数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)第六章

第一章 绪论 第二章 函数
第一节 函数概念
2
2
2
2
2222221.(1);
,,;.
,,22,()();.
x y x y x y x y xy x y xy x x y y x x y y x xy y x y x y x y x y -≥-∀∈≥-≤-==-+≤-+-≤--≥- 证明下列不等式：证明：对于总有于是又由于那么即开方后即得12122
2
2212121212(2).;.,,,22;2...1,n n k k k x x x x x x i x y x y xy x x y y x xy y x y x y n ii n k x x x x x x iii n k y x x x x x +++≤+++∀∈≥++≥+++≥+==+++≤+++=+=++++++ 证明：使用数学归纳法；
对于总有于是有整理后可得，即当时所证成立。

假设当时所证不等式也成立，即当时,取于是有： 111
1211211k k k k k k k k x x y x y x x x x x x x x x n k ++++++=+≤+=++++≤++++=+ 即当时所证不等式也成立。

那么由数学归纳法可知题证成立。

121212*********(3).().
,,; , (n n n n n n n x x x x x x x x x y x y x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++≥-+++∀∈+≥-+++≥-++++≤++++++≥-+ 证明：易知对于总有于是可得又由于因此
2).
n x x ++
2..
111(),()1()(); 112(1)(1),1(1)(1)11a b a b
a b a b
x
f x f x x
a b a b ab f a b f a b ab a b a b ab
a b a b ab
a b ab a b b a a b
a b ab b a a b
+≤+++++=
++≤+++≤+++++≤
++++++++++==++++++++求证
证明：令易知是一个增函数。

容易证得,那么即
由于
因此
2.11111a b a b ab a b ab a b
a b a b ab a b ab a b
+++++≤≤=+
++++++++++
3.max(,);min(,).2222.max(,);2222 max(,).2222 .min(,);2222 a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
i a b a a b a b a b a b b a
a b b a b a b a b a b a b
ii a b b a b a b --++=
+=--++-≥+=+==-++-≤+=+==-++-≥-=-==≤求证：证明：当时当时当时当min(,).2222max(,),min(,)2222
a b a b a b b a
a a
b a b a b
a b a b a b a b -++-+=-==--++=+=-时于是有成立。

4.(),sin ,sin ().2
(0,180).
a b s a h b ab s θθθθ
θθ==∈ 已知三角形的两条边分别为和，它们之间的夹角为，试求此三角形的面积并求其定义域。

解：由题意可知在三角形中以边为底的高于是有
显然在三角形中其中一角223
5., 4
(0,r h R V R h
hr h h ππ
π===-∈在半径为得瑟球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并求此函数的定义域。

解：设其高为那么圆柱的底面半径为于是圆柱体积
由于圆柱为球的内接圆柱，故有2).
r
6.20,5(5)1515(15)2251 (0,5] () 2 (5,15]2.Km Km Km Km Km Km y x x y x x ∈=∈某公交车路线全长为票价规定如下：乘坐以下包含者收费元；超过但在以下包含者收费元；其余收费元角。

试将票价表示成路线的函数，并作出函数的图像。

解：设为票价,为路程,则有
.
5 (15,20]x ⎧⎪
⎨⎪∈⎩
它的函数图像如下：
画图板作图
7.(),(0)0,(10)20,(20)0,()(020),
2 [0,10] ()402 (10,20]
t f t f f f f t t t t f t t t ===≤≤∈⎧=⎨
-∈一脉冲发生器产生一个三角波，若记它随时间的变化规律为且三个角分别对应关系求并作出函数的图形。

解：由题意可知所求函数为：⎩其函数图像为：
作图
2
4
228.(1).() 1 2
(2)()sin (3)() (4)(x x f x x f x x x f x x e f x -=+-=+=判断下列函数的奇偶性：
偶函数；
奇函数；
偶函数；)lg(x =非奇非偶函数。

222222229.(1).()cos ;
()()(),cos cos(), 2()2.
22f x x t f x f x t f x x x t x k x t x tx t k tx t ππ=+==++=+=++=+判断下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：解：设是的最小正周期，则应有即可得即求方程的解，显然没有一个非零常数满足方程。

故原函数没有周期。

(2)()cos 2sin ;
23cos 4sin 623
12.
x x
f x x x
πππ=+解：由于，的最小正周期为，取它们的最小公倍数。

即原函数的最小正周期为
(3).()cos
;
4
28.
4
(4).()tan .
f x x T f x x π
π
π
ππ====解：由三角函数的性质可以知道此函数的最小正周期为解：由于函数的最小正周期为，故此函数的最小正周期也是
222
22
10.()(,)1
6,(,)() 6.
66601
(1)1441430,(,)()6()(,)1
x
f x x M x f x M x
x x x x
x f x M f x x =
-∞+∞+=∀∈-∞+∞≤=≤-+≥+∆=--=-<∀∈-∞+∞≤==
-∞+∞+证明：在有界。

