正弦函数的图像和性质

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正弦函数和余弦函数的图像与性质

例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念实数集与角的集合可以建立一一对应的关系，每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数函数 y cos x 叫做余弦函数正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]

正弦函数的图像与性质

y
1
正弦曲线
π 2π 3π 4π 5π
-4π
-3π
-2π
-π
o
-1
6π
x
正弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？如何作出正弦函数的图象（在精确度要求不太高时）？正弦函数的图象
y 1
π
2
(0,0) o (0,0) ( ,1) 2π ( 2 ,1) π ( 2 ,1)
π
五点画图法
最小正周期
正弦函数的奇偶性、正弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点原点对称
y
1 -3π
−
5π 2
-2π
−
3π 2
-π
−
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
y=sinx
正弦函数的奇偶性、正弦函数的奇偶性、单调性
正弦函数的单调性
y
3
解：(1)当cos x =1,即x=6kπ (k∈Z)时，ymzx=1 当即 π ∈ 时 ∴函数的最大值为1, 函数的最大值为取最大值时x的集合为取最大值时的集合为{x|x=6kπ,k∈Z}．的集合为 π ∈ ． (2)当sin2x=-1时,即当时即
2 x = 2kπ + (k ∈ Z ) 2 π ⇒x=kππ (k∈Z)时,ymax=3 ∈ 时
2 3π π π 3π 减至-1 减区间为 [[ 2 +2kπ, +2kπ],k∈Z 其值从 1减至，减至 2 π 2 ] π ∈
π− π

正弦函数图像与性质

正弦函数图像与性质
正弦函数图像的作出
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，因为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函数y=sinx在x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]， x∈[4π，6π]时的图象与x∈[0，2π]时的形状完全一样，只是位置不同。现在把上述图象沿着x轴平移±2π， ±4π，……就得到y=sinx，x∈R的图象。叫做正弦曲线．
若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
(2) “每一个值”，只要有一个反例，则f (x)就不为
周期函数（如f (x0+T)f (x0)）； (3) T往往是多值的（如y=sinx, T=2k都是周期,最小正周期是2π.）
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数,

2
＋2kπ，k∈Z时，正弦函数

2
取得最大值1；
②当且仅当x＝－数取得最小值－1 ＋2kπ，k∈Z时，正弦函
正弦函数y=sinx性质
(3) 周期性: 由sin(x＋2kπ)＝sinx (k∈Z)知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质称为三角函数的周期性。
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，

2
2
(2)sin(－
sin(－
0
23 5
)＝－sin
)＝－sin

2 5
17 4
2 5

4

4

2
0,
函数y=sinx在区间( ∴sin(－
23 5

2
)内为增函数,
17 4
)－sin(－

高二数学正弦函数的图像与性质

22 的值,得到"五点",再描. 点作图. 然. 后将简图再, "描点五"作点图
X0
2

3 2
2
x 2 7 5 13
2
2
2
y 0 2 0 2 0
小结
y＝Asin(ωx＋φ)的各种变化方式
课后作业: 课本
P49 练习A1(2)(4) 2(3)(4)
世上没有什么天才
天才是勤奋的结果
；必威电竞；
疆虽是鼎鼎有名.孟禄也听过他的名字.但他却不知道左耳朵的为人.也不知道左耳朵在北疆的威望.就如飞红中在北地几样.他只道左耳朵也像明悦几样.只是个助拳的人.仗着箭法高明.所以才有名气的.他又恍惚听人说过；左耳朵乃是明悦的族兄.当日明悦来投唐努老英雄.捧的就是左耳朵的名头.明悦反叛之事他是知道的.他只以为左耳朵给他的族弟拉去.到北地来暗害他们.因此.带着三十多匹马.几路追踪觅迹.而左耳朵又因处处要照顾苏绿儿.不能驱车疾走.竟然给他们追上. 左耳朵几阵愕然.纳兰朗慧忽然揭开车帘.露出脸来.叫道. 你们不要赖他.那两个人是我杀的. 苏绿儿得啦爱情的滋润.虽在病后.却是眼如秋水.容光照人.她本是旗人中的第几位美人.在这草原蓦然现出色相.颜容映着晚霞.孟禄只觉得几阵光采迫人.眼花综乱.急忙定下心神.再喝问道-你说什么？苏绿儿冷笑道. 你听不清楚么？那两个人是本姑娘杀的. 孟禄这时也注意到啦车帘上绣着的纳兰两字.又惊又喜.他起初以为车上只是普通的清军将官的眷属.而今见这个气派.暮然想起久闻满清的伊犁护军苏翠儿.有几个美丽的女儿.文武双全.莫不是她. 孟禄皮鞭几指.笑道-是你杀的也好.不是你杀的也好.你现在是我的俘虏啦.随我回去再说. 苏绿儿又是几声冷笑.说道-你也想跟那两个人去见阎王吗？他们就是说要捉我做俘虏.才给

正弦和余弦的图像和性质

其定义域为R，值域为[-1,1],周期为2
y sin x, x [0, 2 ]的图象作法: (1) 等分
(2) 作正弦线
问题：如何作出比较精确的正弦函数图象？ (3) 平移
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
(4) 连线
y
B
1
用光滑曲线将这些正弦线的终点连结起来!
A
O1
O 2 5 7 4 3 5 11 22
2
(
,1)
(
2 ,1)
(
2
,1)
(
2
,1)
( 2( ,21),1) ( 2 ,1)
,0) 3
(
2
( ,0) 2
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32),1(33,)(212(3(323)2,21-,1,-),-1)-11)))
2 ,0) x
2 ,0)
解： x
3
0
2
2
2
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
y
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1
2
3
2
x
2
典型例题：
例1（2）画出函数y= -cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx
1
0
-1 0
1
-cosx
-1
0
1
0
-1
y
1
y=-cosx，x[0, 2]

三角函数图像与性质

三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。

接下来看看常见三角函数的图像和性质。

三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。

正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。

余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。

余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。

图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。

正弦型函数的图像性质

详细描述
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对称
通过调整A、ω、φ的值，可以获得不同振幅、周期和相位偏移的正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中，以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的值等于点的纵坐标和横坐标的比值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用，例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是偶函数。虽然它的图像关于原点和y轴都有对称性，但它不符合奇偶函数的严格定义。
振幅与图像高度

课件1：7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)

最大值与最小值
当 x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，最大值为 3；当 x＝2kπ－π2(k∈Z)时，最小值为－1
方法归纳
解答此类问题的关键在于能正确利用五点法作出函数的简图，然后根据所画图像结合正弦函数的性质，从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值这几个方面讨论函数的性质．
自我测评
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( × ) (2)函数 y＝asin x(a≠0)的最大值为 a，最小值为－a.( × ) (3)若 x＝x0 时，y＝sin x 取最大值，则 x＝x0 是函数 y＝sin x 的对称轴．( √ )
解：①由 2sin x－1≥0，即 sin x≥12得函数 f(x)的定义域为2kπ＋6π，2kπ＋56π(k∈Z)，此定义域在 x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
②因为 1＋sin2x>sin2x，所以 1＋sin2x>|sin x|≥－sin x，
解：(1)f(x)＝sin[（x＋π）＋6π]cos2π－x＋2π
＝sin(x＋π)cosπ2－x＝－sin x·sin x＝－sin2x. 其定义域为 R，又 f(－x)＝－sin2(－x)＝－sin2x＝f(x)，所以 f(x)为偶函数．
(2)由11＋－ssiinn
x>0， ⇒－1<sin
a＝_______－__3________．
【解析】因为 f(x)＝asinx＋4π＋3sinx－π4 ＝f(－x)＝asin－x＋π4＋3sin－x－π4 ＝－asinx－π4－3sinx＋π4. 所以－a＝a＝－33，⇒a＝－3.故填－3.

正弦型函数图象与性质

定义域：R
值域：[-A，A]，最大值是A，最小值是-A 2 周期： T

想一想求下列函数的最大值、最小值和周期:
1.y=5sinx
4.y= 2sin(x+ ) 6
1 2.y=sin x 4
3 5.y=2sin(3x+ 4 )
3.y=sin(x- )
思考题
2π 已知函数y=5sin(3x) 3
2
π
2π x
0 0 0 0
2
1 2 1/2
π 0 0 0
3 2
-1 -2 -1/2
2π 0 0 0
1、A的作用：研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系
1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系 2 y
2
1 0 -1 -2 A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。 y=Asinx（A>0, A1)的图象是由y=sinx的图象上所有点的纵坐标扩大 (当A>1时)或缩小（当0<A<1时)到原来打的A倍而得到. π 2π x
π 12
π 3
7π 12
5π 6
x
x 2x

-3
6 0
0

12

3

3

2
3

0
7 12 3 2
3
5 6 2
0
y 3 sin( 2 x ) 3
y
o
x
横坐标不变
纵坐标不变
图像向左平移
y=sinx
y=3sin2x
y=sin2x
纵坐标伸长到原来的3倍
横坐标缩短到原来1/2

高二数学正弦函数的图像和性质

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图象关于原点对称
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-

2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
因为f(x)=Asin(x+ =Asin[(x+ =Asin[ (x+ f(x+ ) y A sin( wx 及y A cos( wx x R
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
[k

4
(4) y log1 解：定义域
2
1 1 [ cos( x )] 2 3 4
4 3 [k , k ] 4 4
, k

]
1 2k x 2k 2 3 4 2 9 3 6k x 6k ,k Z 4 4 9 3 1 当 2k x 2k 即 6k x 6k , k Z 为减区间。 4 4 2 3 4 3 3 x 为增区间。 6 k x 6 k , k Z 当 2k 2k 即 3 4 2 4 4

