2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第二十五讲 平面向量的数量积
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-平面向量的数量积(含解析)
一、单项选择题1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于() A．－2B．－1C．1D．22．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋t b，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t 等于()A．－6B．－5C．5D．63．(2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于()A．(－3，－4)B．(4,3)C．(－4,3)D．(－4，－3)4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影数量为()A.102B．－102C.102c D．－102c5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝2π3，则|3a＋2b＋c|等于()A．0B．1 C.3 D.66．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设|AC→|2－|AB→|2＝2AM→·(AC→－AB→)，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心B．内心C．重心D．外心二、多项选择题7．(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的可能取值是()A．－2B．2C．4D．88．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影数量为12C．2m＋n＝4D．mn的最大值为2三、填空题9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________. 10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60N的物品，在另一个秤盘中放入重量60N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________N.11．(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________．12．(2023·西安模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则AO→·BC→＝________.四、解答题13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB→|＝2|DC→|＝2，∠BAD＝π3，E 是BC边的中点．(1)试用AB→，AD→表示AE→，BC→；(2)求DB→·AE→的值．14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.(1)求∠EMF的余弦值；(2)设AM→＝λAF→，求λ的值及点M的坐标．15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O →·OE→的最小值为()上运动，则PEA．－1B．－2C．1D．216．(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝9，AM和AN分别是BC边上的高和中线，则MN→·BC→等于()A．14B．15C．16D．17§5.3平面向量的数量积1．D2.C3.D4.A5.C6.D 7．BC [如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx ＝60°，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．]8．CD [对于A ，向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，则a ·b ＝2－1＝1>0，又a ，b 不共线，所以a ，b 的夹角为锐角，故A 错误；对于B ，向量a 在b 上的投影数量为a ·b |b |＝22，故B 错误；对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确；对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 正确．]9．(1，－1)(答案不唯一)10.10611.612．10解析如图，设BC 的中点为D ，连接OD ，AD ，则AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·(AC →－AB →)＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＋DO →·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝10.13．解(1)AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →，AE →＝12(AB →＋AC →)＋AD →＋12＝34AB →＋12AD →，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →.(2)由题意可知，|AD →|＝12(|AB →|－|DC →|)cos π3＝1212＝1，DB →＝AB →－AD →，所以DB →·AE →＝(AB →－AD→＋12AD 34|AB →|2－12|AD →|2－14AB →·AD →＝34|AB →|2－12|AD →|2－14|AB →||AD →|·cos π3＝34×4－12×1－14×2×1×12＝94.14．解(1)如图所示，建立以点A 为原点的平面直角坐标系，则D (0,6)，E (3,0)，A (0,0)，F (6,2)，∴DE →＝(3，－6)，AF →＝(6,2)，由于∠EMF 就是DE →，AF →的夹角，∴cos ∠EMF ＝cos 〈DE →，AF →〉＝18－129＋36·36＋4＝210，∴∠EMF 的余弦值为210.(2)因为AM →＝λAF →，则AM →＝(6λ，2λ)，则M (6λ，2λ)，又D ，M ，E 三点共线，则设DM →＝tDE →，0<t <1，即(6λ，2λ－6)＝t (3，－6)，λ＝3t ，λ－6＝－6t ，解得λ＝37，故15．D [如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P (cos θ，sin θ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E (2,0)，O (0,0)，则PE →＝(2－cos θ，－sin θ)，OE →＝(2,0)，所以PE →·OE →＝4－2cos θ，当cos θ＝1，即θ＝0时，PE →·OE →取最小值2.]16．C [如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，BM →＝λBC →，则有AM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →＝(1－λ)a ＋λb ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝72＋92－822×7×9＝1121，∵AM →⊥BC →，∴AM →·BC →＝0，即[(1－λ)a ＋λb ]·(b －a )＝(1－2λ)a ·b －(1－λ)a 2＋λb 2＝0，其中a ·b ＝|a ||b |cos ∠BAC ＝63×1121＝33，a 2＝49，b 2＝81，解得λ＝14，BN →＝12BC →，∴MN →＝BN →－BM →＝14BC →，MN →·BC →＝14BC →2＝16.]。
高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积课时闯关(含解析)
（江苏专用）2013年高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积 课时闯关（含解析）[A 级 双基巩固]一、填空题1．(2011·高考福建卷)若a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝________. 解析：a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 答案：12．(2011·高考江西卷)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －．b )＝－2，则a 和b 的夹角为________．解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2，且|a |＝|b |＝2.∴a ·b ＝2.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，而〈a ，b 〉∈[0，π]．∴〈a ，b 〉＝π3.答案：π33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.解析：|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×1×2cos60°＋22＝3.∴|a －b |＝ 3. 答案： 34．已知a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 垂直，则k ＝________. 解析：a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又a －2b 与c 垂直，∴3k ＋33＝0，∴k ＝－3.答案：－35．(2011·高考广东卷改编)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．