华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(1)(答案)

华东理工大学继续教育学院成人教育

《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案）

一、单项选择题

1、设xy e y z 2=，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e -

（C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法）

因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+

2、设方程0yz z 3y 2x 22

2

2

=-++确定了函数z=z （x ，y ），则=∂∂x

z

答（ B ） （A ）

y z x -64 （B ）

z

y x

64- （C ）

y z y +64 （D ）y

z y

-64

解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z

x z y x x

∂∂+-=∂∂，解得

46z x x y z ∂=∂-

3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系）

由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ⇒=. 平面过原点 0D ⇒=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）.

4、 设u =(0,0)

u

x

∂=∂ 答（ A ）

（A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1

解： （知识点：偏导数的定义）

00(0,0)(0,0)(0,0)0

lim lim 0x x u f x f x x

x →→∂+∆-===∂∆∆ ，所以选（A ）

5、极限 00

s i n l i m

x y xy

x

→→= 答（ C ） （A ）不存在 （B ）1 （C ）0 （D ）∞ 解： （知识点：二重极限的概念、极限的四则运算性质、重要极限0sin lim

1x x

x

→=的运用）

000

sin sin lim

lim 011x x y y xy xy

y x xy →→→→=⋅=⋅=， 所以选（C ）

二、填空题

1、设函数)ln(sin 22y x y z +=，则

=∂∂y

z

解：（知识点：偏导数的概念、偏导数的计算方法）

)ln(cos 2sin 2

222y x y y

x y y y z +++⋅=∂∂ 2、改变积分⎰⎰e x dy y x f dx 1

ln 0

),(的积分次序，⎰⎰e x dy y x f dx 1

ln 0

),( =

解：（知识点：化二重积分为二次积分、交换二次积分积分次序的方法）

因为 ln 1

(,)(,)e

x D

dx

f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰，其中 {(,)1,0ln }D x y x e y x =≤≤≤≤，

所以有 ln 1

(,)(,)e

x D

dx

f x y dy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰=10

(,)y

e e dy

f x y dx ⎰⎰

3、设{2,1,3},{2,1,3}a b =-=-，则25a b += 解：（知识点：向量的坐标运算方法）

252{2,1,3}5{2,1,3}{4,2,6}{10,5,15}{6,3,21}a b +=-+-=-+-=-

4、函数ln()arcsin

y

z y x x

=-+ 的定义域为 解：（知识点：函数的定义域的概念及确定方法）

为使表达式x

y

arcsin

)x y ln(z +-=有意义

0,

1,y

y x y x y x x

⇒->≤⇒>≤， 所以函数的定义域为 x y x <≤-

5、 设 (,^),3,43

a b a b π

=

==，则 (2)a b -⨯=

解：（知识点：外积的概念及运算性质）

(2)22sin(,^)234sin

3

a b a b a b a b π

-⨯=⨯==⋅⋅⋅=

三、解答下列各题 1、求微分方程 y y dx

dy

x

ln = 的通解。 解：（知识点：通解得概念、求解一阶可分离变量方程的方法）

分离变量得

dx x

y y dy 1

ln =， 两边积分有 c x y ln ln )ln(ln +=， 所以方程的通解为： cx e y =。

2、计算二重积分：⎰⎰+D

d y x σ)23(， 其中D 是由曲线2x y =及直线y=1所围成的区域。

解：（知识点：二重积分对称性、奇偶性性质在计算二重积分中的应用，直角坐标系下化二

重积分为二次积分的计算方法）

58)51(2)1(2422)23(12

1011

01054

=-=-===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D x D x x dx x ydy dx yd d y x σσ

3、设)

,

(2z

y y x f u =，其中f 为可微函数 ，求,u u

y x ∂∂∂∂。 解：（知识点：多元复合函数求偏导数的链式法则的运用）

11233'

1.''f u y f f x x z y

y ∂∂⎛⎫=⋅+= ⎪∂∂⎝⎭， )1(')2('.231z f y x f y u +-=∂∂'1

'2213f z f y

x +-=。

4、设 =+xy u x y ，计算 22

u

y ∂∂

解：（知识点：二阶偏导数的概念、计算方法）