大学物理 理想气体的等值过程

理想气体准静态四个等值过程公式
过程 过程方程 外界作功 吸收热量 内能变化 摩尔热 容 Q ∆E A 等体 V = 常量 等压 P = 常量
0
νCV ,m (T2 −T ) CV ,m (T2 −T1 ) 1ν
CV ,m Cp,m
p(V2 −V ) νCp,m (T2 −T )νCV ,m (T2 −T ) 1 1 1
−1
= 常量
p S
l p l 不变
Q =ν ∫ CV ,mdT =ν CV ,m(T2 −T ) V 1
· 内能的增量
T2 T1
p2 p1
O
•Ⅱ T2 •Ⅰ T 1
V1 V
∆E = ∫ ν CV ,mdT=ν CV ,m(T2 −T ) 1
等体过程中气体吸收的热量， 等体过程中气体吸收的热量，全部用来增加它 吸收的热量 的内能，使其温度上升。 的内能，使其温度上升。
d Q p = C p ,m d T = d E + p d V
又 可得
d E = C V ,m d T
pdV = RdT
C p ,m = C V ,m + R
摩尔热容比
迈耶公式
γ = Cp,m CV ,m
单原子气体分子
CV ,m ≈ 3R / 2, γ ≈ 5 / 3
双原子气体分子 CV ,m ≈ 5R / 2, 理想气体内能的计算
理想气体的状态函数 状态函数） （3） E = E(T )（理想气体的状态函数） ） （4） 各等值过程的特性 . ）
一、等体过程 摩尔定体热容 摩尔定体热容 定体热容: 理想气体在等体 摩尔定体热容 1mol 理想气体在等体 过程中吸收热量 过程中吸收热量 dQV ，使温度升高 dT ，其 摩尔定体热容为 定体热容为: 摩尔定体热容为
0
一定量氮气， ，压强为1atm。将 。 例 一定量氮气，其初始温度为 300 K，压强为 其绝热压缩，使其体积变为初始体积的1/5。 其绝热压缩，使其体积变为初始体积的 。 求 压缩后的压强和温度 解 氮气是双原子分子
γ=
Cp,m CV ,,m m
7 = 5
γ
7 5
根据绝热过程方程的p、 关系， 根据绝热过程方程的 、V 关系，有
等 压 膨 胀
p
p
( p, 1,T1 ) ( p, 2 , 2 ) V V T
等 压 压 缩
p
p
( p, 2, 2 ) V T
( p, 1, 1 ) V T
1
2
2
1
A
o
V1 V2
A
o
V2 V1
V
V
Qp
E2
E1
A
Qp
E1
A
E2
摩尔定压热容和摩尔定体热容的关系 摩尔定压热容和摩尔定体热容的关系 定压热容和摩尔定体热容
p
pA
∆pa∆pT
A C B
T =常量
Q=0
γpV
γ −1
dV +V dp = 0
γ
dp pA ( )a = −γ dV VA 等温过程曲线的斜率 等温过程曲线的斜率 pV = 常量
o
V A ∆V VB
V
pdV +Vdp =0
dp pA ( )T = − dV VA
绝热线的斜率大于等温线 绝热线的斜率大于等温线 的斜率大于 的斜率. 的斜率
T
Ⅰ
Ⅱ
解 (1) Ⅱ中气体经历的是绝热过程，则 中气体经历的是绝热过程，
p0V0γ = p2V2γ
刚性双原子分子 γ = 7 / 5
V0 γ p2 = p0 ( ) = 2.674×105 Pa V2
又
p1 = p2 = 2.674×105 Pa
p1V 1 T0 =1.081×103 K p0V0
p2 = p1(V V2 ) =1×5 = 9.52atm 1
根据绝热过程方程的T﹑ 关系， 根据绝热过程方程的 ﹑V 关系，有
7 −1 5
T2 = T (V V2 )γ −1 = 300×5 1 1
= 571K
温度为25℃ 压强为1atm 的1mol 刚性双原子分子理 例 温度为 ℃，压强为 想气体经等温过程体积膨胀至原来的3倍 想气体经等温过程体积膨胀至原来的 倍。 该过程中气体对外所作的功； 求 (1) 该过程中气体对外所作的功； (2) 若气体经绝热过程体积膨胀至原来的 倍，气体对 若气体经绝热过程体积膨胀至原来的3 外所作的功。 外所作的功。 解 (1) 由等温过程可得 p V2 V2 dV dV A = ∫ pdV = ∫ νRT V V 1 1 V V2 =νRT ln = 2.72×103 J V 1 (2) 根据绝热过程方程，有 根据绝热过程方程， O V 3 V V