解析：由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y画出可行域如图阴影部分，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，由图可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大值为4.答案：46．(2011·高考上海卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.解析：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD ＝7，cos∠BAD ＝32＋72－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝3×7×5714＝152.答案：1527．a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的________条件．解析：f (x )＝x 2a ·b ＋(b 2－a 2)x －a ·b 为一次函数⇒a ⊥b 且|a |≠|b |. 答案：必要而不充分8．(2012·常州质检)在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是________． ①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形．解析：在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →>0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误．答案：②③ 二、解答题9．(1)在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |.解：(1)AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝5×5cos120°＝－252.∴CD →＝12(CA →＋CB →)，∴|CD →|2＝14(CA →＋CB →)2＝14(CA →2＋CB →2＋2CA →·CB →)＝14(25＋25＋2×5×5cos60°)＝754， ∴|CD →|＝532.(2)∵a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，∴a －2b ＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6)， 2a ＋3b ＝(6，－8)＋(6,3)＝(12，－5)， ∴(a －2b )·(2a ＋3b )＝－12＋30＝18. 又∵a ＋2b ＝(3，－4)＋(4,2)＝(7，－2)， ∴|a ＋2b |＝49＋4＝53.10．已知两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°. (1)若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的方向相反，求实数t 的值；(2)若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． 解：(1)由题意设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，消去λ，解得2t 2＝7. 若t ＝－142，则λ＝－14； 若t ＝142，则λ＝14＞0，则t ＝142不合题意，舍去． ∴当t ＝－142时，2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为π，即这两个向量方向相反． (2)因为e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.因为这两个向量夹角为钝角，设夹角为θ，则有cos θ＝t e 1＋7e 2e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，且2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2不反向．当2t 2＋15t ＋7＜0时，解得－7＜t ＜－12.又由(1)知t ＝－142时，这两个向量的夹角为π. ∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. [B 级 能力提升]一、填空题1．(2011·高考大纲全国卷改编)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，a －c和b －c 的夹角为60°，则|c |的最大值为________．解析：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1，又∵a ·b ＝－12，∴|a ||b |cos∠AOB ＝－12，∴cos∠AOB ＝－12，∴∠AOB ＝120°，又∵a －c 和b －c 的夹角为60°，而120°＋60°＝180°， ∴O 、A 、C 、B 四点共圆，∴当OC 为圆的直径时|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°， ∴Rt△AOC ≌Rt△BOC ， ∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°.∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.答案：22．(2011·高考天津卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x ，∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案：53．(2012·苏州调研)如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值范围是________．解析：设BD →＝λBC →(0≤λ≤1)，BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋λBC →＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴AD →·BC →＝[(1－λ)AB →＋λAC →]·(AC →－AB →)＝λAC →2－(1－λ)AB →2＋(1－2λ)AB →·AC →.又∵AC→2＝1，AB →2＝4，AB →·AC →＝－1，故AD →·BC →＝λ－4(1－λ)－(1－2λ)＝7λ－5，由于0≤λ≤1，故AD →·BC →的取值范围是[－5,2]．答案：[－5,2]4．已知A (3，3)，O 是原点，点P (x ，y )坐标满足⎩⎨⎧3x －y ＜0x －3y ＋2＜0y ≥0，则OA →·OP →|OP →|的取值范围是________．解析：作出可行域，OA →和OP →的夹角θ∈[π6，5π6]，所以OA →·OP →|OP →|＝|OA →|cos θ＝23cos θ∈[－3,3]．答案：[－3,3] 二、解答题5．已知点M (－1,0)，N (1,0)，点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成等差数列，且公差小于零．(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0，y 0)，θ为PM →与PN →的夹角，求tan θ. 解：(1)设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于零的等差数列， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12＋x ＋－x ，－x －＋x ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x ＞0.所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆．(2)点P 的坐标为(x 0，y 0)，PM →·PN →＝x 20＋y 20－1＝3－1＝2， |PM →|·|PN →|＝＋x 02＋y 20·－x 02＋y 20＝＋2x 0－2x 0＝24－x 20，∴cos θ＝PM →·PN →|PM →|·|PN →|＝14－x 20， ∵0＜x 0≤3，∴12<cos θ≤1,0≤θ＜π3，∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－14－x 20， ∴tan θ＝sin θcos θ＝3－x 20＝y 20＝|y 0|.6．如图所示，在Rt△ABC 中，已知：|BC →|＝a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点．问：PQ →与BC →的夹角为何值时，BP →·CQ →的值最大？并求此最大值．解：在Rt△ABC 中，AB →·AC →＝0.因为BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，所以BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AB →·AQ →－AC →·AP →＋AB →·AC →＝－a 2＋AB →·AP →－AC →·AP →＝－a 2＋AP →(AB →－AC →)＝－a 2＋AP →·CB →＝－a 2＋PA →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →取得最大值0.。
【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件004003-平面向量的数量积
2．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. 2 (2)模：|a|＝ a· a＝ x2 ＋ y 1 1. x1x2＋y1y2 a· b (3)夹角：cos θ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1· x2＋y2 (4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立) 2 2 2 2 ⇔|x1x2＋y1y2|≤ x1 ＋y1 · x2 ＋y2 .
