高考(文科)数学专题复习课件：第5专题-立体几何
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热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
【考情报告】
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
【考向预测】
立体几何是高考考查的重点内容之一，主要考查学生的 空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力．文科的立 体几何主要考查两部分：一是空间几何体，以三视图为主展 开考查三视图的识别、判断，考查通过三视图给出的空间几 何体的表面积和体积的计算等问题，以选择题和填空题的形 式出现；二是空间点、直线、平面的位置关系，主要以解答 题的形式出现，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系 的证明，一般出现在第一问，第二问考查求锥体或柱体的体 积，等等．预测 2014 年高考对立体几何的考查，空间几何 体的三视图与其表面积、体积结合还是考查的热点，难度与 以前持平，线面位置关系论证仍是重点．
(1)求证：无论点 C 如何运动，平面 A1BC⊥平面 A1AC； (2)当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥 A1—BB1C1C 与圆
柱的体积比．
【解析】(1)∵侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底 面圆周上不与 A、B 重合的一个点，∴AC⊥BC，
热点重点难点专题透析·数学(文科)
在等腰梯形 PDCB 中，DC∥PB，PB＝3DC＝3，PD＝ 2， DA⊥PB，
∴PA＝1，AB＝2，AD＝ PD2－PA2＝1. 设 MN＝h，则有
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
1
11
11
VM—ABC＝3S△ABC·h＝3×2×AB×DA×h＝3×2×2×1×h＝
13h.
VP—ABCD
【解析】由三视图知三棱锥有从一个顶点出发的三条棱两两
Fra Baidu bibliotek
互相垂直，所以可补形为一个长方体，长、宽、高均为
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
2，故体对角线的长为 2 3，外接球的半径 为 3，体积为 4 3π.
【答案】4 3π
4．在如图所示的组合体中，三棱柱 ABC— A1B1C1 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不 与 A、B 重合的一个点．
1 ＝3
S
梯形
ABCD·PA＝
13×（DC＋A2B）×AD×PA
PM VM－ABC＝5∶4 时，求MB的值．
【解析】(1)∵在图 1 的等腰梯形 PDCB 中，DA⊥PB， ∴在四棱锥 P—ABCD 中，DA⊥AB.又 PA⊥AB，
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
∴AB⊥平面 PAD， 又 DC∥AB，∴DC⊥平面 PAD.∵DC⊂平面 PCD， ∴平面 PAD⊥平面 PCD. (2)∵DA⊥PA，且 PA⊥AB， ∴PA⊥平面 ABCD， 又 PA⊂平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 过 M 作 MN⊥AB，垂足为 N， 则 MN⊥平面 ABCD.
D 中 l 可能在平面α内．
【答案】C
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专题5
2．(2013 湖南卷)已知棱长为 1 的正方 体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则 该正方体的正(主)视图的面积不．可．能．等于 ( )．
A．1
B. 2
2－1 C. 2
D.
2＋1 2
【解析】正(主)视图转化为长方形 A1ACC1 的正投影，设 A1C1
的正投影长为 l，则 S＝1×l＝l，可知 l∈[1， 2]，故 S
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专题5
S∈[1，
2]，则
2－1 2 ∉[1，
2]，故正(主)视图的面
2－1 积不可能等于 2 ，故选 C.
【答案】C
3．已知一个三棱锥的三视图如图所示，
其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的
外接球的体积为________．
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专题5
【问题引领】
1．关于直线 a，b，l 以及平面α，β，下列命题中正
确的是( )．
A．若 a∥α，b∥β，则 a∥b B．若 a∥α，b⊥a，则 b⊥α C．若 a⊥α，a∥β，则α⊥β D．若 a⊂α，b⊂β，且 l⊥a，l∥b，则 l⊥α
【解析】A 中两条直线可能异面；B 不正确；C 满足“一 个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直”；
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
(2)由(1)知 CB⊥平面 ABEF，即 CB⊥平面 OEF，
∴三棱锥 C—OEF 的高是 CB，又 CB＝AD＝1，
又 OE＝OF＝EF＝1，
∴△OEF
为正三角形，∴△OEF
的高是
3 2，
1
1 13
3
∴VC—OEF＝3CB×S△OEF＝3×1×2× 2 ×1＝ 12 .
