高中数学函数与方程教案 苏教版 必修1

函数与方程

教学目标：

使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.

教学重点：

利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.

教学难点：

利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.

教学过程：

Ⅰ.复习引入

初中二次函数的图象及有关的问题

Ⅱ.讲授新课

问题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）之间有怎样的关系？

我的思路：（1）当△＝b 2－4ac ＞0时，二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），（不妨设x 1＜x 2）对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个

不等实根x 1、x 2；

（2）当△＝b 2－4ac ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且只有一个交点（x 0，0），对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个相等实根x 0；

（3）当△＝b 2－4ac ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）没有实根．

［例1］已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，若A ∪B ＝A ，求a 的取值范围．

解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识． ∵A ＝［1，4］，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ．

若B ＝φ，即x 2－2ax ＋a ＋2＞0恒成立，则△＝4a 2－4（a ＋2）＜0，

∴－1＜a ＜2；

若B ≠φ，解法一：△＝4a 2－4（a ＋2）≥0， ∴a ≥2或a ≤－1．

∵方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两根为x 1，2＝a ±a 2―a ―2 ．

则B ＝{x |a －a 2―a ―2 ≤x ≤a ＋a 2―a ―2 }，由题意知

⎩⎨⎧a －a 2―a ―2 ≥1a ＋a 2―a ―2 ≤4

解之得2≤a ≤187 ，综合可知a ∈（－1，187

］． 解法二：f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2，

如图知 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4a 2－4（a ＋2）≥0f （1）＝3－a ≥0f （4）＝－7a ＋18≥01≤a ≤4

解之得2≤a ≤187 ，综上可知a ∈（－1，187

］． ［例2］已知x 的不等式4x －x 2 ＞ax 的解区间是（0，2），求a 的值．

解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．

解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y 1＝4x －x 2 和y 2＝ax 的图象．

如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y ＝ax 必过点（2，2），则a ＝1． 解法二：∵0＜x ＜2，当a ≥0时，则4x －x 2＞a 2x 2．

∴0＜x ＜41＋a 2 ，则41＋a 2

＝2，∴a ＝1． 当a ＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，

∴a ＜0舍去．

综上知a ＝1．

［例3］已知函数f （x ）＝x 2＋2bx 十c （c ＜b ＜1），f （1）＝0，且方程f （x ）＋1＝0有实根，

（1）证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；

（2）若m 是方程f （x ）＋1＝0的一个实根，判断f （m －4）的正负，并说明理由． 解析：（1）由f （1）＝0，则有b ＝－c ＋1

2 ，

又因为c ＜b ＜1，消去b 解之得－3＜c ＜－13

； ① 又方程f （x ）＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，

故△＝4b 2－4（c ＋1）≥0，消去b 解之得c ≥3或c ≤－1； ② 由①②可知，－3＜c ≤－1且b ≥0．

（2）f （x ）＝x 2＋2bx ＋c ＝（x －c ）（x －1），f （m ）＝－1＜0，∴c ＜m ＜1， 从而c －4＜m －4＜－3＜c ，

∴f （m －4）＝（m －4－c ）（m －4－1）＞0，即f （m －4）的符号为正．

Ⅲ.课后作业

1．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是（－∞，－1

2

）∪（

1

3

，＋∞），求

ab的值解析：方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－

1

2

、

1

3

，

则

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

．

＝－

，

＝－

－

6

1

2

6

1

a

a

b

∴

⎩

⎨

⎧

．

＝－

，

＝－

2

12

b

a

∴ab＝24．

2．方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．

解析：方法一：利用韦达定理，设方程x2－2ax＋4＝0的两根为x1、x2，

则

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

∆．

，

＞

－

＋

－

，

＞

－

－

)1

(

)1

(

)1

)(

1

(

2

1

2

1

x

x

x

x

解之得2≤a＜

5

2

．

方法二：利用二次函数图象的特征，设f（x）＝x2－2ax＋4，

则

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧≥

∆

．

＞

，

＞

，

1

)1(

a

f解之得2≤a＜

5

2

．

3．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜－2}，求不等式6x2－5x＋a＞0的解集．

解析：由题意，方程ax2－5x＋b＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得

⎩

⎨

⎧

，

＝－

，

＝－

6

1

b

a 则所求不等式为6x2－5x－1＞0，解之得x＜－

1

6

或x＞1．

4．关于x的不等式组

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

5

)5

2(

2

2

2

2

＜

＋

＋

＋

，

＞

－

－

k

k

x

x

x

的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．

解析：不等式组可化为

⎩

⎨

⎧

)

)(

5

2(

1

2

＜

＋

＋

＜－

或

＞

k

x

x

x

x

，

∵x＝－2，（如下图）

∴（2x＋5）（x＋k）＜0必为－

2

5

＜x＜－k，－2＜－k≤3，得－3≤k＜2．