3．平面向量数量积的运算律
(1)a· b＝b· a(交换律)． (2)λa· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)． (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)．
1．对平面向量的数量积的认识
(1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的 结果是向量．( ) (2)(2013· 湖北卷改编)已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)， 3 2 D(3,4)，则向量 A→ B 在 C→ D 方向上的投影为－ .( ) 2 (3)若 a· b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a· b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角．( )
平面向量数量积的运算
考 点
【例 1】 (1)(2014· 威海期末考试)已知 a＝(1,2)，2a－b＝(3,1)，则 a· b＝( D )．A．2 B．3 C．4 D．5 π (2)(2013· 江西卷)设 e1，e2 为单位向量，且 e1，e2 的夹角为 ， 3 5 若 a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为________ ． 2
2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第26讲平面向量的数量积
1．本讲是平面向量这一单元的重要内容，要准确 理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握 向量数量积的五个重要性质及三个运算规律．向量的 数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满 足结合律(a b) c a (b c)、消去律(a b a c b c；a b 0 a 0或b 0)，但满足交换律和分配律．
(3)对(2)的结论，讨论函数 k＝f(t)的单调性．
【解析】(1)证明：因为 a·b＝ 3×12－1× 23＝0，
所以 a⊥b. (2)因为 c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且 c⊥d，
所以 c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb) ＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0. 又 a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0， 所以 c·d＝－4k＋t3－3t＝0， 所以 k＝f(t)＝t3－4 3t(t≠0)．
【点评】关于几何图形上点，要把握点所满足的条件，并 将条件转化为向量式，结合向量运算与模运算的转化公式 |a|2＝a2 来解．
二 平面向量夹角的问题
【例 2】(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b) ＝61，求 a 与 b 的夹角 θ；
(2)若 a＝(－1,2)，b＝(3，x)，且 a，b 的夹角 θ 为 钝角，求 x 的取值范围．
2．公式a b a b cos；a b x1x2 y1 y2；
a 2 a2 x2 y2的关系非常密切，必须能够灵活综 合运用．
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3．通过向量的数量积，可以计算向量的长度， 平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相 应的两直线是否垂直．
江苏版高考数学一轮复习：专题5.3平面向量的数量积巩固检测题附答案.doc
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】专题5.3 平面向量的数量积一、填空题1．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝ 【解析】因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0，解得k ＝－3.2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC ＝【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，知AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD ·AC ＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为 【解析】由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则－λ2＋2λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，4．(2016·山东高考)已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n⊥(t m＋n )，则实数t 的值为5．(2016·天津高考)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为【解析】如图所示，AF ＝AD ＋DF .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ＝12AB ，DF ＝12AC ＋14AC ＝34AC ，所以AF ＝12AB ＋34AC .又BC ＝AC －AB ，则AF ·BC ＝12AB ＋34AC ·(AC －AB )＝12AB ·AC －12AB 2＋34AC 2－34AC ·AB ＝34AC 2－12AB 2－14AC ·AB .又|AB |＝|AC |＝1，∠BAC ＝60°，故AF ·BC ＝34－12－14×1×1×12＝18.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ)AC ，λ∈R ，若BQ ·CP ＝－32，则λ＝7．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________. 【解析】由题意可得a ·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.8．已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为________． 【解析】∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.9．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．【解析】a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.10.如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ·AN 的最大值为________．【解析】设AN ＝λAB ＋μAD ，因为N 在菱形ABCD 内，所以0≤λ≤1,0≤μ≤1.AM ＝AD ＋12DC ＝12AB ＋AD .所以AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AB ＋AD ·(λAB ＋μAD )＝λ2AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2AB ·AD ＋μAD 2＝λ2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ2×2×2×12＋4μ＝4λ＋5μ.所以0≤AM ·AN ≤9，所以当λ＝μ＝1时，AM ·AN 有最大值9，此时，N 位于C 点． 二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cosB ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ·(AB －AC )＝18，求边c 的长． 解：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0＜C ＜π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵CA ·(AB －AC )＝18， ∴CA ·CB ＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，c2＝36，∴c＝6.高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
4.3 平面向量的数量积课件(含2013年高考真题)文 新人教版课件
夹角
������1 b1 + ������2 b2
2 2 2 ������1 + ������2 · b2 1 + b2
|a · b |与 |a||b|的 关系
|a1b1+a2b2|≤ |a · b|≤|a||b|
2 2 2 ������1 + ������2 b2 1 + b2
①a · b= 想一想已知在实数范围内,若 ab=ac 且 a≠0,则 b=c,对于向量 a,b,c,若 a·b=a·c,则结论如何呢? 答案:若 a,b,c 是实数,ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量就没有这样
的性质,即若向量 a,b,c 若满足 a· b=a· c(a≠0),则不一定有 b=c,即等式 两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.
第四章
4.3
平面向量的数量积 -19-
考点二
两平面向量的夹角与垂直
【例 2】 设向量 a=(1,cos θ)与 b=(-1,2cos θ)垂直,则 cos 2θ 等于( A.
2 2
)
B.
1 2
C.0
D.-1
关闭
∵ a⊥b,∴ a·b=2cos2θ-1=0,即 cos 2θ=0.
