数学建模MATLAB全套教材

x xk lk 1 ( x ) xk 1 xk
（2.2 ）
则所求线性插值多项式 L1 ( x ) yk lk ( x ) yk 1lk 1 ( x ),
(2.3)
令 xk 1 x lk ( x ) , xk 1 xk x xk lk 1 ( x ) xk 1 xk
第1 讲
§1
一、问题背景
y f ( x) ?
插值与拟合
一、插值法
引 言
yi f ( xi )
( i 0,1,, n)
求简单P ( x )，满足
P ( xi ) f ( xi ) (i 0,1,, n)
二、一般概念
设函数y f ( x )在区间[a , b]上有定义, 且已知它在点a x0 x1 xn b上的函数值y0 , y1 ,, yn . 若存在一个
可知 lk ( x ) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
由lk ( xk ) 1得到Ak , 于是, ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn ) ( k 0,1,, n) (2.8)
(2.10)
则得 1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn ) n
于是
n1 ( x ) Ln ( x ) yk 1 ( xk ) ( x xk ) n k 0
n
(2.11)
定理1 在次数不超过n的多项式集合H n中, 满足条件( 2.6) 的插值多项式Ln ( x ) H n是存在唯一的 .
几何意义.
已有公式： L ( x ) y yk 1 yk ( x x ) 1 k k xk 1 xk
xk 1 x x xk L1 ( x ) yk yk 1 xk 1 xk xk 1 xk
令
xk 1 x lk ( x ) , xk 1 xk
n
x xj xj
j 0 xk jk
( k 0,1,, n)
(2.8)
于是，所求n次插值多项式 Ln ( x ) yk lk ( x )
k 0 n
(2.9)
Ln ( x )称为n次拉格朗日插值多项式 .
需要指出…
引入记号
n 1 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
依此递推得到a3 ,, an . 为写出系数ak的一般表达式，引进 差商定义.
x j xi f [ xi , xk ] f [ xi , x j ] 为f ( x)在 的一阶差商. 称 f [ xi , x j , xk ] xk x j
三点xi , x j , xk的二阶差商. 一般地，称
f1 f0 当x x1时, Pn ( x1 ) a0 a1 ( x x0 ) f1，推得 a1 . x1 x0
当x x0时, Pn ( x0 ) a0 f 0 .
当x x2时, Pn ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) f 2， 推得 f 2 f 0 f1 f 0 x2 x0 x1 x0 a2 . x2 x1
Baidu Nhomakorabea
二、拉格朗日插值多项式
一般情况， 对于给定的n 1个插值节点x0 x1 xn， 要求n次插值多项式Ln ( x )，满足 Ln ( xi ) yi , ( i 0,1,, n). (2.6) 仍采用基函数法，求一 个n次插值基函数lk ( x ), 满足 0, i k l k ( xi ) ( i , k 0,1,, n) (2.7) 1, i k 可知 lk ( x ) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
简单函数P ( x )，满足条件 P ( xi ) yi ( i 0,1,, n)
若P ( x )是一个次数不超过 n的代数多项式 P ( x ) a0 a1 x an x n (其中ai 为实数) (1.2) 则称P ( x )为插值多项式.
(1.1)
则称P ( x )为f ( x )的插值函数，点x0 , x1 ,, xn为插值节点.
§2
拉格朗日插值
一、线性插值和抛物插值
对给定插值点,求出形如
P ( x ) a0 a1 x an x n (其中ai 为实数) (1.2)
的插值多项式的方法有多种.
先考察n 1时, 假定给定区间 [ xk , xk 1 ]及端点函数值yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 ), 要求线性插值多项式 L1 ( x )，满足 L1 ( xk ) yk , L1 ( xk 1 ) yk 1 .
若 max | f ( n 1) ( x ) | M n 1 , 则
a xb
(2.14)
M n1 | Rn ( x ) | | n 1 ( x ) |, ( n 1)!
