雅可比矩阵PPT课件

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解 由式(2.6)知，二自由度机械手速度雅可比为 因此，逆雅可比为
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2.1.3 机器人雅可比讨论
机器人的奇异形位分为两类： (1) 边界奇异形位：当机器人臂全部伸展开或全部折 回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附 近，出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的 约束。这时相应的机器人形位叫做边界奇异形位。 (2) 内部奇异形位：两个或两个以上关节这时 相应的机器人形位叫做内部奇异形位。
机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和 力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力 和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操 作臂力控制的基础。
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2.2.1 操作臂力和力矩的平衡
图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i–1和i+1相连接，建立 两个坐标系{i–1}和{i}。
第二章 机器人静力分析与动力学
机器人动力学主要研究机器人运动和受力之间的关系，目的 是对机器人进行控制、优化设计和仿真。机器人动力学主要
解决动力学正问题和逆问题两类问题：动力学正问题是根
据各关节的驱动力(或力矩)，求解机器人的运动(关节位移、 速度和加速度)，主要用于机器人的仿真；动力学逆问题是已 知机器人关节的位移、速度和加速度，求解所需要的关节力 (或力矩)，是实时控制的需要。
利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析。 对式(2.7)左、右两边各除以dt得
式中：v为机器人末端在操作空间中的广义速度； q dot 为机器人关节在关节空间中的关节速度
J(q)为确定关节空间速度q dot与操作空间速度v之间 关系的雅可比矩阵
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刚体广义速度雅可比矩阵的表示：
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刚体广义速度雅可比矩阵的表示：
定义如下变量： fi–1，i及ni–1，i i–1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1及ni，i+1 i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； –fi，i+1及–ni，i+1i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和 反作用力矩； fn，n+1及nn，n+1机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； –fn，n+1及–nn，n+1外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f0，1及n0，1机器人机座对杆1的作用力和力矩； mig——连杆i的重量，作用在质心Ci上。
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斯坦福机械手速度雅可比矩阵的求解
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斯坦福机械手广义速度雅可比矩阵的求解
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教材例题2.1：逆雅可比矩阵的示例：
例2.1 如图2.2所示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正 向以1.0 m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°， θ2=60°，求相应瞬时的关节速度。
机器人末端在操作空间的位置和方位: X=X(q)， 操作空间的微小运动 :dX=[dX，dY，dZ，DφX，DφY，DφZ]T
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n自由度机器人速度雅可比 矩阵
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直接微分法求解雅可比矩阵：
m为要描述的平动或者转动投影分量数(比如绕三个坐标轴转动在xyz上投影
对应m=9，三个)，x1到xm中可能包括平动也可能包括转动，n为关节数，通
常也为自由度数。
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斯坦福机械手雅可比矩阵示例：
Xp为坐标原点，r1,r2,r3表示为坐标轴的单位向量的方向余弦：
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斯坦福机械手位置雅可比矩阵的求解：
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斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解：
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斯坦福机械手姿态雅可比矩阵的求解：
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2.1.2 机器人速度分析
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2.1 机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵(简称雅可比)揭示了操作空间与关节空 间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关节空间的 速度映射关系，也表示二者之间力的传递关系，为确定 机器人的静态关节力矩以及不同坐标系间速度、加速度 和静力的变换提供了便捷的方法。
2.1.1 机器人雅可比的定义
在机器人学中，雅可比是一个把关节速度向量 变换为手爪 相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵。
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旋转和平移同时进行：
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旋转和平移同时进行：
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速度的传递：
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速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1：
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速度传递法求解平面速度雅可比矩阵例题1：
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矢量积法求解广义速度雅可比矩阵
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矢量积法求解广义速度雅可比矩阵
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矢量积法求解广义速度雅可比矩阵
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雅可比矩阵关节坐标的表示：
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微元运动 线性&角度运动 速度传递分析 显式求解 静力分析
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二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，端点位置X、 Y与关节θ1、θ2的关系
微分形式
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J称为图2.1所示2R机器人的雅可比矩阵
对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q表示， q= [q1, q2, …, qn]T ; dq= [dq1，dq2, … , dqn]T
J
2
1
J 22
M
J
2
n
q&2
v
w
J 31 J 41
J 32 J 42
M M
J J
3n 4n
M
M
J
5
1
J 52
M
J
5n
q&n 1.
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J 61 J 62 M J 6 n q&n
平行移动情况下的速度分解：
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旋转运动情况下的速度分解：
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矢量叉积的矩阵表示：
机械手的笛卡儿空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换称 之为雅可比矩阵。关节空间向笛卡儿空间速度的传动比。
设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量， q为机械手的关节坐标矢量
x&w vDlit m0D1t dDdDlit m0x&Dt
DlimJ(q)q&Dt J(q)dq Dt0
J 11 J 12 M J 1n q&1
zi是坐标系{i}的z轴在基坐标系{o}中的表示。
q&i z i
&i
zi
i pn
z0
y0 x0
v w
lim
Dt0
1 Dt
d
对于移动关节，有：0,dziq& dt
wvz0iq&i, Ji z0i
对于转动关节，有：
i
p
0 n
是i
p
n 在在基坐标系{o}中的表示。
基坐标系
w vziziipn 0q& i, Ji ziziipn 0
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机器人的奇异点讨论：
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斯坦福机械手的运动学奇点：
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斯坦福机械手的运动学奇点示例 （讨论theta 5=0的特殊情况）
（theta 5=0时两轴线重合）
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通过雅可比矩阵求解平面机械手的奇点分析示例：
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通过雅可比矩阵对斯坦福机械手的奇点分析说明：
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2.2 机器人静力分析