关闭
C
解析 考点一 考点二 考点三 误区警示 答案
第四章
4.3
平面向量的数量积 -14-
(1)如图,∵ 向量������������, ������������ 的夹角为 120° , ∴ ������������·������������ =|������������|·|������������ |·cos 120° =5×5× ∵ ������������ = (������������ + ������������ ),
高三数学一轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习
高三数学一轮复习 平面向量的数量积及平面向量的应用巩固与练习1．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a ||b |的值为( )A.12B.233 C ．2 D. 3解析：选A.c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |·cos120°＝|a |2－12|a ||b |＝0，∴|a ||b |＝12.故选A.2．(2009年高考陕西卷)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49 解析：选A.M 是BC 的中点，则 PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝PA →·A P →＝－(PA →)2＝－(23MA →)2＝－49.3．(2010年江苏四市调研)已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 解析：选B.结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA →|＝a ，|AB →|＝3a ，故OA →·AB →＝|OA→|×|AB →|×cos 5π6＝－3a 22.4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析：由a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，得a ·b ＝－2＋8＝6， ∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：8 25．(原创题)三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，|AB →|＝3，AP →·BC →＝－2，则|AC →|＝________.解析：AP →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝－2 ∴|AC →|＝ 5. 答案： 56．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|4a －2b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：由已知，a ·b ＝4×8×(－12)＝－16.(1)∵|4a －2b |2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162∴|4a －2b |＝16 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )·(k a －b )＝0，∴k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0. 16k －16(2k －1)－2×64＝0， ∴k ＝－7.练习1．(2009年高考全国卷Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30° 解析：选B.∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.2．共点力F 1(lg2，lg2)，F 2(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2解析：选D.F 1与F 2的合力F ＝(lg2＋lg5,2lg2)＝(1,2lg2) 又s ＝(2lg5,1)所以W ＝F ·s ＝2lg5＋2lg2＝2.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°或150°B ．60°或120°C ．120°D ．150°解析：选C.由题意容易得出向量a 、b 共线，且向量a 与向量a ＋b 的夹角为π，可设向量a ＋b 与向量c 的夹角为α，则(a ＋b )·c ＝|a ＋b |·|c |·cos α＝5cos α＝52，所以cos α＝12，α＝60°，则向量a 与向量c 所夹的角应为120°.答案为C.4．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b)b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π2解析：选D.∵a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·aa ·b)(a ·b )＝0. ∴a ⊥c ，故选D.5.设A (a,1)，B (2，b )，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相等，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：选A.由投影计算公式可得：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC→|OC →|，即：4a ＋5＝8＋5b ，即4a －5b ＝3，故选A.6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， ∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴∠A ＝90°.7．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是________．解析：设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．因此，AP →·BP →＝(x －4)(x －2)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取得最小值1，此时P (3,0)． 答案：(3,0)8．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a －b |恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题．因为[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c －(c ·a )b ·c ＝0，所以垂直，故③假．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题④错误．答案：②9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°， ∴航向为北偏西30°. 答案：北偏西30°10．已知|a |＝3，|b |＝2.(1)若a 与b 的夹角为150°，求|a ＋2b |； (2)若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角大小．解：(1)∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝|a |2＋4|a ||b|cos150°＋4|b |2＝(3)2＋4×3×2×cos150°＋4×22＝7， ∴|a ＋2b |＝7. (2)∵(a －b )⊥a ，∴(a －b )·a ＝|a |2－a ·b ＝0.∴a·b ＝|a |2.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝|a |2|a ||b |＝|a ||b |＝32.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°， ∴〈a ，b 〉＝30°.11.(2009年高考湖北卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．解：(1)法一：b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2， 当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2. 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，a ·(b ＋c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即co s(α－β)＝cos α.由α＝π4，得cos(π4－β)＝cos π4，即β－π4＝2k π±π4(k ∈Z )，∴β＝2k π＋π2或β＝2k π，k ∈Z ，于是cos β＝0或cos β＝1.法二：若α＝π4，则a ＝(22，22)．又由b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)得a ·(b ＋c )＝(22，22)·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β，平方后化简得cos β(cos β－1)＝0， 解得cos β＝0或cos β＝1.经检验，cos β＝0或cos β＝1即为所求． 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A2)，n ＝(cos A 2，sin A2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2)＝3，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32，∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．。
高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31054平面向量的数量积.
3.1054 平面向量的数量积一、知识回顾1．向量的夹角： 已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角。
