山东省烟台市届高三一模(数学理)
山东省烟台市高三数学3月诊断性测试试题 理(烟台一模,含解析)新人教A版
数学（理）试题注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2．使用答题纸时，必须使用0．5毫米的黑龟墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1．已知i 是虚数单位，若(1)z i i +=，则|z|等于A ．1B ．2C ．2D ．12【答案】C【解析】由(1)z i i +=，得2(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i i --====+++-，所以2z ==，选C.2．若集合M={x∈N *| x<6}，N={}||1|2x x -≤，则M ()R N =A ．（-∞，-1）B ．[)1,3C ．（3,6）D ．{4,5}【答案】D 【解析】{1,2,3,4,5}M =,{212}{13}N x x x x =-≤-≤=-≤≤，所以(){13}R N x x x =<->或，3．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（122），则log 2f （2）的值为 A ．12B ．-12C ．2D ．-2【答案】【解析】设幂函数为()f x x α=，则11()()222f α==，解得12α=，所以()f x =以(2)f =221log (2)log 2f ==，选A. 4．已知函数221()x f x e -=，若[cos()]12f πθ+=，则θ的值为A ．4k ππ+B ．4k ππ-C ．24k ππ+ D ．4k ππ-（其中k∈Z） 4 4 2 4【答案】C【解析】由221()1xf x e -==，得2210x -=，即22cos ()102πθ+-=，所以cos 2()cos(2)cos 202πθπθθ+=+=-=，所以2,2k k Z πθπ=+∈，即,24k k Z ππθ=+∈，选C.5．下列说法错误的是：A ．命题“若x 2—4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x 2－4x+3≠0” B ．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C ．若p∧q 为假命题，则p 、g 均为假命题D ．命题P ：″x R ∃∈，使得x 2+x+1<0”，则2:",10"P x R x x ⌝∀∈++≥【答案】C【解析】若p∧q 为假命题，则p 、g 至少有一个为假命题，所以C 错误。
数学高考模拟试卷山东省烟台市高三份第一次模拟考试理科数学试卷(含答案)
烟台市2019届高三3月份第一次模拟考试理科数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，务势必姓名和准考据号填涂在答题卡上．3．使用答题纸时，一定使用毫米的黑色署名笔书写，要笔迹工整，笔迹清楚．高出答题区书写的答案无效：在底稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项切合题目要求．1．已知复数z知足12i(i为虚数单位)，则zA．1iB．C．1+i D．1－i2．若会合M xx1,N xZ0x4，则C R M NA．0B．0,1C．0,1,2D．2,3,43．已知甲袋中有1个红球1个黄球，乙袋中有2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则拿出的两球中起码有1个红球的概率为11C．25A．B．3D．32611”的4．“ba0”是“baA．充足不用要条件B．充要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件5．在平面直角坐标系xOy中，角的极点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则cos23B．34D．4A．5C．5556．履行如下图的程序框图，则输出的结果是A．8B．16C．32D．64．在ABC中，AB2，AC=3，BAC，7若BD32BC，则ADBD32222168 A．B．C．D．99998．我国南北朝期间数学家祖暅，提出了有名的祖暅原理： “缘幂势既同， 则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几 何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不 规则几何体与右边三视图所对应的几何体知足“幂势既同” ，此中俯视图中的圆弧为1圆周，则该不规则几何体的体积为4A ．11 C ．121 2B ．D ．323 639．将函数 fxsinx0,的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对于y26轴对称，且 f1，则当取最小值时，函数f x 的分析式为2xsin2x B ．6xsin4x D ．6f x sin 2x6f x sin 4x610．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC 是斜边长为 6的等腰直角三角形，若三棱锥D —ABC 体积的最大值为 27，则该球的表面积为A ．36B ． 64C ．100D ．14411．若函数f x xx，则知足f2x 21fx 0的x 的取值范围为e esin2x A ．1，1 ，1 ，， 1，B ．C ．D ．1，1122 122x 2y 2 1的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且知足12．已知F 1、F 2分别为双曲线64MF 1 MF 2 0，若直线MF 2与双曲线的另一个交点为 N ，则 MF 1N 的面积为A ．12B ．122C ．24D ．242二、填空题：本大题共有 4个小题，每题5分，共20分．13．已知ax2x 5的睁开式中x 3的系数为40，则实数a 的值为3x y 3 014．己知x,y 知足拘束条件x y 0，则z2xy 的最小值是xy 4 015．在ABC 中，a,b,c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a 2,asinB3bcosA ，则 ABC 周长的最大值为16．已知fxlnx, 0 x 2e 0有2个不一样的实根，则实数m 的f4ex,2e x ，若方程fxmx4e取值范围是(结果用区间表示)三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都一定作答．第 22、23题为选考题，考生依据要求作答．(一)必考题：60分．17．(12分)已知数列 a n 中，a 1 1,a n 2a n11n 2,nN ．(1)记b n log 2 a n 1，判断a n 能否为等差数列，并说明原因：(2)在(1)的条件下，设 b n ，求数列 c n 的前n 项和T n ．c na n118．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，△ABC 等边三角形，ACDC ，以AC 为折痕将△ABC 折起，使得平面ABC平面ACD ．(1)设E 为BC 的中点，求证：AE平面BCD ：(2)若BD 与平面ABC 所成角的正切值为3，求二面角ABDC 的余弦值．219．(12分)已知F 为抛物线C:y 22pxp的焦点，过F 的动直线交抛物线C 于A ，B两点．当直线与x 轴垂直时，AB4．(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线AB 与抛物线的准线 l 订交于点 M ，在抛物线 C 上能否存在点的斜率成等差数列 ?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明原因．P ，使得直线PA ，PM ，PB20．(12分)2019年2月13日《烟台市全民阅读促使条例》全文公布，旨在保障全民阅读权益，培育全民阅读习惯，提升全民阅读能力，推进文明城市和文化强市建设．某高校为认识条例公布以来全校学生的阅读情况，随机检查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如下图的频次散布直方图．(1)求这200名学生每周阅读时间的样本均匀数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代)；(2)由直方图能够以为，当前该校学生每周的阅读时间X听从正态散布N，2，此中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2．一般正态散布的概率都能够转变为标准正态散布的概率进行计算：若X~N ,2,令Y X，则Y~N0,1，且PX a PYa．利用直方图获得的正态散布，求PX10。
山东省烟台市高三下学期一模诊断测试数学(理)试题
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 若集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D.2. 复数的共轭复数（ ）A. B. C. D.3. “，”是“函数的图象过原点”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 甲乙两名同学参加某项技能比赛，名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（ ）A. 甲成绩稳定且平均成绩较高B. 乙成绩稳定且平均成绩较高C. 甲成绩稳定，乙平均成绩较高D. 乙成绩稳定，甲平均成绩较高5. 某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（ ）A. B.C. D.6. 已知，，且，，则的值是（ ）A. B. C. D.7. 设点是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数在区间上是增函数的概率为（ ）A. B. C. D.8. 若双曲线（，）的左. 右焦点分别为.，线段被抛物线的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.9. 已知是内一点，且，，若..的面积分别为..，则的最小值是（ ）A. B. C. D.10. 已知函数（），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点. 其中正确命题的个数为（ ）A. B. C. D.二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ）11. 若不等式()2log 122x x m ++--≥恒成立，则实数的取值范围是 .12. 现有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）.13.若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 .14. 已知，，，，，，经计算：，，，，照此规律则 .15. 已知圆和两点，（），若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是 .三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）16. （本小题满分12分）在中，角..所对的边分别为..，已知222sin sin C sin sin sin C B +=A +B .求角的大小；若，，求值.17. （本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科. 文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取名同学进行测试.求从理科组抽取的同学中至少有名女同学的概率；记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）已知等差数列中，，前项和为且满足条件：（）.求数列的通项公式；若数列的前项和为，且有（），，证明：数列是等比数列；又，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，C 22D 4B =AB =A =BE ，平面平面.求证：平面平面；若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值.20. （本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.求椭圆的方程；设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数（）.当时，求函数图象在点处的切线方程；求函数的单调区间；若，，且对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.17. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人， 文科组抽取1人，…………………2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：. …………………4分（2）由题意可知的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分相应的概率分别是021********(0)112C C C P C C ξ===,1112353321218484148(1)112C C C C P C C C C ξ==+=，1121355321218484145(2)112C C C C P C C C C ξ==+=,252184110(3)112C P C C ξ===,………………9分所以的分布列为：48451031231121121122E ξ=⨯+⨯+⨯=.18. 解：2133,1)(124)1(21112122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当 ………………2分∴n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112所以………………4分（2）由nn n n n n n n b T b T b T b T +=+-=++-++11111可得所以，，………………4分 所以是等比数列且，………………6分∴nn n n q b b 222)1(1111=⨯=-=---∴………………8分∴n n n n n n n b a c )21()12(212112⋅+=+=-+=………………9分∴n n n n c c c c W )21()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++=利用错位相减法，可以求得. ………………12分19. 解：（1）∵平面平面，平面平面，，∴平面,………………2分又∵，故可建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,则有(0,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(0,0,)D E C P λ，∴(2,4,0),(0,0,),(2,1,0)AC AP DE λ===-，∴4400,0DE AC DE AP =-+==，………………4分∴，∴平面.又平面∴平面平面………………6分∴二面角的余弦值为. ……………12分20. 解：（1）由题意知，又，所以，……………2分，所以椭圆的方程为：；……………4分（2）设直线的方程为：，代入，得：2222(34)84120k x k x k+-+-=设，线段的中点为，则2120002243,(1)23434x x k kx y k xk k+===-=-++，……………7分由得：()(2)0 PQ TQ TP PQ TR⋅+=⋅=，所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：222314()3434k ky xk k k+=--++，……………9分令得：点的横坐标22213344ktkk==++，……………10分因为，所以，所以. ……………12分所以线段上存在点使得，其中. ……………13分21. 解（1）当时，，，222222(1)21()(1)(1)x x x x f x x x +-⋅-'==++，……………2分 所以，切线方程为，即……………4分（2）由题意可知，函数的定义域为，22222222(1)2(1)(1)(1)()(1)(1)(1)a x ax x a x a x x f x x x x +-⋅--+'===+++，……………6分 当时，，，为增函数，，，为减函数；当时，，，为减函数，，，为增函数. ……………8分（3）“对任意的1212,[0,2],()()x x f x g x ∈≥恒成立”等价于“当时，对任意的12min max ,[0,2],()()x x f x g x ∈≥成立”，当时，由（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而2(0)1,(2)115a f f ==+>，所以的最小值为， 22()2e e (2)e mx mx mx g x x x m mx x '=+⋅=+， 当时，，时，，显然不满足，……………10分当时，令得，，（1）当，即时，在上，所以在单调递增，所以2max ()(2)4e m g x g ==，只需，得，所以（2）当，即时，在，单调递增，在，单调递减，所以max 2224()()e g x g m m =-=，只需，得，所以 （3）当，即时，显然在上，单调递增，2max ()(2)4e m g x g ==，不成立，……………13分综上所述，的取值范围是……………14分。
