多采样率信号处理与小波变换
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x ( n)
X (e j )
n
……
x d ( n)
-2
-
0
2 j X d (e ) 2 4
……
n
-4
-2
0
图 6.2
M=2 抽取前后信号的频谱变化
x ( n)
X (e j )
n
……
x u ( n)
-6 -4 -2
0 2 4 6 X u (e j ) 0 2 3
H (e j ) 、 低通滤波器输出信号频谱 X ' (e j ) 和抽取器的输出信号 X d (e j ) 。 可以看到，X d (e j )
没有混叠现象。
X (e j )
0
2
H (e j )
0
/2
3/2
2
X ' (e j )
0
/2
3/2
2
X d (wk.baidu.com j )
可以看到， X u (e j ) 中没有混叠和多余的高频频谱成分。
x ( n)
X (e j )
n
0
x ' ( n)
X ' (e j )
2
n
0
h( n)
/2
H (e j )
3/2
2
n
0
x u ( n)
/2
X u (e j )
3/2
2
n
0
/2
3/2
2
图 6.7
X d (e j ) x( Mn )e jn [ x(n)(n rM )]e
n n r j j n M
x(n)[ (n rM )]e
n r
n M
6-3
上式方括弧中是一个周期为 M 的脉冲序列，可以采用如下傅立叶级数形式：
……
n
-3 -2 -
图 6.3
L=2 插值前后信号的频谱变化
3
多采样率信号处理与小波变换
实际应用中当然不能对信号随便进行抽取和插值，一般是在信号的频带压缩或实施低通 滤波后才考虑抽取以降低采样率， 同样， 当对信号进行插值后需要滤波去除多余的频谱成分。 6.1.2 序列的采样率降低处理
当一个序列的频带远小于采样频率的一半时就可以考虑实行抽取处理来降低采样率，提 高系统执行效率。 假设抽取器的抽取周期为 M 点的话， 则在抽取前需要通过一个截止频率为 避免抽取后引起频谱混叠， 如图 6.4 所示。 c / M 的低通滤波器将不需要的频率成分滤除，
x ( n) x ' ( n) x d ( n)
H(Z)
M
图 6.4
实际的序列抽取
设滤波器由线性相位 FIR 实现，则整个序列抽取系统的输入输出关系如下：
x d (n) h(k ) x( Mn k )
k 0 N 1
6-7
上式说明，计算输出信号可以直接按照降低后的采样率进行，而不需要按照原采样率先 计算 x' (n) 之后再抽取，即滤波器可以在降低后的采样率下工作，输入信号延时后先抽取，然 后做乘加运算。图 6.5 显示了实际抽取过程中输入信号频谱 X (e j ) 、低通滤波器频率响应
多采样率信号处理与小波变换
第六章 多采样率信号处理与小波变换
序列的抽取、插值及多采样率处理 小波函数与小波变换 小波变换的应用
当一个数字信号处理系统的各个部分所处理的信号其带宽不同时，采用单一的采样率往 往会产生大量的数据冗余和增加不必要的系统开销，因此，有必要根据具体的信号频带宽度 改变采样率，使系统的处理效率最大化。这就是多采样率信号处理，在通信、语音、雷达信 号处理以及谱分析等领域得到了广泛应用。 同样，实际应用中所处理的信号往往是非平稳的信号或随机信号，不同时刻信号的统计 分布和频谱在发生变化，此时，仅仅依靠单一的时频分辨率处理和分析信号就存在很大的弊 端。第 2 章介绍的短时离散傅立叶变换尽管可以在一定程度上得到信号的非平稳特征，但仍 然是一种固定分辨率的分析方法。当信号变化点在短时窗中而不是恰好在边缘位置时就无法 正确地分析跟踪信号的变化，而缩小短时窗宽度虽然能够提高时间分辨率，但降低了频率分 辨率。小波变换是一种多分辨率信号分析的有效方法，它能够通过调节尺度因子以多种分辨 率对信号进行分析，得到信号频谱的详细特征。小波变换被广泛应用于视频等数据压缩、信 号去噪、语音识别等应用领域。 本章对多采样率处理和小波变换分析作一个基础性的介绍。6.1 节介绍多采样率信号处 理的基本方法，如何通过信号序列的时间抽取和插值实现采样率的降低与提高。6.2 节分析 相应的频谱变化及其应用。6.3 节介绍小波变换的基本概念以及基于小波变换的多分辨率分 析方法，并在 6.4 通过例子说明其应用价值。