2．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b=︱︱·︱b ︱cos θ．其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影．3．向量的数量积的性质： 若a =（11,y x ）,b=（22,y x ）则e ·a =a ·e=︱a ︱cos θ (e 为单位向量);⊥b ⇔·b=0⇔12120x x y y +=（，b 为非零向量）;︱︱cos θ=a ba b ∙∙．4 ．向量的数量积的运算律：a ·b=b ·a ;(λa )·b=λ(a ·b)=a ·(λb);(a ＋b )·c=a ·c+b ·c ．二、基本训练1．已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是 （ ）A.(,)(,)b a b a --或B. (,)a b -C. (,)(,)a b a b --或D. (,)b a -2．已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于 （ ）A. 1B. ２C. 12 D.－1 3．已知2,5,3a b a b ===-，则a b+等于 （ ）4.（05江西卷）已知向量与则若,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--= （ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5.（04年重庆卷.文理6）若向量a 与b 的夹角为60，||4b =，(2)(3)72a b a b +-=-,则向量a 为（ ）. A ． 2 B. 4 C. 6 D. 12 6．等腰Rt △ABC 中，2,AB AC AB BC ==则= 7．若向量3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，则非零向量a 与b 的夹角是 ______..三、例题分析 例1． 已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.例2．已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥例3．已知,a b 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+求与的夹角.变题：已知(1,2),(1,1),a b a a b λ==+且与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.例4．已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式 3,0ka b a kb k +=->其中（1） 用k 表示a b ；（2） 求a b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小.基本训练：1、A 2、A 3、C 4、C 5、C6、－47、60例题分析：例1、()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）例2、（1）12 （2）－2或72 例3、30变题：53λ>-且0λ≠ 例4、（1）21(0)4k a b k k +=> （2）最小值为12，60θ=四、作业 同步练习 3.1054 平面向量的数量积 1．63,1,9a b a b ===-，则a 与b 的夹角是 （ ）A. 120︒B. 150︒C. 60︒D. 30︒2．已知下列各式：（1）22a a =；（2）2a b b a a=；（3）222()a b a b =；（4）222()2a b a a b b -=-+，其中正确的有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．设,,a b c 是任意的非零向量，且相互不共线，则（1）()a b c ()c a b -=0；（2）()b c a -()c a b 不与c 垂直；（3）a b a b -<-；（4）22(32)(32)94a b a b a b +-=-中，是真A. （1）（2）B. （2）（3）C.（3）（4）D. （2）（4） 4．已知,,a a b b ==a 与b 的夹角是θ，则a b -等于 ( )A.C. cos ab θD. 222sin a b ab θ+-5.（05北京卷）若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°6．（05浙江卷）已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则（）(A) a ⊥e (B) a ⊥(a －e ) (C) e ⊥(a －e ) (D) (a ＋e )⊥(a －e )7.（04年全国卷一.文理3）已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3|a b + =（ ）. AB C D ．48.（04年全国卷二.理9）已知平面上直线l 的方向向量43(,),55e =-点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是O ′和A ′，则O A e λ''=，其中λ=（ ）.A ．115B ．115-C ．2D ．－29.（04年浙江卷.理14）已知平面上三点A 、B 、C 满足||3,||4,||A B B C C A === 则AB BC BC CA CA AB ++的值等于 .10．设O 为ABC ∆内一点，OB OC OC OA OA OB ==，则O 是ABC ∆的_______心。
高考数学第一轮专题复习 第二十五讲 平面向量的数量积测试卷
第二十五讲 平面向量的数量积一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－12D ．不存在解析：由题设知：a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)， ∴a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)．∵(a ＋b )⊥(a －b )， ∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m (m ＋2)＋(m －4)(－m －2)＝0， 解之得m ＝－2. 故应选A. 答案：A2．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线， 即f (x )的表达式是关于x 的一次函数．而(xa ＋b )·(a －xb )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a ·b －x |b |2， 故a ·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量， ∴a ⊥b ，故应选A. 答案：A3．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的范围是( ) A ．(1，＋∞) B．(－1,1) C ．(－1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：∵a 与a ＋2b 同向， ∴可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则有b ＝λ－12a ，又∵|a |＝12＋12＝2，∴a ·b ＝λ－12·|a |2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴a ·b 的范围是(－1，＋∞)，故应选C. 答案：C4．已知△ABC 中，,,AB a AC b == a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( ) A ．30° B ．－150° C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a ||b |sin∠BAC ＝154，∴sin∠BAC ＝12，又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角， ∴∠BAC ＝150°. 答案：C5．(2010·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设,,OA a OB b ==则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |，sin∠AOB ＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎪⎫a ·b |a |·|b |2，所以S △OAB ＝12|a ||b |sin∠AOB ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.答案：C6．(2010·湖南)在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC 等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8D ．16解析：解法一：因为cos A ＝AC AB， 故||||AB AC AB AC =cos A ＝AC 2＝16，故选D.解法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |， 故||||AB AC AC AB =cos A ＝AC 2＝16，故选D. 答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．(2010·江西)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________．解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1. 答案：18．(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：109．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，要使λb －a 与a 垂直，则λ＝________. 解析：由λb －a 与a 垂直，(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝0，所以λ＝2. 答案：210．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(OA OB OC +)的最小值是________．解析：令|OM |＝x 且0≤x ≤2，则|OA |＝2－x .()2OA OB OC OA OM +=＝－2(2－x )x ＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2≥－2.∴()OA OB OC +的最小值为－2. 答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，求使向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°， 则a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1. 而(2a ＋λb )·(λa －3b )＝2λa 2－6a ·b ＋λ2a ·b －3λb 2＝λ2＋λ－6. 设向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角为θ， 则cos θ＝(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |>0，且cos θ≠1，∴(2a ＋λb )·(λa －3b )>0，∴λ2＋λ－6>0， ∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a ＋λb ＝k (λa －3b )(k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k λ，λ＝－3k ，解得k 2＝－23.故使向量2a ＋λb 和λa －3b 夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角． 评析：由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b|a ||b |去判断θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0， ∴α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ， (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－ka ＋tb 满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t的最小值．解：(1)证明：∵a ·b ＝cos(－θ)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin(－θ)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0. ∴a ⊥b .(2)由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0， ∴k ＝t 3＋3t ，∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t＝t 2＋t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋114. 故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.。