山东省烟台市2024年数学(高考)部编版模拟(自测卷)模拟试卷
山东省烟台市2024年数学（高考）部编版模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题定义函数集．已知函数，，，．若函数，则在为奇函数的条件下，存在单调递减区间的概率为（）A．B．C．D．第(2)题已知角的终边落在直线上，则的值为（）A．B．1C．D．第(3)题在几何学中，单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观，单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构，如发电厂的冷却塔.已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示，塔的总高度为150m，塔顶直径为80m，塔的最小直径（喉部直径）为60 m，喉部标高（标高是地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离）为110 m，则该双曲线的离心率约为（精确到0.01）（）A．B．C．D．第(4)题函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（）A．B．C．D．第(5)题已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则集合中元素的个数为（）A．30B．28C．26D．24第(7)题已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A．0B．C．D．第(8)题设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（）．A．1348B．1347C．1346D．1345二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知数列是等差数列，都是正整数，则下列结论正确的是（）A．若，则B．不可能是等比数列C．不是等差数列D．若，则第(2)题若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（）A．内存在一条直线与平行B．内不存在与平行的直线C．内所有直线与异面D．内有无数条直线与相交第(3)题已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A．函数的初相为B ．当时，函数的图像关于直线对称C ．当时，可以为1D．当时，函数的单调递增区间为，三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
山东省烟台市高考数学一模试卷(理科)
山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2017·内江模拟) 设集合A={x∈Z|x2＜3}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A . {0，1}B . {﹣1，0}C . {﹣1，0，1}D . {0，1，2}2. （2分）已知点P(2,t)在二元一次不等式组表示的平面区域内，则点P(2,t)到直线3x+4y+10=0距离的最大值为（）A . 2B . 4C . 6D . 83. （2分）在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角是（）.A .B .C .D .4. （2分）如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝（）．A . 10B . 22C . 46D . 945. （2分）“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2017高二下·中原期末) 知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C . y=±2xD .7. （2分） (2017高三下·上高开学考) 已知向量，满足，且关于x的函数在实数集R上单调递增，则向量，的夹角的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）已知f（x）=|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0，则下列四个结论错误的是（）A . 存在实数k，使方程恰有2个不同的实根B . 存在实数k，使方程恰有3个不同的实根C . 存在实数k，使方程恰有5个不同的实根D . 存在实数k，使方程恰有8个不同的实根二、填空题 (共6题；共8分)9. （1分） (2020高二下·吉林期中) 复数的实部是________．10. （2分）(2020·杭州模拟) 已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为________；展开式中系数最大的项为________.11. （2分）(2019·浙江模拟) 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体最长的棱长是________ ，体积等于________ ．12. （1分） (2019高二下·上海期末) 椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则a等于________．13. （1分） (2016高一上·密云期中) 为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：已知加密为y=ax﹣2（x为明文、y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________14. （1分）若对任意x＞0，恒成立，则a的最小值为________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2020高一下·江阴期中) 如图，已知射线，两边夹角为，点M，N在，上，，．（1）求线段的长度；（2）若，求的最大值．16. （5分）(2017·朝阳模拟) 从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．17. （10分）(2017·东北三省模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．18. （10分） (2019高三上·广东月考) 数列的前n项和记为，，，，，．（1）求的通项公式；（2）求证：对，总有．19. （5分） (2019高二上·绍兴期末) 从原点向圆作两条切线，切点分别为 , ，记切线，的斜率分别为，．（Ⅰ）若圆心，求两切线，的方程；（Ⅱ）若，求圆心的轨迹方程．20. （15分） (2017高二上·南京期末) 已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使 +lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分) 15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、。
2024届山东省烟台市高三第一次质量检查数学试题试卷
2024届山东省烟台市高三第一次质量检查数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）A ．2y x =+B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =2．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．1731 3．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．2D 4．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 5．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．326．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线3C 的实轴的长为A ．1B ．2C ．4D 85 8．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．3 9．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ）A ．3πB ．4πC ．2πD ．π10．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ）A ．12B ．35C ．25D ．31011．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm12．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市2023届高三一模数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．小张同学要从24个节气中随机选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ）A．B．C．D．2. 已知，，则（ ）A．B．C．D．3. 已知函数（且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 若三棱锥的四个面都为直角三角形，且平面，，，则其外接球的表面积为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数是定义在R 上的偶函数，对于任意都成立；当，且时，都有．给出下列四个命题：①；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上为增函数；④函数在上有335个零点．其中正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．46. 若复数满足，，则在复平面内对应的点为（ ）A．B．C．D．7.已知，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．8. 在中，“”是“”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知等差数列的前项和为，则（ ）A ．的最小值为1B ．的最小值为1C．为递增数列D ．为递减数列10.如图是正方体的平面展开图，则关于这个正方体的说法正确的是A ．与平行B ．与是异面直线山东省烟台市2023届高三一模数学试题(1)山东省烟台市2023届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．与成角D ．与是异面直线11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A ．对任意的，的周期都不可能是B ．存在，使得的图象关于直线对称C ．对任意的，D ．对任意的，在上单调递减12.已知双曲线与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法正确的有（ ）A．双曲线的渐近线方程为B．过点存在两条直线与双曲线有且仅有一个交点C ．点在变化过程中，面积的取值范围是D ．若，则的内切圆面积为13. 已知，则__________．14.已知函数为奇函数，则______．15. 在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，，点为棱的中点，则三棱锥的体积为_________；若四棱锥所有顶点均在球的球面上，过点的平面截球所得的截面面积的最小值为_________．16.已知等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和．17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.（1）求直线的斜率；（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：存在常数，使得.18. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．(1)求面积的最大值；(2)若，求的周长．19. 如图，已知四边形为正方形，为正方形对角线的交点，平面平面，．(1)求证：平面平面；(2)求平面和平面所成角的余弦值的最小值．20. 已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．(1)求与底面所成角的正切值；(2)点分别在和上，，过点的平面与交于G点，确定G点位置，使得平面平面．21. 已知函数．(1)讨论函数的极值点个数；(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．。
山东省烟台市高三数学3月模拟试题(烟台市一模)理(含解
