2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第二章 2.5指数与指数函数

§2.5指数与指数函数
1．分数指数幂
(1)
m
n
a＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
m
n
a ＝
1
m
n
a
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数
指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质
概念方法微思考
1.如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为．
提示c>d>1>a>b>0
2．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．
提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(n
a )n ＝a (n ∈N *)．( × )
(2)分数指数幂m
n
a 可以理解为m
n 个a 相乘．( × )
(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x
＋1
都不是指数函数．( √ )
(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × )
题组二 教材改编
2．化简4
16x 8y 4(x <0，y <0)＝ . 答案 －2x 2y
3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，1
2，则f (－1)＝ . 答案
2
解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝2
2，
所以f (x )＝⎝⎛
⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭
⎫2
2－1＝ 2. 4．已知a ＝1
3
35-
⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝14
35-
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，c ＝34
32-
⎛⎫
⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 ．
答案 c <b <a
解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x
是R 上的减函数，
∴13
35-
⎛⎫ ⎪
⎝⎭>14
35-
⎛⎫
⎪⎝⎭
>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1， 又c ＝3
4
32-
⎛⎫ ⎪⎝⎭
<⎝⎛⎭⎫320
＝1，∴c <b <a .
题组三 易错自纠
5．计算：3
(1＋2)3＋4
(1－2)4＝ . 答案 2 2
6．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a
2，则a 的值为________．
答案 12或32
解析 当0<a <1时，a －a 2＝a
2，
∴a ＝1
2或a ＝0(舍去)．
当a >1时，a 2－a ＝a
2，
∴a ＝3
2或a ＝0(舍去)．
综上所述，a ＝12或3
2
.
指数幂的运算
1．(2019·四川绵阳诊断)计算23×3
1.5×6
12＝ . 答案 6
解析 原式＝1
3
612
1312322⎛⎫
⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
1113
621133
223323-
⨯⨯⨯⨯⨯＝ 1112361133
22
6.3
-+++⨯⨯=＝
2.11332
2
(0.1)(1)4a b --
-⎛⎫
⎪⋅⎭
⋅⎝(a >0，b >0)＝ . 答案 85
解析 原式＝
33322
2
332
2
2485.
10a b a b
-
-
⋅=
3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则
1122112
2
x y x y
-+ ＝ .
答案 －
33
解析 ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，
∴
2
1111
2222
1111
2222
2()122961
.
183
2()1229
x y x y xy
x y x y xy
⎛⎫
-+--⨯
⎪==== ⎪
⎪
++++⨯
⎝⎭
由题意知0<x<y，
∴
11
22
11
22
0,0,
x
y y
x<+> -
∴
11
22
11
22
3 x y
x y
-
=-
+
思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
指数函数的图象及应用
例1(1)函数y＝x
|x|a
x(0<a<1)的图象的大致形状是()
答案 D
解析 因为y ＝xa x |x |＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a x
，x >0，－a x
，x <0，
且0<a <1，所以根据指数函数的图象和性质，当x ∈(0，
＋∞)时函数是减函数；当x ∈(－∞，0)时函数是增函数，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故选D.
(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则实数b 的取值范围为________． 答案 (0,1)
解析 曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．
思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
跟踪训练1(1)函数y＝a|x|(a>1)的图象是()
答案 B
解析函数y＝a|x|(a>1)是偶函数，当x≥0时，y＝a x，又已知a>1，故选B.
(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．
答案 1
解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
指数函数的性质及应用
命题点1 比较指数式的大小
例2 (1)已知a ＝2
3
12⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝43
2-，c ＝13
12⎛⎫
⎪⎝⎭
，则下列关系中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c
答案 B
解析 因为b ＝4
312⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以4312⎛⎫ ⎪⎝⎭<2312⎛⎫ ⎪⎝⎭<13
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 即b <a <c .
(2)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a
答案 C
解析 ∵函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5， ∴1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.
∵函数y ＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0， ∴1.50.6>1.50＝1，即c >1.综上，b <a <c . 命题点2 解简单的指数方程或不等式
例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ，x ≥0，
2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为 ．
答案 12
解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝1
2；
当a >1时，代入不成立．故a 的值为1
2
.
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，
x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a
－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<1
2
<1，所以a >－3，此时－3<a <0；
当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，即0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C. 命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)函数f (x )＝221
12x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
－＋＋的单调减区间为 ．
答案 (－∞，1]
解析 设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u
在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝221
12x x ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
－＋＋的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．
又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． (2)已知函数f (x )＝2|2x －m |
(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围
是 ． 答案 (－∞，4]
解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝
⎛⎦⎤－∞，m
2上单调递
减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m
2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
函数f (x)＝4x－2x＋1的值域是．
答案[－1，＋∞)
解析设t＝2x(t>0)，则
y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)．
当t＝1时，y min＝－1，无最大值．
∴函数f (x)＝4x－2x＋1的值域为[－1，＋∞)．
若函数f (x)＝
243
1
3
ax x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
－＋
有最大值3，则a
＝.
