等边三角形的性质与判定

等边三角形和等腰三角形的性质

【例题解析】

例1：如图，在△ABC 中，AC=27，DE 为AB 的中垂线，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.

例2：如图，A 、B 是两个仓库，直线CD 是河，要在河上建码头，使码头到两个仓库的距

离相等，问仓库应建在什么地方(保留作图痕迹即可)

D

C A

B

例3：如图，求作点P ，使P 到C 、D 的距离相等，同时到角两边的距离也相等.

例4：如图，已知∠ACB 、∠AD B 都是直角，且AC ＝AD ，P 是AB 上任意一点． 求证：CP ＝DP ．

例5：如图，△ABC 的外角平分线∠DBC 、∠ECB 的平分线相交于点 F.求

证：点F 在∠A 的平分线上.

A

B C

D

E

A

D

C A

B

C

D

E

F

例6：如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的中垂线， 求证：(1)∠EAD=∠EDA ；

(2)DF ∥AC ； (3)∠EAC=∠B.

例7：如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AB 、BC 为边在直线的同旁作等边三角形ABD 、BCE ，连结AE 交BD 于M ，连结CD 交BE 于N ，连结MN ，求证： BMN 是等边三角形。

12A

D B

E

C

N

M 354

例8：如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AB 的垂直平分线MN

分别交BC 、AB 于点M 、N ．

求证：CM ＝2BM ．

A

B C D E F

题组一：

1、如图，AP平分∠BAC，且PE⊥AB，PF⊥AC，PE=3，则PF=_______.

第1题第3题第4题

2、在△ABC中，∠C=90o，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到AB的距离为_______.

3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB.若AB=8，则△DEB的周长是__________.

4、如图，在△ABC中，OB平分∠ABC，OC平分∠ABC，MN∥BC且过点O.若AB=8，AC=7，则△AMN的周长是_________.

5、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，且DE⊥AB，DF⊥AC，

求证：BE=DF.(要求证明过程中要用到角平分线性质定理)

6、如图，已知：AD⊥OB于D，BD⊥OA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB.求证：EO为∠AOB的平分线.

题组二：

1、如图，0P是∠AOB的角平分线，PC⊥AO，PD⊥OB，则PD与PC的大小关系为( )

A．PC>PD B．PC=PD C．PC

第1题第2题第3题

2、如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )

A．在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处

C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在∠A、∠B的角平分线的交点处

3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )

A．25o o o o

4、如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的面积是_______.

5、如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

6、如图，△BDA、△HDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与 AC交于点E，请你判断线段AC与BH 有什么关系并说明理由.

课堂练习

1．如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，且BD AE =，AD 与CE 交于点F ．

（1）求证：AD CE =； （2）求DFC ∠的度数．

2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。 求证：AE ＝AF 。

A

E F

B

D

C

3．如图⊿ ABC 中，∠ACB=900

，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的 延长线于D.求证 ：AE=CD

D

A E

F

B

C

1．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

2．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．

3．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

4. 如图，AB C

∆是等边三角形，BC

BD

90

CBD=

=

∠，

，

则1

∠的度数是________。

三、解答题

1. 如图，∠C＝∠D， CE＝DE．求证：∠BAD＝∠ABC．

2. 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

3.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．求证：AC=EF．

4. 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

F

G

E D

C

B

A

C

A

1

D

B

2

3