单自由度体系地震作用计算原理
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。
然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。
这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。
图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。
任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。
1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。
2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。
目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。
在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。
aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。
单自由度体系地震能量反应的计算
Ｃａｃ ｌｔｏ ｆｓ ｉｍ ｉ ｎｅ ｇ ｅ ｐｏ ｅ ｏ ｉ ｌ ｌｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｅｓ ｃｅ ｒ ｙ ｒ ｓ ｎｓ ｆｓｎｇｅ ｄ ｇ ｅ ｆｆ ｅ ｄ ｍ ｙ ｔ ｍ ｅ ｒ ｅ ｏ ｒ ｅ ｏ ｓ ｓｅ
ＹＡｎ ２ ２ Ｓ ａ － ｇ ｅ
ｉ ｉｔ ｄ ｃｄ ｂ ｉｆ ｎ ｄ ｔ ｅｅａｅｔ ｘ ｍｐｅ ｏｓ ｏ ｔ ｅｐ ｏ ｅ ｕ ｅ ｓ ｎ ｒ ｕ ｅ ｒｅｌ ｏ ｙ，ａ ｈ ｒ ｒ ｗｏｅ ａ ｌ ｔ ｈ ｗ ｈ ｒｃ ｄ ｒ ． ｓ
ｋ ｙｗｏ ｄ ：ｎ ｒｙ ｃ ｌｕａ ｉｎ；ｅｓ ｃｅ ｅｇ ｔｔｌ ｎ ｕ ｉ ｉ ｅ ｅｇ ｓｒ ｃｕ ａ ｙ ｔｒｔｃｄｓｉａ — ｅ ｒ ｓ ｅ ｅｇ ｃ ｌｔ ａ ｏ ｓｉ ｍｉ ｎ ｒ ｙ；ｏ ａ ｉｐ ｔ ｓ ｃ ｎ ｒｙ；ｔ ｔ ｒｌ ｓｅ ｅｉ ｉ ｐ ｔ ｅ ｓｍ ｕ ｈ ｅ ｎ ｒ ｙ ｓｒ ｃｕ ａ ｄ ｐｎ ｎ ｒ ｙ ｄ ｅ ｅｇ ；ｔｕ ｔ ｒｌ ａ ｉｇ ｅ ｅｇ ｍ
Ｍａ ．２ ０ ｒ ｏ６
文章编 号 ： ６ ２ ３ ５２ ０ ）１ ０ ０ ４ １７ —９ １ （０ ６０ —０４ —０
单 自由度体 系地震能量反应 的计算
杨文 星 ． 罗少 锋 一 ，
（＿ １西安科技大学 建筑与土木工程学院， 陕西 西安 ７０５ ； ． １ ４ ２西安建筑科技大学 土木工程学院， ０ 陕西 西安 ７０ ５） １０５ 摘 要： 在地震 中， 结构吸收地震波输入的能量 ， 以阻尼耗能和滞 回耗能的形式 消耗 能量 。通过 结构 并
（ ． ｃｏｌｆＣｖｌ ｇｎｅｉｇａｄ Ａｒｈｔ ｔｒ ， ’ ，Ｕｎｖｒ ｉ ｆＳｚｒｅａ ｄＴ ｃｎ ｌ ｙ，Ⅺ ’ ７ ０ ５ １ Ｓｈｏ ｉｉＥｎ ｉｅｒｎ ， ｏ ｃｉｃｕｅ ｅ 口ｌ ｉｅｓ ｔ ｙ ｙｏ ｃ￣ｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ｌ ｏ 口 １０ ４，Ｃ ｉａ； ｈｎ
第三章1-单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用
1 k
x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
14
1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为： x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0
代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
6
建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用
2
max
1
Tg
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结构抗震设计
16
设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
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结构抗震设计
21
一、多质点和多自由度体系
15
第三章2 工程结构地震反应分析与抗震验算.ppt
h 1 ---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定
h1 = 0.02 + (0.05 - z ) / 8 当h1 < 0时，取h1 = 0
h2 - -阻尼调整系数，h2 < 0.55时，取h2 = 0.55
h2
=1+
0.05 - z 0.06 +1.7z
Tg : 特征周期，见表3.2
max：水平地震系数的最大值 α max = kβ max ,β max= 2.25
结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
F
=
F (t ) max
= m &x&(t) + &x&g (t) max
= mSa
= mg Sa
&x&g (t) max = Gk = G
&x&g (t) max
g
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
= Sa
