平面向量与空间向量知识点对比
高中数学素材：平面向量与空间向量类比
平面向量与空间向量类比 某某 王建宏 某某 X 金龙 平面向量与空间向量有诸多相似之处，学习空间向量时若能与平面向量类比，往往会收到事半功倍的效果．本文以向量的线性表示为例（例1与例2）作简单介绍． 例1 已知：如图1，在平面中，1OA OB OA ==，与OB 的夹角为120OC ，与OA 的夹角为25，5OC =．用OAOB ，表示OC ． 解法一：OA OCcos OA OC AOC =∠5cos 25=．设OC OA OB λμ=+，则212OA OC OA OA OB λμλμ=+=-． 15cos 252λμ-=①同理由OB OC ，可得15cos952λμ-+=．② 由①②，可得103103sin 95sin 2533λμ==，， 103103sin 95sin 2533OC OA OB =+． 解法二：如图2，以OA 所在直线为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，则(5cos 255sin 25)OC ，． 设OC OA OB λμ=+，则13(10)22OC λμ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，，．解得103103sin 95sin 2533OC OA OB =+． 解法三：如图3，作平行四边形OM ，设OM OAON OB λμ==，， 由正弦定理得103103sin 95sin 2533OC OA OB =+（过程略）． 例2 已知：正四面体O ABC -中，OA OB OC a ===，点O 在底面上的射影为G ，试用向量OAOB OC ，，表示OG ． 解法一：如图4，∵OA =OB =OC ，∴点O 在底面的射影点G 为△ABC 的中心．取AB 的中点D ，则DG =13DC ． ∵13OG OD DG OD DC =+=+ 1()3OD OC OD =+-， 又∵1()2OD OA OB =+， ∴2133OG OD OC =+ 111333OA OB OC =++． 故111333OG OA OB OC =++． 解法二：如图5，以点O 为原点，建立空间直角坐标系，设111222333()()()A x y z B x y z C x y z ，，，，，，，，，由定比分点坐标公式，可得点G 的坐标123123123333x x x y y y z z z ++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 111333OG OA OB OC ∴=++． 解法三：如图6，作平行六面体CENF OBMA -，使得正四面体O ABC -为其一个角上的小三棱锥，则ON OA OB OC =++．可证13OG ON =（过程略）． 提起空间向量，许多同学会习惯于空间向量的直角坐标运算，忽略了空间向量本身的应用．2005年全国高中数学联赛第2题（例3），是利用空间向量（不建立空间直角坐标系）解立体几何问题的典型，应培养空间向量的应用意识．例3 如图7，空间四点AB C D ，，，满足 37119AB BC CD DA ====，，，，则AC BD 的取值（ ）（A ）只有一个 （B ）有两个（C ）有四个 （D ）有无穷多个此题设计精巧，构思奇妙，其来源于课本习题（具体化，并向空间推广），思维含量颇高．试题组提供的解答过程比较麻烦，此处从略．课本上有这样一道习题：已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证它的对角线互相垂直．这道习题有很多种证明方法，向量法简证如下：设AD AC AB ===，，a b c 则BD =-a c ，条件2222AB CD BC AD +=+即22()()+-=-+22c a b b c a ，展开整理可得a b =b c ，即()0-=b c a ，也就是0AC BD =，从而AC BDAC BD ，⊥⊥．上述证明与四边形ABCD 是平面图形还是立体图形无关，该结论也适合于空间问题．该试题可追溯到一道匈牙利数学竞赛试题：证明四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和的充要条件是它的两条对角线互相垂直．该联赛试题的解答可简化为：由222231179+=+，则0AC BD AC BD =，⊥．故此题选（Ａ）．阿波罗尼斯圆比例为0.5阿波罗尼斯（Apollonius ）圆，简称阿氏圆。
最新平面向量与空间向量知识点对比
0≤＜ a,b ＞≤ π
0≤＜ a,b ＞≤ π
结合律、交换律
平面向量 a 与一个实数的乘积是一个向量，记作 λa.
空间向量 a 与一个实数的乘积是一个向量，记作 λa.
向量 a a 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数
，使 空间两个向量 a a 0 与 b 共线， 当且仅当有唯一一个实数
常用公式
AB x2 x1, y2 y1 .