M 1 k 0
X (e
j
2 k M
)
6-5
同样，根据图 6.1 所示插值器输入输出信号的关系可知，相应的傅立叶频谱关系如下式 （6-6）所示：
X u ( e j )
n
xu (n)e jn [ x(r )(n rL)]e jn
n r
抽取器
x ( n)
M
x d (n) x(Mn)
插值器
x ( n)
L
n x u ( n) x ( ) L
图 6.1
序列的 M 点抽取和 L 点插值处理
根据抽取器输入输出信号的关系可知 x d (1) x(M ) ， 即 x d (Td ) x(MT ) ，T 和 Td 分别是输 入信号 x(n) 和输出信号 x d (n) 的采样周期。因此有
0 图 6.5
2
3
4
实际的 M=2 序列抽取过程各信号频谱变化
4
多采样率信号处理与小波变换
6.1.3
序列的采样率提升处理
如前所述，离散信号可以通过插值来提升采样率。但是，插值的结果一定会在高频段带 来多余的频谱（如图 6.3）成分，因此，必须在插值之后进行低通滤波将多余频谱成分去除。 实际的插值处理升采样过程如图 6.6 所示。
r
(n rM )
1 M 1 j 2 kn / M e M k 0
6-4
2
多采样率信号处理与小波变换
因此， （6-3）式可以进一步推导得
X d (e j ) 1 M
M 1
k 0 n
x(n)e
j
( 2 k ) n M
1 M
实际的 L=2 序列插值过程各信号频谱变化
5
多采样率信号处理与小波变换
应该注意，抽取器和插值器都是线性系统，但是移变的。在实际应用中，如果需要提升 或降低的采样频率不是原采样率的整数倍时， 例如 L/M 倍， 则通常可以先进行 L 倍插值后再 以 M 倍抽取的方式进行，并且，只需要一个低通滤波器置于插值后抽取前就可以了。
6.2
多采样率处理的应用
多采样率处理在通信系统、频谱分析、子带编码以及语音、图像和雷达信号处理中有广
泛的应用。以下通过一些实例简要说明它的具体应用。 6.2.1 带通信号的降采样处理
设一个中心频率为 f 0 （ 0 ） 、频带宽度为 f （ ）的带通信号频谱如图 6.8（a）所示， 为了满足奈奎斯特定理，采样频率应该是 f s 2 f 0 f 。但由于信号的实际频带只有 f ，这 样的采样率显然是浪费，将产生不必要的系统运算量，增加系统开销。可以通过序列抽取的 方式来解决以上采样率问题，使抽取后的序列频谱移动到 f 0 处，并且采样率 f d 在满足
x ( n) x ' ( n) x u ( n)
L
H(Z)
图 6.6
实际的序列插值
滤波器 H(Z)一般是由线性相位 FIR 实现，设其单位脉冲响应为 h(n) , n 0 ~ N 1 ，则 整个插值处理的输入输出信号关系如下：
N 1 n x u ( n) h( k ) x ( k ) L k 0
r
x(r ) (n rL)e jn x(r )e jrL
n r
6-6
X (e jL )
由此可见，抽取器输入信号的频谱沿 频率轴进行 M 倍扩张后以 2 / M 为间隔的 M 次线性 叠加形成输出信号的频谱，这种扩张和线性叠加很容易引起频谱混叠。而插值器使输入信号 的频谱沿 频率轴进行 L 倍压缩后形成输出信号的频谱，这种压缩虽然不会引起频谱混叠， 但会产生多余的频谱。 图 6.2 显示了一个 M=2 的序列抽取以及抽取前后信号的频谱变化， 图 6.3 描述了信号 x(n) 在 2 倍插值之后的频谱变化。图中实线表示频谱的周期分量，虚线表示镜像分量。可以清楚 看到，如果原始信号 x(n) 的频谱在[0，]完全分布，则抽取处理将引起频谱混叠，插值带来 多余的频谱高频成分。
6
多采样率信号处理与小波变换