山东省烟台市高三统一质量检测考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 是虚数单位，复数103i-的虚部为（ ） A ．-i B ．-l C ．i D ．12.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,xy y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数) 则M N I =（ ） A ．{|1x x <} B ．{|1x x >} C ．{|01x x <<} D ．∅ 【答案】C 【解析】试题分析： 由已知，{|10}{|1}M x x x x =->=<，{|0}N y y =>， 所以，{|01}M N x x =<<I ，选C . 考点：集合的运算,函数的定义域、值域.3.一个空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．48 B ．17．17 D ．804.某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的p为l6，则输出的n的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．65.以q 为公比的等比数列{n a }中，10a >，则“13a a <”是“1q >”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知不重合的直线m 、l 和平面αβ、，且m α⊥，l β⊂．给出下列命题： ①若//αβ，则m l ⊥；②若αβ⊥，则//m l ；③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥， 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：因为m α⊥，//αβ，所以，m β⊥，又l β⊂，所以， m l ⊥.①正确；因为m α⊥，αβ⊥，所以m //β或m β⊂，又l β⊂，所以//m l 或,m l 相交或,m l 互为异面直线. ②不正确；因为m α⊥，m l ⊥，所以l α⊥，又l β⊂，所以αβ⊥，故③不正确，④正确. 选B .考点：平行关系，垂直关系.7.已知圆221O x y ：＋＝及以下三个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin f x x x =．其中图象能等分圆O 面积的函数个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．08.双曲线1C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若1C 的一个焦点与抛物线2C ：212y x =的焦点重合，且抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43，则双曲线1C 的实轴长为（ ） A ．6 B ．26 C ．3 D ．23 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线1C 的方程为22221x y a b-=(0,0)a b >>.由已知，抛物线2C 的焦点为（3,0），准线方程为x=-3，即双曲线中c=3，229a b +=；将-3代人双曲线方程，解得29by a a=±-，又抛物线2C 的准线交双曲线1C 所得的弦长为43， 所以22943ba a⨯-=与229a b +=联立得， 22390a a +-=，解得，3a =， 故双曲线1C 的实轴长为23，选D . 考点：抛物线的几何性质，双曲线的几何性质.9.下列四个图象可能是函数10ln |1|1x y x +=+图象的是（ ）10.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当y l ≥时，1yx +的取值范围是（ ） A ．[14，34] B ．[0，34] C ．[14，43] D ．[0，43] 【答案】A 【解析】试题分析：因为，()sin()()f x x x f x -=-+-=-，且'()1cos 0f x x =+≥， 所以函数为奇函数，且在R 是增函数. 所以，由22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤得2222(23)(41),2341f y y f x x y y x x -+≤-+--+≤-+-.即22424)0,x y x y +--+≤22(2)(1)1x y -+-≤，其表示圆22(2)(1)1x y -+-=及其内部.1yx +表示满足22y l (2)(1)1x y ≥⎧⎨-+-≤⎩的点P 与定点(1,0)A -连续的斜率.结合图形分析可知，直线AC的斜率101 3(1)4 -=--最小，切线AB的斜率22122tan33tan tan211tan41()3PAXBAX PAXPAX⨯∠∠=∠===-∠-最大.故选A.考点：函数的奇偶性，简单线性规划，直线的斜率，直线与圆的位置关系.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.若实数x，y满足10,2,3,x yxy+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x=-的最小值是 .【答案】3-【解析】试题分析：画出可行域及直线0y x-=，如图所示.平移直线0y x-=，当其经过点(2,1)A-时，min123z=--=-.考点：简单线性规划的应用12.已知tan =2α，则22sin 1sin 2αα+= .13.设0sin a xdx π=⎰，则二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中含有2x 的项是 .【答案】2192x - 【解析】试题分析：因为，00sin cos |2a xdx x ππ==-=⎰，所以62x x ⎛⎝的展开式的通项636166(2)()(1)2rr r r r r r r x x T C xC ---+==-， 令32,r -=得1r =，所以二项式6a x x ⎛ ⎝的展开式中含有2x 的项是5121126(1)2192T C x x +-⋅=-=， 故答案为2192x -．考点：定积分计算，二项式展开式的通项公式.14.有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 .15.在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集D={a |a (,),R,R x y x y =∈∈}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“f ”．定义如下：对于任意两个向量111)222(()a x y a x y ==u r u u r ，，，， 1a u r f 2a u u r ，当且仅当“12x x >”或“12x x =且12y y >”．按上述定义的关系“f ”，给出如下四个命题：①若12 (10)(01)0(00)e e u r u u r r ＝，，＝，，＝，，则12 0e e u r u u r r f f ， ②12a a u r u u r f ,23a a u u r u u r f ，则13a a u r u u r f ；③若12a a u r u u rf ，则对于任意a D ∈r , ()()12a a a a ++u r r u u r r f ；④对于任意向量()0000,,a =r r r f ，若12a a u r u u r f ，则12a a a a ⋅⋅r u r r u u rf ．其中真命题的序号为 . 【答案】①②③ 【解析】试题分析：由已知，若12 (10)(01)0(00)e e u r u u r r ＝，，＝，，＝，，则12 0e e u r u u r rf f ，，故①正确；（4）设111222(()a x y a x y ==u r u u r ，)，，，()a x y =r，，由0,a r rf 得“x 0＞”或"x 0y 0"=且＞由12 a a u r u u r f ，得“12x x ＞”或“12x x =且12y y "＞.若1212"x 0y 0""x x y y "=且＞且＞且＜，则1212“xx xx yy yy "=且＜，所以12a a a a ⋅⋅r u r r u u rf 不成立．④不正确.综上所述，①②③正确.考点：新定义问题，平面向量的坐标运算.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）已知m =(2cos 23,1)x x +，n =(cos ,)x y -，满足0⋅=m n ． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；(2)已知a ，b ，c 分别为∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是()2A f ，且a =2，求b +c 的取值范围．（2）由题意得()32A f =， 所以2)(62A k Z k πππ+∈+=，因为0A π<<，所以3A π=． ……… 8分由正弦定理得433b B =，433c C =， 4343b c B C +=43432sin()4sin()36B B B ππ=-=+， ……………………… 10分Θ⎪⎭⎫⎝⎛∈32,0πB ,1sin()( 1]62B π∴+∈，，]4,2(∈+∴c b ， 所以b c +的取值范围为(2,4]. ……………………………………… 12分考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用，三角函数的性质.17.（本小题满分12分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足221223(log )(log )n n n b a a ++=⨯，求证：12311111 (2)n b b b b ++++<．当2n ≥时，122n n S a =-，11122n n S a --=-，两式相减得：1122n n n n n a S S a a --=-=-， 12nn aa -∴=， ………… 4分所以数列{}n a 是首项为12，公比为2的等比数列， 12122n n n a a --=⨯=.…………………………………………………… 6分18.（本题满分12分）PM2．5是指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。
山东省烟台市高考数学一模试卷(理科)
山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合,A={1,3},B={2,3,4}则（）A . {1}B . {2}C . {3}D . {1,2,3,4}2. （2分）(2017·莆田模拟) 若复数z满足i（z﹣1）=1+i（i虚数单位），则z=（）A . 2﹣iB . 2+iC . 1﹣2iD . 1+2i3. （2分）在等差数列中，，则前13项之和等于（）A . 13B . 26C . 52D . 1564. （2分） (2018高一下·泸州期末) 已知，点，，则向量在方向上的投影为A .B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . [﹣1，2）C . [﹣1，2]D . [2，+∞）6. （2分）在△ABC中，， AB=2，BC=3，在线段BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为A .B .C .D .7. （2分）(2017·滨州模拟) 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a=10，b=4，则输出的n=（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分）已知某几何题的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积V1 ，直径为4的球的体积为V2 ，则V1:V2=（）A . 1:2B . 2:1C . 1:1D . 1:49. （2分）(2020·鹤壁模拟) 若变量，满足约束条件，则的最大值是（）A .B .C . -2D .10. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和动直线l：y=kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1 ， y2），N）x2 ， y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA•kOB= 恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A . （﹣ p，0）B . （﹣2 p，0）C . （﹣，0）D . （﹣，0）11. （2分）方程2x－x2＝0的解的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）(2018·山东模拟) 曲线在点处的切线方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·广西模拟) 已知向量 =（2，1）， =（1，5），则2 + 的坐标为________14. （1分）(2017·湖南模拟) 若双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与 + =1的交点在x轴上的射影恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________．15. （1分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，半径为的圆O1在平面A1B1C1D1内，其圆心O1为正方形A1B1C1D1的中心，P为圆O1上的一个动点，则多面体PABCD的外接球的半径为________．16. （1分） {an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an+2an+1+an+2=0，又a1=2，则S101=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016高一下·南平期末) 如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（ a﹣sinC）cosB=sinBcosC，b=4 ．（1）求角B的大小；（2） D为BC边上一点，若AD=2，S△DAC=2 ，求DC的长．18. （15分）(2014·江西理) 随机将1，2，…，2n（n∈N* ，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1 ，最大数为a2；B组最小数为b1 ，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1 ，η=b2﹣b1 ．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2） C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．19. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．（1）求证：A′D⊥EF；（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．20. （10分） (2017高二上·安平期末) 设F1 ， F2分别是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M 是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21. （5分） (2017高二下·新余期末) 已知函数．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x0 ，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．22. （10分） (2015高三上·天水期末) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．（1）求|AB|的值；（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．23. （15分）(2016·柳州模拟) 已知函数f（x）= ﹣mx（m∈R）．（1）当m=0时，求函数f（x）的零点个数；（2）当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；（3）当b＞a＞0时，总有＞1成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、。