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1 .
（a+b）（a-b ） =a2－b2 = |a| 2－ |b| 2, (a ?b) 2 =a2?2ab+b2
设 A x1, y1 , B x 2, y2 ，则：
(1)|a|= a a (2 ）a⊥b a· b=0 (3) cos a, b a b (a 0,b 0)
| a || b |
=
x1 x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a xi y j zk x, y, z
设 a x1, y1, z1 ,b x2 , y2 , z2 ，则：
=
x1x2 y1 y2
x12 y12
x22 y22
a xi y j x, y
设 a x1, y1 , b x2 , y2 ，则：
a b x1 x2 , y1 y2 ，
坐标运算
a b x1 x2, y1 y2 ， a x1, y1 ，
a / /b a b x1y2 x2 y1 0
ab
ab 0
x1 x2 y1 y 2 0
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内容
定义
表示方法
相同点 模的大小
平面向量和空间向量的知识点对比
平面向量和空间向量的知识点对比知识点平面向量空间向量。
---定义既有大小又有方向的量，在平面内既有大小又有方向的量，在空间中。
表示方法通常用有向线段表示，如→AB，也可以用坐标表示(x,y)通常用有向线段表示，如→AB，坐标表示为(x,y,z)向量的模对于平面向量→a=(x,y)，|→a|=√(x^2)+y^{2}对于空间向量→a=(x,y,z)，|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}相等向量大小相等且方向相同的向量，在平面内大小相等且方向相同的向量，在空间中。
平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，在平面内→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b方向相同或相反的非零向量，在空间中→a=k→b(k∈ R)表示→a∥→b加法运算三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2)三角形法则和平行四边形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)减法运算三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2)三角形法则。
<br>若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)数乘运算若→a=(x,y)，k∈ R，则k→a=(kx,ky)若→a=(x,y,z)，k∈ R，则k→a=(kx,ky,kz)数量积若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a·→b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2，→a·→b=|→a||→b|cosθ（θ为→a与→b的夹角）向量的夹角设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，cosθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}·√(x_2)^2+y_{2 ^2}}，θ∈[0,π]设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，co sθ=frac{→a·→b}{|→a||→b|}=frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{√(x_1)^2+y_{1^2+z_1^2}·√(x_2)^2+y_{2^2+z_2^2}}，θ∈[0,π]向量垂直若→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0若→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0L eftrightarrow x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0向量的应用在平面几何、物理（如力的合成与分解等）中有广泛应用在立体几何（如证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角等）、物理（如空间力的分析等）中有广泛应用。
(整理)平面向量空间向量知识点
平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB u u u r ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、b a +≤b a +.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的长度和方向规定如下：⑴= ⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x y x ==，则： ⑴()2121,y y x x b a ++=+，⑵()2121,y y x x b a --=-， ⑶()11,y x λλλ=， ⑷1221//y x y x =⇔. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θ.3、 2=.4、=.5、 0=⋅⇔⊥b a b a .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=r r r r2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式cos a ba bθ⋅==r r r r4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=u u u r ， 则.