实际上，任何一个带通滤波器输出的信号，无论它的频谱是否对称分布都可以通过序列 抽取的方式来实现移位和降采样处理，图 6.9 显示了这一过程。输入信号 x(n) 经过一个带通 滤波器 H (Z ) 滤波后输出带通信号 x b (n) ，对这个信号进行周期为 M 的抽取处理得到信号
M 2 f 0 f f 或 f0 (M 1)f 2
X (e 2 fT )
(a) 原始信号的 频谱
6-10
f f0 f
0
f0 f
X d (e j 2fTd )
(b) 抽取 (M=8) 后 信号的频谱
f 3f 2f f
0
f
2f 3f
4f
图 6.8
利用序列抽取进行频谱移位和降采样
f d f 的同时比原来的采样率大幅降低。
假如希望抽取后的信号频谱 X d (e j 2fTd ) 如图 6.8（b）所示，原信号的采样频率为 f s ，抽 取后序列的采样频率为 f d f ，则根据（6-1）式得到抽取周期如下：
M fs f s f d f
6-9
但是，这个抽取周期能使原信号在 f f s 处的频谱与抽取信号在 f Mf d 处的频谱相对应，却 不能使原信号 f f 0 处的频谱与抽取后信号在 f Mf d Mf 处的频谱对应起来。因此，为了 实现如图 6.8（b）的要求，应该选择能满足以上对应关系的 M 值。即
1
多采样率信号处理与小波变换
采 样 率 的 变 化 对 于 离 散 信 号 而 言 可 以 通 过 信 号 序 列 的 抽 取 （ Decimation ） 和 插 值 （Interpolation）方式实现。 6.1.1 序列的抽取与插值
如图 6.1 所示，对原始信号序列 x(n) 以一定的周期 M 抽取信号值将形成 x(n) 的一个降采 样序列 x d (n) x(Mn) ，而对 x(n) 相邻信号值之间等间隔地插入 L 个值为 0 的信号将形成一个 升采样序列 xu (n) x(n / L) 。
6-8
上式说明，滤波处理可以结合插值一起工作，这样整个处理可以在原来较低的采样率下 工作。输入信号先乘各滤波器系数形成 N 路信号，然后插值并延时后合并形成输出信号。图 6.7 显示了实际插值过程中输入信号 x(n) 与频谱 X (e j ) 、插值器的输出信号 x' (n) 与频谱
X ' (e j ) 、低通滤波器 h(n) 与频率响应 H (e j ) 和低通滤波器输出信号 x u (n) 与频谱 X u (e j ) 。
6.1
多采样率信号处理
多采样率数字信号处理系统中各个部分的采样率是不一样的，它根据各个部分信号的频
带宽度选择满足奈奎斯特（Nyquist）采样定理的最低采样率进行处理，目的是在不引起信号 频谱混叠的前提下减少系统的资源开销和数据冗余，使系统的运算量最小化。例如，如果系 统中使用低通滤波器进行滤波的话，则滤波器输出端信号就可以按照滤波后的信号频带分布 确定一个新的较低的采样频率。
Td MT ; fd fs M
6-1
即 M 点抽取器输出信号的采样频率比输入信号采样频率降低了 M 倍。 同样，根据插值器输入输出信号的关系可知 xu (Tu ) x(T / L) ，其中 Tu 是插值器的采样周 期。因此有
Tu T L ; f u Lf s
6-2
即 L 点插值器输出信号的采样频率比输入信号采样频率提高了 L 倍。 虽然可以通过序列的抽取和插值来改变采样率，但这种改变一般应该在满足奈奎斯特采 样定理的前提下进行，否则将引起信号频谱的畸变。根据抽取器输入输出信号的关系可知相 应的傅立叶频谱关系如下式（6-3）~（6-5）所示：
X (e j )
n
……
x d ( n)
-2
-
0
2 j X d (e ) 2 4
……
n
-4
-2
0
图 6.2
M=2 抽取前后信号的频谱变化
x ( n)
X (e j )
n
……
x u ( n)
-6 -4 -2
0 2 4 6 X u (e j ) 0 2 3
H (e j ) 、 低通滤波器输出信号频谱 X ' (e j ) 和抽取器的输出信号 X d (e j ) 。 可以看到，X d (e j )