2013届人教A版文科数学课时试题及解析(25)平面向量的数量积A
课时作业(二十五)A [第25讲平面向量的数量积][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．a ＝(2,3)，b ＝(－1，－1)，则a ·b ＝() A ．1 B ．－1 C ．－5 D ．52．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a ·(2a －b )＝0，则k ＝()A ．－12B ．－6C ．6D ．12 3．已知向量|a |＝10，且|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为() A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°4．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为() A.655 B.65 C.135D.13 能力提升5．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则a ·b ＝() A.12B ．1 C.32 D. 3 6．半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(P A →＋PB →)·PC →的值是() A ．－2B ．－1C ．2D ．无法确定，与C 点位置有关7．设a ，b 是非零向量，若函数f(x)＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有() A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |8．已知两不共线向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则下列说法不正确．．．的是()A ．(a ＋b )⊥(a －b )B ．a 与b 的夹角等于α－βC ．|a ＋b |＋|a －b |>2D ．a 与b 在a ＋b 方向上的投影相等9．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________．10．已知a 、b 、c 都是单位向量，且a ＋b ＝c ，则a ·c 的值为________．11．△ABO 三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x ，y)是坐标平面内一点，满足AP →·OA→≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．12．(13分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 夹角为45°，求使a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角时，λ的取值范围．难点突破13．(12分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，求c 的值．课时作业(二十五)A【基础热身】1．C[解析] a ·b ＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5. 2．D[解析] a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选 D. 3．B[解析] 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60?cos θ＝－12，故θ＝120°. 4．A[解析] ∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝2×－4＋3×74＋9·16＋49＝55，∴a 在b 方向上的投影|a |cos θ＝22＋32×55＝655. 【能力提升】5．B [解析] |a |＝2，a ·b ＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×12＝1. 6．A [解析] (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.7．A [解析] 由题意知函数f(x)＝x a 2－x 2a ·b ＋a ·b －x b 2，又因为函数f (x)的图象是一条直线，所以a ·b ＝0，即a ⊥b .所以选 A.8．B [解析] a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则|a |＝|b |＝1，设a ，b 的夹角是θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等．9.7[解析] ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7. 10.12[解析] b ＝c －a ，两边平方，并结合单位向量，得a ·c ＝12. 11．3[解析] ∵AP →·OA →＝(x －1，y)·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1，∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2.∴OP →·AB →＝(x ，y)·(－1,2)＝2y －x ≥3. 12．[解答] 由条件知，cos45°＝a ·b |a|·|b|，∴a ·b ＝3，设a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为θ，则θ为钝角，∴cos θ＝a ＋λb ·λa ＋b |a ＋λb |·|λa ＋b |<0，∴(a ＋λb )(λa ＋b )<0.λa 2＋λb 2＋(1＋λ2)a ·b <0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴－11－856<λ<－11＋856. 若θ＝180°时，a ＋λb 与λa ＋b 共线且方向相反，∴存在k<0，使a ＋λb ＝k(λa ＋b )，∵a ，b 不共线，∴k λ＝1，λ＝k.∴k ＝λ＝－1，∴－11－856<λ<－11＋856且λ≠－1. 【难点突破】13．[解答] 如图，取AB 的中点E ，连接CE ，则CE →＝12(CA →＋CB →)．由AB →·AC →＝BA →·BC →，得AB →·(AC →＋BC →)＝0，所以AB →·CE →＝0，即AB ⊥CE.又E 为AB 的中点，所以CA ＝CB ，即b ＝a.在Rt △AEC 中，|AC →|cos A ＝|AE →|，即bcosA ＝c 2，①AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cosA ＝cbcosA ＝2.②将②代入①，得c 22＝2，解得c ＝2.。
高考数学一轮复习 试题选编14 平面向量的数量积 理 新人教A版
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,所以 .
．（山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学）已知 中 ,若 为 的重心,则 __________.
【答案】4【解析】,设BC的中点为D,因为 为 的重心,所以 , ,所以 .
A． B． C． D．
【答案】B【解析】要使 成立,则有 共线且方向相反,所以当 时,满足 ,满足条件,所以选B．
．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）如图,平行四边形ABCD中, ,点M在AB边上,且 等于
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D ,所以 .选D．
．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）直线 与圆 交于A,B两点,则 · =（ ）
．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在△ABC中,AB= ,AC=2 , · =1,则BC=____________月入学诊断检测数学(理)试题）已知 , , ,则 与 的夹角 为____________________
【答案】 (或 )
A． B． C． D．
【答案】B由 得, ,即 .由 ,得 ,即 ,所以 ,所以 ,所以向量 与 的夹角的余弦值为 ,所以 ,选B．
．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知 的外接圆半径为1,圆心为O,且 ,则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）平面向量 与 的夹角为60°, 则 （ ）
,选C．
．（山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题）向量 ,若 的夹角等于 ,则 的最大值为（ ）
2013届高考数学(文)一轮复习课件4.3平面向量的数量积(广东专版)
＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【解析】 (1)∵B→C＝ 3B→D， ∴A→C＝B→C－B→A＝ 3B→D－B→A＝ 3(A→D－A→B)＋A→B ＝ 3A→D＋(1－ 3)A→B. 又 AD⊥AB，|A→D|＝1. ∴A→C·A→D＝ 3A→D2＋(1－ 3)A→B·A→D＝ 3. (2)∵b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2， 则 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22， 又因为 e1，e2 为单位向量，〈e1，e2〉＝π3，所以 b1·b2＝3－2×12－ 8＝3－1－8＝－6. 【答案】 (1)D (2)－6
数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
【思路点拨】 利用向量垂直的充要条件，建立关于k的方程，进而
解方程求k的值． 【尝试解答】 ∵a，b是单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0， 因此(k－1)(1＋a·b)＝0， 又a·b不共线，且|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝cos〈a，b〉≠－1， 故k－1＝0，则k＝1. 【答案】 1
2．(2011·辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，
则k＝( )
A．－12
B．－6 C．6
D．12
【解析】 由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝0，
∴2(22＋12)－(－2＋k)＝0，则k＝12.