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =r平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB u u u r 为直线l 的一个方向向量；与AB u u u r平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量：若向量n r 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥r ，如果n α⊥r，那么向量n r叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =r．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==r u r．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r r r r .⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b r r 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a r ∥b r ，即()a kb k R =∈r r. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中一个重要的概念，它在解决立体几何问题时具有独特的优势。
以下是对空间向量知识点的详细总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义空间向量是既有大小又有方向的量。
与平面向量类似，但所处的空间维度更高。
2、空间向量的表示可以用有向线段表示，其起点和终点分别表示向量的起点和终点。
也可以用坐标表示，如在空间直角坐标系中，向量＼（＼overrightarrow{AB}＼）的坐标为＼（（x_B x_A, y_B y_A, z_B z_A)＼）。
3、空间向量的模空间向量的模长计算公式为＼（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2 ＋ z^2}＼），其中＼（＼overrightarrow{a} ＝（x, y, z)＼）。
4、单位向量模长为 1 的向量称为单位向量。
对于向量＼（＼overrightarrow{a}＼），其单位向量为＼（＼frac{＼overrightarrow{a}｝｛＼vert\overrightarrow{a}＼vert}＼）。
5、零向量模长为 0 的向量称为零向量，其方向任意。
二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法满足三角形法则和平行四边形法则。
＼（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_a ＋ x_b, y_a ＋ y_b, z_a ＋ z_b)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_a x_b, y_a y_b, z_a z_b)＼）。
2、数乘运算实数＼（λ\）与空间向量＼（＼overrightarrow{a}＼）的乘积是一个空间向量，记作＼（λ\overrightarrow{a}＼）。
＼（λ\overrightarrow{a} ＝（λx_a, λy_a, λz_a)＼）。
3、数量积（点积）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＼vert\overrightarrow{b}＼vert ＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b} ＞＼）。
空间向量与平面向量的关系
空间向量与平面向量的关系空间向量和平面向量都属于向量的范畴，它们之间存在着密切的关系。
在本文中，我们将探讨空间向量和平面向量之间的关系以及它们在数学和物理中的应用。
一、向量的定义和表示向量是带有方向和大小的量，常用箭头表示，方向由箭头的指向确定。
空间向量是具有三个维度的向量，可以表示三维空间中的位移、速度、加速度等物理量；平面向量是具有两个维度的向量，可以表示二维平面上的位移、速度、力等物理量。
空间向量通常用字母加上箭头来表示，例如空间向量A可以表示为→A=(a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x、y、z轴的分量。
平面向量通常用字母加上箭头或者加粗字母来表示，例如平面向量a可以表示为→a=(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
二、空间向量与平面向量的关系空间向量可以看作是平面向量在三维空间中的推广。
当平面向量的z轴分量为0时，平面向量可以看作是在二维平面上的向量。
而当平面向量的z轴分量不为0时，它可以看作是在平面向量基础上增加了一个维度，形成了一个空间向量。
具体来说，当平面向量a=(x, y)的z轴分量为0时，可以构造出与其对应的空间向量→a=(x, y, 0)，其中x和y分别对应空间向量在x和y轴上的分量，z轴分量为0。
反之，当空间向量A=(a1, a2, a3)的a3分量为0时，可以构造出与其对应的平面向量→A=(a1, a2)，其中a1和a2分别对应平面向量在x和y轴上的分量。
三、向量的运算空间向量和平面向量在运算上有许多相似之处。
它们都可以进行加法、减法和数乘运算。
1. 向量加法：空间向量和平面向量的加法运算都是分别对应分量相加。
例如，空间向量A=(a1, a2, a3)和空间向量B=(b1, b2, b3)的和可以表示为→A+→B=(a1+b1, a2+b2, a3+b3)；平面向量a=(x1, y1)和平面向量b=(x2, y2)的和可以表示为→a+→b=(x1+x2, y1+y2)。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
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5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