山东省烟台市2023届高三一模数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ）A ．若且，则B．若，则C ．若且，则D ．若，则2. 若a <b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．ac 2<bc 2B ．|a |<|b |C．D ．a ＋b <2b3. 已知函数满足：且，（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4. 函数的单调递增区间为（ ）A．B．C．D．5.已知数列满足，，则数列的通项公式是（ ）A．B．C．D．6. 函数在区间上的一个对称中心是，则的值为（ ）A．B．C．D．7. 已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在C 的右支上，过点P 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，则下列说法正确的是（ ）A ．的最小值为4B ．与C 仅有公共点P 的直线共有三条C ．若，且P 为线段MN 的中点，则l的方程为D ．若l 与C 相切于点，则M ，N的纵坐标之积为9. 哈尔滨文化公园的摩天轮始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮，其旋转半径50米，最高点距地地面110米，运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他距地面大约为__米.10.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为，服用这种新药的个人中恰有人被治愈的概率为__________（用数字作答）．11. 下列说法中正确的是______．①设随机变量X服从二项分布，则山东省烟台市2023届高三一模数学试题(高频考点版)山东省烟台市2023届高三一模数学试题(高频考点版)四、解答题②已知随机变量X 服从正态分布且，则③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则；④，．12. 已知是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，恒成立，则q 的值可以是____________________．（只需写出一个）13.已知是平面上一点，，且.(1)若，求；(2)若，求实数的值；(3)求的最小值.14. 已知函数（其中是自然对数的底数），.(1)求证：；(2)当时，求证：.15.已知向量(1)若，求证：;(2)若向量共线，求.16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，有.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.。
2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
2023年山东省烟台市高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年山东省烟台市高考数学一模试卷1. 若复数z 满足，则( )A.B.C. 2D.2. 已知集合，，且，则( )A. B.C.D.3. 在中，“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A ，B 两点，若点A ，B 到y 轴的距离之和为，则p 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A 型号新能源汽车的耗电量单位：情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量不小于的汽车大约有( )A. 180辆B. 360辆C. 600辆D. 840辆6.由点射出的两条光线与：分别相切于点A ，B ，称两射线PA ，PB 上切点右侧部分的射线和优弧AB 右侧所夹的平面区域为的“背面”.若：处于的“背面”，则实数t 的取值范围为( )A. B.C.D.7. 已知等边的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，，垂足为E ，当时，( )A. B. C. D.8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x 的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为( )A. B. C. D.9. 近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等.根据下方的统计图，下列结论正确的是( )A. 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万B. 2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万C. 2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势D. 2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差10. 已知函数的部分图象如图所示，则( )A. 的最小正周期为B. 当时，的值域为C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称11. 已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右焦点F作C的一条渐近线的平行线交C于点P，交C的另一条渐近线于点Q，则( )A. 向量在上的投影向量为B. 若为直角三角形，则C为等轴双曲线C. 若，则C的离心率为D. 若，则C的渐近线方程为12. 已知，，若直线与、图象交点的纵坐标分别为n，m，且，则( )A. B.C. D.13. 展开式中含项的系数为______ .14. 某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件.小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购.假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为______ .15. 过点与曲线相切的直线方程为______ .16. 在三棱锥中，AB，AC，AV两两垂直，，，P为棱AB上一点，于点H，则面积的最大值为______ ；此时，三棱锥的外接球表面积为______ .17. 已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，且，，成等差数列，求数列的通项公式；设，求数列的前n项和18. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求证：；若A的角平分线交BC于D，且，求面积的取值范围.19. 黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形形长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称.为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第天的观测值单位：，其中，，2，3，…，根据以往的统计资料，该组数据可以用Logistic曲线拟合模型或Logistic非线性回归模型进行统计分析，其中a，b，u为参数.基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明；假定，且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系.现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：，，其中，根据的判断结果及给定数据，求y关于t的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长结果精确到小数点后2位附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；参考数据：20. 如图，在四棱棱中，底面ABCD为菱形，，，为等边三角形.求证：；若二面角的大小为，求直线VA与平面VBC所成角的正弦值.21. 在平面直角坐标系中，已知点P到点的距离与到直线的距离之比为求点P的轨迹C的方程；过点且斜率为的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求的取值范围.22. 已知，且0为的一个极值点.求实数a的值；证明：①函数在区间上存在唯一零点；②，其中且答案和解析1.【答案】A【解析】解：由，得，故选把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由，解得，所以，集合，因为，所以，解得故选：先求出集合B，再利用集合间的包含关系列出不等式组，求出a的取值范围即可．本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了充分必要条件的判定，属于基础题．根据充分必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在中，若，则，即“”“”，反之，在中，若，则或，故由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：4.【答案】B【解析】解：设过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程为，联立，消y可得，设，，则，，不妨设，，点A，B到y轴的距离之和为，，即，即，即，又，即，故选：由抛物线的性质，结合直线与抛物线的位置关系及韦达定理求解即可．本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线与抛物线的位置关系及韦达定理，属基础题．5.【答案】A【解析】解：因为，且，所以，所以样本中耗电量不小于的汽车大约有辆故选：根据正态分布的性质，求出，再由样本容量求频数．本题考查了正态分布的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：设过点P的切线方程为，，，直线AP的方程为，即，直线PB的方程为，即，：处于的“背面”，与PB相切时t取最小值，由，解得或，结合图形可得t的最小值为，同理与PA相切时可得t的最大值为，故选：设过点P的切线方程为，进而可得切线方程，利用新定义可求t的最值，进而可求实数t的取值范围．本题考查新定义，考查直线与圆的位置关系，属中档题．7.【答案】B【解析】解：设，则，，，，或舍去，为的重心，，为AC的中点，，故选：设，由求出，得到P为的重心，E为AC的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：当时，可得，，由，得，，，解得，，当时，，当时，，当时，可得，，由，得，，，，解得，，当时，，当时，，方程的所有解之和为故选：当时，可得，，当时，可得，，可求方程的所有解之和．本题考查高斯函数的运用，考查运算求解能力，属中档题．9.【答案】AC【解析】解：对A选项，由统计图可知2010年到2019年每年新生儿数量都远远超过1400万，只有2020，2021，2022三年每年新生儿数量略低于1400万，故可看出2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，选项正确；对B选项，，第一四分位数为从小到大排列的第4个数据，由图可知从小到大排列的第4个数据为第2019年的新生儿数量，该数量大于1400万，选项错误；对C选项，由图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，选项正确；对D选项，由图可知2010至2016年每年新生儿数量比较集中于平均数，而2016至2022年每年新生儿数量相对平均数比较分散，至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，选项错误．故选：根据统计图，平均数的概念，四分位数的概念，方差的概念，即可分别求解．本题考查对统计图的数据的分析，平均数的概念，四分位数的概念，方差的概念，属基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由图可知，，最小正周期，即选项A正确；由，知，因为，所以，所以，，即，，又，所以，，对于选项B，当时，，所以，即B错误；对于选项C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，即C正确；对于选项D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，即D正确．故选：先根据中A，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项，即可．本题考查三角函数的图象与性质，理解中A，，的几何意义，熟练掌握正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：对于A：由题意可得是等腰三角形，且，在OF上的投影为OF的中点，向量在上的投影向量为，故A正确；对于B：若为直角三角形，可得渐近线的倾斜角为，，，为等轴双曲线，故B正确；对于C：若，设，，解得或舍去，设渐近线的倾斜角为，可得，，，，，，，故C错误；设直线QF的方程为，与渐近线的交点坐标为，若，则，设，，，，在双曲线上，，，，的渐近线方程为，即，故D正确．故选：由题意可得是等腰三角形，且，可判断A；由已知可得渐近线的倾斜角为，可判断B；设，解得，可得，可求离心率，判断C；设，可得，，利用点Q在双曲线上，可求C的渐近线方程判断本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】ABD【解析】解：由题意得，，，，，对于A：，在上单调递增，，故A正确；，在上单调递增，，故B正确；由，，，故C错误；由，得，当时，，在上单调递增，，，，故D正确．故选：由已知可得，，依据每个选项的条件逐项计算可判断每个选项的正确性．本题考查函数的性质，考查利用函数的单调性比较数的大小，属中档题．13.【答案】【解析】解：的展开式中含项为，故答案为：根据二项式定理逐步展开，分析即可．本题考查了二项式定理，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，则小张决定采购该企业产品的概率；故答案为：根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案．本题考查相互独立事件和互斥事件概率的计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题．15.【答案】【解析】解：对，求导可得，设切点为，则，则，所以，又在上单调递增，且，所以，则，即切点坐标为，所以切线的斜率为，由斜截式可得，切线方程为故答案为：设切点坐标为，由导数的几何意义建立关于m，n的方程组，消去n可得，结合函数的单调性，可得m的值，进而得到切点坐标，由此求得切线方程．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：设，，AC，AV两两垂直，，，，由已知可得平面VAB，，，，，平面AHC，平面AHC，，，，当且仅当，即时取等号，三棱锥的外接球的半径为r，则，，故答案为：5；设，可求VP，AH，HC，进而可得，进而可求三棱锥的外接球的半径，可求表面积．本题考查求空间几何的外接的表面积，考查运算求解能力，属中档题．17.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，，，成等差数列，，即，，，整理，得，解得舍去，或，又，，解得，，由可得，，，，两式相减，可得，，，【解析】先设等比数列的公比为，再根据等比数列的定义及等差中项的性质列出关于公比q的方程，解出q的值，进一步根据代入计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式；先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前n项和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等差中项的性质应用，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】证明：，由正弦定理可得，，，，，，为锐角三角形，，，，在上单调递增，，即；解：，在中，，由正弦定理可得，，，，为锐角三角形，，解得，，面积的取值范围为【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换，即可求证；根据已知条件，结合正弦定理，推得，再结合三角形的面积公式，以及角B的取值范围，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：非线性回归模型拟合效果更好．从散点图看，散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近，从残差图看，该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内．将两边取对数得，则，，关于t的经验回归方程为，当时，体长【解析】由函数的几何性质可得性回归模型拟合效果更好．将两边取坟对数得，进而可求回归方程，从而可预测第22天时仔鱼的体长．本题考查依据散点图选择回归模型，考查回归方程的求法，属中档题．20.