&x&g (t) max
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组 0.25
0.35
0.45 0.65
查表确定 Tg Tg = 0.3
第二组 0.30
0.40
第三组 0.35
0.45
0.55 0.75 0.65 0.90
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic = EIc / h = 2.6104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。
第三章-单自由度体系结构的地震反应
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
自由度体系结构的地震反应
直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
地震影响系数曲线
2 当建筑结构的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合下列规定： 1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定： 2) 直线下降段的下降斜率调整系数应按下式确定： 3)阻尼调整系数应按下式确定：
地震影响系数的确定
建筑结构的地震影响系数应根据烈度、场地类别、设计地震分组和结构自振周期以及阻尼比确定。其水平地震影响系数最大值应按表3-4采用；特征周期应根据场地类别和设计地震分组按表3-2采用,计算罕遇地震作用时，特征周期应增加0.05s。
近年来地震经验表明，在宏观烈度相似的情况下，处在大震级远震中距下的柔性建筑，其震害要比中、小震级近震中距的情况重得多；理论分析也发现，震中距不同时反应谱频谱特性并不相同。
2
为更好体现震级和震中距的影响，采用设计地震分组来区分近震和远震，将建筑工程的设计地震分为三组。
3
设计地震第一组；震中距较小
4
设计地震第二组；震中距适中
5
设计地震第三组：震中距较大
6
常用术语—设计地震分组
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3.3 单自由度体系地震作用及其反应谱 标准反应谱
地震系数
地震系数是地面运动加速度峰值与重力加速度的比值。 地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定对应关系。
地震烈度
6
7
8
9
地震系数k
0.05
0.1（0.15）
单自由度体系结构的地震反应
3.13.1 概述
建筑结构的地震反应
3.1 概述
3.2.1力学模型及其运动方程
线性单自由度体系的运动方程
()
平衡方程地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：
3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动
例题分析
[例题3.1]
用下的受迫振动
3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动
应——杜哈美积分
3.4.1杜哈美积分的数值计算3.4 单自由度体系地震反应的数值计算
3.4.1杜哈美积分的数值计算
3.4.2运动方程数值计算解线性加速度法
线性加速度法线性加速度法
[]
例题分析例题分析
3.5 抗震设计反应谱 3.5.1水平地震作用的基本公式
采用的反应谱地震系数
动力系数标准的地震影响系数曲线
α
例题分析
例题分析
[例题3.3]
反应与计算 3.6.1材料的非线性
3.6.2单自由度非线性体系的运动方程 3.6.3非线性运动方程的求解3.6.4恢复力模型
“半退化三线型”恢复力模型。
第二章 地震作用 (2)
(c) 多、高层建筑 c) 多、高层建筑 主要质量：楼盖部分
(d) 烟囱 烟囱 (d) 结构无主要质量部分
结构分成若干区域
集中到各区域质心
多质点体系
多质点体系
§2.1 概述
四、体系的自由度
体系的自由度：确定一个体系弹性位移的独立参数的个数
理解体系自由度的注意事项：
(1)结构的自由度数不一定等于其质点数，而要根据质点 的位移数来确定
0
max
最大反应之间的关系
S a Sv 2 S d
2.2
单自由度体系水平地震作用
(t ) g Sa x x
max
g ( )e x (t ) sin (t )d x
0
t
max
由此式可知：Sa取决于地面运动加速度、结构自振频率或 自振周期，并与阻尼比有关。 在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数 Sa通过反应谱理论确定 反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应 与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
2.2
单自由度体系水平地震作用
3、不同场地条件对反应谱的影响
Sa / g
软土层
厚的无粘性土层
周期（s)
坚硬场地
岩石
场地土质松软，长周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值右移 场地土质坚硬，短周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值左移
2.2
单自由度体系水平地震作用
不同震中距条件下的平均反应谱
4、震中距对反应谱的影响 烈度相同的条件下 震中距较远时，反应谱曲 线峰值右移 震中距较近时，反应谱曲 线峰值左移
ζ 1
临界阻尼比，表示结构不再振动
一般工程结构的阻尼比在0.01~0.20之间， 常用的混凝土结构默认情况下取为0.05.