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规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
高中数学空间向量
高中数学空间向量
高中数学中，空间向量是一个重要的知识点。
空间向量是三维空间中的一个向量，由三个实数表示坐标。
它与平面向量不同，平面向量只有两个坐标。
空间向量有三个重要的基本运算：加法、减法和数量积。
加法和减法可以看做是两个向量的矢量和矢量差，表示向量之间的相对位置和方向。
数量积可以衡量两个向量之间的相似程度，比如两个向量垂直时数量积等于0，两个向量平行时数量积有最大值。
空间向量还有很多重要的应用，其中最重要的就是解决三维空间中的几何问题。
比如，计算线段、直线和平面之间的距离、角度和交点等。
此外，空间向量还能用于模拟物理系统、计算电场和磁场等方面，有着广泛的应用。
在学习空间向量时，需要掌握向量的基本概念和运算法则，理解向量的几何和代数表示，并且熟练掌握向量的应用技巧。
学习空间向量不仅可以帮助我们解决一些实际问题，在高考数学中也是一个非常重要的知识点。
解密高考数学中的平面向量与空间向量运算
解密高考数学中的平面向量与空间向量运算数学作为高考的一门重要科目，其内容繁多且考察层次较高。
其中，平面向量与空间向量运算作为高考数学中的重要知识点，被广大考生所关注。
本文将针对平面向量与空间向量运算进行详细解密，帮助考生更好地理解和应用这一知识点。
一、平面向量的定义和基本运算在解密平面向量运算之前，我们首先需要了解平面向量的定义和基本运算。
平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
具体来说，平面向量由起点和终点确定，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
平面向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
平面向量的加法用两个向量的始点相连作为新向量的始点，将两个向量的终点相连作为新向量的终点。
平面向量的减法则是将被减向量取相反向量后再进行加法运算。
平面向量的数乘是将向量的大小乘以一个实数。
在解密高考数学中的平面向量运算时，我们需要牢记这些基本运算规则，并能够熟练地应用到具体的题目中去。
二、平面向量的数量积和向量积除了基本的向量运算外，平面向量还涉及到数量积和向量积。
数量积又称点积或内积，用来计算两个向量之间的夹角和相对方向。
向量积又称叉积或外积，用来计算两个向量构成的平行四边形的面积和方向。
平面向量的数量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值。
数学上可表示为：A·B = |A||B|cosθ其中，A和B分别为两个向量，|A|和|B|为它们的模长，θ为夹角。
平面向量的向量积定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的正弦值乘以一个法向量，以得到一个新的向量。
数学上可表示为：A ×B = |A||B|sinθn其中，A和B分别为两个向量，|A|和|B|为它们的模长，θ为夹角，n为法向量。
高考数学中的平面向量运算题目往往会考查考生对数量积和向量积的理解和应用能力，因此我们需要通过大量练习题目来掌握这两种运算方法。
三、空间向量的定义和基本运算在解密高考数学中的空间向量运算之前，我们同样需要理解和掌握空间向量的基本概念和基本运算。
高中数学平面空间向量知识点总结
平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=121y x +当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质空间向量与立体几何 1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：()//0,a b b x R a xb ≠⇒∃∈=（2）空间中的共面条件：,,a b c 共面（,b c 不共线）,,x y R a xb yc ⇔∃∈=+推论：对于空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，OP xOA yOB zOC =++ ()1x y z ++=，则四点O 、A 、B 、C 共面（3）空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++ （4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±()111,,a x y z λλλλ= 121212a b x x y y z z ⋅=++注1：数量积不满足结合律； 注2：空间中的基底要求不共面。
空间向量与平面向量的关系探究
空间向量与平面向量的关系探究在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，常用于描述物体在空间中的运动和位置。
而向量又可以分为平面向量和空间向量两种。
那么，空间向量与平面向量之间是否存在某种关系呢？本文将从几何和代数两个角度探究这一问题。
一、几何角度的关系从几何的角度来看，空间向量与平面向量之间存在着密切的联系。
首先，我们来看平面向量。
平面向量可以表示平面上的位移，它由两个点确定，其中一个点作为起点，另一个点作为终点，向量的方向由起点指向终点。
而空间向量则可以表示空间中的位移，同样由两个点确定，其中一个点作为起点，另一个点作为终点，向量的方向由起点指向终点。
在平面几何中，我们知道两个向量可以进行加法和减法运算，得到一个新的向量。
同样，在空间几何中，两个空间向量也可以进行加法和减法运算，得到一个新的空间向量。
这说明空间向量与平面向量在向量的运算上是相同的。
此外，平面向量还可以进行数乘运算，即将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。
同样，空间向量也可以进行数乘运算，将一个空间向量乘以一个实数，得到一个新的空间向量。
这表明空间向量与平面向量在数乘运算上也是相同的。
从几何的角度来看，空间向量与平面向量之间存在着相似的运算规律和性质。
它们都可以进行加法、减法和数乘运算，且运算规律相同。
二、代数角度的关系除了几何的角度外，我们还可以从代数的角度来探究空间向量与平面向量的关系。