证明：取现证明对，都有即要证明
恒成立，这等价于不等式恒成立；而此一元二项式的判别式于是不等式恒成立。

因此对于，都有；即在有界。

2
2
1
11.()(,)()(0,1)
0,(,),(),()(,)
0,(0,1),
()1.
1
()(0,1)
f x a b f x
x
M x a b f x M f x a b
M x
f x M M
f x
x
=
∀>∃∈>
>=
=+>
=
用肯定语气叙述函数在无界，并证明在内无界。

解：对于总使得则在区间内无界。

对任意取显然有
故在上无界。

12.
.()()()(),()().
()()()()()().
.()(
i f x g x f x f x g x g x
F x f x g x f x g x F x
ii f x g x
=-=-
==--=-
试证明两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是奇函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数。

证明：设与是两个偶函数，即有那么必有
于是两个偶函数的乘积是偶函数。

设与)()(),()().
()()()()[()]().
.()()()(),()().
f x f x
g x g x
G x f x g x f x g x G x
iii f x g x f x f x g x g x
=--=--
==----=-
=-=--
是两个奇函数，即有那么必有
于是两个偶函数的乘积是偶函数。

设是一个偶函数，而是一个奇函数，即有那么必有
()()()()[()]().
H x f x g x f x g x H x
==---=--
因此一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数。

13.()(,)()
(),()()()()()()
()()
().
2
()()
22
f x f x
f x G x f x f x F x f x f x
G x F x
f x
G x F x
-∞+∞
=+-=--
+
=
设为定义在上的任意函数，证明可以分解为奇函数与偶函数的和。

证明：对任意的可以证明是偶函数，而是奇函数；于是有
显然还是偶函数，还是奇函数，即得所证。

000
1212
00
14.(,)
(1)()
(2)()
(3)()
(4)()
(1)(,)()();
(2)(,)()();
(3)(,)()0;
(4)0,(,
f x
f x
f x
f x
x f x f x
x x f x f x
x f x
M x
-∞+∞
∈-∞+∞≠-
<∈-∞+∞>
∈-∞+∞≠
>∈-∞+
用肯定语气叙述：在上
不是奇函数；
不是单调上升函数；
无零点；
无上界。

解：存在，使得
存在，使得
对任意，总有
对任意的总有
),().
f x M
∞>
使得
第二节 复合函数与反函数
11.(),(()).111111()211(()).1111()2111x
f x f f x x x
x x x f x x x x f f x x x x x f x x x
-=
=+-+-+-
-++=
====-++-++++设求证证明：得证。

2.11
(1)(),1;
211
(1(1,).
211
()2(1,),()(1,).y x x x
y x x y x
y x x x y x x y f x x x =+<<+∞=+<<+∞∈+∞=+=
=±∈+∞==∈+∞求下列的函数的反函数及其定义域：
解：函数，当时，有由可以反解出
因为故于是原函数的反函数为
21(2)(),;2
1
(,)(,);()2
2100 x x
x x x x x x x y e e x x y y e e e ye e y e e y --=
--∞<<+∞∈-∞+∞∈-∞+∞=---==±>=+解：当时，可以解出由可以整理出
；
于是可得解得由于恒成立，于是有
ln(()ln((,).
x y f x x x ==+∈-∞+∞因此原函数的反函数为
22
1(3) 14.
2 4 1, 14, 116,log 4, 16 x x x y x x x y x y x x y y x y -∞<<⎧⎪
=≤≤⎨⎪<<+∞⎩
-∞<<-∞<<⎧=≤≤≤≤<<+∞<<+∞⎩解：依次可以解得
于是所求反函数为2
1 16.
log 16x x y x x x -∞<<⎧=≤≤<<+∞⎩
1212121211223.(),()(())(),();,()(),()().(),,()(), f x g x f g x f x g x x x f x f x g x g x y g x x x y g x g x y ∀<∈<<=<∈=<= 设为实轴上单调函数，求证也是实轴上的单调函数。