【答案】证明：取BC的中点E，连接VE，DE，因为为等边三角形，所以，又ABCD为菱形，，，所以，因为，VE、平面VDE，所以平面VDE，因为平面VDE，所以解：由知，，，所以为二面角的平面角，即，又，所以是边长为的等边三角形，过点V作于点O，则，且O为DE的中点，由知，平面VDE，因为平面ABCD，所以平面平面ABCD，又平面平面，，平面VDE，所以平面ABCD，即点V到平面ABCD的距离为，所以，设点A到平面VBC的距离为d，因为，所以，即，解得，设直线VA与平面VBC所成角为，则，故直线VA与平面VBC所成角的正弦值为【解析】取BC的中点E，连接VE，DE，可证，，从而知平面VDE，再由线面垂直的性质定理，得证；过点V作于点O，可证平面平面ABCD，从而知点V到平面ABCD的距离为VO，利用勾股定理求得VA，再利用等体积法，求得点A到平面VBC的距离d，设直线VA 与平面VBC所成角为，由，得解．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，二面角的定义，等体积法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：设，由题意可得，，，两边平方整理得，故点P的轨迹C的方程为；设直线l的方程为，联立，消去y并整理得，设，，则，，又，可得线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线的方程为，令，可得，对于直线，令，可得，，又，，令则，在上单调递增，，故的取值范围为【解析】设，由题意可得，整理可得点P的轨迹C的方程；设直线l的方程为，联立方程组求得，，从而可得的取值范围．本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式、两点间的距离公式等知识，属中档题．22.【答案】解：，因为0为的一个极值点，所以，解得证明：①当时，，所以在上单调递减，所以对任意有，此时函数无零点，当时，，在上单调递减，又，，由零点的存在定理，存在，使得，所以在时，，即单调递增，在时，，即单调递减，又因为，所以任意时，，单调递增，因为，，所以存在，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，单调递增，，当时，单调递减，，所以在上无零点，当时，，所以在上单调递减，又，，由零点的存在定理可得函数在上存在唯一零点，当时，，此时函数无零点，综上所述，在区间上存在唯一零点．②因为，由知，在上单调性分析知，所以在上单调递增，所以对任意，有，即，所以，令，则，第21页，共21页所以，因为，所以，所以，所以【解析】求导得，由于0为的一个极值点，则，解得①当时，，可得的单调性，此时函数无零点；当时，，分析的单调性，符号，的极值，结合零点的存在性定理，即可得出答案．②先证，令，利用放缩法可得，累加，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．。
山东省烟台高考数学一模试卷( 解析版 )-理科
山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．若集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，集合C=A∩B，则C 的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|＞3的解集为（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣1或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞1} 3．“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（）A．20 B．28 C．40 D．485．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（）A．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n6．一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．7．若变量x，y满足则的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则的值为（）A．B．2 C． D．49．执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）A．4 B．6 C．8 D．1210．已知，若不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则实a数的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．1二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．若，则展开式中的常数项为．12．已知x，y均为正实数，若=（x，y﹣1），=（2，1），且⊥，则的最小值是．13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x ﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为．14．从曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为．15．已知f（x）是定义在R上的函数，f'（x）是f（x）的导函数．给出如下四个结论：①若，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；②若xf'（x）+2f（x）＞0，则4f（2n+1）＜f（2n），n∈N*；③若f'（x）﹣f（x）＞0，则f（2017）＞ef（2016）；④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＜e﹣x的解集为（0，+∞）．所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）将函数的图象向右平移角A个单位可得到函数g（x）=﹣cos2x的图象，求φ的值；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面ABB1A1．（1）求证：A1B1⊥AC1；（2）求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值．18．（12分）己知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足；数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n•b n}的前n项和为T n，当T n＞2017时，求正整数n的最小值．19．（12分）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10，70]的观众，得到如下频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为x，y，若|x﹣y|≥10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概P；（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数ξ的分布列及期望．20．（13分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．21．（14分）如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．若集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，集合C=A∩B，则C 的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合B，从而求出集合C=A∩B，由此能求出C的真子集个数．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴集合C=A∩B={﹣1，1，3}，∴C的真子集个数为23﹣1=7．故选：C．【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|＞3的解集为（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣1或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞1}【考点】复数代数形式的乘除运算；绝对值不等式的解法．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由绝对值的几何意义求得不等式|x+a|+|x|＞3的解集．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=1．∴|x+a|+|x|＞3⇔|x+1|+|x|＞3，由绝对值的几何意义可得：x＜﹣2或x＞1．∴不等式|x+a|+|x|＞3的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础的计算题．3．“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用函数的奇偶性的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=log2（1﹣mx）﹣log2（1+mx）+log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）=0，m，x满足：．可得“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”，反之不成立，例如取m=﹣1．因此“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（）A．20 B．28 C．40 D．48【考点】系统抽样方法．【分析】根据已知计算出组距，可得答案．【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，∴组距是20，∵第一组抽取的学生的编号为8，∴第三组抽取的学生编号为8+40=48．故选：D．【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念5．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（）A．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：A、如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等，故正确；B、如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；C、如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确；D、如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确，故选B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．6．一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得出几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱，结合图中数据求出体积．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱；且正三棱柱的底面边长为4，高也为4；所以组合体的体积为V=V三棱柱﹣V圆柱=×42×4﹣π•×4=16﹣．故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积问题，是基础题目．7．若变量x，y满足则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（）连线斜率倒数的2倍求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，B（0，2），A（1，0），=的几何意义为可行域内的动点与定点P（）连线斜率倒数的2倍，∵k PA==，k PB=．∴的最小值为2×．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则的值为（）A．B．2 C． D．4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（，﹣2），求出φ，得到函数的解析式，即可得解．【解答】解：函数的导函数f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由图象可知f′（x）的周期为4π．所以ω=．又因为Aω=2．所以A=4．函数经过（，﹣2），所以﹣2=2cos（×+φ），0＜φ＜π，所以×+φ=π，即φ=．所以f（x）=4sin（x+）．所以f（）=4sin（×+）=4．故选：D．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的图象的关系，考查计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，利用等比数列的前n项和公式求得满足条件S＞的最小的n值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+=＞⇒n＞7，∴跳出循环体的n值为8，∴输出n=8．故选C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是关键．10．已知，若不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则实a数的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．1【考点】函数恒成立问题．【分析】作出函数f（x）的图象，利用函数f（x﹣1）的图象高于f（x）的图象，进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和f（x﹣1）的图象，当a≥0时，f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R不恒成立（如图1）当a＜0时，f（x﹣1）过定点（1，0）（如图2），当x＞0时，f（x）=ax2+x的两个零点为x=0和x=﹣，要使不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则只需要﹣≤1，得a≤﹣1，即a的最大值为﹣1，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数图象平移关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．若，则展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值．【解答】解：若，则2lnx=2（lne﹣ln1）=2，即a=2，∴展开式的通项公式为：T r=•x6﹣r•=（﹣2）r••x6﹣2r，+1令6﹣2r=0，解得r=3；∴展开式的常数项为：T4=（﹣2）3•=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目．12．已知x，y均为正实数，若=（x，y﹣1），=（2，1），且⊥，则的最小值是8．【考点】基本不等式．【分析】⊥，考点•=0，即2x+y=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=2x+y﹣1=0，即2x+y=1．又x，y均为正实数，则=（2x+y）=4+≥4+2=8，当且仅当y=2x=时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x ﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），连接PF1，PF2，F1A，F2B，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】9解：圆C1：（x+3）2+y2=4的圆心为（﹣3，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1A，F2B，可得|PA|2﹣|PB|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•6﹣3=9．