S
F恒 量
吸收的热量
T2 T 1
=νR(T2 −T ) 1
∆l
p p1
Qp =ν ∫ Cp,mdT =ν Cp,,m (T2 −T1) m
T2
· 内能的增量
∆E = ∫ ν CV ,mdT =ν CV ,m (T2 −T ) O 1
T 1
T 1 • Ⅰ
Ⅰ
T2 •Ⅱ
V2
V 1
V
在等压过程中理想气体吸收的热量， 在等压过程中理想气体吸收的热量，一部分用 来对外作功，其余部分则用来增加其内能。 来对外作功，其余部分则用来增加其内能。
γ ≈ 7/ 5
dE =νCV ,mdT
E2 − E1 = ∫ νCV ,mdT
T 1 T2
适用于一切始末状态为平衡态的任何过程
例 质量为 质量为2.8g，温度为300K，压强为 ，温度为 的氮气， ，压强为1atm的氮气， 等 的氮气 压膨胀到原来的2倍 压膨胀到原来的 倍。 求 氮气对外所作的功，内能的增量以及吸收的热量 氮气对外所作的功， 根据等压过程方程 等压过程方程， 解 根据等压过程方程，有
Cp,m =
dQp dT
dQ p = C p ,m dT d Q p = ν C p ,m d T
ν m 理想气体 ol
对一有限过程： 对一有限过程：
Qp =νCp,m (T2 −T ) 1
· ·功 ·
过程方程 VT
V2 V1
−1
V1
V2
p 恒 量
= 常量
A = ∫ pdV = p(V2 −V ) 1
T2 = T (V V2 )γ −1 =192K 1 1
将热力学第一定律应用于绝热过程方程中， 将热力学第一定律应用于绝热过程方程中，有
A = −∆E
= −2.2×103 J ∆E =νCV ,m (T2 −T1) A = 2.2×103 J
例 如图， 一容器被一可移动、无摩擦且绝热的活塞分 如图， 一容器被一可移动、 两部分。容器左端封闭且导热， 割成Ⅰ 割成Ⅰ, Ⅱ 两部分。容器左端封闭且导热，其他部 分绝热。开始时在Ⅰ 中各有温度为0℃ 分绝热。开始时在Ⅰ, Ⅱ中各有温度为 ℃，压强 1.013×105 Pa 的刚性双原子分子的理想气体。两部 的刚性双原子分子的理想气体。 × 分的容积均为36升 现从容器左端缓慢地对Ⅰ 分的容积均为 升。现从容器左端缓慢地对Ⅰ中气 体加热，使活塞缓慢地向右移动，直到Ⅱ 体加热，使活塞缓慢地向右移动，直到Ⅱ中气体的 体积变为18升为止 升为止。 体积变为 升为止。 求 (1) Ⅰ中气体末态的压强和温度。 中气体末态的压强和温度。 (2) 外界传给Ⅰ中气体的热量。 外界传给Ⅰ中气体的热量。
V1 V2 V
p2
o
CV,m dT dV 分离变量得 =− V R T dV 1 dT ∫ V = −∫ γ −1 T
绝
V
γ −1
T = 常量
热 V T = 常量 方 pV γ = 常量 程 γ −1 −γ p T = 常量
γ −1
三、绝热线和等温线 绝热过程曲线的斜率 绝热过程曲线的斜率 γ pV = 常量
V2 V = 1 T2 T 1
T2 = 600K
因为是双原子气体 CV ,m = (5 2)R
A =νR(T2 −T ) = 249.3 J 1
Qp =ν Cp,m (T2 −T ) = 873 J 1
∆E =νCV ,m (T2 −T1) = 624 J
13.4 理想气体的等温过程和绝热过程 常量） 一、等温过程（T = 常量） 等温过程（ 过程方程
V
等温膨胀 等温膨胀
等温压缩 等温压缩
p p1
V 1 ( p1 , 1 ,T )
p p2
2
V T 2 ( p2 , 2 , )
p2
( p2 , 2 , ) V T
A
V1
p1
( p1 ,V1 ,T )
A
V2 V1
1
o
V2 V
o
V
QT
E
A
QT
E
A
理想气体吸收的热量全部 在等温膨胀过程中 ，理想气体吸收的热量全部 用来对外作功，在等温压缩中， 用来对外作功，在等温压缩中，外界对气体所 作的功，都转化为气体向外界放出的热量。 作的功，都转化为气体向外界放出的热量。
等 体 升 压
p
p2
2 ( p ,V , T ) 2 2 1
( p1 ,V , T1 )
等 体 降 压
p
p1
1 ( p1 ,V , T1 )
( p2 ,V , T2 )
V
