数学分析中极限的求法综述

1 1 lim( x ) ctg 2 x tg 2 x 2 x tg 2 x tg (2 ) lim 2 lim 2 x 2 x 2 x 2 x 2
f ( x) f ( ) 1 1 2 lim x x f / ( ) (2sec 2 2 x) x 2 2 2 ＝ 2 ＝ ＝
两端除以 yn 得
yn
a 1 yn
a a a 1 a 1 y y a , y y n 1 因为 则 n , 从而 n
a yn a 1 y 即 yn 是有界的。根据定理 n 有极限，而且极限唯一。
令
2
lim yn l
n
则
lim yn 2 lim( yn 1 a)

1 ＝2
9：利用中值定理求极限：
1： 微分中值定理： 若函数 f(x) 满足 ( i ) 在 则在(a,b)内至少存在一点 ，使
lim f / ( )
a, b 连续
.( ii )在(a,b)可导；
f (b) f (a ) ba
sin(sin x) sin x x3 例[2]：求 x 0
y1 a , y2 a a , y3 a a a , , yn a a a a
证明：从这个数列构造来看 yn 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 y2 a y1 , y3 a y2 , , yn a yn 1
2 所以得 yn a yn 1 . 因为前面证明 yn 是单调增加的。
求 f(x)在 x=0 的左右极限 解： x 0
x sin lim 1 x ＝1 1 x ＝1
x0
x 0
lim x sin
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) 1
x 0
lim f ( x) 1
5：利用函数的连续性求极限
这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点 x0 连续 g( x0 )= u0 ,
过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除 的情况，不一定能这样做。 x 4 x3 x 0 x (sin )3 2 例：求 lim
sin x x 2 2
解：
4 3 x 4 x3 x 4 x 3 lim x x lim lim 3 x 0 x 0 x 0 x x x (sin )3 ( )3 2 ＝ 2 8 ＝ ＝8
n n
则 l l a . 因为 yn 0, 解方程得
lim yn l
n
l
1 4a 1 2
所以
1 4a 1 2
2：利用极限的四则运算性质求极限
极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的 极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，
xn 1 n 1
2
yn 和
zn ，使得 yn xn zn 。
1 n n
2

1 n 2
2
.......
例[1]
求 xn 的极限
解：因为 xn 单调递减，所以存在最大项和最小项
xn 1 n n
2

1 n n
2
.......
1 n n
2

n n n
2
lim 1 x 2 x3
(2) x 3
(3)
x 1
lim (
1 3 3 ) x 1 x 1
(4)
已知 lim
xn
1 1 1 , xn 1 2 2 3 (n 1) n 求 lim n
( x 1)( x 1) x2 1 x 1 2 lim lim 2 x 1 ( x 1)(2 x 1) ＝ x 1 2 x 1 ＝ 3 解：(1) x 1 2 x x 1 ＝
f / ( x0 ) .即
导数记为
f / ( x0 ) lim
x0
f ( x0 x) f ( x0 ) x 在这种方法的运用过程中。
首先要选好 f(x)。然后把所求极限。表示成 f(x)在定点 x0 的导数。
lim( x ) ctg 2 x 2 x
2