在代数中，我们可以使用坐标系来表示向量。
对于平面向量来说，我们可以使用二维坐标系，其中一个坐标表示向量在x轴上的分量，另一个坐标表示向量在y 轴上的分量。
而对于空间向量来说，我们可以使用三维坐标系，其中一个坐标表示向量在x轴上的分量，另一个坐标表示向量在y轴上的分量，第三个坐标表示向量在z轴上的分量。
通过坐标系的表示，我们可以将向量的运算转化为数学运算。
在平面向量中，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加，向量的减法就是将两个向量的对应分量相减。
平面向量和空间向量的类比学习方法
平面向量和空间向量的类比学习方法1、向量在高中教材的分布向量（既有大小又有方向的量）能够简化三角、平面几何、立体几何、线性方程组及矩阵中的许多运算和证明，能够对复数运算的几何意义及多种几何变换作出合理的解释，这使向量成为除函数之外能够贯穿中学数学许多章节的内容。
必修的数学 4 的第二章以平面向量为内容，具体包括“向量的概念与表示”、“向量的线性运算”、“向量的坐标表示”、“向量的数量积”和“向量的应用”等知识点。
“空间向量”则是选修课程系列2-1 的第三章的主要组成部分，以空间向量及其在立体几何中的应用为主要内容，具体包括“空间向量及其运算”和“立体几何中的向量方法”两个知识点。
2、“平面向量”和“空间向量”的基本概念向量把代数和几何的知识点有机地联系起来，可以帮助学习者从整体上理解数学知识之间的内部联系。
向量的运算法则是以运算律的形式表现的，受这种形式影响，容易将向量与代数知识画上等号。
实际上，向量不仅属于代数范畴，也属于几何的范畴。
平面向量和空间向量是向量研究的两个维度，向量的本身所具有的代数（可以用有序实数对表示）和几何（可以用有向线段表示）双重属性，使向量体现出数学中的数形结合思想。
2.1 平面向量在一个平面内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
如果e1、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2.2 空间向量在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量。
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a +y b +z c ,其中{ a、b、c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量。
2.3 平面向量与空间向量的关系平面向量与空间向量研究的范围不同，平面向量从平面扩展到空间就变成了空间向量。
高二数学选修2-1 空间向量的运算及空间向量的基本定理(精品)知识精讲
高二数学选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理 北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容：选修2－1 空间向量的运算及空间向量的基本定理二、教学目标：1. 理解并掌握空间两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量、共面向量等基本概念。
2. 熟练地掌握空间向量的加减运算、数乘运算、空间向量坐标运算的运算法则、运算律及空间向量的数量积的几何意义及性质。
3. 熟练地掌握共线向量定理、空间向量的基本定理，并能利用它们讨论证明空间的线面关系。
4. 体会用类比的数学思想、方程的数学思想、等价转化的数学思想解决问题。
三、知识要点分析：（一）平面向量与空间向量的相同点：1. 向量夹角：过空间一点O 作AOB ,OB b ,OA a ∠==则是向量a 与向量b 的夹角。
X 围：[0，]π2. 加减运算：加减运算法则：向量的平行四边形法则（三角形法则） 运算律：结合律：)()(c b a c b a ++=++，交换律：a b b a +=+3. 数乘运算法则：向量a 与实数λ的乘积是一个向量，记作：a λ，满足（i ）||||λλ=a ||a ，（ii ）当0>λ时，a λ与a 方向相同，反之，相反。
0a 0=λ=λ时，。
运算律：（i ）).(,R a a ∈=λλλ（ii ）)R ,(,a a a )(,b a )b a (∈μλμ+λ=μ+λλ+λ=+λ.（iii ）),(),()(R a a ∈=μλμλλμ4. 空间向量的数量积：θ⋅=⋅cos |b ||a |b a 。
θ>=<b a ,。
运算律：交换律：a b b a ⋅=⋅分配律：c a b a )c b (a ⋅+⋅=+⋅，(λ)b a ⋅=b )a (⋅λ)b (a λ⋅=性质：（1）a a |a |⋅，（2）0b a b a =⋅⇔⊥，（3）|b ||a ||b a |⋅≤⋅注：向量的数量积运算不满足乘法的结合律。
平面向量与空间向量
；
；
③平面向量数量积的运算律
交换律成立： ；
对实数的结合律成立： ；
分配律成立： 。
④向量的夹角：cos = = 。
当且仅当两个非零向量 与 同方向时，θ=00，当且仅当 与 反方向时θ=1800，同时 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
（5）两个向量的数量积的坐标运算
已知两个向量 ，则 · = 。
3．两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 。
4．平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： 其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
5．平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 可表示成 ，由于 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量 的坐标，记作 =(x,y)，其中x叫作 在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
1．向量的数量积
（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作 ＝ ， ＝ ，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫 与 的夹角；