【答案】 D
3．已知 a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量 λa＋b 与 a－2b 垂直，则
A．2
B. 3
C. 2
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
(江苏专用)2013年高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积课时闯关(含解析)
（某某专用）2013年高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积 课时闯关（含解析）[A 级 双基巩固]一、填空题1．(2011·高考某某卷)若a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝________. 解析：a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1. 答案：12．(2011·高考某某卷)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －．b )＝－2，则a 和b 的夹角为________．解析：∵(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2－2|b |2＋a ·b ＝－2，且|a |＝|b |＝2.∴a ·b ＝2.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，而〈a ，b 〉∈[0，π]．∴〈a ，b 〉＝π3.答案：π33．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.解析：|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×1×2cos60°＋22＝3.∴|a －b |＝ 3. 答案： 34．已知a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 垂直，则k ＝________. 解析：a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又a －2b 与c 垂直，∴3k ＋33＝0，∴k ＝－3.答案：－35．(2011·高考某某卷改编)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．解析：由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y画出可行域如图阴影部分，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，由图可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大值为4.答案：46．(2011·高考某某卷)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.解析：如图，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD ＝7，cos∠BAD ＝32＋72－122×3×7＝5714，∴AB →·AD →＝3×7×5714＝152.答案：1527．a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的________条件．解析：f (x )＝x 2a ·b ＋(b 2－a 2)x －a ·b 为一次函数⇒a ⊥b 且|a |≠|b |. 答案：必要而不充分8．(2012·某某质检)在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是________． ①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形．解析：在△ABC 中，AB →－AC →＝CB →，①错误；若AB →·BC →>0，则∠B 是钝角，△ABC 是钝角三角形，④错误．答案：②③ 二、解答题9．(1)在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |.解：(1)AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝5×5cos120°＝－252.∴CD →＝12(CA →＋CB →)，∴|CD →|2＝14(CA →＋CB →)2＝14(CA →2＋CB →2＋2CA →·CB →)＝14(25＋25＋2×5×5cos60°)＝754， ∴|CD →|＝532.(2)∵a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，∴a －2b ＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6)， 2a ＋3b ＝(6，－8)＋(6,3)＝(12，－5)， ∴(a －2b )·(2a ＋3b )＝－12＋30＝18. 又∵a ＋2b ＝(3，－4)＋(4,2)＝(7，－2)， ∴|a ＋2b |＝49＋4＝53.10．已知两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°. (1)若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的方向相反，某某数t 的值；(2)若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，某某数t 的取值X 围． 解：(1)由题意设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，消去λ，解得2t 2＝7.若t ＝－142，则λ＝－14； 若t ＝142，则λ＝14＞0，则t ＝142不合题意，舍去． ∴当t ＝－142时，2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为π，即这两个向量方向相反． (2)因为e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.因为这两个向量夹角为钝角，设夹角为θ，则有cos θ＝2t e 1＋7e 2·e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，且2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2不反向．当2t 2＋15t ＋7＜0时，解得－7＜t ＜－12.又由(1)知t ＝－142时，这两个向量的夹角为π. ∴t 的取值X 围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. [B 级 能力提升]一、填空题1．(2011·高考大纲全国卷改编)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，a －c和b －c 的夹角为60°，则|c |的最大值为________．解析：如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1，又∵a ·b ＝－12，∴|a ||b |cos∠AOB ＝－12，∴cos∠AOB ＝－12，∴∠AOB ＝120°，又∵a －c 和b －c 的夹角为60°，而120°＋60°＝180°， ∴O 、A 、C 、B 四点共圆，∴当OC 为圆的直径时|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°， ∴Rt△AOC ≌Rt△BOC ， ∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°.∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.答案：22．(2011·高考某某卷)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________．解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x ，∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案：53．(2012·某某调研)如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点(包括端点)，则AD →·BC →的取值X 围是________．解析：设BD →＝λBC →(0≤λ≤1)，BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋λBC →＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴AD →·BC →＝[(1－λ)AB →＋λAC →]·(AC →－AB →)＝λAC →2－(1－λ)AB →2＋(1－2λ)AB →·AC →.又∵AC→2＝1，AB →2＝4，AB →·AC →＝－1，故AD →·BC →＝λ－4(1－λ)－(1－2λ)＝7λ－5，由于0≤λ≤1，故AD →·BC →的取值X 围是[－5,2]．答案：[－5,2]4．已知A (3，3)，O 是原点，点P (x ，y )坐标满足⎩⎨⎧3x －y ＜0x －3y ＋2＜0y ≥0，则OA →·OP →|OP →|的取值X 围是________．解析：作出可行域，OA →和OP →的夹角θ∈[π6，5π6]，所以OA →·OP →|OP →|＝|OA →|cosθ＝23cos θ∈[－3,3]．答案：[－3,3] 二、解答题5．已知点M (－1,0)，N (1,0)，点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成等差数列，且公差小于零．(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0，y 0)，θ为PM →与PN →的夹角，求tan θ. 