单质点地震作用计算计算方法
单质点地震作用计算的计算方法主要内容：1．单自由度弹性体系地震反应分析，主要是运动方程解的一般形式及水平地震作用的基本公式及计算方法。
2．计算水平地震作用关键在于求出地震系数k 和动力系数β。
一、地震概述地震是一种地质现象，就是人们常说的地动，它主要是由于地球的内力作用而产生的一种地壳振动现象。
据统计，地球上每年约有15万次以上或大或小的地震。
人们能感觉到的地震平均每年达三千次，具有很大破坏性的达100次。
每次中等程度的地震就会造成重大损失和人员伤亡，研究地震的危害和抗震的方法极有必要，目前已经研究到了多质点体系地震作用和整体结构的地震作用，但这些研究都离不开单质点地震作用的计算，我们组准备理论研究并在现有的计算基础上做一点拓展。
二.地震危害直接2005年2月15日新疆乌什发生6.2级地震，经济损失达15757.43万元，主要是土木结构的房屋破坏严重。
近期，云南普洱发生严重的地震，震中位于人口稠密的县城，造成严重的财产损失和人员伤亡。
目前，因灾受伤群众为３００余人，其中３人死亡。
全县各乡（镇）房屋受损严重，土木结构房屋墙体倒塌较多，砖混结构房屋普遍出现墙体开裂，承重柱移位。
作为将来的结构工程师，抗震是我们拦路虎，必须加以重视，那我们先从基础理论着手。
三、单质点弹性体系的地震反应目前，我国和其他许多国家的抗震设计规范都采用反应谱理论来确定地震作用。
这种计算理论是根据地震时地面运动的实测纪录，通过计算分析所绘制的加速度（在计算中通常采用加速度相对值）反应谱曲线为依据的。
所谓加速度反应谱曲线，就是单质点弹性体系在一定地震作用下，最大反应加速度与体系自振周期的函数曲线。
如果已知体系的自振周期，那么利用加速度反应谱曲线或相应公式就可以很方便地确定体系的反应加速度，进而求出地震作用。
应用反应谱理论不仅可以解决单质点体系的地震反应计算问题，而且，在一定假设条件下，通过振型组合的方法还可以计算多质点体系的地震反应。
单自由度体系结构的地震反应(2)
• 动力系数(放大倍数）
＝ Sa
xg max
7
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应
二、地震影响系数
• 地震系数 k＝ xg max
g
反应地面运动强烈程度。一般，地震烈度愈大，地面 运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数 与地震烈度之间有一定的对应关系。
地震烈度与地震系数的关系
地震烈度
6
7
2 1+0.05 0.08+1.6
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建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 六、 《抗震规范》设计反应谱
2. 地震影响系数曲线的确定 1)选用国内、外近300条地震纪录，按场地类别归类，统 计拟合出标准地震影响系数曲线。
2)谱曲线的峰值 max ：取决于设防烈度
表5-5 水平地震影响系数最大值αmax
对应关系，这样给定任一地面运动，即可做出一条a-T 曲线称作加速度反应谱曲线。
13
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 四、地震反应谱
反应谱曲线的特点 1）多峰值；2)阻尼影响大；3)随周期变化规律显著
El Centro波加速度反应谱
El Centro波速度反应谱
14
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 五、设计地震反应谱
地震系数k 0.05
0.1
表3-3
8
9
0.2
0.4
8
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 二、地震影响系数
• 动力系数(放大倍数） ＝ Sa xg max
反应单质点体系最大绝对加速度与地面运动最大加速度 的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比 地面运动最大加速度放大了多少倍.
9
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 三、水平地震作用的计算
地震作用的基本原理及计算方法