专题5
又圆柱母线 AA1⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴AA1⊥BC， 又 AA1∩AC＝A， ∴BC⊥平面 A1AC. ∵BC⊂平面 A1BC， ∴平面 A1BC⊥平面 A1AC. (2)设圆柱的底面半径为 r，母线长度为 h，
当点 C 是弧 AB 的中点时，AC＝BC＝ 2r，
1
VA1－BB1C1C＝3·(
6．在等腰梯形 PDCB(如图 1)中，DC∥PB，PB＝3DC＝3，
PD＝ 2，DA⊥PB，垂足为 A，将△PAD 沿 AD 折起，使得 PA
⊥AB，得到四棱锥 P—ABCD(如图 2)．
(1)证明：平面 PAD⊥平面 PCD；
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专题5
(2)点 M 在棱 PB 上，平面 AMC 把四棱锥 P—ABCD 分成两 个几何体(如图 2)，当这两个几何体的体积之比为 V ∶ PM－ACD
2r)·h·(
2r)＝23r2h，
V 圆柱＝πr2h，∴VA1—BB1C1C∶V 圆柱＝2∶3π.
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5．如图，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直，AB∥EF，且 AB＝2，AD＝EF＝1.
(1)求证：AF⊥平面 CBF； (2)求三棱锥 C—OEF 的体积． 【解析】(1)平面 ABCD⊥平面 ABEF，CB⊥AB， 平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，∴CB⊥平面 ABEF. ∵AF⊂平面 ABEF，∴AF⊥CB， 又 AB 为圆 O 的直径，∴AF⊥BF，BF∩CB＝B， ∴AF⊥平面 CBF.
专题5
【考情报告】
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专题5
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
【考向预测】
立体几何是高考考查的重点内容之一，主要考查学生的 空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力．文科的立 体几何主要考查两部分：一是空间几何体，以三视图为主展 开考查三视图的识别、判断，考查通过三视图给出的空间几 何体的表面积和体积的计算等问题，以选择题和填空题的形 式出现；二是空间点、直线、平面的位置关系，主要以解答 题的形式出现，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系 的证明，一般出现在第一问，第二问考查求锥体或柱体的体 积，等等．预测 2014 年高考对立体几何的考查，空间几何 体的三视图与其表面积、体积结合还是考查的热点，难度与 以前持平，线面位置关系论证仍是重点．
(1)求证：无论点 C 如何运动，平面 A1BC⊥平面 A1AC； (2)当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥 A1—BB1C1C 与圆
柱的体积比．
【解析】(1)∵侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底 面圆周上不与 A、B 重合的一个点，∴AC⊥BC，
热点重点难点专题透析·数学(文科)
在等腰梯形 PDCB 中，DC∥PB，PB＝3DC＝3，PD＝ 2， DA⊥PB，
∴PA＝1，AB＝2，AD＝ PD2－PA2＝1. 设 MN＝h，则有
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
1
11
11
VM—ABC＝3S△ABC·h＝3×2×AB×DA×h＝3×2×2×1×h＝
13h.
VP—ABCD
【解析】由三视图知三棱锥有从一个顶点出发的三条棱两两
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互相垂直，所以可补形为一个长方体，长、宽、高均为
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
2，故体对角线的长为 2 3，外接球的半径 为 3，体积为 4 3π.