例：求
解：取 f(x)= tg 2 x .则
lim (
x 2 x 2 lim ( x 1)( x 2) x2 lim 2 3 2 x 1 ( x 1)( x x 1) ＝ x 1 x 1 ＝ ＝ x 1 x x 1 ＝-1 lim xn 1 1 1 , 1 2 2 3 (n 1) n
(4) 因为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 n 1 n 1 n n 1 lim xn lim(1 ) 1 n n 所以 n
wk.baidu.com
3：利用两个重要极限公式求极限
两个极限公式 (1)
lim
这种方法可以处理一个函数不存在但有界， 和另一个函数的极限是零的极限的乘 积的问题。
sin x 例：求 x x lim
sin x 1
解： 因为
lim
x
1 0 x
所以
lim
x
sin x x ＝0
7：利用等价无穷小量代换求极限：
y 1 等价无穷小量：当 z 时，称 y,z 是等价无穷小量：记为 y z 在求极限
lim
(2) x 3
x 3 1 x 2 lim ( 1 x 2)( 1 x 2) lim 1 x 3 x 3 ( x 3)( 1 x 2) ＝ 4 ( x 3)( 1 x 2) ＝ x 3 ＝ 1 3 3 ) x 1 x 1
(3) x 1
lim
1 x 2 sin n 2
n
n
sin x
＝
=
n
sin x lim 2n sin x 2n
sin x ＝ x
x x x x lim lim cos cos 2 cos 3 cos n lim sin x x 0 n 2 2 2 2 ＝ x 0 x ＝1 n2 n2 2 ( 2 ) m n2 2 ( ) lim(1 2 ) m lim(1 2 ) n m lim (1 2 ) n m 0 m m m m ＝ m ＝ m ＝ e ＝1
解：
lim
sin(sin x) sin x (sin x x) cos ( x sin x) x
数学分析中极限的求法综述
摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,
1：利用两个准则
求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性 质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9： 利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极 限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利 用换元法求极限。
xn
1 n2 1 n

1 n2 1 n
.......
1 n2 1

n n2 1
2 则 n n
xn n n2 n
n2 1 lim n n2 1 1
lim
又因为
x
x
lim xn 1
x
（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。 例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。
1：利用两个准则求极限。
lim x lim z a, (1)夹逼准则：若一正整数 N,当 n>N 时，有 xn yn zn 且 x n x n 则
有
lim yn a
x
.
利用夹逼准则求极限关键在于从 xn 的表达式中， 通常通过放大或缩小的方法找出 两个有相同极限值的数列
m2 n2 m2 n2
(2)
4：利用单侧极限求极限
这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、 右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极 限不存在。 1 x sin , f ( x) x 2 1 x , 例： x>0 x0
则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接 进行极限的四则运算。 首先对函数施行各种恒等变形。 例如分之， 分母分解因式， 约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无 穷多项的和（或积）为有限项。
例；求极限 x2 1 2 (1) x 1 2 x x 1 lim
x x x x cos cos 2 cos 3 cos n 2 2 2 2
解：(1)
x x x x x sin x cos cos 2 cos 3 cos n sin n x 2 2 2 2 2 2 sin n 2 ＝ 1 x 2 sin n 2 ＝
n
1
sin x
x x x x lim cos cos 2 cos 3 cos n n 2 2 2 2
8：利用导数的定义求极限
导数的定义：函数 f(x)在 x0 附近有定义， x, 则 y f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 如果 x 0 x x 0 存在， 则此极限值就称函数 f(x)在点 x0 的 lim
因为 lnu 在点
所以
1 lim ln(1 ) x x x 1 ln lim(1 ) x x ＝ x
＝ ln e ＝1
6：利用无穷小量的性质求极限：
无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果
x x0
lim f ( x) 0
lim f ( x) g ( x) 0 ,g(x)在某区间 ( x0 , x0 ), ( x0 , x0 ) 有界，那么 x x0 .
x 0
sin x 1 lim xsin 1 x x x
1 1 x lim(1 ) lim(1 x) x e x 0 x (2) x
在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可 以利用公式。 例：求下列函数的极限[4] x x x x lim lim cos cos 2 cos 3 cos n n 0 n 2 2 2 2 (1) n2 m lim(1 2 ) m (2) m
而 y=f(u)在点 x0 连续，那么复合函数 y=f(g(x))在点 x0 连续。即
x x0
lim f ( g ( x)) f ( g ( x0 )) f (lim g ( x))
x x0
lim 也就是说，极限号 x x0 可以与符号 f 互换顺
序。
1 lim ln(1 ) x x 例：求 x 1 (1 ) x x 解：令 y＝lnu, u＝ 1 u0 lim ln(1 ) x e x x 处连续
关键词:
夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中
值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.
极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来 描述。如函数 y＝f(x)在 x x0 处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义， 二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限 是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以 下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考 虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求 极限进行综述。