第 三 阶段 ：二 十 世 纪 五 十年 代 末 期 ． ． ． ｕｎｒ 现 了 ＧＷ Ｈｏｓｅ实 地 震 反 应 的 动 力 计 算 方 法 ．并 将 其 成 功地 加 以 应用 于 墨 西 哥 城 的 拉 丁 美 洲 大 厦 设 计 ， １ ５ 年 的 墨 西 哥 大 地 震 中 ， 西 哥 在 ９８ 墨 城遭受严重震害 。 而拉 丁美 洲 大 厦 表 现 良好 。 使 人 们 开 始 重 促 视 地 震 反 应 的 直 接 动力 计 算 方 法 ， 称 为 时 程 分 析 方法 。 二 又 从 十 世 纪 六 七 十 年 代 开 始 ．地 震 反 应 动 力 分 析得 到 了 广 泛 研 究 和 发 展 ． 弹性 时程 方 法 发 展 到 弹 塑 性 时 程 分 析 方 法 ， 工 程 从 在 设 计 应 用 和 科 学 研 究 中 。 得 了显 著 成 绩 。 是 地 震 作 用 计 算 取 这 方法的第三阶段 ． 时程 分 析 方 法 应 用 于 设 计 ， 要 是 作 为 应 用 主 反 应 谱 方 法 设 计 的 补充 手段 。 ４ 常 用 的 抗 震设 计 方 法 ． （ ） 应 谱 分析 方 法 １反 反 应 谱 方 法 是 目前 世 界 各 国计 算 地 震 作 用 中普 遍 应 用 的 方 法 ， 优 点 是 考 虑 了 地 震 的 强 烈 程 度 — — 烈 度 ， 虑 了 地 面 其 考 运 动 的 特 性 ， 别 是 场 地性 质 的 影 响 ， 虑 了结 构 自身 的 动 力 特 考 特 性— — 周 期 与 阻 尼 。通 过 反 应 谱 值 将 结 构 的 动力 反 应 转 化 为 作 用 在 结 构 上 的静 力 ． 构 计 算 不 需 要 特 殊 的 方 法 。 加 速 结 度 反 应 谱 值 是 加 速 度 反 应 的 最 大值 ， 它 来 进 行 设 计 一 般 来 用 说 是 安 全 的 。场 地 、 级 和 震 中 距 都 会 影 响 地 面 运 动 ， 而 也 震 从 影 响 反 应 谱 形 状 。反应 谱值 对 应 的周 期 可 近 似 代 表 场 地 的 卓 越 周 期 ． 土 中反 应 谱 的 峰 值 对 应 的 周 期 较 短 ， 土 的 反 应 谱 硬 软 值 对 应 的 周 期 较 长 ．也 可 以说 反 应 谱 的形 状 反 映 了 场 地 土 的 性 质 。 以 。 周 期 的高 层 建 筑 结 构 在 软 土 地基 上 的 地 震 反 应 所 长
单自由度体系地震作用
单自由度体系地震作用地震作为自然灾害的一种，对单自由度体系（简称SDOF）造成的影响非常显著。
单自由度体系是指一个物体只能在一个方向上做简谐振动的系统。
本文将从地震的原理、地震对单自由度体系的作用和对策等方面进行探讨。
首先，地震是由地球内部的能量释放引起的地壳振动现象。
地震的能量通过地震波的传播传导到地表，对单自由度体系造成的主要作用有以下几个方面：1.混合波作用：地震波是有横波和纵波组成的，而纵波对单自由度体系能量输入的效果更强。
地震波经过傅里叶变换可以分解成多个不同频率的简谐波，在振动频率接近结构的固有频率时，能量输入会增加。
2.地震力作用：地震力是地震波在作用于结构上时产生的外部力，导致结构发生振动。
地震力与单自由度体系的质量、地震波的加速度和结构刚度有关。
地震波的加速度越大，结构受到的地震力就越大。
3.应变能作用：地震波会导致振动结构内部的位移和应变，从而在结构中产生能量损耗。
这些位移和应变会对结构的受力特性产生影响，可能导致结构的损坏。
在地震波作用下，单自由度体系受到的影响会导致以下几个问题：1.结构的动力响应：单自由度体系在地震波的作用下发生振动，产生位移、速度、加速度等动力响应。
这些响应对于结构的稳定性和安全性有着重要的影响。
2.力的集中：由于单自由度体系的特性，地震力作用在质点上，使得力在结构上集中，可能导致结构节点和关键部位产生过大的应力，从而引起结构的破坏。
3.结构的共振：当地震波的频率与结构的固有频率接近时，会引起结构的共振现象。
在共振状态下，结构的动力响应会显著增大，导致结构的损坏。
为了减轻地震对单自由度体系造成的影响1.设计合理的结构：在结构设计阶段，应根据当地的地震状况和结构的要求确定合理的结构抗震要求和设计参数，确保结构具备足够的刚度和韧性。
2.加固结构：对于现有结构，可以通过加固和改造的方法提高结构的抗震性能。
例如，在现有柱子上加固钢管剪力墙，增加柱箍加固，以提高结构的刚度和耐震能力。
3—2 单自由度体系的弹性地震反应分析
fr = −kx(t)
(3-3)
式中 k——弹性直杆的刚度，即质点产生单位水平位移时， ——弹性直杆的刚度 即质点产生单位水平位移时， 弹性直杆的刚度， 在质点上所需施加的水平力， 在质点上所需施加的水平力 ， 负号表示恢复力的方向总是 和质点位移方向相反。 和质点位移方向相反。
阻尼力是使结构体系振动逐渐衰减的力 阻尼力是使结构体系振动逐渐衰减的力，反映了造 是使结构体系振动逐渐衰减的力， 成系统能量耗散的诸因素( 如材料内摩擦、 成系统能量耗散的诸因素 ( 如材料内摩擦 、 构件连 接处的摩擦、 空气阻尼等) 的作用。 接处的摩擦 、 空气阻尼等 ) 的作用 。 通常采用便于 计算的粘滞阻尼理论， 计算的粘滞阻尼理论，即假定阻尼力的大小与质点 的相对速度成正比， 的相对速度成正比，而力的方向与相对速度的方向 相反， 相反，即 fc = −cx(t) ɺ (3-2)
2
x ɺɺ(t) + 2ζωx(t) +ω x(t) = 0 ɺ
(3—10) 10)