证明：不妨设的单调上升函数即对总有设于是对任意总有于是有12 (())(()).(())f g x f g x f g x <因此也是单调函数。

22
01 0
4.(),(),(()),(()).
0 0.,()0 1 0
(())()1x x x x f x g x f g x g f x x x x x i x g x x x f g x g x x ≤--≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩
∈≤--≤=--=- 设求复合函数解：由于对任意的总有成立，于是有
2222.1 0
.0()0,(())();1()10,(())()(1);10()10,(())() 1. (()x ii x f x x g f x f x x x f x x g f x f x x x f x x g f x f x x g f x ⎧⎨>⎩>=>=-=-<-=-->=-=-+-≤<=--≤==--当时，此时 当时，此时 当时，此时综上所述，可得
22 0)(1) 1.
1 10x x x x x x ⎧->⎪
=-+<-⎨⎪---≤<⎩
1
15.
()
()()..1()()().()().1()()(()())n k k k f x f f f x i n f f f x f x ii n k f f f x iii n k f f f x f f f f x +=
======+==
次
次次
次次设求解：利用归纳法：
当时，设当时，当时，()()n f f f x ==
次
综上可得
116.()11,()().
2 1
.1()()()112 112 112 2.()()2 n k k f x x x f f f x x i n f f f x f x x x x x x x ii n k f f f x x -=+--≥⎧⎪
===+--=-<<⎨⎪-≤-⎩≥==
次
次
次
设试求解：利用归纳法：
当时，；
设当时，111111 2212 212 211.1()()()(())2 .2212 22 ()()k k k k
k k k k k n x x x iii n k f f f x f f f f x x x x f f f x ---+⎧
⎪⎪
⎪
-<<⎨⎪⎪
-≤-⎪⎩
⎧
≥⎪⎪
⎪
=+==-<<⎨⎪⎪
-≤-⎪⎩= 次次
次
；
当时，综上可得11111 2112 .
2212 2n n n n x x x x ----⎧
≥⎪⎪
⎪
-<<⎨⎪⎪
-≤-⎪⎩
11
7.(),(()),((())),(1()
11111
(()),0;1111()111111 ((())),;
111(())1
11111 1,(),0.
()()1(1)[()f x f f x f f f x f x f x x x f f x x x f x x x
x x x
f f f x x x x x x f f x x x
x f x f x f x x x f x =
---=====
≠-------=====∈--+--=-==≠-- 设求解：于是由于的定义域1,1]x x ≠≠为那么这三个函数的定义域是应该满足？值得商榷！
第三节 初等函数
21(1); (2)[]; (3)tan ;(4) (5)sin ; (6)sin cos .
y x y x x y x y y x y x x ==-====+.对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：
(1) [Mathematica作图].
(2)[Word、画作图板作图].
(3)[ Mathematica、Word、画图板作图]
(4). [ Mathematica 作图]
(5). [ Mathematica 作图]
(6). [ Mathematica 作图]
1231232.() (),(),(),,f x y f x y f x y f x y y y y ==-=--若已知函数的图形，作函数
的图形，并说明的图形与的图形的关系。

32(),f x x x =+解：设四者作图如下：
()()f x f x x x x 显然的图像是将的图像中位于轴下面的部分，对称于轴翻转到轴上面得到。

()()f x f x y -的图像与的图像是关于轴轴对称的。

()()f x f x --的图像与的图像是关于原点中心对称的。

32433.(),()1
[()()()()]
2
(),()(),()3,f x g x y f x g x f x g x y f x g x f x x x g x x x =+±-=+=+若已知函数的图像，试做出函数
的图像，并说明的图像与的图像的关系。

解：设它们的图像如下：
11
[()()()()]2
y f x g x f x g x =+--函数的图像如下：
111
[()()()()]min(()())2
()()y f x g x f x g x f x g x y f x g x y =+-- 函数的图像是函数,的图像；也就是说
的图像是将与的图像画在同一个坐标系中时，更靠近轴负方向的那一部分。

21
[()()()()]2
y f x g x f x g x =++-函数的图像如下：
111
[()()()()]max(()())2
()()y f x g x f x g x f x g x y f x g x y =++- 函数的图像是函数,的图像；也就是说
的图像是将与的图像画在同一个坐标系中时，更靠近轴正方向的那一部分。

4.1(1)sin ; (2)sin .
y x x y x
==做出夏利函数的图像：
解：二者图像如下：
[10,50][0.5,1]sin 1
sin 0sin 01
0sin [1,0.5][0.00000001, 0.000000010000003],y x x y x x x y x x x y x
--=======---
这是分别在区间和区间上，利用Mathematica画出的的图像。

从图像上可以直观的看出在点是连续的。

而函数在附近急剧震
荡，并且在处不连续；我们利用Mathematica软件分别画出在区间与
上的图像，以便我们有一个直观的理解。

5.1, 0 sgn 0, 0.1, 0
sgn ,sgn(2),sgn(2)x y x x x x x x >⎧⎪
===⎨⎪
-<⎩-符号函数的定义是
试分别作出的图像。

解：
6.(1)sgn cos ; (2)[]2[2
x y x y x ==-作出下列函数的图形：
解：。