正弦函数图像及性质

正弦函数图像及其性质一、回顾三角函数线中正弦线余弦线正切线二、定义：正弦函数为r hOAP M α)b ,a (····· · · 6π3π2π32π65ππ··· ···· ·23π67π34π35π611ππ2yoxo11 -1··3π2π三、五点法作图四、正弦函数性质xsinx定义域值域奇偶性周期性单调性对称轴对称中心oyx例1求函数y=2+sinx的最大值、最小值并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合练习：求函数的最小值及最小值时x 的值例2不求值，比较下列各对正弦值的大小：（１）例3判断奇偶性y=练习判断y=sinxcosx奇偶性强化训练2)1(sin2+-=xy)10sin()18sin(ππ--与43sin32sinππ与,sin1sinxx+2.求函数的最大值及最大值时x 的值3..求函数y= sin2x + 2sinx - 2的值域，并求取得最值时X 的取值集合4.函数y ＝asinx ＋b 的最大值为2，最小值为－1，则a ＝________，b ＝________.思考：余弦函数y=cos x 的函数图像利用五点法如何画出？思考：余弦函数可否利用诱导公式由正弦函数平移得到？的取值范围。

求a R x a a x ,,21sin .1∈-+=2)23(sin y 2--=x。

正弦函数的图像

正弦函数的图像
目录
• 正弦函数的定义与性质 • 正弦函数的图像绘制 • 正弦函数的应用 • 正弦函数与其他函数的对比 • 正弦函数的扩展
01
正弦函数的定义与性质
定义
总结词
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边长度与斜边长度的比值。
详细描述
正弦函数通常表示为sin(x)，其中x是角度（以弧度为单位）。在直角三角形中，锐角的对边长度为y，斜边长度为r，则正弦函数的定义为y/r。
工程中的应用
机械工程
在机械振动和稳定性分析中，正弦函数用于模拟和预测结构的振动和稳定性。
航空航天
在航空航天领域，正弦函数用于计算飞行器的姿态角、角速度等参数。
电子工程
在信号处理和通信中，正弦函数用于调制和解调信号，实现信息的传输和接收。
数学其他领域中的应用
三角恒等式
01
正弦函数与其他三角函数（余弦、正切等）之间存在许多重要
总结词
描述正弦函数积化和差公式的应用和意义。
详细描述
正弦函数的积化和差公式是三角函数中另一个重要的公式，它描述了正弦函数乘积与和差之间的关系。通过这个公式，我们可以将两个正弦函数的乘积转化为一个正弦函数和另一个正弦函数之和或差的乘积，从而进一步简化计算。
正弦函数的倍角公式
总结词
描述正弦函数倍角公式的应用和意义。
相位
相位决定了正弦函数图像在x轴上的位置，通过调整相位参数，可以改变图像起始点的位置。
03
正弦函数的应用
物理中的应用
振动和波动
正弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，如弹簧振荡器、声波等。
交流电
正弦函数用于描述交流电的电压和电流，广泛应用于电力系统和电子设备。

正弦函数的图像和性质

并写出最值，定义域和值域
• y=1-sinx
xsinx1-sinx
解：当x

2 sin x取得最大值1
k 2 , k Z时
此时 y 1 sin x的最小值1 － 1 ＝0
当x

2 sin x取得最小值 1
2 k , k Z时
此时y 1 sin x的最大值1 1 ＝2
当x 2k时，y max 1 2 当x 2k时，y min 1 2 在x 2k , 2k 上是增函数； 2 2 3 在x 2k , 2k 上是减函数； 2 2
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
正弦函数的图像及性质
一、正弦函数图像
y=sinx
x [0, 2 ]
0 2 2 y sin x 1 0 1 0 0 y
x
3 2

1
0

2

3 2
x 2
例1 画出函数[0，2π]上的图像
y=1-sinx
xsinx1-sinx
y sin x

x
sinx
y 1 sin x
例：求y 3sin ( 2x

3
)的周期，
最大、最小值。 2 2 解： T 2 当2x k 2， 3 2 5 即x k时，最大值为3 12 当2x k 2， 3 2 即x k时，最小值为 3 12
2 1
y
2 0 2 0 1 0 -1 0 1 0 1 2 1
x

2

3 2
0

正弦函数的图像和性质

1定义编辑数学术语正弦函数是三角函数的一种.定义与定理定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C 在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）2性质编辑图像图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)正弦函数x∈&amp定义域实数集R值域[-1，1] （正弦函数有界性的体现）最值和零点①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1零值点：（kπ,0) ，k∈Z对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称周期性最小正周期：y=sinx T=2π奇偶性奇函数（其图象关于原点对称）单调性在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.3正弦型函数及其性质编辑正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h各常数值对函数图像的影响：φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）作图方法运用“五点法”作图“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.单位圆定义图像中给出了用弧度度量的某个公共角。

正弦函数和余弦函数的图像与性质

D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期一个周期函数的全部周期中若存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？