上式为有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程， 上式为有阻尼单自由度体系自由振动的运动方程 ， 方 程等号右边荷载项为零， 程等号右边荷载项为零 ， 表示体系在振动过程中无外 部干扰作用， 部干扰作用 ， 振动是由初始位移或初始速度或两者共 同影响而引起的。 同影响而引起的。
fI = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] x x
式中负号表示惯性力的方向与绝对加速度的方向相反。 式中负号表示惯性力的方向与绝对加速度的方向相反。
弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的 一种力，它是由质点支承杆弹性变形引起的， 一种力，它是由质点支承杆弹性变形引起的，其大 正比， 小与质点的相对位移成 x(t) 正比，即
3—3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱
F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] x x
F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] = cx(t) + kx(t) ≈ kx(t) x x ɺ
3.3.2 地震反应谱
1、定义与计算 将式( 将式(3—32) 32)
1 x(t) = dx(t) = − ∫ ɺɺg (τ )e−ζω(t−τ ) sin ω′(t −τ )dτ x ω′
2π 1 β(T) = ⋅ T ɺɺg (t) x
2、动力系数 x S 41） 式(3—41） F = mg ɺɺ • = Gkβ(T) 中的动力系数 g x ɺɺ (t) 为 β(T) = Sa / ɺɺg (t) max x (3—43) (3— 将式( 39)代入上式， 将式(3—39)代入上式，则得 （ 3-3-6）
t ∫0
代入（ 代入（3-3-2）式 F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] = cx(t) + kx(t) ≈ kx(t) x x ɺ ，并注意到 ω′ = ω 地震作用， 地震作用，即 及 k = mω2 即，则得水平
t F(t) = mω2 x(t) = −mω∫0 ɺɺg (τ )e−ζω(t−τ ) sin ω(t −τ )dτ x （3 - 3 - 3 ）
设计地震 分组 第一组 第二组 第三组 I 0.25 0.30 0.35
特征周期 Tg 值(s)
场 地 类 别 II 0.35 0.40 0.45 III 0.45 0.55 0.65 IV 0.65 0.75 0.90
3、Tg
≤ T ≤ 5Tg
区段：在这一区段为曲线下降
段，曲 线呈双曲线 变化：
1、地震系数 x ɺɺg (t ) max Sa F = mg • 41) 式(3-41) g x ɺɺg (t) 地震系数为
地震作用计算——地震反应分析
体系的自由振动由体系初位移和初速度引起，而体系的强迫振动由地
面运动引起。若体系无初速度和初位移，则体系地震反应中的自由振动项
为零。即使体系有初位移和初速度，由于体系有阻尼，由x1（t）式子可知， 体系的自由振动项也会很快衰减，一般可不考虑。因此，可仅取体系强迫
振动项，即x2（t），计算单自由度体系的地震位移反应。
4.2.2 振动微分方程及解答
各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动
0 0 1 1 1
4.2.2 振动微分方程及解答 2. 非齐次微分方程的特解——杜哈曼积分（强迫振动）
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
利用数值积分的思路进行求解： 1、将地震的地面加速度分成有限个脉冲 2、讨论在单一脉冲作用后结构的响应 3、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知 （只是初速度不同）。 4、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加 （积分）
相当于地震产生的作
单质点弹性体系在地 震作用下的微分方程
用于结构上的强迫力
x(t)
c m
x(t)
k m
x(t)
xg
(t)
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
2
x(t) 2 2
c km
k m
x(t)
k m
x(t) xg (t)
简述确定结构地震作用的振型分解反应谱法的基本原理
简述确定结构地震作用的振型分解反应谱法的基本原理结构地震作用是指当地震发生时，土地和建筑结构受到强烈震动的现象。
这种地震作用对建筑物的安全性、抗震等级和寿命有着重要的影响。
为了研究建筑结构的抗震性能，需要掌握结构地震作用的特点和规律。