答案 1
解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )
， 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，
因此必有⎩⎨⎧
a >0，12a －16
4a ＝－1，
解得a ＝1，
即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.
思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)(2020·贵阳市、安顺市联考)已知11135
22,3,5,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．b <c <a
答案 C
解析 ∵111
3
5
2
2,3,5,a b c === 很明显，a ，b ，c 都是正实数， ∵b 6－a 6＝9－8＝1>0，∴b 6>a 6，∴b >a . ∵a 10－c 10＝32－25>0，∴a 10>c 10，∴a >c . 综上可得，b >a >c .
(2)若函数f (x )＝a |2x －
4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞ )
D ．(－∞ ，－2]
答案 B
解析 由f (1)＝19，得a 2＝1
9
，
所以a ＝13或a ＝－1
3
(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫13x
在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.
(3)若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭
⎫－3
4，＋∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ，
得a ≥－⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x
在R 上是减函数，
∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭
⎫－3
4，＋∞.
1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－
2＝4
B ．2a －
3＝
12a 3
C ．(－2)0＝－1
D ．4
14a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝1a
答案 D
解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2
a
3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，
故C 错误；对于D ，4
14a -⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝1
a
，故D 正确．
2．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x
C ．y ＝⎝⎛⎭
⎫12x －1
D ．y ＝3|x |
答案 B
3．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D
解析 ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1， 又1.30.86>1，∴c >a >b .
4．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b
答案 C
解析 ∵当x >0时，1<b x ，∴b >1. ∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x
>1. ∴a
b
>1，∴a >b ，∴1<b <a ，故选C. 5．函数f (x )＝a x －1
a
(a >0，a ≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 方法一 当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1
a 的图象，A ，
B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1
a 大
于1，故选D.
方法二 函数f (x )的图象恒过点(－1,0)，只有选项D 中的图象符合．
6．(2020·四川南充一中模拟)若函数y ＝a x －
m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝ . 答案 7
解析 ∵函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点， 令x －m ＝0，可得x ＝m ，y ＝n －2，
可得函数的图象经过定点(m ，n －2)．
∴m ＝3，n －2＝2，解得m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.
7．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a x ，x >1，
(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ．
答案 ⎝⎛⎦⎤
23，34
解析 若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
a x
，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1
是R
上的减函数，则⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a <1，
2－3a <0，
a ≤2－3a ＋1，
解得
a ∈⎝⎛⎦⎤
23，34.
8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭
⎫0，1
2 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．
①当0<a <1时，如图①， 所以0<2a <1，即0<a <1
2.
②当a >1时，如图②， 而y ＝2a >1不符合要求．
综上，0<a <1
2
.
9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ . 答案 －3
2
解析 ①当0<a <1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝0，
f (0)＝－1，
即
⎩⎪⎨⎪⎧
a －1＋
b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
b ＝－2，
此时a ＋b ＝－3
2
. ②当a >1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨
⎪⎧
f (－1)＝－1，f (0)＝0，
即
⎩⎪⎨
⎪⎧
a －1＋
b ＝－1，
a 0＋
b ＝0，
显然无解． 所以a ＋b ＝－32
.
10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－1,2)
解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，
当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x
恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋
1＋3的定义域、值域． 解 ∵－4x －2x ＋1＋3≥0， 即(2x )2＋2·2x －3≤0.
令t ＝2x >0，∴t 2＋2t －3≤0， ∴(t －1)(t ＋3)≤0，∴0<t ≤1.
∴2x ≤1.∴x ≤0.∴函数f (x )的定义域为(－∞，0]． 令y ＝－t 2－2t ＋3＝－(t ＋1)2＋4(0<t ≤1)．
对称轴t ＝－1.∴函数y 在(0,1]上单调递减． ∴0≤y <3.
∴函数f (x )的值域为[0，3)．
12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；
(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
b ·a ＝6，b ·
a 3＝24.所以a 2＝4，
又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .
(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x
在(－∞，1]上恒成立．
又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x
与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56
，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.
13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．[－3，－1]
D ．{－3}
答案 B
解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭
⎫－1
2a ，－1[－
8,1]，即－8≤－12
a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)． 14．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是 ．
答案 ⎣⎡⎦⎤34，57
解析 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34
， ∵x ∈[－3,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，∴当t ＝12时，y min ＝34
， 当t ＝8时，y max ＝57.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.
15．设f (x )＝|2x －
1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c ______4.(选填“>”“<”“＝”) 答案 <
解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 若c ≤1，则2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4；
若c >1，则由f (a )>f (c )，
得1－2a －1>2c －1－1，
即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4.
综上，总有2a ＋2c <4.
16．已知函数f (x )＝14x －λ2
x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32
，求函数f (x )的值域； (2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．
解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4 ＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭
⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭
⎫14≤t ≤2. 当λ＝32
时，g (t )＝t 2－3t ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭
⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74
. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74
， 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316.
(2)方程f (x )＝0有解可转化为
λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)． 设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12
≤2x ≤4， 当2x ＝12
，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2； 当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝
658. 所以函数φ(x )的值域为⎣
⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。