说明：
a.当θ＝０时， 与 同向；
b.当θ＝π时， 与 反向；
c.当θ＝ 时， 与 垂直，记 ⊥ ；
d.注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。
（2）数量积的概念
（6）垂直：如果 与 的夹角为900则称 与 垂直，记作 ⊥ 。
两个非零向量垂直的充要条件： ⊥ · ＝O ，平面向量数量积的性质。
（7）平面内两点间的距离公式
设 ，则 或 。
平面向量空间向量知识点
平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2++§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：λ，它的长度和方向规定如下：⑴=⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同；当0<λ时, λ的方向与的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=.§2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e λλ+=.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、 ()y x y x ,=+=.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴()2121,y y x x ++=+，⑵()2121,y y x x --=-，⑶()11,y x λλλ=，⑷1221//y x y x b a =⇔.2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x --=.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则⑴线段AB 中点坐标为()222121,y y x x ++，⑵△ABC 的重心坐标为()33321321,y y y x x x ++++.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 θ=⋅.2、 在θ.3、 2a =.4、 =.5、 0=⋅⇔⊥.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设()()2211,,,y x y x ==，则：⑴2121y y x x +=⋅2121y x +=⑶121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=⑷1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x -+-=.3、 两向量的夹角公式2c o s a b a bx θ⋅==+4、点的平移公式平移前的点为(,)P x y （原坐标），平移后的对应点为(,)P x y '''（新坐标），平移向量为(,)PP h k '=， 则.x x hy y k '=+⎧⎨'=+⎩函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.⑵．平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组0n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
平面向量的空间向量和三维几何
平面向量的空间向量和三维几何平面向量是指在二维平面上表示的有方向和大小的量。
而空间向量则是在三维空间中表示的具有方向和大小的量。
在解决三维几何问题时，空间向量起着重要的作用。
本文将介绍平面向量和空间向量的概念、性质以及在三维几何中的应用。
一、平面向量和空间向量的概念1. 平面向量的概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的向量。
平面向量可以通过两点确定，表示为AB→，其中A为起点，B为终点。
平面向量具有大小和方向两个属性，可以进行加法、减法、数乘等运算。
2. 空间向量的概念空间向量是指在三维空间中用有向线段表示的向量。
空间向量也可以通过两点确定，表示为AB→。
与平面向量类似，空间向量也具有大小和方向两个属性，可以进行加法、减法、数乘等运算。
二、平面向量和空间向量的性质1. 平面向量的性质（1）平面向量的大小表示为|AB→|，即向量AB→的长度。
（2）平面向量的方向可以表示为与x轴的夹角或者与y轴的夹角，使用极坐标表示。
（3）平面向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加的结果等于其对角线向量的大小和方向。
（4）平面向量的减法等于两个向量相加的结果与另一个向量的反方向的向量。
（5）平面向量的数乘计算结果为向量的大小乘以常数。
2. 空间向量的性质（1）空间向量的大小表示为|AB→|，即向量AB→的长度。
（2）空间向量的方向可以表示为与x轴的夹角、与y轴的夹角或者与z轴的夹角，使用球坐标表示。
（3）空间向量的加法满足平行六面体法则，即两个向量相加的结果等于其对角线向量的大小和方向。
（4）空间向量的减法等于两个向量相加的结果与另一个向量的反方向的向量。
（5）空间向量的数乘计算结果为向量的大小乘以常数。
三、平面向量和空间向量在三维几何中的应用1. 平面向量在三维几何中的应用（1）平面向量可用于求解三维空间中的平面方程。
通过已知平面上的两个非共线向量，可以得到平面的法向量，并根据法向量和平面上一点的坐标，得到平面方程的一般式或者点法式方程。
平面向量与空间向量知识点对比
