黎曼积分与勒贝格积分的比较

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题目黎曼积分与勒贝格积分的比较学院****************

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年月日

黎曼积分与勒贝格积分的比较

摘要本文介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念，通过对两类积分的基本性质，可积条件,结合相关定理，分析了勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处，并结合具体实例，具体说明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别.

关键字黎曼积分；勒贝格积分；比较；可测函数；可积函数.

目录

引言 (1)

1 定义 (1)

1.1黎曼积分的定义 (1)

1.2 勒贝格积分的定义 (2)

2 黎曼积分与勒贝格积分的基本性质 (2)

2.1黎曼积分的基本性质 (2)

2.2勒贝格积分的基本性质 (3)

3 黎曼可积与勒贝格可积的条件 (4)

3.1黎曼可积的条件 (4)

3.2勒贝格可积的条件 (5)

4 相关定理 (5)

4.1与勒贝格积分有关的定理 (5)

4.2与黎曼积分有关的定理 (6)

5 黎曼积分与勒贝格积分的联系 (6)

6 黎曼积分与勒贝格积分的区别 (8)

7 实例 (10)

总结 (11)

参考文献 (12)

致谢 (13)

黎曼积分与勒贝格积分的比较

引言

勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要作用.黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.而用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活的.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚.下面就具体比较一下勒贝格积分和黎曼积分的不同处理方法.

1 定义

1.1黎曼积分的定义

设()f x 在[],a b 上有定义

1）作划分.在[],a b 上添加1n -个分点得到012:=n T a x x x x b <<<

<=，将[],a b 分成n

个小区间[]1,i i x x -，1,2,

.i n =记小区间的长度为1i i i x x x -∆=-.

2）取近似.任取点[]1,i i i x x ξ-∈，用底为i x ∆ ，高为()i f ξ的矩形面积近似代替小的曲边梯形的面积.

3）求和.这些小矩形面积之和为()1n

i i i f x ξ=∆∑.

4）取极限.令()1max i i n

x λ≤≤=∆，当0λ→时，极限

()0

1

lim n

i i i f x λξ→=∆∑

存在.

则称()f x 在[],a b 上黎曼可积，且有

()()0

1

lim n

b

i i

a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰

1.2 勒贝格积分的定义

设()f x 是有界可测集E 上的可测函数

1）(简单函数的积分) 设E 上简单函数()()1k n

k e k x y x ϕχ==∑，其中()k k e E y ϕ==等为互

不相交的可测集，k y 等互异，()k e x χ表示k e 的特征函数.和1

n

k k k y me =∑为简单函数()

x ϕ在E 上的积分，并记为

()1n

k k E

k x dm y me ϕ==∑⎰

2）(非负可测函数的积分) 取简单函数满足()()()0x f x x E ϕ≤≤∈，另()x ϕ变动，定义

()f x 在E 上积分为

()()0sup E

E

f f x dm x dm ϕϕ≤≤=⎰⎰

如果此量为有限，则称()f x 在E 上可积，否则只说()f x 在E 上积分为∞（这时()f x 在E 上有积分但不可积）.

3) （一般可测函数的积分）对于一般可测函数()f x ，当()E

f x dm +⎰与()E

f x dm -⎰不同

时为∞时，定义()f x 在E 上的积分为

()()()E

E

E

f x dm f x dm f x dm +-=-⎰⎰

⎰

当此式右端两项均为有限项时，()f x 的积分是有限的，称()f x 在E 上可积.

2 黎曼积分与勒贝格积分的基本性质 2.1黎曼积分的基本性质

性质1 若f 在[],a b 上黎曼可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上黎曼可积，且 ()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =⎰⎰.

性质2 若f ，g 都在[],a b 上黎曼可积，则f g ±在[],a b 上也黎曼可积，且

()()()()b b b

a a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣

⎦⎰⎰⎰.