(2.16)
当n 1时, 线性插值余项 1 1 R1 ( x ) f ( ) 2 ( x ) f ( )( x x0 )( x x1 ), 2 2 [ x0 , x1 ], (2.17) 当n 2时, 抛物插值余项 1 R2 ( x ) f ( )( x x0 )( x x1 )( x x2 ), [ x0 , x2 ], (2.18) 6
（2.2 ）
则所求线性插值多项式 L1 ( x ) yk lk ( x ) yk 1lk 1 ( x ),
(2.3)
其中lk ( x )和lk 1 ( x )也是线性插值多项式， 并满足 lk ( xk ) 1，lk ( xk 1 ) 0， lk 1 ( xk ) 0，lk 1 ( xk 1 ) 1, 称为线性插值基函数 .
§3
差商与牛顿插值
一、差商及其性质
拉格朗日插值优缺点….
为此考察 Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a1( x x0 )( x x1) an ( x x0 )( x xn1 ), (3.1)
其中a0 , a1,, an为待定系数，由插值条件 Ln ( xi ) yi , (i 0,1,, n) 确定.
定义2 称 f [ xi , x j ]
f [ x j ] f [ xi ]
为函数f ( x)在两点xi 及x j
f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1,, xk ] xk xk 1 为f ( x)在k 1点x0 , x1,, xk的k阶差商(也称为均差) .
jk
三、插值余项与误差估计
定理2 设f
( n)
( x )在[a , b]上连续, 设f
( n 1)
( x )在(a , b)内存在,
Ln ( x )是f ( x )在n 1个节点a x0 x1 xn b上的满 足条件(2.6)的插值多项式, 则对于任何x [a , b], 插值余项 f ( n 1) ( ) n Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) ( x x j ), ( n 1)! j 0 其中 (a , b), 且依赖于x .
从而得到在n 1个节点x0 , x1 ,, xn上的n 1个n次拉格 朗日基函数 l0 ( x ), l1 ( x ),, ln ( x ).
也就是, ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
几何图示.
再考察n 2时, 假定给定插值节点 xk 1 , xk , xk 1，要求 二次插值多项式 L2 ( x )，满足 L2 ( xk 1 ) yk 1 , L2 ( xk ) yk , L2 ( xk 1 ) yk 1 .
几何意义.
采用基函数法，基函数 lk 1 ( x ), lk ( x )和lk 1 ( x )是二次函数， 并满足 lk 1 ( xk 1 ) 1，lk 1 ( xk ) 0，lk 1 ( xk 1 ) 0， lk ( xk 1 ) 0，lk ( xk ) 1，lk ( xk 1 ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 0，lk 1 ( xk ) 0，lk 1 ( xk 1 ) 1. (2.4)
(3.2)
差商的基本性质:
(1) 差商可以表示为函数值的线性组合， 如: k f (x j ) f [ x0 ,, xk ] . j 0 ( x j x0 )( x j x j 1 )( x j x j 1 )( x j xn )
x( x 2)( x 3) x( x 1)( x 3) x( x 1)( x 2) 01 5 14 1 ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) 3 21 x( 2 x 2 3 x 1) 1 x( x 1)( 2 x 1). 6 6 n x x ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) j 或 ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn ) j 0 xk x j

lk 1 ( x)
( x xk )(x xk 1 ) . ( xk 1 xk )(xk 1 xk 1 )
同理
( x xk 1 )( x xk 1 ) lk ( x ) , ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk ) lk 1 ( x ) . ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
由定理1得 ,
k 0 n m m x l ( x ) x , m 0,1,, n. k k n
k 0
lk ( x ) 1
练习 给定数据表
xi 0 1 2 3
yi
0
1
5
14
求三次拉格朗日插值多项式L3(x).
解：在（ 2.9 ）中，取n 3并代入数据表值得 L3 ( x ) 0 l0 ( x ) 1 l1 ( x ) 5 l2 ( x ) 14 l3 ( x )
几何图示.
于是，所求二次插值多 项式 L2 ( x ) yk 1lk 1 ( x ) yk lk ( x ) yk 1lk 1 ( x ),
(2.5)
也就是, ( x xk )( x xk 1 ) L2 ( x ) yk 1 ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) yk ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( x xk 1 )( x xk ) yk 1 . ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )