圆的切线证明(终审稿)

合集下载

初中数学：圆的切线的证明

圆的切线的证明
一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直例1．AB 是O 的直径，AB AC ⊥，BC 交⊙O 于P Q ，是AC 的中点．求证：QP
是⊙O 的切线．
分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，那么点P 肯定是切点，所以只要连接OP ，证明OP PQ ⊥即可．
证明：连接OP ，PA ，
AB 是⊙O 的直径，90APB ∠=︒∴．在Rt APC △中，Q 是AC 的中点，
PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴．
又OP OA =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴．
AB AC ⊥，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线．
二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径
例2．直角梯形ABCD 中，以腰CD 为直径的⊙1O 恰与另一腰AB 相切，求证：以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．
分析：要证明以腰AB 为直径的⊙2O 与腰CD 相切，因为⊙2O 的半径是AB 的一半，由切线的定义可知，CD 如果与⊙2O 相切，那么2O 到CD 的距离应等于半径1
2
AB ，所以过2O 作2O E CD ⊥，证明21
2
O E AB =
即可．证明：过1O 作12O O AB ⊥，那么22O A O B =，作21DF O O ⊥于F ，作2O E CD ⊥于E ，
AB 与⊙1O 相切，121O O O D =∴．
211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠，∴△≌△， 2O E DF =∴． 2DF O A =，21
2
O E AB =
∴，∴以腰AB 为直径的⊙2O 也与腰CD 相切．
O。

证明圆的切线方法

证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于 F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.∴DM 与⊙O 相切证明二：连结OD ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ，∴∠2+∠4=900∵OA=OD ，∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知. 例4如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ，∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ，∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好. DC D例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.求证：PC 是⊙O 的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，∴OC 2=OD ·OP ，OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ，∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切. 分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解. 证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △∵O 是FG 的中点，∴O 是Rt △CFG 的外心.∵OC=OG ，∴∠3=∠G ，∵AD ∥BC ，∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.∵∠COD=900，∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.∵∠4+∠5=900.∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.∴OD OC OB AC.∵OA=OB ，∴OD OC OA AC.又∵∠CAO=∠COD=900，∴△AOC ∽△ODC ，∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明二：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD 于E ，延长DO 交CA 延长线于 F.∵AC ，BD 与⊙O 相切，∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB ，∴△AOF ≌△BOD （AAS ）∴OF=OD.∵∠COD=900，O∴CF=CD ，∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线.证明三：连结AO 并延长，作OE ⊥CD 于E ，取CD 中点F ，连结OF.∵AC 与⊙O 相切，∴AC ⊥AO.∵AC ∥BD ，∴AO ⊥BD.∵BD 与⊙O 相切于B ，∴AO 的延长线必经过点B.∴AB 是⊙O 的直径.∵AC ∥BD ，OA=OB ，CF=DF ，∴OF ∥AC ，∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ，∴CF CD OF 21.∴∠2=∠COF.∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，∴OE=OA.∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解.以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.。

实用圆切线方程的证明

关于圆的切线方程及相关公式的证明一、点P(x 0,y 0)在圆上1、在圆的标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a) (x-a) +(y 0-b) (y-b) =r 2或(x 0-a) (x-x 0) +(y 0-b) (y-y 0) =0证明：∵P(x 0,y 0)在圆上，（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2，圆心O(a,b)，OP 的斜率ax by k --=00 ∴切线的斜率为k1-，切线方程)(0000x x b y ax y y ----=- 0))(())((0000=--+--y y b y x x a x ①（x 0-a) 2+(y 0-b) 2=r 2 ②①+②得出（x 0－a ）(x －x 0+x 0－a)+(y 0-b)(y －y 0+y 0－b)= r 2 (x 0－a) (x －a) +(y 0－b) (y －b) =r 22、在圆的特殊方程x 2+y 2=r 2上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y ＝=r 2（当a=0，b=0）3、在圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0（D 2+E 2-4F ＞0）上，则过点P(x 0,y 0)的切线方程为x 0x + y 0y + D ×（2x x + ）+ E ×（2y y + ）+ F =0证明：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 化成圆的标准方程 44)2()2(2222FE D Ey Dx -+=+++∵P(x 0,y 0)在圆上，44)2()2(222020FE D Ey Dx -+=+++，OP 的斜率2200Dx Ey k ++=∴切线的斜率为k1-，切线方程)(220000x x E y Dx y y -++-=-0))(2())(2(0000=-++-+y y Ey x x Dx ①44)2()2(222020FE D Ey Dx -+=+++②①+②得出44)2)(2()2)(2(22000000FE D Ey y y Ey Dx x x Dx -+=++-++++-+4442)(42)(22200200FE D E y y E y y D x x D x x -+=++⨯++++⨯+x 0x + y 0y + D ×（2x x + ）+ E ×（2y y + ）+ F =0二、点P(x 1,y 1)在圆外1、切线长22121)()(r b y a x PA --+-= (标准方程（x-a) 2+(y-b) 2=r 2）证明：用勾股定理。