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值9．故答案为：9【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．14．从曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为．【考点】几何概型．【分析】分别按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0讨论，这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，即可得出结论．【解答】解：分别按x＞0，y＞0和x＞0，y≤0和x≤0，y＞0和x≤0，y≤0讨论，这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，当x＞0，y＞0，原方程可化为：（x﹣）2+（y﹣）2=，它表示圆心在（，），半径为的圆在第一象限的部分．当x＞0，y≤0，原方程可化为：（x﹣）2+（y+）2=，它表示圆心在（，﹣），半径为的圆在第四象限的部分．当x≤0，y＞0，原方程可化为：（x+）2+（y﹣）2=，它表示圆心在（﹣，），半径为的圆在第二象限的部分．当x≤0，y≤0，原方程可化为：（x+）2+（y+）2=，它表示圆心在（﹣，），半径为的圆在第三象限的部分．综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域．这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径．所以总面积S=（）2+（）2π•2=2+π，故该点在单位圆中的概率p=，故答案为：．【点评】本题考查圆的一般方程，考查面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．15．已知f（x）是定义在R上的函数，f'（x）是f（x）的导函数．给出如下四个结论：①若，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；②若xf'（x）+2f（x）＞0，则4f（2n+1）＜f（2n），n∈N*；③若f'（x）﹣f（x）＞0，则f（2017）＞ef（2016）；④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＜e﹣x的解集为（0，+∞）．所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用；导数的运算．【分析】由各个选项中的条件分别构造函数g（x），由求导公式和法则求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由条件和函数的单调性进行判断即可．【解答】解：①、设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵，∴，则函数g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上递增，∴函数g（x）的极小值是g（0）=0，①正确；②、设g（x）=x2f（x），则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[xf'（x）+2f（x）]，∵xf'（x）+2f（x）＞0，∴则函数g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上递增，∵2n+1＞2n＞0，∴g（2n+1）＞g（2n），即4f（2n+1）＞f（2n），②不正确；③、设g（x）=，则g′（x）==，∵f'（x）﹣f（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数，∴g（2017）＞g（2016），则，即f（2017）＞ef（2016），③正确；④、g（x）=e x f（x），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）=e x[f（x）+f′（x）]，∵对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＞0，e x＞0，∴对任意x∈R满足g′（x）＞0，则函数g（x）在R上是增函数，∵f（0）=1，且f（x）＜e﹣x的化为g（x）＜1=g（0），即x＜1，则不等式的解集是（﹣∞，1），④不正确；故答案为：①③．【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，考查化简、变形能力．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．16．（12分）（2017•烟台一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）将函数的图象向右平移角A个单位可得到函数g（x）=﹣cos2x的图象，求φ的值；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦定理．【分析】（1）根据利用正弦定理求解出角A大小，根据三角函数图象的平移变换即可求解φ的值．（2）根据△ABC的外接圆半径为1，利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式可得△ABC面积的最大值．【解答】解：由和正弦定理可得：，整理得：sinAcosB=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，0＜A＜π，∴．将函数的图象向右平移角A个单位，可得：sin[2（x﹣）+φ]．由题意可得：sin[2（x﹣）+φ]=﹣cos2x，即sin（2x﹣+φ）=sin（2x﹣），∴φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=+2kπ（k∈Z），∵0＜φ，∴φ=．（2）根据△ABC的外接圆半径为1，A=，∴2RsinA=a，即a=．由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：3=b2+c2﹣bc，即3+bc≥2bc，可得bc≤3，当且仅当b=c是取等号．∴△ABC面积的最大值．【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换，正弦定理和余弦定理，基本不等式等知识点的灵活运用和计算能力．17．（12分）（2017•烟台一模）如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面ABB1A1．（1）求证：A1B1⊥AC1；（2）求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取A1B1的中点O，连结OA，OC1，只证A1B1面AOC1即可得到A1B1⊥AC1．（2）先证明AO⊥AC1．再以O为坐标原点，OA1，OA，OC1方向为x、y、z轴建立坐标系O﹣xyz．求出平面A1ACC1、平面BCAC1B1的法向量即可【解答】解：（1）证明：取A1B1的中点O，连结OA，OC1，因为，△ABC为等边三角形，∴C1O⊥A1B1，在△A1AO中，A1A=2，A1O=1，∠AA1B1=60°，可得OA⊥OA1，∴A1B1⊥C1O，A1B1⊥OA，OA∩OC1=O，∴面AOC1而AC1⊂面AOC1，A1B1⊥AC1．（2）∵面A1B1C1⊥面ABB1A1，面A1B1C1∩面ABB1A1=B1A1，且C1O⊥A1B1，∴C1O ⊥面ABB1A1，OA⊂面ABB1A1∴AO⊥AC1．由（1）知OA⊥OA1，OA1⊥OC1，故可以O为坐标原点，OA1，OA，OC1方向为x、y、z轴建立坐标系O﹣xyz．A1（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，0），C（﹣1，，，设为平面A1ACC1的法向量，则，可得．．设为平面BCAC1B1的法向量，则，可得．∴，侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值为．【点评】本题考查了线线垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．18．（12分）（2017•烟台一模）己知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足；数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n•b n}的前n项和为T n，当T n＞2017时，求正整数n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由（n≥2），可得（n≥3），两式相减得a n﹣a n﹣1=1（n≥3）．再由a2﹣a1=1，可得数列{a n}为等差数列，则数列{a n}的通项公式可求，再由，得（n ≥2）．两式相比可得：（n≥2），验证首项后得；（2）由（1）可知，，然后利用错位相减法求得T n，结合单调性及T8=3586＞2017，T7=1538＜2017．可得正整数n的最小值．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥3），两式相减得：，则a n﹣a n﹣1=1（n≥3）．又∵，a1=1，∴，∵a2＞0，∴a2=2．显然a2﹣a1=1．∴a n﹣a n﹣1=1（n≥2）．数列{a n}为等差数列，又a1=1，∴a n=n．∵，∴（n≥2）．两式相比可得：（n≥2），当n=1时，b1=2满足题意，∴；（2）由（1）可知，，∴，，两式相减可得：=﹣2+2n+1﹣n•2n+1．故．∵＞0，∴T n随n的最大而最大，而T8=3586＞2017，T7=1538＜2017．∴正整数n的最小值为8．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19．（12分）（2017•烟台一模）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10，70]的观众，得到如下频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为x，y，若|x﹣y|≥10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概P；（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，联立解得：x，y．从而得出直方图．（2）由题意第四组人数为4×=12．可得P=．（3）由题意可得：样本总人数==80，年龄不低于40岁的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24．故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=．X的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，即可得出．【解答】解：（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，联立解得：x=0.15，y=0.10．从而得出直方图，=15×0.2+25×0.15+35×0.35+45×0.15+55×0.1+65×0.05=34.5．（2）由题意第四组人数为4×=12．∴P==．（3）由题意可得：样本总人数==80，年龄不低于40岁的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24．故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=．X的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，可得P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．可得ξ的分布列：ξ0123Pξ～B，则Eξ=3×=．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的性质及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017•烟台一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可；（3）设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），求出m（x）的导数，求出m（x）的最大值，得到f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，从而证明结论即可．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+x•=lnx+1，x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，故f（x）在x=1处的切线方程是：y=x﹣1，联立，消去y得：x2+（1﹣a）x+1=0，由题意得：△=（1﹣a）2﹣4=0，解得：a=3或﹣1；（2）由（1）得：f′（x）=lnx+1，x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣时，f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+），②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；③≤t＜t+，即t≥时，f（x）在[t，t+]递增，f（x）min=f（t）=tlnt；综上，f（x）min=；（3）证明：设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）递增，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减，可得m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到，由（2）得f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取到，因此x∈（0，+∞）时，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，又两次最值不能同时取到，故对任意x∈（0，+∞），都有成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．21．（14分）（2017•烟台一模）如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知c=1，令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=，，可得a2=4，b2=3（2）由（1）知A（﹣1，），设，．由得，直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数，可设直线AM：：y=k（x+1）+，代入得，利用韦达定理求出M、N的坐标，直线MN的斜率k MN=．【解答】解：（1）由题意可知F（﹣1，0），所以c=1，令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=，∴，∴a2=4，b2=3∴椭圆C的标准方程：．（2）由（1）知A（﹣1，），设，．由得，||cosα=||cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因为FA⊥x轴，∴直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数．可设直线AM：：y=k（x+1）+，代入得，设M（x M，y M），N（x N，y N），因为A（﹣1，）在椭圆上，，，．∵直线AM、AN的斜率互为相反数，∴用﹣k换k得：．∴直线MN的斜率k MN=．∴直线MN的斜率是否为定值﹣【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，定点问题，属于难题．。