p1
p2
2
V
o
V
V
o
Q V
E1
E2
Q V
E1
E2
二、等压过程 摩尔定压热容 摩尔定压热容 理想气体在等压 摩尔定压热容: 1 mol 理想气体在等压 定压热容 过程中吸收热量 过程中吸收热量 dQ p ，温度升高 dT ，其 摩尔定压热容为： 定压热容为 摩尔定压热容为：
V2 V 1
1
p
T2
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p1
1
( p1 , 1 ,T1 ) V
= − CV ,m (T2 −T ) ν 1
若已知 由
p1, 1,p2, 2 及 V V
γ
( p2, 2, 2 ) V T
p2
2
V2 V
可得： pV =νRT 可得：
o V1 dV
p1V p2V2 1 A = CV ,m ( − ) R R
CV,m = ( p1V1 − p2V2 ) Cp,m −CV,m
Cp,m = CV ,m + R
等温 PV = 常量 νRT lnV2 νRT lnV2 V V

1


1

0
νCV ,m (T2 −T1 )
∞
0
绝热 pV γ = 常量
TVγ −1 = 常量 1 pγ −1T −γ = 常量−νCV ,m (T2 −T )
1 ( p1V1 − p2V2 ) γ −1
绝热过程（ 二、 绝热过程（ Q = 常量）
系统在绝热过程中始终不与外界交换热量。 系统在绝热过程中始终不与外界交换热量。 始终不与外界交换热量
· 良好绝热材料包围的系统发生的过程 进行得较快， · 进行得较快，系统来不及和外界交换热量的过程 · 与外界交换的热量
Q=0
绝热的汽缸壁和活塞
·功
A = ∫ pdV = −∫ νCV ,mdT T
p1V1 − p2V2 A= γ −1
·
内能的增量
∆E =νCV , (T −T2 ) m 1
绝热压缩 绝热压缩
p
p2
绝热膨胀 绝热膨胀
p
p1
V 1 ( p1 , 1 ,T1 )
2 (p , , ) 2 V T 2 2
p2
A
( p2, 2, 2 ) V T 2
( p1 , 1 ,T1 ) V
p1
A
由理想状态方程得 T = 1
(2)Ⅰ中气体内能的增量为 Ⅰ 5 ∆E1 =νCV ,m (T1 −T0 ) =ν R(T −T0 ) 1 2 5 = ( p1V − p0V0 ) = 2.69×104 J 1 2 A = ∆E2 = 2.92×103 J Ⅰ中气体对外作的功为 1 根据热力学第一定律， 根据热力学第一定律， Ⅰ中气体吸收的热量为 Q = ∆E1 + A = 2.99×104 J 1 1
13.3 理想气体的等体过程和等压过程 摩尔热容 计算各等值过程的热量、功和内能的理论基础. 计算各等值过程的热量、功和内能的理论基础 理论基础 （1） ） （2） ）
pV =νRT
（理想气体的共性） 理想气体的共性） 共性 解决过程中能 解决过程中能
dQ = dE + pdV
V2 V 1
量转换的问题 Q = ∆E + ∫ pdV 量转换的问题
dQ V CV ,m = dT
d Q V = C V ,m d T
−1 −1
单位 J ⋅ mol ⋅ K
ν m 理想气体 ol
对一有限过程： 对一有限过程：
d QV = ν C V ,m d T
Q =νCV ,m (T2 −T ) V 1
· · 功 A= 0 · 吸收的热量
T2 T 1
过程方程 PT
1
o V1
V2 V
o V2
V1 V
E1
A
E2
E2
E1
A
绝热过程方程的推导
p
p1
1 ( p1 ,V1 ,T1 )
∵dQ = 0, ∴dA = −dE pdV = − CV , dT ν m
pV =νRT RT ν dV = − CV , dT ν m V
Q=0
( p2 , 2 , 2 ) V T 2
· · 内能的增量 ∆E = 0 νRT · 功 A = ∫ pdV = ∫ V dV
V2 V2 V1 V1
pV = 常量
恒 温 热 源
V1
V2
p
S
S
F↓
∆l p p1
T 1 •Ⅰ T2 •Ⅱ
V2
· 吸收的热量
V2 p1 =νRT ln =νRT ln V p2 1
p2
O V1
V2 p1 QT = A =νRT ln =νRT ln V1 p2