振型分解反应谱法是一种最常用的结构地震反应计算方法之一，本文将对其基本原理进行简述。
振型分解反应谱法是一种建筑结构的动力分析方法，其原理是将结构的振动分解为一系列单自由度振动系统的组合。
这些单自由度结构可以看作是理想的固定质量、无阻尼、线性弹性振动系统，其特定振动模式称为振型。
建筑结构的复杂振动模式可以通过这些简单的振型组合表示出来，从而计算建筑结构的反应谱。
在振型分解反应谱法中，先要将建筑结构的振动模式分解为单自由度振动系统，然后对每个单自由度系统进行动力分析。
在单自由度振动系统中，结构包含一个质点及其连接着的刚性弹簧和阻尼器。
在地震激励下，质点会因惯性力而振动，其振动的形式由单自由度系统的振型所决定。
振型由结构的固有振动和阻尼比所决定。
通过计算每个单自由度系统的反应谱，可以获得结构在地震作用下的最大响应。
在振型分解反应谱计算中，每个振型被赋予一个动力增益因子。
该因子测定了该振型对于特定的频率范围内地震激励的放大效应。
动力增益因子的大小受到结构的频率和阻尼比的影响。
因此，结构频谱密度和激励频谱密度的乘积可以得到该振型的放大系数。
通过对不同振型的反应谱进行叠加，可以得到结构的总反应谱。
总反应谱代表结构的响应特性，包括其最大加速度、速度和位移。
同时，当知道入射地震波的激励谱时，可以通过反应谱计算出结构的最大位移、应力和感应力等参数。
总之，振型分解反应谱法是一种有效的结构地震反应计算方法，其基本原理是将结构振动分解为单自由度振动系统，通过计算每个单自由度系统的反应谱来获得结构的总反应谱。
利用振型分解反应谱法可以计算结构地震作用下的反应特性，为建筑结构的抗震设计和评估提供重要依据。
单自由度体系结构的地震反应
加速度反响谱曲线确定过程：
应取0.9。 4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系
数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
2 当建筑构造的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系 数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合以下规定：
1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定：
0.900..3056
• 由?抗震标准?可直接查得地震影响系数α，从而可方便地求得 单质点体系的水平地震作用。
F 由ma Sm 2 T• x g g 0S g 1 m aa xS g 0 ta x • g 0( G ) e 2 T ( t ) • s S i g n a2 T x ( 0 tg m ) a• d xx 0 m Sa m ax 得a x :k
• 对假设干条个地面运动加速度时程，可得到假设干条α-T曲
线。
• 对不同的建筑场地分类，对得到的α-T曲线进展统计、拟合，
并结合工程经历适当进展调整，可确定对应场地的标准α-T
曲线，即为标准的地震影响系数曲线。
• 假设构造的阻尼比不等于0.05，可在标准地震影响系数的根
底上进展修正而得到。
• 按照以上思路所得到的地震影响系数-自振周期曲线为设计
得 a ( t ) 0 t x 0 () e ( t )• si ( t n ) d
§3.3 单自由度体系地震作用及其反响谱
地震作用基本原理及计算方法
地震作用基本原理及计算方法摘要：本文主要介绍了我国地震的特点，地震作用的基本原理和计算方法，以及抗震设计中注意事项，得出结论：地震发生虽然具有随机性和不确定性，但是地震作用却有一定的规律性。
只要科学把握地震作用发生的本质和规律，从地震灾害中总结经验和教训，就会使抗震设计理念更先进，抗震设计计算更准确。
关键词：地震地震作用基本原理设计理念1.前言我国地处世界上最活跃的地震带上，我国东部地区处在环太平洋地震带上，我国西部及西南处在欧亚地震带上，因而我国地震活动频繁，是世界大陆地震最多的国家之一。
地震发生时将释放很大的能量，但具体地震作用具有哪些特点呢？地震具有偶然性和不确定性的特点，地震发生的时间、地点、强度是随机的、不确定的，我国地震的基本特点是：震源浅、烈度高、分布广、伤亡大。
2.地震作用基本原理地震作用是短时间内的一种动力作用，地震发生时，结构的加速度和惯性力的方向和大小不断变化，作用力的大小与地震动和结构本身的动力特性有关，场地、震级和震中距都会影响地面运动。
地震是由不同周期的振动频率组成的，当建筑结构的自振频率与地震的主振频率接近时，就会产生共振而造成严重破坏甚至倒塌。
地震作用下，结构的运动微分方程，单自由度体系表达式为：m（x″+x″）+cx′+kx=0。
式中m――结构质量；c――结构阻尼系数；k――结构刚度系数；x，x′，x″――分别为结构对地面的相对位移、速度及加速度；x″――地面加速度时程。