没有混叠现象。
X (e j )
0
2
H (e j )
0
/2
3/2
2
X ' (e j )
0
/2
3/2
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X d (wk.baidu.com j )
可以看到， X u (e j ) 中没有混叠和多余的高频频谱成分。
x ( n)
X (e j )
n
0
x ' ( n)
X ' (e j )
2
n
0
h( n)
/2
H (e j )
3/2
2
n
0
x u ( n)
/2
X u (e j )
3/2
2
n
0
/2
3/2
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图 6.7
X d (e j ) x( Mn )e jn [ x(n)(n rM )]e
n n r j j n M
x(n)[ (n rM )]e
n r
n M
6-3
上式方括弧中是一个周期为 M 的脉冲序列，可以采用如下傅立叶级数形式：
……
n
-3 -2 -
图 6.3
L=2 插值前后信号的频谱变化
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多采样率信号处理与小波变换
实际应用中当然不能对信号随便进行抽取和插值，一般是在信号的频带压缩或实施低通 滤波后才考虑抽取以降低采样率， 同样， 当对信号进行插值后需要滤波去除多余的频谱成分。 6.1.2 序列的采样率降低处理
当一个序列的频带远小于采样频率的一半时就可以考虑实行抽取处理来降低采样率，提 高系统执行效率。 假设抽取器的抽取周期为 M 点的话， 则在抽取前需要通过一个截止频率为 避免抽取后引起频谱混叠， 如图 6.4 所示。 c / M 的低通滤波器将不需要的频率成分滤除，
x ( n) x ' ( n) x d ( n)
H(Z)
M
图 6.4
实际的序列抽取
设滤波器由线性相位 FIR 实现，则整个序列抽取系统的输入输出关系如下：
x d (n) h(k ) x( Mn k )
k 0 N 1
6-7
上式说明，计算输出信号可以直接按照降低后的采样率进行，而不需要按照原采样率先 计算 x' (n) 之后再抽取，即滤波器可以在降低后的采样率下工作，输入信号延时后先抽取，然 后做乘加运算。图 6.5 显示了实际抽取过程中输入信号频谱 X (e j ) 、低通滤波器频率响应
多采样率信号处理与小波变换
第六章 多采样率信号处理与小波变换
序列的抽取、插值及多采样率处理 小波函数与小波变换 小波变换的应用
当一个数字信号处理系统的各个部分所处理的信号其带宽不同时，采用单一的采样率往 往会产生大量的数据冗余和增加不必要的系统开销，因此，有必要根据具体的信号频带宽度 改变采样率，使系统的处理效率最大化。这就是多采样率信号处理，在通信、语音、雷达信 号处理以及谱分析等领域得到了广泛应用。 同样，实际应用中所处理的信号往往是非平稳的信号或随机信号，不同时刻信号的统计 分布和频谱在发生变化，此时，仅仅依靠单一的时频分辨率处理和分析信号就存在很大的弊 端。第 2 章介绍的短时离散傅立叶变换尽管可以在一定程度上得到信号的非平稳特征，但仍 然是一种固定分辨率的分析方法。当信号变化点在短时窗中而不是恰好在边缘位置时就无法 正确地分析跟踪信号的变化，而缩小短时窗宽度虽然能够提高时间分辨率，但降低了频率分 辨率。小波变换是一种多分辨率信号分析的有效方法，它能够通过调节尺度因子以多种分辨 率对信号进行分析，得到信号频谱的详细特征。小波变换被广泛应用于视频等数据压缩、信 号去噪、语音识别等应用领域。 本章对多采样率处理和小波变换分析作一个基础性的介绍。6.1 节介绍多采样率信号处 理的基本方法，如何通过信号序列的时间抽取和插值实现采样率的降低与提高。6.2 节分析 相应的频谱变化及其应用。6.3 节介绍小波变换的基本概念以及基于小波变换的多分辨率分 析方法，并在 6.4 通过例子说明其应用价值。