烟台市高三数学下学期一模试卷理科含答案
烟台市2015届高三数学下学期一模试卷（理科含答案）烟台市2015届高三数学下学期一模试卷（理科含答案）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，集合，则集合（）A.B.C.D.2.复数的共轭复数（）A.B.C.D.3.“，”是“函数的图象过原点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.甲乙两名同学参加某项技能比赛，名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（）A.甲成绩稳定且平均成绩较高B.乙成绩稳定且平均成绩较高C.甲成绩稳定，乙平均成绩较高D.乙成绩稳定，甲平均成绩较高5.某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（）A.B.C.D.6.已知，，且，，则的值是（）A.B.C.D.7.设点是区域内的随机点，函数在区间上是增函数的概率为（）A.B.C.D.8.若双曲线（，）的左.右焦点分别为.，线段被抛物线的焦点分成两段，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.9.已知是内一点，且，，若的面积分别为，则的最小值是（）A.B.C.D.10.已知函数（），定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当时，若，则有成立；④当时，函数有个零点.其中正确命题的个数为（）A.B.C.D.二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.若不等式恒成立，则实数的取值范围是.12.现有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有种（用数字作答）.13.若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是.14.已知，，，，，，经计算：，，，，照此规律则.15.已知圆和两点，（），若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是.三.解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知. 求角的大小；若，，求值.17.（本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科.文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示.现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取名同学进行测试.求从理科组抽取的同学中至少有名女同学的概率；记为抽取的名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）已知等差数列中，，前项和为且满足条件：（）.求数列的通项公式；若数列的前项和为，且有（），，证明：数列是等比数列；又，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.求证：平面平面；若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值.20.（本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.求椭圆的方程；设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数（）.当时，求函数图象在点处的切线方程；求函数的单调区间；若，，且对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.17.解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人，…………………2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：.…………………4分（2）由题意可知的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分相应的概率分别是,，,,………………9分所以的分布列为：0123P.18.解：………………2分∴所以………………4分（2）由所以，，………………4分所以是等比数列且，………………6分∴∴………………8分∴………………9分∴利用错位相减法，可以求得.………………12分19.解：（1）∵平面平面，平面平面，，∴平面,………………2分又∵，故可建立空间直角坐标系如图所示，不妨设,则有，∴，∴，………………4分∴，∴平面.又平面∴平面平面………………6分∴二面角的余弦值为.……………12分20.解：（1）由题意知，又，所以，……………2分，所以椭圆的方程为：；……………4分（2）设直线的方程为：，代入，得：设，线段的中点为，则，……………7分由得：，所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：，……………9分令得：点的横坐标，……………10分因为，所以，所以.……………12分所以线段上存在点使得，其中.……………13分21.解（1）当时，，，，……………2分所以，切线方程为，即……………4分（2）由题意可知，函数的定义域为，，……………6分当时，，，为增函数，，，为减函数；当时，，，为减函数，，，为增函数.……………8分（3）“对任意的恒成立”等价于“当时，对任意的成立”，当时，由（2）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，而，所以的最小值为，，当时，，时，，显然不满足，……………10分当时，令得，，（1）当，即时，在上，所以在单调递增，所以，只需，得，所以（2）当，即时，在，单调递增，在，单调递减，所以，只需，得，所以（3）当，即时，显然在上，单调递增，，不成立，……………13分综上所述，的取值范围是……………14分。
山东省烟台市2023届高三一模数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知F 是抛物线C：的焦点，过点F 的直线l 与抛物线交于P ，Q 两点，直线l 与抛物线的准线交于点M ，若，则（ ）A．B．C．D ．32. 函数且的图象可能为（ ）A．B．C．D．3.A．B．C．D．4. 某足球比赛有A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 共8支球队，其中A ，B 为第一档球队，C ，D 为第二档球队，E ，F 为第三档球队，G ，H 为第四档球队，现将上述8支球队分成2个小组，每个小组4支球队，若同一档位的球队不能出现在同一个小组中，则A ，D ，F 被分在同一个小组的概率为（ ）A．B．C．D．5.若等差数列的前5项之和，且，则A ．12B ．13C ．14D ．156.已知集合，，那么的子集个数为（ ）A．B．C．D．7. 正方体的棱长为，为的中点，为线段上靠近的一个三等分点，则过点，，的平面把正方体截得两部分，则下半部分几何体与上半部分几何体的体积之比为（ ）A．B．C．D．8. 设为实数，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知圆和圆的交点为，直线：与圆交于两点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线的方程为山东省烟台市2023届高三一模数学试题山东省烟台市2023届高三一模数学试题三、填空题四、解答题B．圆上存在两点和，使得C ．圆上的点到直线的最大距离为D ．若，则或10. 已知圆锥顶点为S ，高为1，底面圆的直径长为．若为底面圆周上不同于的任意一点，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆锥的侧面积为B．面积的最大值为C ．圆锥的外接球的表面积为D ．若，为线段上的动点，则的最小值为11. 已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．当时，直线的斜率为B．C．的面积不小于的面积D．12. 在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为，则（ ）A．的周长为B．（不重合时）平分C．面积的最大值为6D ．当时，直线与轨迹相切13.设椭圆的左右焦点分别为和，离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，且线段，则的内切圆半径等于______.14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A 表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B 表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C 表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D 表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______．①A 与C互斥；②；③A 与D 相互独立；④B 与C 相互独立．15.若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角________.16. 已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.17.在中，内角所对的边分别为且．(1)求角的大小；(2)若，且的面积为，求的周长．18. 皮皮鲁同学乘坐米多多老师为其设计制造的“时空穿梭机”，通过相应地设置，可以穿梭于过去、现在和未来．某天，皮皮鲁同学回来兴奋地告诉同学们：2035年，教育部将在长郡中学试行高考考试改革，即在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．（1）求该学生考上大学的概率．（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为，求的分布列及的数学期望．19. 某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.，0.100.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.82820. 已知为的三内角，且其对边分别为，若.（1）求；（2）若，，求的面积.21. 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，（1）求的值；（2）求边的长.。
山东省烟台市高考数学一模试卷(理科)
山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高二下·湖州期末) 设集合A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣x=0}，则A∪B=（）A . {1}B . {0，1}C . {1，2，3}D . {0，1，2，3}2. （2分） (2019高二下·滁州期末) 已知命题：，，则是（）A . ，B . ，C . ，D . ，3. （2分）下列点在曲线上的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·南昌期末) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高一下·义乌期末) 已知向量、，其中| |= ，| |=2，且（﹣）⊥ ，则向量和的夹角是（）A .B .C .D . π6. （2分）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·兰州期中) 函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ的值为（）A .B . -C .D . -8. （2分）先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是（）A . “至少一枚硬币正面向上”；B . “只有一枚硬币正面向上”；C . “两枚硬币都是正面向上”；D . “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”.二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2017高二下·徐州期中) 设z为纯虚数，且|z﹣1|=|﹣1+i|，则z=________．10. （1分）(2017·太原模拟) 已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为________．（用数字作答）11. （1分） (2017高三上·西安开学考) 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1 ， a3 ， a13成等比数列，若a2+a3=8，则数列{an}的前n项和Sn=________．12. （1分）已知函数f（x）=，记an=f（n）（n∈N*），若数列{an}满足an＞an+1 ，则实数t的取值范围是________13. （1分） (2020高二上·青铜峡期末) 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 ________ .14. （1分） (2017高一下·伊春期末) 为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用。
山东省烟台市数学高考理数一模试卷
山东省烟台市数学高考理数一模试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3=0}，集合 B={﹣1，0，1，2，3}，且集合 M 满足 A⊆ M⊆ B，则 M 的个数 为（ ）A . 32B . 16C.8D.72. （2 分） 若复数 满足,则 等于（ ）A.B.C.D.3. （2 分） 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则A . 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B . 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 C . 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数第 1 页 共 15 页D . 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 4. （2 分） 设数列 是等差数列，且 A . 10 B . 15 C . 20 D . 25， 则这个数列的前 5 项和 =（ ）5. （2 分） (2017·桂林模拟) 已知双曲线的标准方程为，直线 l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线交于不同的两点 C、D，若 C、D 两点在以点 A（0，﹣1）为圆心的同一个圆上，则实数 m 的取值范围是（ ）A. B . {m|m＞4} C . {m|0＜m＜4}D. 6. （2 分） 下列说法正确的是（ ） A . log0.56＞log0.54 B . 0.60.5＞log0.60.5C . 2.50＜ D . 90.9＞270.487. （2 分） (2020·晋城模拟) 斜率为相切，则（）的直线 过抛物线A . 12第 2 页 共 15 页的焦点 ，若 与圆B.8 C . 10 D.6 8. （2 分） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.9. （2 分） (2017 高二下·淄川期末) 设 （）的展开式的二项式系数和为 64，则展开式中常数项为A . 375B . ﹣375C . 15D . ﹣1510. （2 分） sin20°cos10°-cos160°sin10°=（ ）A.-第 3 页 共 15 页B. C.