3.地震作用的计算方法地震作用发生的概率较低，一次地震的时间不长，但地震强烈，不确定因素影响较多，在地震发生时要求结构完全处于弹性状态是十分不经济的，因此人们要求结构能保护人类的生命和财产，提出了小震不坏、中震可修，大震不倒的三水准设计对策，在地震作用下变形能力不足是结构破损和倒塌的主要原因，因此抗震设计方法由基于承载力的设计方法发展为基于延性的设计方法，并正在研究和发展基于性能的设计方法。
结构地震作用计算方法大致经历了三个阶段。
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0.05
地震作用的计算方法
• （1）根据计算简图确定结构的重力荷载代 Байду номын сангаас值和自振周期。
• （2）根据结构所在地区的设防烈度、场地 类别及设计地震分组，按表规范确定反应 谱的水平地震影响系数最大值和特征周期。
• （3）根据结构的自振周期，按地震影响系 数谱曲线中相应的区段确定地震影响系数。
• （4）计算水平地震作用值。
迪拜哈利法塔
高层建筑
烟囱
集中质量
多层建筑及其计算简图
烟囱及其计算简图
等高单层厂房及其计算简图
单自由度体系
定义： 单质点体系：将结构参与振动的全部质量集中于一点，用无
质量的弹性直杆支承于地面上的体系； 单向振动体系：当一个单质点体系只作单向振动时，形成一
个单自由度体系。 分类：
线性单自由度体系：主要表现为线性阻尼和线性刚度，动力 学微分方程中除出现响应函数及其一阶和二阶导数的一次项（第一阶 段，结构在多遇地震下的弹性验算）
• 对于非线性分析，最有效的方法大概是逐步积分法，在这种方法中， 采用一系列短时间增量△t计算反应，而通常为了计算方便起见，取 △t为等步长，在每个时刻间隔的起点和终点建立动力平衡条件，并以 一个假没的反应机理为根据，近似地计算在时间增量范图内体系的运 动(通常忽略在时间间隔内可能产生的不平衡)。体系的非线性特性可 用每个时间增量起点所求得的当前变形状态的新特性来说明，利用本 计算时间区间终点的速度和位移作为下一计算时间区间的初始条件从 而可得到整个反应；因此，这个过程可以逐步地从加荷开始时起进行 到任何所要求的时间，而非线性特性则可用一系列相继改变的线性体 系来逼近。
体系的地震反应=自由振动反应+强迫振动反应
单自由度体系动力学分析回顾
1.单自由度体系自由振动—齐次方程
（1）无阻尼时 （2）有阻尼时
m x kx0
2 k m
x2x0
x(t)(x0cots x 0si nt)
m x cx k x0
2 k, c m 2m
x 2 x 2x0
1 时
x(t)e t (x0codts x 0x0 sid n t) d
非线性单自由度体系：主要表现为非线性阻尼和非线性刚度， 力学微分方程中除出现响应函数及其一阶和二阶导数的一次项外,还 出现它们的高次项时,方程称为非线性的（第二阶段，结构大变形在 罕遇地震下的弹塑性验算）。 意义；
单自由度体系的动力分析虽然比较简单，但是非常重要。这 是因为:第一很多实际的动力问题常可按单自由度体系进行计算，或 进行初步的估算。第二，单自由度体系的动力分析是多自由度体系动 力分析的基础.只有牢固地打好这个基础，才能顺利地学习后面的内 容。
k m
两边同除
可把方程右边的函数看做动荷载
以m
x (t) 2 x ( t) 2 x (t) x g(t)
1
c 2m
1
1
运动方程的求解
线性常微分方程式的通解等于齐次解和特解之和。齐次解 代表体系的自由振动反应，特解代表体系在地震作用下的 强迫振动反应。因此，相应的地震反应由下式计算
1940年，美国皮奥特提出。 地震作用
F kG
按静力计算方法计算结构的地震效应
目前，世界上普遍采用的方法。
结构动力计算方法
达朗贝尔：在任一时刻t，质点在主动惯性
力、阻尼力及弹性恢复力三者作用下保持 动力平衡 虚功原理：用于复杂从自由度的动力计算 变微分：
地震作用下线弹性单自由度体系的运动方程
方程的通解
• 通解与特解之和，即为常微分方程的通解。
•
结构体系自由振动反应，一般可不考虑，而
仅取强迫振动反应作为单自由度体系水平地震位
移反应。
x(t) 10 t x g()e (t)si n(t)d
单自由度体系水平地震作用的计算及反应谱法
水平地震作用就是地震时结构质点上受到的水平方向的 最大惯性力，即
结构弹塑性时程分析方法的步骤
（1）按照建筑场址的场地条件、设防烈度、震中距 远近等因素，选取若干条具有不同特性的典型强 震加速度时程曲线，作为设计用的地震波输入。
（2）根据结构体系的力学特性、地震反应内容要求 以及计算机存储量，建立合理的结构振动模型。
（3）根据结构材料特性、构件类型和受力状态，选 择恰当的构件恢复力模型，并确定相应线段的刚 度数值。
其中： S a x (t) x gm ax0 t x g ()e (t )si(tn )dmax
――质点加速度最大绝对值
地震反应谱
地震反应谱是指单自由度弹性体系最大地 震反应(量)与体系自振周期之间的关系曲线， 根据地震反应内容的不同，可分为位移反应谱、 速度反应谱及加速度反应谱。在结构抗震设计 中，通常采用加速度反应谱，简称地震反应谱