M 1 k 0
X (e
j
2 k M
)
6-5
同样，根据图 6.1 所示插值器输入输出信号的关系可知，相应的傅立叶频谱关系如下式 （6-6）所示：
X u ( e j )
n
xu (n)e jn [ x(r )(n rL)]e jn
n r
抽取器
x ( n)
M
x d (n) x(Mn)
插值器
x ( n)
L
n x u ( n) x ( ) L
图 6.1
序列的 M 点抽取和 L 点插值处理
根据抽取器输入输出信号的关系可知 x d (1) x(M ) ， 即 x d (Td ) x(MT ) ，T 和 Td 分别是输 入信号 x(n) 和输出信号 x d (n) 的采样周期。因此有
0 图 6.5
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实际的 M=2 序列抽取过程各信号频谱变化
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多采样率信号处理与小波变换
6.1.3
序列的采样率提升处理
如前所述，离散信号可以通过插值来提升采样率。但是，插值的结果一定会在高频段带 来多余的频谱（如图 6.3）成分，因此，必须在插值之后进行低通滤波将多余频谱成分去除。 实际的插值处理升采样过程如图 6.6 所示。
r
(n rM )
1 M 1 j 2 kn / M e M k 0
6-4
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多采样率信号处理与小波变换
因此， （6-3）式可以进一步推导得
X d (e j ) 1 M
M 1
k 0 n
x(n)e
j
( 2 k ) n M
1 M
实际的 L=2 序列插值过程各信号频谱变化
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多采样率信号处理与小波变换
应该注意，抽取器和插值器都是线性系统，但是移变的。在实际应用中，如果需要提升 或降低的采样频率不是原采样率的整数倍时， 例如 L/M 倍， 则通常可以先进行 L 倍插值后再 以 M 倍抽取的方式进行，并且，只需要一个低通滤波器置于插值后抽取前就可以了。
6.2
多采样率处理的应用
多采样率处理在通信系统、频谱分析、子带编码以及语音、图像和雷达信号处理中有广
泛的应用。以下通过一些实例简要说明它的具体应用。 6.2.1 带通信号的降采样处理
设一个中心频率为 f 0 （ 0 ） 、频带宽度为 f （ ）的带通信号频谱如图 6.8（a）所示， 为了满足奈奎斯特定理，采样频率应该是 f s 2 f 0 f 。但由于信号的实际频带只有 f ，这 样的采样率显然是浪费，将产生不必要的系统运算量，增加系统开销。可以通过序列抽取的 方式来解决以上采样率问题，使抽取后的序列频谱移动到 f 0 处，并且采样率 f d 在满足
x ( n) x ' ( n) x u ( n)
L
H(Z)
图 6.6
实际的序列插值
滤波器 H(Z)一般是由线性相位 FIR 实现，设其单位脉冲响应为 h(n) , n 0 ~ N 1 ，则 整个插值处理的输入输出信号关系如下：
N 1 n x u ( n) h( k ) x ( k ) L k 0
r
x(r ) (n rL)e jn x(r )e jrL
n r
6-6
X (e jL )
由此可见，抽取器输入信号的频谱沿 频率轴进行 M 倍扩张后以 2 / M 为间隔的 M 次线性 叠加形成输出信号的频谱，这种扩张和线性叠加很容易引起频谱混叠。而插值器使输入信号 的频谱沿 频率轴进行 L 倍压缩后形成输出信号的频谱，这种压缩虽然不会引起频谱混叠， 但会产生多余的频谱。 图 6.2 显示了一个 M=2 的序列抽取以及抽取前后信号的频谱变化， 图 6.3 描述了信号 x(n) 在 2 倍插值之后的频谱变化。图中实线表示频谱的周期分量，虚线表示镜像分量。可以清楚 看到，如果原始信号 x(n) 的频谱在[0，]完全分布，则抽取处理将引起频谱混叠，插值带来 多余的频谱高频成分。
