =，
因此得所求曲线为2
2(1)1x y -+=.
11、（12分） 在方程
)()(d d y y f x
y
ϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．
证明：由已知条件可知，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解
Λ,2,1,0,±±==k k y π．
对平面内任一点),(00y x ，若πk y =0，则过该点的解是πk y =，显然是在),(∞+-∞上有定义． 若πk y ≠0,则))1(,(0ππ+∈k k y ,记过该点的解为)(x y y =，
那么一方面解)(x y y =可以向平面的无穷远无限延展；
另一方面在条形区域k y k x y x (,),({<<π+∞<<∞-})1π+内)(x y 不能上、下穿过解
π)1(+=k y 和πk y =，否则与解的惟一性矛盾．
因此解的存在区间必为),(∞+-∞．
12、（10分）设12(),()y x y x ϕϕ==是方程"
()0y q x y +=的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式
()W x C ≡，其中C 为常数.
证明：由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一性及解的延展定理条件.
显然1y =±是方程的两个常数解.
任取初值00(,)x y ，其中0(,)x ∈-∞+∞，0||1y <，记过该点的解为()y y x =， 由上面分析可知，一方面()y y x =可以向平面无穷处无限延展；
另一方面又上方不能穿过1y =，下方不能穿过1y =-，否则与唯一性矛盾， 故该解的存在区间必为(,)-∞+∞.
13、（12分）试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试同齐次函数，且xM+yN ≠0,则)
(1
yN xM +是
该方程的一个积分因子。

证明：如M 、N 都是n 次齐次函数，
则因为x
x
M
+y
y
M
=nM ，x
x
N
+y
y N
=nN ，
故有M N
y xM yN x xM yN
∂∂-∂+∂+=
2
()()
()
y
y y xM yN M x N y xM yN N M
M +-+++2
()()
()
x x
x xM yN N x M y xM yN N N M +-++-+
＝2
()()
()
x x y M x yN N x y xM yN N N M +-+-
+
＝2
()()
()M nN N nM xM yN --
+=0.
故命题成立。