实数系基本定理的等价性证明

实数系基本定理的等价性证明

摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性

在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理.

在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余

的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的.

六个定理的顺序：

① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明：

③⇒⑥⇒④⇒⑤⇒①⇒②⇒③ 1 闭区间套定理⇒有限覆盖定理[]1 闭区间套定理 若闭区间列][{}n n b a ,满足： ①[]n n b a ,⊃[]11,++n n b a ，n =1,2,3,…； ②∞

→n lim ()n n a b -=0 ；

则存在唯一ξ，使得∞

→n lim n a =∞

→n lim n b =ξ，ξ是所有区间的唯一公共点.

有限覆盖定理 若开区间所成的区间集E 覆盖一个闭区间[]b a ,，则总可从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[]b a ,.

证明 用反证法 设[]b a ,不能被E 中有限个区间所覆盖.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E 中有限个区间所覆盖，把这一区间记为

[]11,b a .再等分[]11,b a ，记不能被E 中有限个区间所覆盖的那个部分区间为

[]22,b a .照这样分割下去，得到一个区间列][{}n n b a ,，这区间列显然适合下面两

个条件：

（i ） 每一[]n n b a ,皆不能被E 中有限个区间所覆盖；

（ii ） []b a ,⊃[]11,b a ⊃[]22,b a ⊃…；

（iii ）n b -n a =

n

a

b 2-→0； 有条件（ii ）及（iii ），于是由闭区间套定理，必有唯一点ξ∈[]b a ,使n a →ξ，

n b →ξ.按覆盖概念及定理所设条件，在E 中至少存在一个开区间，设为)(βα,，使

ξ∈)(βα, 即 α＜ξ＜β 有数列极限的性质知道，∃正整数N ，当n ＞N 时，有 α＜n a ＜n b ＜β 即当n ＞N 时，有

[]n n b a ,⊂)(βα,

也就是用E 中一个区间)(βα,就可覆盖所有形如[]n n b a ,﹙n ＞N ﹚的区间，与（i ）矛盾. 定理证毕

2 有限覆盖定理⇒致密性定理[]2 致密性定理 有界数列必有收敛的子列.

证明 设{}n x 为有界数列，a 是它的一个下界，b 是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立：

（i ） α∈[]b a ,，使在α的任何邻域中都有{}n x 的无穷多项；

（ii ）对任何x ∈[]b a ,，都存在x 的一个邻域()x x x x δδ+-,，使其中只含{}n x 的有限多项.

如果（ii ）成立，则开区间族)[]({}b a x x x x x ,,∈+-δδ构成[]b a ,的一个开覆盖.于是由有限覆盖定理知，其中必有有限子覆盖.由于每个区间中都只含{}n x 的有限多项，故有限个开区间之并也只含{}n x 的有限多项.但另一方面又应该包含

{}n x 的所有项，矛盾.这表明（ii ）不能成立，即必是（i ）成立.

考察α的邻域序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ⎝

⎛⎪⎭⎫+-n n 1,1αα.由（i ）知，每个邻域中都含有{}n x 的

无穷多项.首先在区间()1,1+-αα中取一项，记为1n x ，然后因⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-21,21αα中

含{}n x 的无穷多项，故可在其中取得下标大于1n 的一项记为2n x ，一般地，当

k n x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k k 1,1αα取定之后，由于⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+++-11,11k k αα中含有{}n x 的无穷多项，

故又可在其中取得下标大于k n 的一项记为1+k n x 。这样就可以得到子列{}

k n x ，满足条件

k n x a -＜

k

1

，k =1,2,3,… 当然有∞

→n lim k n x =α，即{}

k n x 是收敛的子数列. 定理证毕

3 致密性定理⇒柯西收敛原理

柯西收敛原理 数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：ε∀＞0，∃正整数N ,当

n m ,≥N 时，有

m n x x -＜ε 证明 首先证明条件的必要性：

设n x →a ，则ε∀＞0，∃正整数N ，当k ≥N 时，有 a x k -＜

2

ε

从而当n m ,≥N 时，有

m n x x -≤a x n -+m x a -＜2ε+2

ε

=ε 其次，证明条件的充分性：

首先，证明满足条件的任何数列必有界，从所设条件，取ε=1必∃正整数0N ，当n m ,≥0N 时，有

m n x x -＜1 特别的，当n ＞0N 且m =0N +1时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ≥0N 时，有

n x ≤10+-N n x x +10+N x ＜1+10+N x

这就证明了{}n x 的有界性，由致密性定理知，必有收敛的子列{}

k n x ，设∞

→n l i m

k n x =a ，

根据子列收敛定义，ε∀＞0，∃正整数K ，当k ＞K 时,有 a x k n -＜ε

取一正整数0k =()1,1max ++N K ,于是0k ＞K 且0k n ≥1+N n ≥N +1＞N ，因此当n ＞N 时，有已知条件有0k n n x x -＜ε，所以

a x n -≤0k n n x x -+a x k n -0＜ε+ε=2ε

即 ∞

→n lim n x = a

定理证毕

4 柯西收敛原理⇒确界原理

确界原理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 单调有界定理 单调数列有极限.

证明 设S 是有上界的集合，取实数1b ，使对所有x ∈S ，都有x ＜1b .取1a ∈S 并考察区间[]11,b a 的中点

211b a +.若211b a +是S 的上界，则令2a =1a ，2b =2

11b

a +；