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多采样率信号处理与小波变换
实际上，任何一个带通滤波器输出的信号，无论它的频谱是否对称分布都可以通过序列 抽取的方式来实现移位和降采样处理，图 6.9 显示了这一过程。输入信号 x(n) 经过一个带通 滤波器 H (Z ) 滤波后输出带通信号 x b (n) ，对这个信号进行周期为 M 的抽取处理得到信号
M 2 f 0 f f 或 f0 (M 1)f 2
X (e 2 fT )
(a) 原始信号的 频谱
6-10
f f0 f
0
f0 f
X d (e j 2fTd )
(b) 抽取 (M=8) 后 信号的频谱
f 3f 2f f
0
f
2f 3f
4f
图 6.8
利用序列抽取进行频谱移位和降采样
f d f 的同时比原来的采样率大幅降低。
假如希望抽取后的信号频谱 X d (e j 2fTd ) 如图 6.8（b）所示，原信号的采样频率为 f s ，抽 取后序列的采样频率为 f d f ，则根据（6-1）式得到抽取周期如下：
M fs f s f d f
6-9
但是，这个抽取周期能使原信号在 f f s 处的频谱与抽取信号在 f Mf d 处的频谱相对应，却 不能使原信号 f f 0 处的频谱与抽取后信号在 f Mf d Mf 处的频谱对应起来。因此，为了 实现如图 6.8（b）的要求，应该选择能满足以上对应关系的 M 值。即
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多采样率信号处理与小波变换
采 样 率 的 变 化 对 于 离 散 信 号 而 言 可 以 通 过 信 号 序 列 的 抽 取 （ Decimation ） 和 插 值 （Interpolation）方式实现。 6.1.1 序列的抽取与插值
如图 6.1 所示，对原始信号序列 x(n) 以一定的周期 M 抽取信号值将形成 x(n) 的一个降采 样序列 x d (n) x(Mn) ，而对 x(n) 相邻信号值之间等间隔地插入 L 个值为 0 的信号将形成一个 升采样序列 xu (n) x(n / L) 。
6-8
上式说明，滤波处理可以结合插值一起工作，这样整个处理可以在原来较低的采样率下 工作。输入信号先乘各滤波器系数形成 N 路信号，然后插值并延时后合并形成输出信号。图 6.7 显示了实际插值过程中输入信号 x(n) 与频谱 X (e j ) 、插值器的输出信号 x' (n) 与频谱
X ' (e j ) 、低通滤波器 h(n) 与频率响应 H (e j ) 和低通滤波器输出信号 x u (n) 与频谱 X u (e j ) 。
6.1
多采样率信号处理
多采样率数字信号处理系统中各个部分的采样率是不一样的，它根据各个部分信号的频
带宽度选择满足奈奎斯特（Nyquist）采样定理的最低采样率进行处理，目的是在不引起信号 频谱混叠的前提下减少系统的资源开销和数据冗余，使系统的运算量最小化。例如，如果系 统中使用低通滤波器进行滤波的话，则滤波器输出端信号就可以按照滤波后的信号频带分布 确定一个新的较低的采样频率。
Td MT ; fd fs M
6-1
即 M 点抽取器输出信号的采样频率比输入信号采样频率降低了 M 倍。 同样，根据插值器输入输出信号的关系可知 xu (Tu ) x(T / L) ，其中 Tu 是插值器的采样周 期。因此有
Tu T L ; f u Lf s
6-2
即 L 点插值器输出信号的采样频率比输入信号采样频率提高了 L 倍。 虽然可以通过序列的抽取和插值来改变采样率，但这种改变一般应该在满足奈奎斯特采 样定理的前提下进行，否则将引起信号频谱的畸变。根据抽取器输入输出信号的关系可知相 应的傅立叶频谱关系如下式（6-3）~（6-5）所示：