解：(1)设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)，得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于零的等差数列， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[21＋x ＋21－x ]，21－x －21＋x ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x ＞0.所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆．(2)点P 的坐标为(x 0，y 0)，PM →·PN →＝x 20＋y 20－1＝3－1＝2， |PM →|·|PN →|＝1＋x 02＋y 20·1－x 02＋y 20＝4＋2x 04－2x 0＝24－x 20，∴cos θ＝PM →·PN →|PM →|·|PN →|＝14－x 20， ∵0＜x 0≤3，∴12<cos θ≤1,0≤θ＜π3，∴sinθ＝1－cos 2θ＝1－14－x 20， ∴tan θ＝sin θcos θ＝3－x 20＝y 20＝|y 0|.6．如图所示，在Rt△ABC 中，已知：|BC →|＝a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点．问：PQ →与BC →的夹角为何值时，BP →·CQ →的值最大？并求此最大值．解：在Rt△ABC 中，AB →·AC →＝0.因为BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →，所以BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AB →·AQ →－AC →·AP →＋AB →·AC →＝－a 2＋AB →·AP →－AC →·AP →＝－a 2＋AP →(AB →－AC →)＝－a 2＋AP →·CB →＝－a 2＋PA →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.当θ＝0°时，BP →·CQ →取得最大值0.。
2013届高考一轮复习课件数学(理)浙江专版第25讲平面向量的数量积及应用备用例题
第25讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例1是在函数图象中考查数量积，比较新颖； 例2是考査利用向量数量积求线段的长以及两个非零向量数量 积为0的应用；例3是在几何图形中结合平面向量基本定理考査 数量积．
第25讲 │ 备用例题
例1 [2010·郑州质检]函数y＝tan )
π π x－ 2 4
第25讲 │ 备用例题
→ ＝(3,5)， → ＝(－1,1)则AB → ＋AC → [解答] (1)方法一： 由题设知AB AC → －AC → ＝(4,4)． ＝(2,6)，AB → ＋AC → |＝2 10，|AB → －AC → |＝4 2. 所以|AB 故所求的两条对角线的长分别为 4 2、2 10. 方法二：设该平行四边形的第四个顶点为 D，两条对角线的交 点为 E，则 E 为 BC 的中点，E(0,1)， 又 E(0,1)为 AD 的中点，所以 D(1,4)． 故所求的两条对角线的长分别为 BC＝4 2、AD＝2 10；
2
第25讲 │ 备用例题
例3 在△ABC中，AB⊥AC，AB＝6，AC＝4，D为AC的
中点，点E在边AB上，且3AE＝AB，BD与CE交于点G，则 →· → ＝________. AG BC
4 [答案] － 5
第25讲 │ 备用例题
→ ＝λAB → ＋(1－λ)· →＝ [解答] 因为 B、 D、 G 三点共线， 设AG AD 1－λ → → → ＝μAE → ＋(1－μ)AC → λAB＋ AC，C，E，G 三点共线，可设AG 2 μ λ＝ ， 3 μ→ 1 → ＝ AB＋(1－μ)AC，则 解得 λ＝ ， 3 5 1－λ＝1－μ， 2 1 2 1 2 → ＋ AC → · → ＝ AB → ＋ AC → ，∴AG →· → ＝ AB → －AB → )， 所以AG BC ( AC 5 5 5 5 4 → → ∵AB⊥AC，AB＝6，AC＝4，∴AG· BC＝－ . 5
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第二十五讲 平面向量的数量积一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－12D ．不存在解析：由题设知：a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，∴a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)．∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m (m ＋2)＋(m －4)(－m －2)＝0，解之得m ＝－2.故应选A.答案：A2．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，则必有() A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，即f (x )的表达式是关于x 的一次函数．而(xa ＋b )·(a －xb )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a ·b －x |b |2，故a ·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量，∴a ⊥b ，故应选A.答案：A3．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，1)解析：∵a 与a ＋2b 同向，∴可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则有b ＝λ－12a ，又∵|a |＝12＋12＝2，∴a ·b ＝λ－12·|a |2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴a ·b 的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC 中，,,A B a A C b == a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°.答案：C5．(2010·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设,,O A a O B b == 则△OAB 的面积等于() A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |， sin ∠AOB ＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2，所以S △OAB ＝12|a ||b |sin ∠AOB ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.答案：C6．(2010·湖南)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：解法一：因为cos A ＝AC AB， 故||||AB AC AB AC = cos A ＝AC 2＝16，故选D.解法二：AB 在A C 上的投影为|AB |cos A ＝|A C |，故||||AB AC AC AB = cos A ＝AC 2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·江西)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10. 答案：109．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，要使λb －a 与a 垂直，则λ＝________.解析：由λb －a 与a 垂直，(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(O A O B O C + )的最小值是________． 解析：令|O M |＝x 且0≤x ≤2，则|O A |＝2－x .()2O A O B O C O A O M += ＝－2(2－x )x ＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2≥－2.∴()O A O B O C + 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，求使向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1. 而(2a ＋λb )·(λa －3b )＝2λa 2－6a ·b ＋λ2a ·b －3λb 2＝λ2＋λ－6.设向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |>0，且cos θ≠1， ∴(2a ＋λb )·(λa －3b )>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a ＋λb ＝k (λa －3b )(k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，解得k 2＝－23故使向量2a ＋λb 和λa －3b 夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b |a ||b |去判断θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ， (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－ka ＋tb 满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值． 解：(1)证明：∵a ·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin(－θ)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0. ∴a ⊥b .(2)由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0， ∴k ＝t 3＋3t ，∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.。