【答案】4 3π
4．在如图所示的组合体中，三棱柱 ABC— A1B1C1 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不 与 A、B 重合的一个点．
1 ＝3
S
梯形
ABCD·PA＝
13×（DC＋A2B）×AD×PA
PM VM－ABC＝5∶4 时，求MB的值．
【解析】(1)∵在图 1 的等腰梯形 PDCB 中，DA⊥PB， ∴在四棱锥 P—ABCD 中，DA⊥AB.又 PA⊥AB，
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专题5
∴AB⊥平面 PAD， 又 DC∥AB，∴DC⊥平面 PAD.∵DC⊂平面 PCD， ∴平面 PAD⊥平面 PCD. (2)∵DA⊥PA，且 PA⊥AB， ∴PA⊥平面 ABCD， 又 PA⊂平面 PAB， ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 过 M 作 MN⊥AB，垂足为 N， 则 MN⊥平面 ABCD.
D 中 l 可能在平面α内．
【答案】C
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专题5
2．(2013 湖南卷)已知棱长为 1 的正方 体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则 该正方体的正(主)视图的面积不．可．能．等于 ( )．
A．1
B. 2
2－1 C. 2
D.
2＋1 2
【解析】正(主)视图转化为长方形 A1ACC1 的正投影，设 A1C1
的正投影长为 l，则 S＝1×l＝l，可知 l∈[1， 2]，故 S
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专题5
S∈[1，
2]，则
2－1 2 ∉[1，
2]，故正(主)视图的面
2－1 积不可能等于 2 ，故选 C.
【答案】C
3．已知一个三棱锥的三视图如图所示，
其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的
外接球的体积为________．
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专题5
【问题引领】
1．关于直线 a，b，l 以及平面α，β，下列命题中正
确的是( )．
A．若 a∥α，b∥β，则 a∥b B．若 a∥α，b⊥a，则 b⊥α C．若 a⊥α，a∥β，则α⊥β D．若 a⊂α，b⊂β，且 l⊥a，l∥b，则 l⊥α
【解析】A 中两条直线可能异面；B 不正确；C 满足“一 个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直”；
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专题5
(2)由(1)知 CB⊥平面 ABEF，即 CB⊥平面 OEF，
∴三棱锥 C—OEF 的高是 CB，又 CB＝AD＝1，
又 OE＝OF＝EF＝1，
∴△OEF
为正三角形，∴△OEF
的高是
3 2，
1
1 13
3
∴VC—OEF＝3CB×S△OEF＝3×1×2× 2 ×1＝ 12 .
专题5
又圆柱母线 AA1⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴AA1⊥BC， 又 AA1∩AC＝A， ∴BC⊥平面 A1AC. ∵BC⊂平面 A1BC， ∴平面 A1BC⊥平面 A1AC. (2)设圆柱的底面半径为 r，母线长度为 h，
当点 C 是弧 AB 的中点时，AC＝BC＝ 2r，
1
VA1－BB1C1C＝3·(
6．在等腰梯形 PDCB(如图 1)中，DC∥PB，PB＝3DC＝3，
PD＝ 2，DA⊥PB，垂足为 A，将△PAD 沿 AD 折起，使得 PA
⊥AB，得到四棱锥 P—ABCD(如图 2)．
(1)证明：平面 PAD⊥平面 PCD；
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专题5
(2)点 M 在棱 PB 上，平面 AMC 把四棱锥 P—ABCD 分成两 个几何体(如图 2)，当这两个几何体的体积之比为 V ∶ PM－ACD
2r)·h·(
2r)＝23r2h，
V 圆柱＝πr2h，∴VA1—BB1C1C∶V 圆柱＝2∶3π.
热点重点难点专题透析·数学(文科)
专题5
5．如图，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直，AB∥EF，且 AB＝2，AD＝EF＝1.
(1)求证：AF⊥平面 CBF； (2)求三棱锥 C—OEF 的体积． 【解析】(1)平面 ABCD⊥平面 ABEF，CB⊥AB， 平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，∴CB⊥平面 ABEF. ∵AF⊂平面 ABEF，∴AF⊥CB， 又 AB 为圆 O 的直径，∴AF⊥BF，BF∩CB＝B， ∴AF⊥平面 CBF.