-D.11. （2 分） 曲线在点处的切线方程为（ ）A.B.C.D.12. （2 分） (2019 高二上·南宁月考) 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，，则的最小值为（ ）A.4B.6C. D.8二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一下·扬州期末) 等比数列{an}的前 n 项和 Sn=3n+a，则 a 等于________． 14. （1 分） (2016 高一下·湖南期中) 阅读如图所示程序框图，若输出的 n=5，则满足条件的整数 p 共有 ________个．第 4 页 共 15 页15. （1 分） (2019 高一下·哈尔滨月考) 已知一个正方体的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 72，则这个球的表面积为________16. （1 分） (2019 高二上·长春月考) 已知圆 O 的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点 M(2,3)到圆上的点的 距离的最大值为________．三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)17.（10 分）(2018·唐山模拟) 如图，在平面四边形中，,设.（1） 若，求的长度；（2） 若，求.18. （15 分） (2017·鄂尔多斯模拟) 为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源 汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如表：第 5 页 共 15 页新能源汽车补贴标准车辆类型续驶里程 R（公里）100≤R＜180 180≤R＜280 ＜280纯电动乘用车 2.5 万元/辆4 万元/辆 6 万元/辆某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了 M 辆纯电动乘用车，根据其续驶里程 R（单次充电后能行驶的 最大里程）作出了频率与频数的统计表：分组频数 频率100≤R＜180 3 0.3180≤R＜280 6xR≥280yz合计M1（1） 求 x、y、z、M 的值；（2） 若从这 M 辆纯电动乘用车任选 3 辆，求选到的 3 辆车续驶里程都不低于 180 公里的概率；（3） 如果以频率作为概率，若某家庭在某汽车销售公司购买了 2 辆纯电动乘用车，设该家庭获得的补贴为 X （单位：万元），求 X 的分布列和数学期望值 E（X）．19. （10 分） (2018·雅安模拟) 如图，在四棱锥点，底面为直角梯形，，，且中，底面 .， 为 的中（1） 求证：平面，平面平面；（2） 若 与平面所成角的正弦值为 ，求二面角第 6 页 共 15 页的余弦值.20. （10 分） (2020·肥城模拟) 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：的焦距为 2，且过点.（1） 求椭圆 的方程；（2） 设椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆交于 ，使得 为的垂心，若存在，求出直线 的方程：若不存在，说明理由.两点，问是否存在直线 ，21. （10 分） (2018 高二下·重庆期中) 已知函数.（1） 当时，求曲线在点处的切线方程；（2） 若函数有两个极值点，且.①求 的取值范围；②求证：.22. （10 分） (2018 高二下·双鸭山月考) 设直线 过点 （1） 写出直线 的标准参数方程；,且倾斜角为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
烟台市高三诊断性试题数学（理）注意事项：1 .本试题满分150分，考试时间为120分钟.2 .使用答题纸时，必须使用 0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔.要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.3 .答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.1.设集合A 二｛1,2｝，则满足A U B = '1,2,3：的集合B 的个数是A. 1B . 3C . 4D .82.若(a -2i)i =b - i ，其中 a 、 b R ,i 是虚数单位， 则a i 3b 等于 A . 1B . 25 C.—2D..5 3 .有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ）,则该几何体的表面积为4. 已知命题 p ： T x € R ,使 sinx= ;命题 q ： 一 x € R,都有 x 2+x+1>02给出下列结论： ① 命题"p q "是真命题② 命题’Jp —q ”是假命题 ③ 命题 “ p q ”是真命题; ④ 命题’p —q ”是假命题其中正确的是A .②③B .②④C .③④D .①②③2A. 12cmB. 15 二cm 2C. 24 二cm 22D. 36 二 cm 正视图15. 下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是3，则？处 的关系式是3A . y = x B. y =3^ C.y = 3X1D.y = x 3k.s.5.u6 .如图，在一个长为二，宽为2的矩形OABC 内，曲线 y 二sin x （0乞x 岂~）与x 轴围成如图所示的阴影部分， 向矩形OABC 内 随机投一点（该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的），则所投的 点落在阴影部分的概率是12二3A .B .C.D.—二二4二k.s.5.u7.直线2x -y -：f 3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆 段，则其长度之比为 A . 7或工 48.若函数 f(x) o 7十3B . 或一372x ,( x^4) J(x+3),( x <4)C . (x-1)2 y 2=25的直径分为两D.，则 f(log 2 3)二1624A . 3C. D.AA. y = f (|x|)C . y = f( — |x |) B . y =| f (x) |D . y—f(—|x|)k.s.5.u11.对于下列两个结论:(1)把函数y =3sin(2x ')的图象向右平移3(2)在.：ABC 中，若acosB =bcosA ，则 ABC 是等腰三角形则下面的判断正确的是A .( 1)( 2)都正确B . (1) (2)都错误C .只有(1)正确D .只有(2)正确12•若定义在 R 上的偶函数f x 满足f x ・2二f x ，且当x 0,1时，f x =x,，则 函数y = f (x )—log s x 的零点个数是A .多于4个B . 4个C . 3个D . 2个、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置 13.某校举行2010年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的 分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数 据的平均数和方差分别为 _________ , _________ .14.已知5x+3+|5x —4| =7，贝u x 的范围是 ______________15.已知向量a =( 4, 2),向量b =( x , 3),且a // b ,则x 的值是 _________________k.s.5.u10.如果 3x3 , ~2VX 丿的展开式中二项式系数之和为1128，则展开式中—的系数是xC . 21D . - 21 二得到y =3sin 2x 的图象; 6 16•如图，在 ABC 中，.CAB =/CBA =30 , 边上的高分别为 BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过 圆与双曲线的离心率的倒数和为 ________ .AC 、 BC三、解答题.本大题共6个小题,共74分•解答时要求写出必要的文字说明、 骤.k.s.5.u17. (本小题满分12分)2 :~5已知向量 a = (cos: ,sin : ) , b= (cos F ,sin -) , I a -b I =-5(1 )求 cos(「--)的值；1i5(2)若 0,0 ,且 sin，求 sin 篇.2 21318. (本小题满分12分)如图，已知正方形 ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB = .-2 , AF =1, M 是线段EF 的中点.(1) 求证AM //平面BDE ；(2) 试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与CD 所成的角是60 . 19. (本小题满分12分) 在数列 3』中，印=2 , a n d = a n ■ c n (c 是常数，n =1,2,3,…)，且a 1 , a ?, a g 成公比不为1的等比数列.(1 )求c 的值；(2 )求：an ?的通项公式. 20. (本小题满分12分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修甲的概率为0.08 ,只选修甲和乙的概率是 0.12 ,至少选修一门的概率是 0.88 ,用■表示该学生 选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积(1) 记 函数f(x)=x 2「x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2) 求.的分布列和数学期望. 21. (本小题满分12分)k.s.5.u已知函数 f (x)二 1 x 3 ■ ax 2 _bx ( a,b ”R )311(1) 若y = f (x)图象上的点(1^—)处的切线斜率为-4，求y = f (x)的极大值；3(2) 若y 二f(x)在区间'-1,21上是单调减函数，求 a b 的最小值. 22. (本小题满分14分)(1) 已知动点P(x,y)到点F(0,1)与到直线y =-1的距离相等，求点 P 的轨迹L 的方程；(2) 若正方形 ABCD 的三个顶点 A(X 1,yJ , Bgy) , C(x 3,y 3)(为：：：0 < x ： ：：： X 3)在(1)中证明过程或推演步E的曲线L上，设BC的斜率为k , l =| BC |，求丨关于k的函数解析式I = f (k)；⑶求⑵中正方形ABCD面积S的最小值.烟台市咼二诊断性试题数学（理）参考答案及评分标准、选择题CACAC ABDCC AB、填空题k.s.5.u13. 85 , 1.6 14. （-0.6,0.8）15. 6 16. 3三、解答题—2a - b—2（cos： cos ： -sin ： sin -）=1 • 1 -2cos（x 『）, ,2（2罷］ 2 <5 4 八I a -b I . ... 4 分I 5 丿5 54 32 -2cos（、—I ■）得cos（〉一：）... 6分5 5⑵1/ - 71 <P:::0 ::::-:::—- \ 0 <a - P < n....... 7分22由COS（-：得sin• 「）=45..... 8分由s in :5二—-------/ 曰R 12得cos -……10分1313sin ：——sin （）-:1= sin（x 『‘）cos“ 、cos（：・一:）sin :……11分4 12 35 33二:—X —+- X（）z...... 12分5 13 513 6518.解：（1）如图建立空间直角坐标系.设AC BD = N ,连结NE，则N <2「2 ,0 ........................ 2分2 2 丿NE 二AM 且NE 与AM 不共线，k.s.5.u••• NE // AM，又NE 平面BDE , AM 二平面 BDE ,17•解:（1）v|= 1,I=14分••• AM //平面BDE . ............ 6分⑵设P(t,t,O) (0 <t< .2),则PF = ( 2 —t, 2 —t, 1), CD = ( 2, 0, 0).又••• PF与CD所成的角为60° ............. 8分c 2 -t)、2(2 -t)2( 2 -t)212解之得t = ¥或t= 3^2(舍去), ....................... 11分故点P为AC的中点 .......... 12分19.解：(1) q=2, a2 =2 c, d=2 3c,因为a1, a2, a3成等比数列，......... 2分所以(2 c)2二2(2 3c),解得c =0或c=2 . ............... 5 分k.s.5.u当c = 0时，&1 = a? = ，不符合题意舍去，故c=2 . ............... 6分(2)当n > 2时，由于a2 _a1 =6a3 _ a? =2c ,a. -寺」=(n -1)c,所以a. -ai =[1 2 (n - 1)]c = -n(n c . ............. 10分2又 c =2 , c=2，故a. =2 n(n-1) = n2-n 2(n =2,3,1).当n =1时，上式也成立，所以a n二n2「n 2(n =1,2,11)) ......... •…12分k.s.5.u20.解：(1 )设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为X、y、zx(| _y)(1 —Z) =0.08,x = 0.4 依题意得 <xy(1 —z) =0.12,解得 < y=0.6........... 3 分j _(1 — x)(1 — y)(1 — z) =0.88, j = 0.5若函数f(x) =x 2 • X 为R 上的偶函数，贝U =0 当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.P(A)=P( =0) =xyz (1 _x)(1 _ y)(1 _z) =0.4 0.5 0.6(1 - 0.4)(1 - 0.5)(1 - 0.6) = 0.24•••事件A 的概率为0.24 ........... 6分 k.s.5.u (2)依题意知 =0,2............ 8分则.的分布列为• •的数学期望为 E =0 0.24 2 0.76 =1.52 ........................... 12分221 .解：(1) v f (x)二 x 2ax — b , k.s.5.u•由题意可知：11f (1) = -4且 f(1)「"3f(x)f (x) =x 2 -2x -3 =(x 1)(x -3)令 f (x) = 0,得 x ^-1,x ^3 由此可知：f (x)1 2a - b 二 1一 +a —b = .3-4 11 3 a = —1解得丿 -3x-1(T,3) 3 (3严)yWXf)孑消y 得, x 2 =4y.易知x 2、x 3为该方程的两个根，故有 x 2 x 3 =4k ，得x 3 =4k -x 2， 从而得 | BC |= .1 - k 2(x s -X 2)=2'.1 • k 2(2k -X 2)，类似地，可设直线AB 的方程为：八十―)号, 从而得侶卜乙1工(2個2),k由 |AB 円 BC |，得 k 2 (2k-x 2) =(2 kx 2),3解得X2=S ,k 2 +kI 二 f(k) =4 1 k (k V) (k 0)f(x)/f(x)极大5f (X)极小/5分• ••当一1时，f(X )取极大值亍2•- f"(x)=x +2ax —b 兰0在区间［—1, 2］上恒成立.2 /根据二次函数图象可知f (―1)兰 0 且 f 〔2)兰 0 ,X'1 —2a —b 兰0 2a+b —1 兰0 也即丿4 +4a —b 兰04a —b 4 _ 0作出不等式组表示的平面区域如图： 1当直线z =a - b 经过交点P( ,2)时,21 z = a • b 取得最小值z22 3• z = a - b 取得最小值为 ......212分z=a+b22•解：(1)由题设可得动点 P 的轨迹方程为x 2 =4y •⑵由⑴，可设直线BC 的方程为:y =k(x -X 2)$ (k 0),4k(k 1)即(2)•/ y =f(x)在区间1-1,2上是单调减函数,b 十"匚石2a+ b-1=04a-b+4=041 (—舟,2)所以S =l 2 > 32，即S 的最小值为32,当且仅当k =1时取得最小值. .................. 14分 4 jQ k ^(k 2 1) k(k 1) k(k 1) =4.2 , 12分。