平面向量与空间向量知识点对比内容平面向量空间向量定义既有大小，又有方向既有大小，又有方向表示方法 （1）用有向线段AB 表示； （2）用c b a ,,或a,b,c 表示 模 向量的长度，用|AB |或|a|表示 零向量 长度为0的向量，记为a 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等，方向相同的向量叫做相等向量相反向量 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA夹角范围 0≤θ≤π0≤θ≤π数乘 平面向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λa.空间向量a 与一个实数的乘积是一个向量，记作λa.共线向量定理 向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=向量共线向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ= 向量p 与a 与b 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y ），使（共面） b y a x p +=点共线（共面） OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线OC z y x ++=OB OA OP 若，且1=++z y x ，则P 、A 、B 、C 、四点共面数量积 θcos b a b a⋅=⋅ θcos b a b a⋅=⋅运算律满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律向量的运算线性运算坐标运算线性运算坐标运算加法三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB =+平行四边形法则：同起点，对角线()2121,y y x x b a ++=+三角形法则:首尾相连首尾连；例如：AC BC AB =+()212121,,z z y y x x b a +++=+减法三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如：CB AC AB =+()2121,y y x x b a --=-三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如：CB AC AB =+()212121,,z z y y x x b a ---=-数乘倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与x a x x a a x 00<> ()11,y x a λλλ=倍的向量的），长度为或者相反（）方向相同（表示与x a x x a a x 00<>()11,y x a λλλ=1122(,)(,),a x y b x y ==若，则有111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==若，，则有数量积模夹角平行1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=212121,,//z z y y x x b a b a λλλλ===⇔=⇔垂直向量的正交分解及坐标表示()y x j y i x a ,=+=()z y x k z j y i x a ,,=++=坐标运算 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --= 设()()2211,,,y x B y x A ，则： ()121212,,z z y y x x AB ---=.常用结论22a a =cos a b a b θ⋅=cos a b a b θ⋅=1212a b x x y y ⋅=+121212a b x x y y z z ⋅=++a a a=⋅2211a x y =+a a a=⋅222111a x y z =++cos a b a bθ⋅=121222221122cos x x y y x y x y θ+=++cos a b a bθ⋅=121212222222111222cosx x y y z z x y z x y z θ++=++++(0)a b b λ=≠1112222220x y z x y z x y z ==≠（）(0)a b b λ=≠1122220x y x y x y =≠（）0a b ⋅=12120x x y y +=0a b ⋅=1212120x x y y z z ++=Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
平面向量空间向量知识点
§2.1.1、向量的物理背景与概念§2.1.2、向量的几何表示带有方向的线段叫做 有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.§2.1.3、相等向量与共线向量§2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、三角形加法法则 和平行四边形加法法则2、 §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义规定：实数k 与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做 向量的数乘.记作：入a ，它的长度平面向量1、 了解四种常见向量： 力、位移、速度、加速度2、 既有大小又有方向的量叫做 向量.1、 2、 向量AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称 模），记作TAB ；长度为零的向量叫做零3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.1、3、2、a 在b 方向上的投影为:a cos 日.-2af|2 da 2.和方向规定如下:⑵当A >0时,Z a 的方向与a 的方向相同；当几< 0时,Z a 的方向与a 的方向相反.平面向量共线定理：向量a GH Q 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 A ,使b = Z a .§2.3.1、平面向量基本定理平面向量基本定理：如果^,e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数A ,，兀2，使a = Z i ei +几2 02.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示§2.3.3、平面向量的坐标运算设a =(x i ,y i )b =(X 2, y?)