• 原理： 时程分析法在数学上称步步积分法,抗震设计中 也称为“动态设计”。由结构基本运动方程输入地面加速 度记录进行积分求解，以求得整个时间历程的地震反应的 方法。 此法输入与结构所在场地相应的地震波作为地震 作用,由初始状态开始, 一步一步地逐步积分,直至地震作用 终了。
应采用时程分析法计算的建筑结构
结构地震反应
• 结构地震反应是指地震时地面振动使建筑结构产生的内力、变形、 位移及结构运动速度、加速度等的统称。可分类称为地震内力反 应、地震位移反应、地震加速度反应等。结构地震反应是一种动 力反应，其大小与地面运动加速度、结构自身特性等有关，一般 根据结构动力学理论进行求解。结构地震反应又称地震作用效应。
（4）建立结构在地震作用下的振动微分方程： （5）采用逐步积分法求解振动方程．求得结构地震
反应的全过程。
输入地震动的选择
《规范规定》：采用时程分析法时应按建筑场地类别和设计地震分组选
用不少于二组的实际强震记录和一组人工模拟的加速度时程曲线
输入地震动分为三种类型：1)拟建场地的实际强震记录；2)典型的强 震记录；3)人工模拟地震波。
抗震验算
多遇地震
强度
SR/RE
结构弹性变形验算
ue eh
非线性单自由度体系在任意加速度作用下反 应的数值计算
• 分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积分通常提供了最方便 的解法。但是必须强调，因为在这两种方法的推导过程中都使用了叠 加原理，所以它们只能适用于线性体系，也即在反应过程中休系的特 性保持不变的情况。另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体 系并不能视作线性的。例如，足以引起严重破坏的地震运动下的建筑 物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。
梯形公式 中心差分法 线性加速度（基本假设： △t内加速度线性变化，体系自身 特性保持不变）
代入增量平衡方程得：
速度位移增量： 加速度和速度与位移关系
计算程序
初始加速度： △t时段终点速度和位移：
由于地震的随机性，
每次的地震记录也不一 样，地震反应谱也不同。 所以，不能用某一次的 地震反应谱作为设计地 震反应谱。因此，为满 足一般建筑的抗震设计 要求，应根据大量强震 记录计算出每条记录的 反应谱曲线，并按形状 因素进行分类，然后通 过统计分析，求出最有 代表性的平均曲线称为 标准反应谱曲线，以此 作为设计反应谱曲线。
单自由度体系地震反应
线性单自由度体系在任意加速度作用下 反应的数值计算
非线性单自由度体系在任意加速度作用 下反应的数值计算
地震
地震作用
• 地震时由于地面运动使原来处于静止的建筑受到动力作用，产生 强迫振动。我们将地震时由地面运动加速度振动在结构上产生的 惯性力称为结构的地震作用（earthquake action）。在建筑抗震 设计中，通常采用最大惯性力作为地震作用。根据地震引起建筑 物主要的振动方向，地震作用分为水平地震作用和竖向地震作用。
抗震验算
• 多遇地震 结构弹性变形验算
ue eh
• 罕遇地震
强度验算
SR/RE
结构弹塑性变形验算（薄弱层） upph
单自由度非线性体系运动方程的建立
简化
可导得时间△t内增量平衡方程的最终形 式：
有很多数值方法可用来求解上述增量平衡方程，包括：
Newmark- EulerGauss 常加速度
时程分析法（ time-history method ）
• 定义：由结构基本运动方程沿时间历程进行积分求解结构 振动响应的方法。由于此法是对运动方程直接求解，又称 直接动力分析法。
• 概述：时程分析法是世纪60年代逐步发展起来的抗震分析 方法。用以进行超高层建筑的抗震分析和工程抗震研究等。 至80年代已成为多数国家抗震设计规范或规程的分析方法 之一。
地震作用计算的设计反应谱
由地震反应谱可计算单自由度体系水平地震作用为
F mSa(T) 将公式变形为
F m a (T S ) m | x g g (tg )|m• a| x x S g( a t() T |m ) aG xE kG E
| xg (t) |max
g
Sa(T)
| xg (t) |max
频谱、强度、持时全方位考虑
结构时程分析的计算模型
• 层模型 • 杆系模型 • 有限元模型
构件恢复力模型
形式很多：如双线型模型、三线型模型、退化二线型等、 退化三线型等，
恢复力模型由两部分组成包括：骨架曲线（各次滞回曲线 峰值点的联系）和滞回规则。
数值积分法
• 可以用迭代法和增量法进行处理！由于迭代法不能适合于 动态问题和性态与加载路径有关的材料，且不能描述加载 全过程，因此在地震反应分析中主要应用的是增量法。
• 为了研究单质点弹性体系的水平地震反应，根据结构的 计算简图并进行受力分析，从而建立体系在水平地震作 用下的运动方程（动力平衡方程）
F I(t)m [ x g(t) x (t)]
Fd(t)cx (t)