(完整word)证明圆的切线的七种常用方法

证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径,简称“连半径，证垂直”2、作垂直,证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径,简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点,点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数;（2）求证：PA是⊙O的切线；（3)若PD＝5,求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E。

求证:DE是⊙O的切线;方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．且︒=E,点B是的中点∠30（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由;（2）求证CF=OC（2）若半圆O的半径为6，求DC的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图,AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上,且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线,交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。

类型二、无公共点:做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ,以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ,AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线;（2）求线段AC 的长．O D C F方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中,∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。

圆切线证明的方法(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】切线证明法切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．图1∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，图2AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图1，B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线．理由：连接OC ， ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．∵∠COD 是△BOC 的外角， ∴∠COD =∠OCB +∠B =2∠B ． ∵∠ACD =2∠B ， ∴∠ACD =∠COD ． ∵CD ⊥AB 于D ，∴∠DCO +∠COD =90°． ∴∠DCO +∠ACD =90°．即OC ⊥AC ．图3O ABCD2 31∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3.∴∠3+∠4=900. DC即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12】如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ，OCOPOD OC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F. 求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解. 证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG，∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE，∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E 点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.∴F在⊙D上.∴AC与⊙D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15】已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC ∥BD，若∠COD=900.求证：CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。

圆的切线的证明

圆的切线的两种证明方法
方法归纳：连半径，证垂直或作垂直证半径
类型1：有切点，连半径，证垂直
A.利用角度转换证垂直
1.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
2.如图，点C在⊙O上AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点C 在⊙O上，∠CAB=30°求证：DC是⊙O的切线.
3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
4.如图,三角形ABC内接于圆O,角B=60度,CD是圆O的直线,点P是圆O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.求证：PA是圆O的切线
B.利用全等证垂直
5.如图，已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC,过A作AD∥OC交⊙O 于点D，连接CD．求证：CD是⊙O的切线
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为
切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.
C.利用勾股定理逆定理证垂直
7.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC=8，PB=4，AB=12，求证：PC是⊙O的切线．
D.利用垂径定理的推论证垂直
类型2：无切点，作垂直,证半径
9.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切。

10.如图,四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，求证：⊙O与CD相切．
11.如图，△ABC中AB=AC，D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E．求证：AC与⊙D相切．。

圆的切线证明

A
o
E
C
D
B
精选ppt
例4
8
如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙o交BC与D，交 AC于E，⊙o的切线BF交OD延长线于F，连结EF，求证：EF与 ⊙o相切。
A
E
o
C D
B
F
9
精选ppt
第二类解题思路
10
不知道直线与圆是否有公共点
精选ppt
做垂直证半径
例5
11
精选ppt
如图，已知△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ⊙o与腰 AB相切与点D，求证： AC与⊙o相切。
A
D
E
B
o
C
B
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！
1
圆的切线证明
精选ppt
精选ppt
圆的切线的性质
2
圆的切线垂直于过切点的半径
A
o P
A
o P
3
切线垂直半径
精选ppt
例1
4
精选ppt
如图，⊙o中，AB是圆的一条直径，CD是⊙o的一条弦交AB于点E，且AB垂直于CD，过点B做BF∥CD交AD延长线与F，求证： BF是⊙o的切线。
A
oC EBFra bibliotekD F
精选ppt
例2
5
如图，AB是⊙o的弦，点C是⊙o外一点，OC交AB于D， OA⊥OC，CD=CB.求证：CB是⊙o的切线。
A
oD
C
B
第一类解题思路
6
已知直线过圆上一点（切点）
精选ppt
连半径证垂直

圆的切线的证明方法

圆的切线的证明方法天津四中杨建成平面内直线和圆存在着三种位置关系，即直线和圆相离、直线和圆相切、直线和圆相交，这三种位置关系中最重要的是直线和圆相切。

那么怎样证明直线和圆相切呢？证明直线是圆的切线大体上有三种方法：⑴和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；⑵到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

其中⑴是切线的定义，它是从直线与圆的交点的角度来判断直线和圆的位置关系；⑵是从圆心到直线的距离d与圆的半径r的数量关系的角度来判断；⑶是根据切线的判定定理进行判断。

⑵和⑶都是由⑴推演出来的。

在几何证明中，常用的是最后一种方法，具体的证法有两种：①当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，证明直线垂直于这条半径，简称为“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称为“作垂直，证半径”。

例1.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证CD是⊙O的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O有公共点D，故应采用“连半径，证垂直”的方法。

［证明］：连结OD∵OC∥AD ∴∠COB=∠DAO，∠COD=∠ADO∵OA=OD ∴∠DAO=∠ADO∴∠COB=∠COD在△DOC和△BOC中∵OD=OB，∠COD=∠COBOC=OC∴△DOC≌△BOC∴∠CDO=∠CBO∵AB是⊙O的直径，BC是切线∴∠CBO=90°∴∠CDO=90°∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线例2.如图，已知两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD是小圆的切线。

［分析］：因直线CD与⊙O无公共点，故应采用“作垂直，证半径”的方法。

［证明］：连结OE，过O点作OF⊥CD于F∵AB与小圆相切于点E∴OE⊥AB ∴AE=BE，CF=DF∵AB=CD ∴AE=CF在Rt△AEO和Rt△CFO中∵OA=OC，AE=CF∴Rt△AEO≌Rt△CFO∴OE=OF∴CD是小圆的切线例3.如图，已知在△ABC中，CD是AB上的高，且CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点，求证：以EF为直径的⊙O 与AB 相切。

证明圆的切线的七种常用方法-圆的切线证明7种方法

证明圆的切线的七种常用方法证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法1、连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”2、作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”类型一、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆⊙O上一点，PC＝8，PB ＝4，AB＝12，求证：PC是⊙O的切线．方法2、特殊角计算法证垂直2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求∠P的度数；（2）求证：P A是⊙O的切线；（3）若PD＝5，求⊙O的直径．方法3、等角代换法证垂直3、如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E 。

求证：DE 是⊙O 的切线；方法4、平行线性质法证垂直4、如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．且︒=∠30E ，点B 是的中点（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）求证CF=OC（2）若半圆O 的半径为6，求DC 的长．方法5 全等三角形法证垂直5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF ，求证：BF 是⊙O 的切线。

A B O D CF类型二、无公共点：做垂直，证半径方法6 角平分线的性质法证半径6．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝2．（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．方法7 全等三角形法证半径7．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，CD BC AD =+，以AB 为直径的⊙O 。

证明圆的切线范文

证明圆的切线范文圆的切线是与圆的边界相切且只与圆相交于切点的直线。

证明圆的切线需要运用几何知识和性质，下面将进行详细的证明。

假设有一个圆，圆心为O，半径为r。

现在我们要证明，通过圆上一个点A的直线可以与圆相切。

首先，连接圆心O和切点C，得到OC的直线段。

根据圆的性质可知，OC与圆的边界相切于切点C。

设切线与圆相交于点B，由于切线是直线，所以OB是切线的一部分。

我们知道，圆的半径是由圆心到圆上任意一点的线段。

所以，OA是圆的半径，OC也是圆的半径。

根据三角形的性质可知，三角形OAB和三角形OCB为等腰三角形，即OA=OC、OB=OC。

所以我们可以得到OAB和OCB为等腰三角形。

利用等腰三角形的性质可知，当一个角的两边相等时，那么这个角为直角。

所以，∠OCB为直角。

而OC是切线的一部分，所以OC与切线垂直。

综上所述，我们证明了通过圆上的一个点A的直线可以与圆相切，并且切线与半径OC是垂直的。

此外，还可以证明圆的切线只与圆相交于切点的部分。

假设有一个圆，圆心为O，半径为r。

现在我们要证明，通过圆上一个点A的直线只与圆相交于切点。

首先，连接圆心O与切点C，得到OC的直线段。

设切线与圆相交于点B，那么根据切线的定义，OB是切线的一部分，并且OB与圆心O不重合。

为了证明直线AB只与圆相交于切点C，我们假设直线AB与圆相交于另外一个点D。

连接圆心O与点D，得到OD的直线段。

由于AB与圆相交于点D，所以OD与切线AB之间必然存在一个角∠ODB。

下面我们来分析∠ODB的大小。

根据圆的性质可知，圆上的任意两条边界之间的角都是圆心角。

而∠OCB是圆心角，那么∠OCB是OD与OB之间的一个角。

由于OC与切线AB垂直，所以∠OCB为直角。

即OD与OB之间的∠OCB为直角。

而∠ODB为∠OCB的补角，由余角定理可知，补角为直角的角也是直角。

所以∠ODB为直角，也就是说OD与切线AB垂直。

同时，由于OD与切线AB相交于点D，那么OD也是切线AB的一部分，即切线AB与半径OD垂直。

证明圆的切线方法(推荐文档)

证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线•在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有:、若直线I过O O上某一点A,证明I是O O的切线，只需连0A，证明OA丄l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直例1 如图，在^ ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E,B为切点的切线交0D延长线于F.求证: EF与O 0相切.证明: 连结0E, AD.••• AB是O 0的直径,••• AD 丄BC.又••• AB=BC ,••• mD=DE , / 1 = / 2.又••• OB=OE , OF=OF ,•••△ BOF N EOF ( SAS).•••/ OBF= / OEF.••• BF与O O相切,• OB 丄BF.•••/ OEF=9O0.••• EF与O O相切.说明: 此题是通过证明三角形全等证明垂直的求证：PA与O O相切.•/ AE是O O的直径,••• AC 丄EC, / E+ /EAC=90 .•••/ 1 + / EAC=90 0.即OA丄PA.••• PA与O O相切.例2 如图，AD是/ BAC 的平分线, P为BC延长线上一点，且PA=PD.证明二：延长AD交O O于E,连结••• AD是Z BAC的平分线,•••BE=CE ,••• OE 丄BC.•••/ E+Z BDE=90 0.•••OA=OE , •••/ E=/ 1. P证明一：作直径AE，连结EC.•/ AD 是/ BAC 的平分线,•••/ DAB= / DAC.•/ PA=PD,•••/ 2= / 1+ / DAC.•// 2= / B+ / DAB ,•/ PA=PD,•••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE,•/ OA=OD ,•/ OA=OD ,•••/ 1 + / PAD=900即OA 丄PA.••• PA 与O O 相切此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 丄AC 于M证明一：连结OD.•/ AB=AC ,••• DM 丄 OD. ••• DM 与O O 相切证明二：连结OD , AD.•••/ 3+/4=90°.••• AB 是O O 的直径,••• AD 丄BC.又•••AB=AC,•/ DM 丄 AC ,•••/ 2+/ 4=90°说明: 求证: DM 与O O 相切.•/ OB=OD ,•••OD // AC. •/ DM 丄 AC ,即OD丄DM.••• DM是O O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的•证明二是通过证两角互余证明垂直的, 解题中注意充分利用已知及图上已知例4 如图，已知：AB是O O的直径, C 在O O 上，且/ CAB=3O0, BD=OB , D在AB的延长线上.求证: DC是O O的切线证明: 连结OC、BC.•/ OA=OC ,•••/ A= / 1= / 30°.•••/ BOC= / A+ / 1=60°.又••• OC=OB ,•••△ OBC是等边三角形.••• OB=BC.•/ OB=BD ,••• OB=BC=BD.••• OC 丄CD.••• DC是O O的切线.说明: 此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较如图，AB是O O的直径，CD丄AB，且OA2=OD - 0P.求证: PC是O O的切线.证明: 连结OC•/ OA2=OD • OP, OA=OC ,2••• OC2=OD • OP,•/ AD=CD , DE=DE ,OC OP OD "O C•••/ OCP= / ODC. •/ CD 丄 AB ,•••/ OCP=90 . ••• PC 是O O 的切线.如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ,交CD 于F . 求证: CE 与^ CFG 的外接圆相切.分析: 此题图上没有画出△ CFG 的外接圆，但△ CFG 是直角三角形，圆心在斜边 FG 的中点, 为此我们取 FG 的中点O ,连结证明: 取FG 中点O ,连结OC.••• ABCD 是正方形, ••• BC 丄 CD , △ CFG 是Rt △•/ O 是FG 的中点,• O 是Rt A CFG 的外心.OC ,证明CE 丄OC 即可得解.•/ OC=OG ,•/ AD // BC ,/ ADE= / CDE=450,•••△ ADE CDE (SAS )说明: 此题是通过证三角形相似证明垂直的•••/ 4= / 1,/ 1 = /3.•••/ 2+ /3=90°,•••/ 1 + /2=90°.即CE丄OC.••• CE与^ CFG的外接圆相切二、若直线I与O O没有已知的公共点，又要证明I是O O的切线，只需作OA丄l, A为垂足，证明OA是O O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC , D为BC中点，O D与AB切于E点.求证：AC与O D相切.证明一：连结DE，作DF丄AC，F是垂足.••• AB是O D的切线,••• DE 丄AB.•/ DF 丄AC ,•••/ DEB= / DFC=900.•/ AB=AC ,•••/ B= /C.又•••BD=CD ,•••△ BDE CDF (AAS )•••DF=DE.••• F 在O D上.••• AC是O D的切线证明二：连结DE , AD，作DF丄AC , F是垂足.••• AB与O D相切,••• DE 丄AB.•/ AB=AC , BD=CD ,c•••/ 仁/2.•/ DE 丄AB , DF 丄AC ,•••DE=DF.••• F 在O D上.••• AC与O D相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关例8 已知：如图，AC, BD与O 0切于A、B,且AC // BD，若/ C0D=900.求证：CD是O O的切线.证明一：连结0A , OB，作0E丄CD , E为垂足.••• AC , BD 与O 0 相切,••• AC 丄0A , BD 丄0B.•/ AC //BD ,•••/ 1 + / 2+ / 3+ /4=180 .•••/ C0D=900,•••/ 2+ / 3=90°,/ 1 + /4=90°.•••/ 4+ /5=900.••• Rt△ A0C s Rt△BD0.AC 0C0B 0D•/ 0A=0B ,AC 0C0A 0D又•••/ CA0= / C0D=900,又••• 0A 丄AC , 0E 丄CD,••• OE=OA.••• E点在O O上.••• CD是O O的切线.证明二：连结OA , OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.•// COD=90 0,••• CF=CD，/ 1= / 2.又••• OA 丄AC , OE 丄CD ,••• OE=OA.••• E点在O O上.••• CD是O O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF.•/ AC与O O相切,••• AC 丄AO.•/ AC // BD ,••• AO 丄BD.••• BD与O O相切于B,••• AO的延长线必经过点 B.••• AB是O O的直径.•/ AC // BD , OA=OB , CF=DF ,••• OF // AC , •••/ 仁/COF.•••/ COD=90 0, CF=DF ,••• OF =-CD =CF .2•••/ 2=/ COF.•/ OA 丄AC , OE 丄CD, ••• OE=OA.••• E点在O O上.••• CD是O O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明/ 1 = / 2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/ 1 = / 2.证明三是利用梯形的性质证明/ 1= / 2,这种方法必需先证明三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考。

专题09 圆切线的两种证明方法

专题09 圆切线的两种证明方法方法一、有切点、连半径、证垂直例1．如图，在ABC V 中，AB AC =，以AB 为直径的O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ^于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线．（2）若10AB =，5AD =，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）DE =【解析】（1）连接OD ，OD OB = ，ODB B \Ð=Ð，又AB AC =，C B \Ð=Ð，ODB C \Ð=Ð，又DE AC ^，90EDC C \Ð+Ð=°，即90EDC ODB Ð+Ð=°，90ODE Ð=°，即DE OD ^，DE \是O e 的切线，（2）连接AD ，得AD BC ^，∵AB =AC ，D ∴是BC 的中点，∴BD =CD ，在Rt △ABD 中，BD ===∴CD BD ==10AC AB ==，∵DE AC ^，AD BC ^，∴∠DEC =∠ADC =90°，∵∠C +∠CDE =∠C +∠DAC =90°，∴∠CDE =∠DAC ，DEC ADC △∽△，DE DC AD AC \=，即5DE =DE \=．【变式训练1】如图，PA 是以AC 为直径的☉O 的切线，切点为A ，过点A 作AB ⊥OP ，交☉O 于点B ．（1）求证：PB 是☉O 的切线；（2）若AB ＝6，3cos =5PAB Ð，求PO 的长．【答案】（1）见解析；（2）254【解析】（1）证明：连接OB ，∵PA 是以AC 为直径的☉O 的切线，切点为A ，∴∠PAO ＝90o ，∵OA ＝OB ，AB ⊥OP ，∴∠POA ＝∠POB ，又OP ＝OP ，∴△PAO @△PBO ()SAS ，∴∠PBO ＝∠PAO ＝90o ，即OB ⊥PB ，∴PB 是☉O 的切线；（2）解：设OP 与AB 交于点D ．，∵AB ⊥OP ，AB ＝6，∴DA ＝DB ＝3，∠PDA ＝∠PDB ＝90o ，∵33cos 5DA PAB PA PAÐ＝，∴PA ＝5，∴PD 4，在Rt △APD 和Rt △APO 中，∵cos cos PD PA APD APD PA PO Ð=Ð=，∴PD PA PA PO=，∴2254PA PO PD ==．【变式训练2】如图，O e 是ABC V 的外接圆，点D 是 BC的中点，过点D 作//EF BC 分别交AB 、AC 的延长线于点E 和点F ，连接AD 、BD ，ABC Ð的平分线BM 交AD 于点M ．（1）求证：EF 是O e 的切线；（2）若:5:2AB BE =，AD =，求线段DM 的长．【答案】（1）见详解；（2）2【解析】（1）证明：连接OD ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴ BD CD =，∴OD ⊥BC ，∵BC ∥EF ，∴OD ⊥EF ，∴EF 为⊙O 的切线；（2）设BC 、AD 交于点N ，∵:5:2AB BE =，AD =，//EF BC ，∴52AN AB DN BE ==，∴DN ，∵点D 是 BC的中点，∴∠BAD =∠CAD =∠CBD ，又∵∠BDN =∠ADB ，∴ADB V ，∴DN BD DB AD ==∴BD =2，∵ABC Ð的平分线BM 交AD 于点M ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠ABM +∠BAD =∠CBM +∠CBD ，即：∠BMD =∠DBM ，∴DM =BD =2．【变式训练3】如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，以AB 上一点O 为圆心，OA 的长为半径作O e ，交AC ，AB 分别于D ，E 两点，连接BD ，且A CBD Ð=Ð．（1）求证：BD 是O e 的切线；（2）若2CD =，4BC =，求O e 的半径．【答案】（1）见解析；（2）r =【解析】（1）证明：连接OD ，∵OA OD =，∴A ODA Ð=Ð，∵A CBD Ð=Ð，∴CBD ODAÐ=Ð∵90C Ð=°，∴90CBD CDB Ð+Ð=°，∴90ODA CDB Ð+Ð=°，∴90ODB Ð=°，∴OD BD ^，∴BD 为O e 的切线；（2）解：∵A CBD Ð=Ð，C C Ð=Ð，∴ABC BDC ∽△△， ∴CB CA CD CB =，∴2CB CD CA =×，∵2CD =，4BC =，∴8CA =，∴AB ==，设圆O 的半径为r ，则OB r =，∵222OB OD BD =+，∴BD ==，∴()(222r r -=+，解得r =．方法二、无切点、作垂直、证半径例1.如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠ADC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ＝4，BC ＝9，求OD 的长．【解析】（1）证明：过O 点作OE ⊥CD 于点E ，如图，∵AM 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AD ，∵DO 平分∠ADC ，∴OE ＝OA ，∵OA 为⊙O 的半径，∴OE 是⊙O 的半径，且OE ⊥DC ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：过D 作DF ⊥BC 于F ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，∴AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，∴四边形ABFD 为矩形，∴BF ＝AD ＝4，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5，∵DC 、AM 、BC 为圆的切线，∴DA ＝DE ＝4，CE ＝CB ＝9，∴DC ＝AD +BC ＝13，在Rt △DCF 中，DF 12，∴AB ＝12，∴OA ＝6，在Rt△OAD中，OD【变式训练1】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=BE＝1．求阴影部分的面积．【解析】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，∴r2+2＝（r+1）2，解得r＝1，∴OD＝1，OB＝2，∴∠B＝30°，∠BOD＝60°，∴∠AOD＝30°，在Rt△AOD中，AD=∴阴影部分的面积＝2S△AOD﹣S扇形DOF＝2×12×1−60⋅π⋅12360−π6．【变式训练2】在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，点P在∠ABC平分线上，以点P为圆心作⊙P．（1）如图，当⊙P经过点C时，求证：⊙P与直线AB相切；（2）当⊙P同时与直线BC、AC相切时，求⊙P的半径．【答案】（1）见解析；（2）1或3【详解】证明：（1）如图，过点P 作PD 垂直AB ，交AB 于D 点，∵AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，∴222222534AB AC BC ==+=+ ，∴∠ACB ＝90°，∴PC ⊥BC ，∵BP 平分∠ABC ，PC ⊥BC ，PD ⊥AB ，∴PC ＝PD ＝r ，∴⊙P 与直线AB 相切．（2）如图，当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，点P 在∠ACB 或∠ACM 的角平分线上存在两种情况：①当圆心在△ABC 内部，即⊙P 1分别与直线BC 、AC 相切时，∴P 1G ＝P 1F ＝P 1E ＝r ，P 1G ⊥BC ，P 1E ⊥AB ，P 1F ⊥AC ，∴111ABC ABP ACP BCP S S S S D D D D =++＝111111222AB PE AC PF BC PG ×+×+×＝12ABC C r D ×，∴1234221345ABC ABC S r C D D ´´´===++，②当圆心在△ABC 外部，⊙P 2分别与直线BC 、AC 相切时，∴P 2M ＝P 2N ＝P 2Q ＝R ，P 2M ⊥BC ，P 2Q ⊥AB ，P 2N ⊥AC ，∴S △ABC ＝222222111222ABP BCP ACP S S S AB P Q BC P M AC P N D D D +-=×+×-×1()2AB BC AC R =+-×，∴1234223534ABCSRAB BC ACD´´´===+-+-，综上，⊙P的半径为1或3．【变式训练3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝12，求AEAC；（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【详解】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴AE CE AC CD=，∵tan∠D＝12，∴12CECD=，∴12AEAC=；（3）由（2）可知：12AEAC=，∴设AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴AE ACAC AD=，∴AC2＝AE•AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，由（1）可知：AC＝AF＝4，∠OFB＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△OFB∽△ACB，∴BF OF BC AC=，设BF＝a，∴BC＝43a，∴BO＝BC﹣OC＝43a﹣3，在Rt△BOF中，BO2＝OF2+BF2，∴（43a﹣3）2＝32+a2，∴解得：a＝727或a＝0（不合题意，舍去），∴AB＝AF+BF＝72100477+=．。

如何证明圆的切线

如何证明圆的切线证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法：一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC是⊙O的切线．思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90o即可．证明：连接OC，BC．C＝90o．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB1AAB＝BC＝OB．∵∠CAB＝30o，∴BO D21OD．∴∠OCD＝90o．OB∵BD＝，∴BC＝ 1图2∴DC是⊙O的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90o时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90o．二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．DC．证明：连接OC12 3A的切线，∴CD是⊙OOC⊥CD．∵BO．＝∠∥⊥∵ADCD，∴OCAD．∴∠122图3．＝∠．∴∠＝∠，∴∠＝∵OCOA132 ∴AC．平分∠DAB在解决有关圆的切已知一条直线是某圆的切线时，【评析】切线的位置一般是确定的．线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．ADOC，弦作⊙O的切线BC，连接【例3】如图3，已知AB为⊙O的直径，过点B O的切线．∥OC．求证：CD是⊙也就是既要注本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．思路：是欲证明CD意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．C即可．的切线，只要证明∠ODC＝90o⊙OD证明：连接OD．2 41 3A．＝∠4＝∠3，∠2OC∵∥AD，∴∠1BO3＝∠4．OD∵OA＝，∴∠1＝∠2．∴∠3图，OC又∵OB＝OD，＝OC．∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC BC∵是⊙O的切线，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．∴DC是⊙O的切线．一定要注意区分这两个定理的题【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定，就判断出了⊥CD理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是与⊙OCD错误的．三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线CBC，过点AB经过圆心O，连接AC、C】【例4如图1，B、是⊙O 上的点，线段．BAC是⊙O的切线吗？为什么？AB作CD⊥于D，∠ACD=2∠的切线．AC是⊙O解：，理由：连接OCOB，=因为OC=所以∠OCB∠B．因为∠BOC的外角，COD是△∠=2B．COD所以∠=∠OCB+∠B，=2因为∠ACD∠B ACD所以∠=∠COD．D，因为CD⊥AB于DCO所以∠+∠COD=90°．ACD=90°．∠所以∠DCO+ OC即⊥．AC C因为为⊙O上的点，OAC所以是⊙的切线．【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OC，则OA=OC，ACO，所以∠CAO=∠EAB，因为AC平分∠ACＯ，∠CAO=∠所以∠EAC= CO，所以AE∥DE，又AE⊥DE，所以CO⊥的切线．O所以DE是⊙证明此垂线段的长等直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，四、于半径．AB边相切于点D是△ABC的中线，⊙O与3【例6】如图，AO（任写一个）_______________________．）要使⊙O与AC边也相切，应增加条件1（边相切．AC（2）增加条件后，请你证明⊙O与BC等．CAO，AO⊥，CAB=AC，∠BAO=∠:解（1）答案不唯一，可以是∠B=∠边相切．O 与ACB=∠C后，⊙（2）增加条件∠，垂足为E．连接OD，作OE⊥AC证明: D，因为⊙O与AB相切于点．=90°BDO=∠CEO所以∠．OB=OCABC因为AO是△的中线，所以∠C，又因为∠B= ．=CEO，所以OEOD≌△所以△BDO是⊙ODO的半径，因为的半径．是⊙所以OEO 与所以⊙OAC边相切．。

圆的切线的证明

圆的切线的两种证明方法方法归纳：连半径，证垂直或作垂直证半径类型1:有切点，连半径，证垂直A・利用角度转换证垂直1 •如图，AD是ZBAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA二PD. 求证：PA与00相切.2•如图，点C在00上AB是©0的直径，点D在AB的延长线上，且BD二0B,点C 在00上，ZCAB二30°求证：DC是＜30的切线.3.如图，AB=AC, AB是。

0的直径，©0交BC于D, DM丄AC于M 求证：DM与00相切.4.如图,三角形ABC内接于圆0,角B二60度,CD是圆0的直线，点P是圆0的直径, 点P是CD延长线上的一点，且AP二AC.求证：PA是圆0的切线B.利用全等证垂直5•如图，已知AB为＜30的直径，BC丄AB于点B,连接0C,过A作AD〃0C交O0 于点D,连接CD.求证：CD是00的切线6•如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的©O交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F・求证：EF与G>0相切.C・利用勾股定理逆定理证垂直7.如图，AB为00的直径，点P为AB延长线上一点，点C为圆上一点，PC二8,D.利用垂径定理的推论证垂直如图,AB是©0的直径,CD经过Q0上一点D,且CD 丄AC 于点求证:CD是OO的切线.类型2：无切点，作垂直，证半径D为BC中点，©D与AB切于E点•求证：AC与0D相切。

10•如图，四边形ABCD 中，AD〃BC, ZC=90°,且AD+BC二AB, AB 为00 的直径, 求证：<90与CD相切.11.如图，/XABC中AB二AC, D是BC边的中点，以点D为圆心的圆与AB相切于点E.求证：AC与G»D相切.。