，则: ⑴a + b =(X i +X 2,y i +y2 ), ⑵ a —b = (x i —X2, y i — y2 ),⑷ a // b u x i y^x 2y i . 2、设 A(x i ,y i )B(X 2,y 2 )，则:AB =(X 2 -X i ,y 2 - yi )•§2.3.4、平面向量共线的坐标表示i 、设 AX i , y i )B(X 2, y )C(X 3,y3 )，则 ⑴线段AB 中点坐标为（穿2 , y i了2ABC 的重心坐标为（W*3 y也为3§.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 b = a b cos日.2、 1、 1、a =xi +yj =(x,y )•1、 i 、2、 3、 ⑷ a//b=4=A b u x 1y 2 -x 2y^0设 A(x i ,y i )B(X 2,y 2 )，则:AB =J(X 2 -x i S +(y 2 -y i Y .cos 日两向量的夹角公式a b= -4-4-= a b J xi 2 + yj 'J x22 + y224、点的平移公式平移前的点为P （x,y ）（原坐标），平移后的对应点为 P'（x ：y ）（新坐标），平移向量为PP ' = (h,k)， 函数y = f （x ）的图像按向量 f x ' = x + h则4 ,\y = y +k.a =(h,k)平移后的图像的解析式为 y-k = f(x-h).里.5.1、平面几何中的向量方法 里.5.2、向量在物理中的应用举空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 .下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则 AB 为直线丨的一个方向向量；与 AB 平行的任意非§.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设a =(X i ，y i )b =(X 2, y )，则:⑴ a ”b =X i X 2 +y i y 2 ⑵ a =J xi 2+y 2⑶ a 丄bu ab = Ou x 1x 2 + y 1y^O4、 -■- /-h 25、a 丄bu a”b=O .1、即:两平面平行或重合 U 两平面的法向量共线。
高二数学平面向量与空间向量的夹角与平行
高二数学平面向量与空间向量的夹角与平行数学中的向量是广泛应用于各个领域的概念，其夹角和平行性是研究向量性质的重要内容。
在高中数学的学习阶段，我们首先学习了平面向量，然后逐渐引入了空间向量。
本文将讨论高二阶段数学中平面向量和空间向量之间夹角的概念和计算方法，以及向量的平行性。
一、平面向量的夹角与平行性在平面上，我们常常遇到两个向量的夹角和平行性的问题。
夹角指的是一个向量与另一个向量之间的角度关系。
平行性则指的是两个向量的方向相同或相反。
1. 夹角的定义与计算两个非零向量A和A在平面上的夹角可以用余弦定理来计算。
假设向量A的模为 |A|，向量A的模为 |A|，两向量的夹角为θ，则有以下公式：A·A = |A||A|cosθ其中，A·A表示向量的数量积或点积。
通过上述公式，我们可以求出两个向量的点积值，由点积值求解出夹角θ。
若两向量的点积为零，则它们垂直；若点积大于零，则它们夹角为锐角；若点积小于零，则它们夹角为钝角。
2. 平行与共线的判定如果两个向量A和A的夹角为0或180度，它们即为平行向量。
要判断两向量是否平行，我们可以计算它们的方向向量，若方向向量相等，则它们平行。
此外，两个非零向量平行的充分必要条件是它们的数量积等于零。
二、空间向量的夹角与平行性当我们进一步学习空间向量时，针对夹角和平行性的概念也需要进行拓展。
1. 夹角的定义与计算对于空间中的两个向量A和A，它们的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·A) / (|A||A|)其中，(A·A) 表示向量的数量积或点积，|A| 和 |A| 分别表示向量的模。
通过该公式，我们可以求出两个向量的点积，从而计算出夹角的值。
同样，若点积为零，则两向量垂直；若点积大于零，则夹角为锐角；若点积小于零，则夹角为钝角。
2. 平行与共线的判定空间中的两个向量A和A，若满足以下条件，则它们平行或共线：a) 两向量的方向向量相等；b) 两向量的数量积等于零。
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数乘
数量积
模
夹角
平行
垂直
向量的正交分解及坐标表示
坐标运算
设 ，则：
设 ，则： .
常用结论
平面向量与空间向量知识点对比
内容
平面向量
空间向量
定义
既有大小，又有方向
既有大小，又有方向
表示方法
（1）用有向线段 表示； （2）用 或a,b,c表示
模
向量的长度，用| |或|a|表示
零向量
长度为0的向量，记为a
单位向量
模为1的向量叫做单位向量
相等向量
长度相等，方向相同的向量叫做相等向量
相反向量
长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如： 的相反向量是 或者
夹角范围
0≤ ≤π
0≤ ≤π
数乘
平面向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作λa.
空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作λa.
共线向量定理
向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使
向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使
向量共线（共面）
向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使
向量 与 与 共面的充要条件是存在有序实数对（x,y），使
点共线（共面）
，且 ，则A、B、C、三点共线
，且 ，则P、A、B、C、四点共面
数量积
运算律
满足交换律、分配律，不满足三个向量连乘的结合律
向量的运算
线性运算
坐标运算
线性运算
坐标运算
加法
三角形法则:首尾相连首尾连；例如：
平行四边形法则：同起点，对角线
三角形法则:首尾相连首尾连；例如：
减法
三角形法则:同起点，连终点，指向被减向量；例如：